Surjection des espaces de Fréchet - Surjection of Fréchet spaces

Théorème  (Banach)  —  Si est une application linéaire continue entre deux espaces de Fréchet, alors est surjective si et seulement si les deux conditions suivantes sont toutes deux vérifiées : ${\style d'affichage L:X\à Y}$${\style d'affichage L:X\à Y}$

1. ${\displaystyle {}^{t}L:Y^{\prime }\to X^{\prime }}$est injectif , et
2. l' image de notée par est faiblement fermée (c'est- à -dire fermée quand est dotée de la topologie faible-*).${\displaystyle {}^{t}L,}$${\displaystyle \operatorname {Im} {}^{t}L,}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle X^{\prime }}$

Théorème  —  Si est une application linéaire continue entre deux espaces de Fréchet alors les éléments suivants sont équivalents : ${\style d'affichage L:X\à Y}$

1. ${\style d'affichage L:X\à Y}$ est surjectif.
2. Les deux conditions suivantes sont remplies :
   1. ${\displaystyle {}^{t}L:Y^{\prime }\to X^{\prime }}$est injectif ;
   2. l' image de est faiblement fermée dans${\displaystyle \operatorname {Im} {}^{t}L}$${\style d'affichage {}^{t}L}$${\displaystyle X^{\prime }.}$
3. Pour chaque semi-norme continue sur il existe une semi-norme continue sur telle que les conditions suivantes sont vraies : ${\style d'affichage p}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage q}$${\style d'affichage Y}$
   1. pour tout il en existe tel que ;${\displaystyle y\in Y}$${\style d'affichage x\dans X}$${\style d'affichage q(L(x)-y)=0}$
   2. pour chaque si alors${\displaystyle y^{\prime }\in Y,}$${\displaystyle {}^{t}L\gauche(y^{\prime }\right)\in X_{p}^{\prime }}$${\displaystyle y^{\prime }\in Y_{q}^{\prime }.}$
4. Pour chaque semi-norme continue sur il existe un sous - espace linéaire de tel que ce qui suit est vrai : ${\style d'affichage p}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage N}$${\style d'affichage Y}$
   1. pour tout il en existe tel que ;${\displaystyle y\in Y}$${\style d'affichage x\dans X}$${\style d'affichage L(x)-y\in N}$
   2. pour chaque si alors${\displaystyle y^{\prime }\in Y^{\prime },}$${\displaystyle {}^{t}L\gauche(y^{\prime }\right)\in X_{p}^{\prime }}$${\displaystyle y^{\prime }\in N^{\circ }.}$
5. Il y a une non-augmentation de séquence de sous - espaces linéaires fermées de dont l' intersection est égale à et de telle sorte que les conditions suivantes sont remplies: ${\displaystyle N_{1}\supseteq N_{2}\supseteq N_{3}\supseteq \cdots }$${\style d'affichage Y}$${\style d'affichage \{0\}}$
   1. pour tout entier positif , il en existe tel que ;${\displaystyle y\in Y}$${\style d'affichage k}$${\style d'affichage x\dans X}$${\displaystyle L(x)-y\in N_{k}}$
   2. pour toute semi-norme continue sur il existe un entier tel que tout ce qui satisfait soit la limite, au sens de la semi-norme , d'une suite en éléments de telle que pour tout${\style d'affichage p}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage k}$${\style d'affichage x\dans X}$${\displaystyle L(x)\in N_{k}}$${\style d'affichage p}$${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$${\style d'affichage X}$${\displaystyle L\left(x_{i}\right)=0}$${\style d'affichage i.}$

Théorème  —  Soit un espace de Fréchet et un sous-espace linéaire de Sont équivalents : ${\style d'affichage X}$${\style d'affichage Z}$${\displaystyle X^{\prime }.}$

1. ${\style d'affichage Z}$est faiblement enfermé ;${\displaystyle X^{\prime }}$
2. Il existe une base de voisinages de l'origine de tels que pour tout soit faiblement clos ;${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\style d'affichage X}$${\displaystyle B\in {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle B^{\circ }\cap Z}$
3. L'intersection de avec chaque sous - ensemble équicontinu de est relativement fermée (où est donnée la topologie faible induite par et est donnée la topologie de sous-espace induite par ).${\style d'affichage Z}$${\style d'affichage E}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\style d'affichage E}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage E}$${\displaystyle X^{\prime }}$

Théorème  —  Sur le dual d'un espace de Fréchet , la topologie de convergence uniforme sur des sous-ensembles compacts convexes de est identique à la topologie de convergence uniforme sur des sous-ensembles compacts de . ${\displaystyle X^{\prime }}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X}$

Théorème  —  Soit une application linéaire entre des TVS de Hausdorff localement convexes , avec également métrisable. Si la carte est continue, alors elle est continue (où et portent leurs topologies d'origine). ${\style d'affichage L:X\à Y}$${\style d'affichage X}$${\displaystyle L:\left(X,\sigma \left(X,X^{\prime }\right)\right)\to \left(Y,\sigma \left(Y,Y^{\prime }\ à droite)\à droite)}$${\style d'affichage L:X\à Y}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage Y}$

Théorème  (E. Borel)  —  Fixe un entier positif . Si est une série formelle arbitraire en indéterminants à coefficients complexes alors il existe une fonction dont le développement de Taylor à l'origine est identique à . ${\style d'affichage n}$${\style d'affichage P}$${\style d'affichage n}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} }$${\style d'affichage P}$

C'est-à-dire, supposons que pour chaque -uplet d'entiers non négatifs, on nous donne un nombre complexe (sans restrictions). Alors il existe une fonction telle que pour tout -uplet${\style d'affichage n}$${\displaystyle p=\left(p_{1},\ldots ,p_{n}\right)}$${\displaystyle a_{p}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle a_{p}=\left(\partial /\partial x\right)^{p}f{\bigg \vert }_{x=0}}$${\style d'affichage n}$${\style d'affichage p.}$

Théorème  —  Soit un opérateur différentiel partiel linéaire avec des coefficients dans un sous-ensemble ouvert Les éléments suivants sont équivalents : ${\style d'affichage D}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}.}$

1. Pour tout il en existe tel que${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(U)}$${\displaystyle u\in {\mathcal {C}}^{\infty }(U)}$${\displaystyle Du=f.}$
2. ${\style d'affichage U}$est -convexe et est semi - globalement résoluble.${\style d'affichage D}$${\style d'affichage D}$