Semi-norme - Seminorm

En mathématiques , en particulier en analyse fonctionnelle , une semi - norme est une norme d'espace vectoriel qui n'a pas besoin d'être définie positivement . Les semi-normes sont intimement liées aux ensembles convexes : chaque semi-norme est la fonctionnelle de Minkowski d'un disque absorbant et, inversement, la fonctionnelle de Minkowski d'un tel ensemble est une semi-norme.

Un espace vectoriel topologique est localement convexe si et seulement si sa topologie est induite par une famille de semi-normes.

Définition

Soit un espace vectoriel sur les nombres réels ou les nombres complexes Une fonction à valeur réelle est appelée une semi - norme si elle satisfait les deux conditions suivantes : ${\style d'affichage X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$

1. Subadditivité / Inégalité triangulaire : pour tout${\style d'affichage p(x+y)\leq p(x)+p(y)}$${\style d'affichage x,y\dans X.}$
2. Homogénéité absolue : pour tous et tous les scalaires${\style d'affichage p(sx)=|s|p(x)}$${\style d'affichage x\dans X}$${\style d'affichage s.}$

Ces deux conditions impliquent que et que chaque semi-norme a aussi la propriété suivante : ${\style d'affichage p(0)=0}$${\style d'affichage p}$

3. Non - négativité : pour tous${\style d'affichage p(x)\geq 0}$${\style d'affichage x\dans X.}$

Certains auteurs incluent la non-négativité dans le cadre de la définition de « semi-norme » (et aussi parfois de « norme »), bien que cela ne soit pas nécessaire.

Par définition, une norme sur est une semi-norme qui sépare également des points, ce qui signifie qu'elle possède la propriété supplémentaire suivante : ${\style d'affichage X}$

4. Défini positif / Séparateur de points : pour toutsialors${\style d'affichage x\dans X,}$${\style d'affichage p(x)=0}$${\style d'affichage x=0.}$

Un espace semi-normé est une paire constituée d'un espace vectoriel et d'une semi-norme sur Si la semi -norme est aussi une norme alors on appelle l'espace semi-norme un espace normé . ${\style d'affichage (X,p)}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage X.}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage (X,p)}$

Puisque l'homogénéité absolue implique une homogénéité positive, chaque semi-norme est un type de fonction appelée fonction sous- linéaire . Une application est appelée fonction sous-linéaire si elle est sous-additive (c'est-à-dire la condition 1 ci-dessus) et positivement homogène (c'est-à-dire la condition 5 ci-dessus). Contrairement à une semi-norme, une fonction sublinéaire n'est pas nécessairement non négative. Les fonctions sublinéaires sont souvent rencontrées dans le contexte du théorème de Hahn-Banach . ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$

Pseudométrie et topologie induite

Une semi-norme sur induit une topologie via la pseudométrie invariante à la traduction ; Cette topologie est Hausdorff si et seulement si est une métrique, ce qui se produit si et seulement si est une norme . ${\style d'affichage p}$${\style d'affichage X}$ ${\displaystyle d_{p}:X\times X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle d_{p}(x,y)=p(xy).}$${\displaystyle d_{p}}$${\style d'affichage p}$

De manière équivalente, chaque espace vectoriel avec semi-norme induit un quotient d'espace vectoriel où est le sous-espace composé de tous les vecteurs avec Then porte une norme définie par La topologie résultante, ramenée à est précisément la topologie induite par${\style d'affichage X}$${\style d'affichage p}$ ${\style d'affichage X/W,}$${\style d'affichage W}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage x\dans X}$${\style d'affichage p(x)=0.}$${\style d'affichage X/W}$${\style d'affichage p(x+W)=p(v).}$${\style d'affichage X,}$${\style d'affichage p.}$

Toute topologie induite par la semi-norme rend localement convexe , comme suit. Si est une semi-norme sur et appelez l'ensemble la boule ouverte de rayon autour de l'origine ; de même la boule fermée de rayon est L'ensemble de toutes les boules ouvertes (resp. fermées) à l'origine forme une base de voisinage d' ensembles équilibrés convexes qui sont ouverts (resp. fermés) dans la -topologie sur${\style d'affichage X}$ ${\style d'affichage p}$${\style d'affichage X}$${\displaystyle r\in \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \{x\in X:p(x)<r\}}$${\style d'affichage r}$${\style d'affichage r}$${\displaystyle \{x\in X:p(x)\leq r\}.}$${\style d'affichage p}$ ${\style d'affichage p}$${\style d'affichage X.}$

Semi-normes plus fortes, plus faibles et équivalentes

Les notions de semi-normes plus fortes et plus faibles s'apparentent aux notions de normes plus fortes et plus faibles . Si et sont seminormes sur nous disent est plus fort que et qui est plus faible que si l' une des conditions équivalentes suivantes est vérifiée: ${\style d'affichage p}$${\style d'affichage q}$${\style d'affichage X,}$${\style d'affichage q}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage q}$

1. La topologie sur induite par est plus fine que la topologie induite par${\style d'affichage X}$${\style d'affichage q}$${\style d'affichage p.}$
2. Si est une séquence dans alors dans implique dans${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\style d'affichage X,}$${\displaystyle q\left(x_{\bullet }\right):=\left(q\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }\to 0}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle p\left(x_{\bullet }\right)\to 0}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$
3. Si est un réseau dans alors dans implique dans${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$${\style d'affichage X,}$${\displaystyle q\left(x_{\bullet }\right):=\left(q\left(x_{i}\right)\right)_{i\in I}\to 0}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle p\left(x_{\bullet }\right)\to 0}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$
4. ${\style d'affichage p}$ est borné sur ${\displaystyle \{x\in X:q(x)<1\}.}$
5. Si alors pour tout${\displaystyle \inf {}\{q(x):p(x)=1,x\in X\}=0}$${\style d'affichage p(x)=0}$${\style d'affichage x\dans X.}$
6. Il existe un réel tel que sur${\displaystyle K>0}$${\displaystyle p\leq Kq}$${\style d'affichage X.}$

Les semi - normes et sont dites équivalentes si elles sont toutes les deux plus faibles (ou toutes les deux plus fortes) l'une que l'autre. Cela se produit s'ils satisfont à l'une des conditions suivantes : ${\style d'affichage p}$${\style d'affichage q}$

1. La topologie induite par est la même que la topologie induite par${\style d'affichage X}$${\style d'affichage q}$${\style d'affichage p.}$
2. ${\style d'affichage q}$est plus fort que et est plus fort que${\style d'affichage p}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage q.}$
3. Si est une séquence dans alors si et seulement si${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\style d'affichage X}$${\displaystyle q\left(x_{\bullet }\right):=\left(q\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }\to 0}$${\displaystyle p\left(x_{\bullet }\right)\to 0.}$
4. Il existe des nombres réels positifs et tels que${\style d'affichage r>0}$${\style d'affichage R>0}$${\displaystyle rq\leq p\leq Rq.}$

Continuité

Continuité des semi-normes

Si est une semi-norme sur un espace vectoriel topologique alors les éléments suivants sont équivalents : ${\style d'affichage p}$${\style d'affichage X,}$

1. ${\style d'affichage p}$ est continue.
2. ${\style d'affichage p}$ est continue en 0 ;
3. ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}}$est ouvert dans ;${\style d'affichage X}$
4. ${\displaystyle \{x\in X:p(x)\leq 1\}}$est un voisinage fermé de 0 dans ;${\style d'affichage X}$
5. ${\style d'affichage p}$est uniformément continue sur ;${\style d'affichage X}$
6. Il existe une semi-norme continue sur telle que${\style d'affichage q}$${\style d'affichage X}$${\displaystyle p\leq q.}$

En particulier, si est un espace seminormed alors un seminorme sur est continue si et seulement si est dominé par un multiple scalaire positif de${\style d'affichage (X,p)}$${\style d'affichage q}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage q}$${\style d'affichage p.}$

Si est une vraie TVS, est une fonctionnelle linéaire sur et est une semi-norme continue (ou plus généralement, une fonction sublinéaire) alors sur implique qu'elle est continue. ${\style d'affichage X}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage X,}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage X,}$${\style d'affichage f\leq p}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage f}$

Continuité des applications linéaires

Si est une application entre des espaces semi-normés alors laissez ${\style d'affichage F:(X,p)\à (Y,q)}$

Si est une application linéaire entre des espaces semi-normés alors les éléments suivants sont équivalents : ${\style d'affichage F:(X,p)\à (Y,q)}$

1. ${\style d'affichage F}$ est continu;
2. ${\displaystyle \|F\|_{p,q}<\infty }$;
3. Il existe un réel tel que ; ${\displaystyle K\geq 0}$${\displaystyle p\leq Kq}$
   • Dans ce cas, ${\displaystyle \|F\|_{p,q}\leq K.}$

Si est continue alors pour tout${\style d'affichage F}$${\style d'affichage q(F(x))\leq \|F\|_{p,q}p(x)}$${\style d'affichage x\dans X.}$

L'espace de toutes les applications linéaires continues entre les espaces semi-normés est lui-même un espace semi-normé sous la semi- norme. Cette semi-norme est une norme si est une norme. ${\style d'affichage F:(X,p)\à (Y,q)}$${\style d'affichage \|F\|_{p,q}.}$${\style d'affichage q}$

Propriétés topologiques

• Si est un TVS et est une semi-norme continue sur alors la fermeture de in est égale à${\style d'affichage X}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage X,}$${\displaystyle \{x\in X:p(x)<r\}}$${\style d'affichage X}$${\displaystyle \{x\in X:p(x)\leq r\}.}$
• La fermeture de dans un espace localement convexe dont la topologie est définie par une famille de semi - normes continues est égale à${\style d'affichage \{0\}}$${\style d'affichage X}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle \bigcap _{p\in {\mathcal {P}}}p^{-1}(0).}$
• Un sous-ensemble dans un espace semi-normé est borné si et seulement si est borné.${\style d'affichage S}$${\style d'affichage (X,p)}$${\style d'affichage p(S)}$
• Si est un espace semi-normé alors la topologie localement convexe qui induit sur fait un TVS pseudométrisable avec une pseudométrie canonique donnée par pour tout${\style d'affichage (X,p)}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage d(x,y):=p(xy)}$${\style d'affichage x,y\dans X.}$
• Le produit d'un nombre infini d'espaces semi-normables est à nouveau semi-normable si et seulement si tous ces espaces, sauf un nombre fini, sont triviaux (c'est-à-dire de dimension 0).

Normabilité

La normabilité des espaces vectoriels topologiques est caractérisée par le critère de normabilité de Kolmogorov .

Si est un TVS localement convexe de Hausdorff, alors les éléments suivants sont équivalents : ${\style d'affichage X}$

1. ${\style d'affichage X}$ est normal.
2. ${\style d'affichage X}$ a un voisinage borné de l'origine.
3. Le fort duel de est normal.${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$${\style d'affichage X}$
4. Le dual fort de est métrisable .${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$${\style d'affichage X}$

De plus, est de dimension finie si et seulement si est normable ( dénote ici doté de la topologie faible-* ). ${\style d'affichage X}$${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$${\displaystyle X^{\prime }}$

Le produit d'un espace semi-normable infiniment nombreux est à nouveau semi-normable si et seulement si tous ces espaces sauf un nombre fini sont triviaux (c'est-à-dire de dimension 0).

Fonctionnelles et semi-normes de Minkowski

Les semi-normes sur un espace vectoriel sont intimement liées, via des fonctionnelles de Minkowski, à des sous-ensembles de qui sont convexes , équilibrés et absorbants . Étant donné qu'un tel sous-ensemble de la fonctionnelle de Minkowski est une semi-norme. Inversement, étant donné une semi-norme sur les ensembles et sont convexes, équilibrés et absorbants et de plus, la fonctionnelle de Minkowski de ces deux ensembles (ainsi que de tout ensemble situé "entre eux") est${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage D}$${\style d'affichage X,}$${\style d'affichage D}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage X,}$${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}}$${\displaystyle \{x\in X:p(x)\leq 1\}}$${\style d'affichage p.}$

Exemples

• La semi-norme triviale sur laquelle se réfère l'application constante sur induit la topologie indiscrète sur${\style d'affichage X,}$${\style d'affichage 0}$${\style d'affichage X,}$${\style d'affichage X.}$
• Si est une forme linéaire sur un espace vectoriel alors sa valeur absolue définie par est une semi-norme. ${\style d'affichage f}$ ${\style d'affichage |f|,}$${\displaystyle x\mapsto |f(x)|,}$
• Chaque fonction sublinéaire à valeur réelle induit une semi-norme sur définie par${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage p(x):=\max\{f(x),f(-x)\}.}$
• Toute somme finie de semi-normes est une semi-norme.
• Si et sont des semi-normes activées alors ${\style d'affichage p}$${\style d'affichage q}$${\style d'affichage X}$
  $${\displaystyle (p\vee q)(x)=\max\{p(x),q(x)\}\quad {\text{ et }}\quad (p\wedge q)(x):= \inf\{p(y)+q(z):x=y+z{\text{ avec }}y,z\in X\}}$$

  
  où et${\displaystyle p\wedge q\leq p}$${\displaystyle p\wedge q\leq q.}$
• De plus, l'espace des semi-normes sur est un réseau distributif par rapport aux opérations ci-dessus. ${\style d'affichage X}$

Propriétés algébriques

Soit un espace vectoriel sur lequel se trouvent les nombres réels ou complexes. ${\style d'affichage X}$${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle \mathbb {F} }$

Propriétés des semi-normes car ce sont des fonctions sublinéaires

Puisque chaque semi-norme est une fonction sous-linéaire, les semi-normes ont toutes les propriétés suivantes :

Si est une fonction sous- linéaire à valeur réelle sur alors : ${\displaystyle p:X\to [0,\infty )}$${\style d'affichage X}$

• Les semi-normes satisfont l' inégalité triangulaire inverse :${\displaystyle |p(x)-p(y)|\leq p(xy){\text{ pour tout }}x,y\in X.}$
• Pour tout et${\style d'affichage x\dans X}$${\style d'affichage r>0,}$ ${\displaystyle x+\{y\in X:p(y)<r\}=\{y\in X:p(xy)<r\}.}$
• Étant donné que chaque seminorme est une fonction sous - linéaire, chaque seminorme sur une fonction convexe . De plus, pour tous est un disque absorbant dans${\style d'affichage p}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage r>0,}$ ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<r\}}$ ${\style d'affichage X.}$
• Toute fonction sublinéaire est une fonctionnelle convexe .
• ${\style d'affichage p(0)=0.}$
• ${\style d'affichage 0\leq \max\{p(x),p(-x)\}}$et pour tous${\style d'affichage p(x)-p(y)\leq p(xy)}$${\style d'affichage x,y\dans X.}$
• Si est une fonction sublinéaire sur un espace vectoriel réel alors il existe une fonctionnelle linéaire sur telle que${\style d'affichage p}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage X}$${\displaystyle f\leq p.}$
• Si est un espace vectoriel réel, est une fonctionnelle linéaire sur et est une fonction sublinéaire sur alors sur si et seulement si${\style d'affichage X}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage X,}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage X,}$${\style d'affichage f\leq p}$${\style d'affichage X}$${\displaystyle f^{-1}(1)\cap \{x\in X:p(x)<1=\varnothing \}.}$

Autres propriétés des semi-normes

Si est une semi-norme sur alors : ${\displaystyle p:X\to [0,\infty )}$${\style d'affichage X}$

• ${\style d'affichage p}$est une norme sur si et seulement si ne contient pas de sous-espace vectoriel non trivial.${\style d'affichage X}$${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}}$
• ${\style d'affichage p^{-1}(0)}$ est un sous-espace vectoriel de ${\style d'affichage X.}$
• Pour toute ${\style d'affichage r>0,}$
  $${\displaystyle r\{x\in X:p(x)<1\}=\{x\in X:p(x)<r\}=\left\{x\in X:{\frac {1 }{r}}p(x)<1\right\}.}$$

  
• Si est un ensemble satisfaisant alors est absorbant dans et où désigne la fonctionnelle de Minkowski associée à (ie la jauge de ). ${\style d'affichage D}$${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}\subseteq D\subseteq \{x\in X:p(x)\leq 1\}}$${\style d'affichage D}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage p=p_{D}}$${\style d'affichage p_{D}}$${\style d'affichage D}$${\style d'affichage D}$
  • En particulier, si est comme ci-dessus et est une semi-norme sur alors si et seulement si${\style d'affichage D}$${\style d'affichage q}$${\style d'affichage X,}$${\style d'affichage q=p}$${\displaystyle \{x\in X:q(x)<1\}\subseteq D\subseteq \{x\in X:q(x)\leq \}.}$

• Si est un espace normé et alors pour tout${\style d'affichage (X,\|\,\cdot \,\|)}$${\style d'affichage x,y\dans X}$${\style d'affichage \|xy\|=\|xz\|+\|zy\|}$${\displaystyle z\in [x,y].}$
• Chaque norme est une fonction convexe et par conséquent, trouver un maximum global d'une fonction objectif basée sur la norme est parfois traitable.

Théorème de Hahn-Banach pour les semi-normes

Les Seminormes offrent une formulation particulièrement propre du théorème de Hahn-Banach :

Si est un sous-espace vectoriel d'un espace semi-normé et si est une fonctionnelle linéaire continue sur alors peut être étendu à une fonctionnelle linéaire continue sur qui a la même norme que${\style d'affichage M}$${\style d'affichage (X,p)}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage M,}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage F}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage f.}$

Une propriété d'extension similaire est également valable pour les semi-normes :

Inégalités de semi-normes

Si les semi-normes sont activées alors : ${\displaystyle p,q:X\to [0,\infty )}$${\style d'affichage X}$

• ${\style d'affichage p\leq q}$si et seulement si implique${\style d'affichage q(x)\leq 1}$${\style d'affichage p(x)\leq 1.}$
• Si et sont tels que cela implique alors pour tout${\style d'affichage a>0}$${\style d'affichage b>0}$${\style d'affichage p(x)<a}$${\style d'affichage q(x)\leq b,}$${\style d'affichage aq(x)\leq bp(x)}$${\style d'affichage x\dans X.}$
• Supposons et sont des nombres réels positifs et sont des semi-normes telles que pour chaque si alors Alors${\style d'affichage a}$${\style d'affichage b}$${\displaystyle q,p_{1},\ldots ,p_{n}}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage x\dans X,}$${\displaystyle \max\{p_{1}(x),\ldots ,p_{n}(x)\}<a}$${\style d'affichage q(x)<b.}$${\displaystyle aq\leq b\left(p_{1}+\cdots +p_{n}\right).}$
• Si est un espace vectoriel sur les réels et est une fonctionnelle linéaire non nulle sur alors si et seulement si${\style d'affichage X}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage X,}$${\style d'affichage f\leq p}$${\displaystyle \varnothing =f^{-1}(1)\cap \{x\in X:p(x)<1\}.}$

Si est une semi-norme sur et est une fonctionnelle linéaire sur alors : ${\style d'affichage p}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage X}$

• ${\style d'affichage |f|\leq p}$activé si et seulement si activé (voir note de bas de page pour preuve).${\style d'affichage X}$${\displaystyle \operatorname {Re} f\leq p}$${\style d'affichage X}$
• ${\style d'affichage f\leq p}$sur si et seulement si${\style d'affichage X}$${\displaystyle f^{-1}(1)\cap \{x\in X:p(x)<1=\varnothing \}.}$
• Si et sont tels que cela implique alors pour tout${\style d'affichage a>0}$${\style d'affichage b>0}$${\style d'affichage p(x)<a}$${\style d'affichage f(x)\neq b,}$${\style d'affichage a|f(x)|\leq bp(x)}$${\style d'affichage x\dans X.}$

Relation avec d'autres concepts de type normatif

Un espace vectoriel topologique est semi-normable si et seulement si il a un voisinage borné convexe de l'origine. Ainsi une TVS localement convexe est semi-normable si et seulement si elle a un ouvert borné non vide.

Soit une fonction non négative. Les éléments suivants sont équivalents : ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$

1. ${\style d'affichage p}$ est une semi-norme.
2. ${\style d'affichage p}$est un semi-norme convexe .${\style d'affichage F}$
3. ${\style d'affichage p}$est un G -seminorme équilibré convexe .

Si l'une des conditions ci-dessus est vérifiée, les conditions suivantes sont équivalentes :

1. ${\style d'affichage p}$ est une norme ;
2. ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}}$ ne contient pas de sous-espace vectoriel non trivial.
3. Il existe une norme sur laquelle, est borné.${\style d'affichage X,}$${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}}$

Si est une fonction sublinéaire sur un espace vectoriel réel, alors les éléments suivants sont équivalents : ${\style d'affichage p}$${\style d'affichage X}$

1. ${\style d'affichage p}$est une fonctionnelle linéaire ;
2. ${\displaystyle p(x)+p(-x)\leq 0{\text{ pour chaque }}x\in X}$;
3. ${\displaystyle p(x)+p(-x)=0{\text{ pour chaque }}x\in X}$;

Généralisations

Le concept de norme dans les algèbres de composition ne partage pas les propriétés habituelles d'une norme.

Une algèbre de composition consiste en une algèbre sur un corps, une involution et une forme quadratique qui s'appelle la "norme". Dans plusieurs cas est une forme quadratique isotrope de sorte qu'a au moins un vecteur nul , contrairement à la séparation de points requise pour la norme habituelle discutée dans cet article. ${\style d'affichage (A,*,N)}$ ${\style d'affichage A,}$ ${\style d'affichage \,*,}$ ${\style d'affichage N,}$${\style d'affichage N}$${\style d'affichage A}$

Une ultraseminorme ou une seminorme non archimédienne est une seminorme qui satisfait également${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle p(x+y)\leq \max\{p(x),p(y)\}{\text{ pour tout }}x,y\in X.}$

Affaiblissement de la sous-additivité

Quasi-séminormes

Une application est dite quasi-seminorme si elle est (absolument) homogène et qu'il en existe une telle que La plus petite valeur de pour laquelle cela est vrai est appelée le multiplicateur de${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$${\style d'affichage b\leq 1}$${\displaystyle p(x+y)\leq bp(p(x)+p(y)){\text{ pour tout }}x,y\in X.}$${\style d'affichage b}$${\style d'affichage p.}$

Une quasi-seminorme qui sépare des points s'appelle une quasi-norme sur${\style d'affichage X.}$

Homogénéité affaiblie - -seminormes${\style d'affichage k}$

Une application est appelée une -seminorme si elle est sous-additive et qu'il existe une telle que et pour tout et scalaires${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$${\style d'affichage k}$${\style d'affichage k}$${\style d'affichage 0<k\leq 1}$${\style d'affichage x\dans X}$${\style d'affichage s,}$

${\style d'affichage p(sx)=|s|^{k}p(x)}$

Une -seminorme qui sépare des points est appelée une -norme sur${\style d'affichage k}$${\style d'affichage k}$${\style d'affichage X.}$

On a la relation suivante entre les quasi-seminormes et les -seminormes : ${\style d'affichage k}$

Supposons que soit un quasi-seminorme sur un espace vectoriel avec multiplicateur Si alors il existe -seminorme sur équivalent à${\style d'affichage q}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage b.}$${\displaystyle 0<{\sqrt {k}}<\log _{2}b}$${\style d'affichage k}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage q.}$

Voir également

• Norme asymétrique  – Généralisation du concept de norme
• Espace Banach  – Espace vectoriel normé qui est complet
• Théorème de Hahn-Banach
• Norme de Gowers
• Espace vectoriel topologique localement convexe  - Un espace vectoriel avec une topologie définie par des ensembles ouverts convexes
• Distance de Mahalanobis
• Norme matricielle  – Norme sur un espace vectoriel de matrices
• Espace vectoriel topologique métrisable  - Un espace vectoriel topologique dont la topologie peut être définie par une métrique
• Minkowski fonctionnel
• Norme (mathématiques)  – Longueur dans un espace vectoriel
• Espace vectoriel normé  – Espace vectoriel sur lequel une distance est définie
• Relation des normes et des métriques
• Fonction sublinéaire
• Espace vectoriel topologique  – Espace vectoriel avec une notion de proximité

Remarques

Preuves

Les références

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Liens externes

• Fonctions sublinéaires
• Le théorème du sandwich pour les fonctionnelles sublinéaires et super linéaires