Minkowski fonctionnel - Minkowski functional

En mathématiques , dans le domaine de l'analyse fonctionnelle , une fonctionnelle de Minkowski ou fonction de jauge est une fonction qui récupère une notion de distance sur un espace linéaire.

Si est un sous - ensemble d' un espace vectoriel réel ou complexe , alors la fonctionnelle ou jauge de Minkowski est définie comme la fonction valorisée dans les nombres réels étendus , définis par ${\style d'affichage K}$ ${\style d'affichage X,}$ ${\style d'affichage K}$ $p_{K}:X\to [0,\infty ],$

p_{K}(x):=\inf\{r\in \mathbb {R} :r>0{\text{ et }}x\in rK\}\quad {\text{ pour chaque } }x\dans X,

où l' infimum de l'ensemble vide est défini comme étant l' infini positif (qui n'est pas un nombre réel, il ne serait donc pas à valeur réelle). Si l'ensemble n'est pas vide alors l'infimum sera nécessairement un nombre réel non négatif. Cette propriété d'être non négatif contraste avec d'autres classes de fonctions, telles que les fonctions sublinéaires , qui autorisent des valeurs négatives.

{\style d'affichage \,\infty \,}

{\style d'affichage p_{K}(x)}

En analyse fonctionnelle, on suppose généralement qu'il a des propriétés (par exemple, être

absorbant dans ) qui garantiront que pour chaque cet ensemble n'est pas vide précisément parce que cela entraîne une valeur réelle.

{\style d'affichage K}

{\style d'affichage X}

{\style d'affichage x\dans X,}

\{r\in \mathbb {R} :r>0{\text{ et }}x\in rK\}

{\style d'affichage p_{K}}

De plus, est également souvent supposé avoir plus de propriétés, comme être un

disque absorbant dans puisque ces propriétés garantissent que sera une semi - norme (valeur réelle) sur En fait, chaque semi-norme sur est égale à la fonctionnelle de Minkowski de tout sous - ensemble de satisfaisant (où ces trois ensembles sont nécessairement absorbants et le premier et le dernier sont également des disques). Ainsi chaque semi-norme (qui est une fonction définie par des propriétés purement algébriques) peut être associée (de manière non unique) à un disque absorbant (qui est un ensemble avec certaines propriétés géométriques) et inversement, chaque disque absorbant peut être associé à sa fonctionnelle de Minkowski ( qui sera nécessairement une semi-norme). Ces relations entre les semi-normes, les fonctionnelles de Minkowski et les disques absorbants sont l'une des principales raisons pour lesquelles les fonctionnelles de Minkowski sont étudiées et utilisées en analyse fonctionnelle. En particulier, à travers ces relations, les fonctionnelles de Minkowski permettent de "traduire" certaines propriétés géométriques d'un sous-ensemble de en certaines propriétés algébriques d'une fonction sur

{\style d'affichage K}

{\style d'affichage X,}

{\style d'affichage p_{K}}

{\style d'affichage X.}

{\style d'affichage p}

{\style d'affichage X}

{\style d'affichage K}

{\style d'affichage X}

\{x\in X:p(x)<1\}\subseteq K\subseteq \{x\in X:p(x)\leq 1\}

{\style d'affichage X}

{\style d'affichage X}

{\style d'affichage X.}

Les fonctionnelles de Minkowski ont été appliquées pour décrire le comportement de phase de fluides nanoconfinés.

Définition

Soit un sous - ensemble d' un espace vectoriel réel ou complexe Définir la

jauge de ou la fonctionnelle de Minkowski associée ou induite par comme étant la fonction valorisée dans les nombres réels étendus , définie par

{\style d'affichage K}

{\style d'affichage X.}

{\style d'affichage K}

{\style d'affichage K}

p_{K}:X\to [0,\infty ],

p_{K}(x):=\inf\{r>0:x\in rK\},

où rappelons que l' infimum de l'ensemble vide est (c'est-à-dire ). Ici, est un raccourci pour

{\style d'affichage \,\infty \,}

\inf \varnothing =\infty

\{r>0:x\in rK\}

\{r\in \mathbb {R} :r>0{\text{ et }}x\in rK\}.

Observez que pour tout si et seulement si n'est pas vide. Les opérations arithmétiques sur

peuvent être étendues pour opérer sur où pour tous les produits réels non nuls et restent indéfinis.

{\style d'affichage x\dans X,}

p_{K}(x)\neq \infty

\{r>0:x\in rK\}

\mathbb {R}

\pm \infty ,

{\frac {r}{\pm \infty }} :=0

-\infty <r<\infty .

0\cdot \infty

0\cdot -\infty

Quelques conditions rendant une jauge à valeur réelle

Dans le domaine de l'analyse convexe , la carte prenant la valeur de n'est pas forcément un enjeu. Cependant, en analyse fonctionnelle est presque toujours à valeur réelle (c'est-à-dire ne jamais prendre la valeur de ), ce qui se produit si et seulement si l'ensemble n'est pas vide pour chaque ${\style d'affichage p_{K}}$ ${\style d'affichage \,\infty \,}$ ${\style d'affichage p_{K}}$ ${\style d'affichage \,\infty \,}$ $\{r>0:x\in rK\}$ ${\style d'affichage x\dans X.}$

Pour être valorisée, il suffit que l'origine de appartienne à l'

intérieur ou noyau algébrique de in Si est absorbant dans où rappelons que cela implique qu'alors l'origine appartient à l' intérieur algébrique de in et est donc réelle. estimé. Les caractérisations de quand est à valeur réelle sont données ci-dessous.

{\style d'affichage p_{K}}

{\style d'affichage X}

{\style d'affichage K}

{\style d'affichage X.}

{\style d'affichage K}

{\style d'affichage X,}

0\in K,

{\style d'affichage K}

{\style d'affichage X}

{\style d'affichage p_{K}}

{\style d'affichage p_{K}}

Exemples motivants

Exemple 1

Considérons un espace vectoriel normé avec la norme et soit la boule unité dans Then pour chaque Ainsi la fonctionnelle de Minkowski est juste la norme sur ${\style d'affichage (X,\|\,\cdot \,\|),}$ ${\style d'affichage \|\,\cdot \,\|}$ ${\style d'affichage U}$ ${\style d'affichage X.}$ ${\style d'affichage x\dans X,}$ ${\style d'affichage \|x\|=p_{U}(x).}$ ${\style d'affichage p_{U}}$ ${\style d'affichage X.}$

Exemple 2

Soit un espace vectoriel sans topologie avec champ scalaire sous-jacent Soit n'importe quelle

fonctionnelle linéaire sur (pas nécessairement continue). Fix Soit l'ensemble

{\style d'affichage X}

\mathbb {K} .

f:X\to \mathbb {K}

{\style d'affichage X}

{\style d'affichage a>0.}

{\style d'affichage K}

K:=\{x\in X:|f(x)|\leq a\}

et soit la fonctionnelle de Minkowski de Then

{\style d'affichage p_{K}}

{\style d'affichage K.}

p_{K}(x)={\frac {1}{a}}|f(x)|\quad {\text{ pour tous }}x\in X.

La fonction a les propriétés suivantes :

{\style d'affichage p_{K}}

C'est sous -

additif :

{\style d'affichage p_{K}(x+y)\leq p_{K}(x)+p_{K}(y).}

Il est homogène : pour tous les scalaires

{\style d'affichage p_{K}(sx)=|s|p_{K}(x)}

{\style d'affichage s.}

C'est non négatif :

p_{K}\geq 0.

Par conséquent, est un

seminorme sur avec une topologie induite. Ceci est caractéristique des fonctionnelles de Minkowski définies via des ensembles « sympas ». Il existe une correspondance biunivoque entre les semi-normes et la fonctionnelle de Minkowski donnée par de tels ensembles. Ce que l'on entend précisément par "agréable" est discuté dans la section ci-dessous.

{\style d'affichage p_{K}}

{\style d'affichage X,}

Notez que, contrairement à une exigence plus forte pour une norme, n'implique pas nécessairement dans l'exemple ci - dessus, on peut prendre un non nul à partir du noyau de conséquence, la nécessité de la topologie résultant ne pas être

Hausdorff .

{\style d'affichage p_{K}(x)=0}

{\style d'affichage x=0.}

{\style d'affichage x}

{\style d'affichage f.}

Les conditions communes garantissant que les jauges sont des semi-normes

Pour garantir que l' on supposera désormais que ${\style d'affichage p_{K}(0)=0,}$ ${\style d'affichage 0\dans K.}$

Pour être une semi-norme, il suffit d'être un

disque (c'est-à-dire convexe et équilibré) et absorbant dans lequel sont l'hypothèse la plus commune posée sur

{\style d'affichage p_{K}}

{\style d'affichage K}

{\style d'affichage X,}

{\style d'affichage K.}

Théorème — Si est un disque absorbant dans un espace vectoriel alors la fonctionnelle de Minkowski est l'application définie par ${\style d'affichage K}$ ${\style d'affichage X}$ ${\style d'affichage K,}$ $p_{K}:X\to [0,\infty )$

p_{K}(x):=\inf\{r>0:x\in rK\},

est une semi-norme sur De plus,

{\style d'affichage X.}

p_{K}(x)={\frac {1}{\sup\{r>0:rx\in ​​K\}}}.

Plus généralement, si est convexe et l'origine appartient à l'

intérieur algébrique de alors est une fonctionnelle sublinéaire non négative sur ce qui implique notamment qu'elle est sous - additive et homogène positive . Si est absorbant dans alors est homogène positif, ce qui signifie que pour tout réel où Si est une fonction à valeur réelle non négative sur qui est homogène positive, alors les ensembles et satisfont et si en plus est absolument homogène alors les deux et sont équilibrés .

{\style d'affichage K}

{\style d'affichage K,}

{\style d'affichage p_{K}}

{\style d'affichage X,}

{\style d'affichage K}

{\style d'affichage X}

{\style d'affichage p_{[0,1]K}}

{\style d'affichage p_{[0,1]K}(sx)=sp_{[0,1]K}(x)}

s\geq 0,

[0,1]K=\{tk:t\in [0,1],k\in K\}.

{\style d'affichage q}

{\style d'affichage X}

U:=\{x\in X:q(x)<1\}

D:=\{x\in X:q(x)\leq 1\}

{\style d'affichage [0,1]U=U}

{\style d'affichage [0,1]D=D;}

{\style d'affichage q}

{\style d'affichage U}

{\style d'affichage D}

Jauges de disques absorbants

On peut dire que les exigences les plus courantes imposées à un ensemble pour garantir qu'il s'agit d'une semi-norme sont d' être un

disque absorbant dans En raison de la fréquence de ces hypothèses, les propriétés d'une fonctionnelle de Minkowski lorsqu'il s'agit d'un disque absorbant seront maintenant étudiées. Étant donné que tous les résultats mentionnés ci-dessus ont fait peu (voire aucune) d'hypothèses, ils peuvent être appliqués dans ce cas particulier.

{\style d'affichage K}

{\style d'affichage p_{K}}

{\style d'affichage K}

{\style d'affichage X.}

{\style d'affichage p_{K}}

{\style d'affichage K}

{\style d'affichage K,}

Théorème — Supposons qu'il s'agisse d' un sous-ensemble absorbant de Il est montré que : ${\style d'affichage K}$ ${\style d'affichage X.}$

Si est convexe alors est sous-additif. ${\style d'affichage K}$ ${\style d'affichage p_{K}}$
Si est équilibré alors est absolument homogène ; c'est-à-dire pour tous les scalaires ${\style d'affichage K}$ ${\style d'affichage p_{K}}$ ${\style d'affichage p_{K}(sx)=|s|p_{K}(x)}$ ${\style d'affichage s.}$

Preuve que la Jauge d'un disque absorbant est une semi-norme

Convexité et sous-additivité

Un argument géométrique simple qui montre la convexité d' implique la sous-additivité est le suivant. Supposons pour le moment que Then for all Since soit convexe et soit également convexe. Par conséquent, par définition de la fonctionnelle de Minkowski ${\style d'affichage K}$ ${\style d'affichage p_{K}(x)=p_{K}(y)=r.}$ ${\style d'affichage e>0,}$ $x,y\in K_{e}:=(r,e)K.$ ${\style d'affichage K}$ ${\style d'affichage r+e\neq 0,}$ $K_{e}$ ${\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{2}}y\in K_{e}.$ ${\style d'affichage p_{K},}$

p_{K}\left({\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{2}}y\right)\leq r+e={\frac {1}{2} }p_{K}(x)+{\frac {1}{2}}p_{K}(y)+e.

Mais le côté gauche est tel que ${\frac {1}{2}}p_{K}(x+y),$

{\style d'affichage p_{K}(x+y)\leq p_{K}(x)+p_{K}(y)+2e.}

Comme était arbitraire, il s'ensuit ce qui est l'inégalité désirée. Le cas général est obtenu après la modification évidente. ${\style d'affichage e>0}$ ${\style d'affichage p_{K}(x+y)\leq p_{K}(x)+p_{K}(y),}$ ${\style d'affichage p_{K}(x)>p_{K}(y)}$

La convexité de l' ensemble avec l'hypothèse initiale que l'ensemble est non vide, implique qu'il soit absorbant . ${\style d'affichage K,}$ $\{r>0:x\in rK\}$ ${\style d'affichage K}$

Équilibre et homogénéité absolue

Notez qu'être équilibré implique que ${\style d'affichage K}$

\lambda x\in rK\quad {\mbox{si et seulement si}}\quad x\in {\frac {r}{|\lambda |}}K.

Par conséquent

p_{K}(\lambda x)=\inf \left\{r>0:\lambda x\in rK\right\}=\inf \left\{r>0:x\in {\frac {r}{|\lambda |}}K\right\}=\inf \left\{|\lambda |{\frac {r}{|\lambda |}}>0:x\in {\frac {r }{|\lambda |}}K\right\}=|\lambda |p_{K}(x).

Propriétés algébriques

Soit un espace vectoriel réel ou complexe et soit un disque absorbant dans ${\style d'affichage X}$ ${\style d'affichage K}$ ${\style d'affichage X.}$

${\style d'affichage p_{K}}$ est une semi -

norme sur

{\style d'affichage X.}

{\style d'affichage p_{K}}

est une norme sur si et seulement si ne contient pas de sous-espace vectoriel non trivial.

{\style d'affichage X}

{\style d'affichage K}

p_{sK}={\frac {1}{|s|}}p_{K}

pour tout scalaire

{\style d'affichage s\neq 0.}

Si est un disque absorbant et alors

{\style d'affichage J}

{\style d'affichage X}

J\subseteq K

p_{K}\leq p_{J}.

Si est un ensemble satisfaisant alors est

absorbant dans et où est la fonctionnelle de Minkowski qui lui est associée , c'est la jauge de

{\style d'affichage K}

\{x\in X:p(x)<1\}\;\subseteq \;K\;\subseteq \;\{x\in X:p(x)\leq 1\}

{\style d'affichage K}

{\style d'affichage X}

{\style d'affichage p=p_{K},}

{\style d'affichage p_{K}}

{\style d'affichage K;}

{\style d'affichage K.}

En particulier, si est comme ci-dessus et est une semi-norme sur alors si et seulement si ${\style d'affichage K}$ ${\style d'affichage q}$ ${\style d'affichage X,}$ ${\style d'affichage q=p}$ $\{x\in X:q(x)<1\}\;\subseteq \;K\;\subseteq \;\{x\in X:q(x)\leq 1\}.$

Si satisfait alors

{\style d'affichage x\dans X}

{\style d'affichage p_{K}(x)<1}

{\style d'affichage x\dans K.}

Propriétés topologiques

Supposons que soit un

espace vectoriel topologique (TVS) (réel ou complexe) (pas nécessairement Hausdorff ou localement convexe ) et soit un disque absorbant dans Then

{\style d'affichage X}

{\style d'affichage K}

{\style d'affichage X.}

\operatorname {Int} _{X}K\;\subseteq \;\{x\in X:p_{K}(x)<1\}\;\subseteq \;K\;\subseteq \; \{x\in X:p_{K}(x)\leq 1\}\;\subseteq \;\operatorname {Cl} _{X}K,

où est l' intérieur topologique et est la fermeture topologique de dans Il est important de noter qu'il n'a pas été supposé qu'il était continu ni qu'il avait des propriétés topologiques.

\operatorname {Int} _{X}K

\operatorname {Cl} _{X}K

{\style d'affichage K}

{\style d'affichage X.}

{\style d'affichage p_{K}}

{\style d'affichage K}

De plus, la fonctionnelle de Minkowski est continue si et seulement si est un voisinage de l'origine dans Si est continue alors ${\style d'affichage p_{K}}$ ${\style d'affichage K}$ ${\style d'affichage X.}$ ${\style d'affichage p_{K}}$

\operatorname {Int} _{X}K=\{x\in X:p_{K}(x)<1\}\quad {\text{ et }}\quad \operatorname {Cl} _{ X}K=\{x\in X:p_{K}(x)\leq 1\}.

Propriétés (exigences minimales sur l'ensemble)

Cette section étudiera le cas le plus général de la jauge de tout sous - ensemble de Le cas particulier le plus courant où est supposé être un

disque absorbant dans a été discuté ci-dessus. Cependant, tous les résultats de cette section peuvent être appliqués au cas où est un disque absorbant.

{\style d'affichage K}

{\style d'affichage X.}

{\style d'affichage K}

{\style d'affichage X}

{\style d'affichage K}

Tout au long, est-ce qu'un sous-ensemble de ${\style d'affichage K}$ ${\style d'affichage X.}$

Résumé — Supposons qu'il s'agisse d' un sous-ensemble d'un espace vectoriel réel ou complexe ${\style d'affichage K}$ ${\style d'affichage X.}$

Stricte homogénéité positive :pour toutet toutréel positif ${\style d'affichage p_{K}(rx)=rp_{K}(x)}$ ${\style d'affichage p_{K}(rx)=rp_{K}(x)}$ ${\style d'affichage x\dans X}$ $x\dans X$ ${\style d'affichage r>0.}$ ${\style d'affichage r>0.}$
- Homogénéité positive/ non négative:est homogène non négative si et seulement siest à valeur réelle. ${\style d'affichage p_{K}}$ ${\style d'affichage p_{K}}$
Valeurs réelles : est l'ensemble de tous les points sur lesquels est valorisée une valeur réelle. Donc est à valeur réelle si et seulement si auquel cas ${\style d'affichage (0,\infty )K}$ ${\style d'affichage (0,\infty )K}$ ${\style d'affichage p_{K}}$ ${\style d'affichage p_{K}}$ ${\style d'affichage p_{K}}$ ${\style d'affichage p_{K}}$ $(0,\infty )K=X,$ $(0,\infty )K=X,$ ${\style d'affichage 0\dans K.}$ ${\style d'affichage 0\dans K.}$
- Valeur à ${\style d'affichage 0}$ : si et seulement si si et seulement si $p_{K}(0)\neq \infty$ ${\style d'affichage 0\en K}$ ${\style d'affichage p_{K}(0)=0.}$
- Espace nul : Sialorssi et seulement sisi et seulement s'il existe une suite divergente de nombres réels positifstelle quepour toutDe plus, ${\style d'affichage x\dans X}$ ${\style d'affichage p_{K}(x)=0}$ $(0,\infty )x\subseteq (0,1)K$ $\left(t_{n}\right)_{n=1}^{\infty }\to \infty$ ${\style d'affichage t_{n}x\in K}$ ${\style d'affichage n.}$ $\ker p_{K}:=\left\{y\in X:p_{K}(y)=0\right\}=\bigcap _{e>0}(0,e)K.$
Comparaison à une constante : Si alors pour tout cela peut être reformulé comme : Si alors $0\leq r\leq \infty$ $0\leq r\leq \infty$ ${\style d'affichage x\dans X,}$ ${\style d'affichage x\dans X,}$ $p_{K}(x)<r{\text{ si et seulement si }}x\in (0,r)K;$ $p_{K}(x)<r{\text{ si et seulement si }}x\in (0,r)K;$ $0\leq r\leq \infty$ $0\leq r\leq \infty$ $p_{K}^{-1}([0,r))=(0,r)K.$ $p_{K}^{-1}([0,r))=(0,r)K.$
- Ainsi si alors où l'ensemble du membre de droite désigne et non son sous-ensemble Si alors ces ensembles sont égaux si et seulement si contient $0\leq R<\infty$ $p_{K}^{-1}([0,R])=\bigcap _{e>0}(0,R+e)K,$ $\bigcap _{e>0}[(0,R+e)K]$ $\left[\bigcap _{e>0}(0,R+e)\right]K=(0,R]K.$ ${\style d'affichage R>0}$ ${\style d'affichage K}$ $\left\{y\in X:p_{K}(y)=1\right\}.$
- En particulier, si alors mais surtout, l'inverse n'est pas nécessairement vrai. $x\in RK{\text{ ou }}x\in (0,R]K$ $p_{K}(x)\leq R,$
Comparaison de jauge : Pour tout sous-ensemble donc si et seulement si $L\subseteq X,$ $L\subseteq X,$ $p_{K}\leq p_{L}{\text{ si et seulement si }}(0,1)L\subseteq (0,1)K;$ $p_{K}\leq p_{L}{\text{ si et seulement si }}(0,1)L\subseteq (0,1)K;$ ${\style d'affichage p_{L}=p_{K}}$ ${\style d'affichage p_{L}=p_{K}}$ ${\style d'affichage (0,1)L=(0,1)K.}$ ${\style d'affichage (0,1)L=(0,1)K.}$
- L'ensemble satisfait donc le remplacement par ne changera pas la fonctionnelle de Minkowski résultante. Il en est de même de et de ${\style d'affichage L:=(0,1)K}$ ${\style d'affichage (0,1)L=(0,1)K,}$ ${\style d'affichage K}$ $p_{K}^{-1}([0,1))=(0,1)K$ ${\style d'affichage L:=(0,1]K}$ $L:=p_{K}^{-1}([0,1]).$
- Si alors et a la propriété particulièrement agréable que si est réel alors si et seulement si ou De plus, si est réel alors si et seulement si $D:=\left\{y\in X:p_{K}(y)=1{\text{ ou }}p_{K}(y)=0\right\}$ ${\style d'affichage p_{D}=p_{K}}$ ${\style d'affichage D}$ ${\style d'affichage r>0}$ $x\in rD$ ${\style d'affichage p_{D}(x)=r}$ ${\style d'affichage p_{D}(x)=0.}$ ${\style d'affichage r>0}$ ${\style d'affichage p_{D}(x)\leq r}$ $x\in (0,r]D.$
Subadditive / inégalité Triangle :est subadditive si et seulement siest convexe. Siest convexe alors les deux le sont aussietet de plus,est sous-additif. ${\style d'affichage p_{K}}$ ${\style d'affichage (0,1)K}$ ${\style d'affichage K}$ ${\style d'affichage (0,1)K}$ ${\style d'affichage (0,1]K}$ ${\style d'affichage p_{K}}$
Mise à l'échelle de l'ensemble : Si est un scalaire alors pour tout Donc si est réel alors ${\style d'affichage s\neq 0}$ $p_{sK}(y)=p_{K}\left({\frac {1}{s}}y\right)$ $y\in X.$ ${\style d'affichage 0<r<\infty }$ $p_{rK}(y)=p_{K}\left({\frac {1}{r}}y\right)={\frac {1}{r}}p_{K}(y) .$
Homogénéité absolue :pour touset tousscalaires de longueur unitairesi et seulement sipour tousscalaires de longueur unitaireauquel caspour tous ceuxetpour touteset tous non nuls scalairesSi en plusest également à valeur réelle alors cela vaut pour tous
les scalaires (qui est,est absolument homogène). ${\style d'affichage p_{K}(ux)=p_{K}(x)}$ ${\style d'affichage p_{K}(ux)=p_{K}(x)}$ ${\style d'affichage x\dans X}$ $x\dans X$ $u$ $vous$ $(0,1)uK\subseteq (0,1)K$ $(0,1)uK\subseteq (0,1)K$ $u,$ $toi,$ ${\style d'affichage (0,1)uK=(0,1)K}$ ${\style d'affichage (0,1)uK=(0,1)K}$ $u$ $vous$ ${\style d'affichage p_{K}(sx)=|s|p_{K}(x)}$ ${\style d'affichage p_{K}(sx)=|s|p_{K}(x)}$ ${\style d'affichage x\dans X}$ $x\dans X$ ${\style d'affichage s\neq 0.}$ ${\style d'affichage s\neq 0.}$ ${\style d'affichage p_{K}}$ ${\style d'affichage p_{K}}$ ${\style d'affichage p_{K}}$ ${\style d'affichage p_{K}}$
- $sK\subseteq K$ pour tous les scalaires d'unités si et seulement si pour tous les scalaires d'unités si c'est le cas alors pour tous les scalaires d'unités ${\style d'affichage s}$ ${\style d'affichage sK=K}$ ${\style d'affichage s;}$ ${\style d'affichage (0,1)K=(0,1)sK}$ ${\style d'affichage s.}$
- ${\style d'affichage p_{K}}$ est symétrique (c'est-à-dire pour tout ) si et seulement si ce qui arrive si et seulement si ${\style d'affichage p_{K}(-y)=p_{K}(y)}$ $y\in X$ ${\style d'affichage p_{K}=p_{-K},}$ ${\style d'affichage (0,1)K=-(0,1)K.}$
Absorbant : Siest convexe ou
équilibré et sialorsest absorbant en ${\style d'affichage K}$ $K$ ${\style d'affichage (0,\infty )K=X}$ ${\style d'affichage (0,\infty )K=X}$ ${\style d'affichage K}$ $K$ ${\style d'affichage X.}$ $X.$
- Si un ensemble absorbe dans et puis absorbe dans ${\style d'affichage A}$ ${\style d'affichage X}$ $A\subseteq K$ ${\style d'affichage K}$ ${\style d'affichage X.}$
- Si est convexe et alors dans quel cas ${\style d'affichage K}$ ${\style d'affichage 0\en K}$ ${\style d'affichage [0,1]K=K,}$ $(0,1)K\subseteq K.$
Restriction à un sous-espace vectoriel : Si est un sous-espace vectoriel de et si désigne la fonctionnelle de Minkowski de sur alors où désigne la restriction de à ${\style d'affichage S}$ ${\style d'affichage X}$ $p_{K\cap S}:S\to [0,\infty ]$ $K\cap S$ ${\style d'affichage S,}$ $p_{K}{\grand \vert }_{S}=p_{K\cap S},$ $p_{K}{\grand \vert }_{S}$ ${\style d'affichage p_{K}}$ ${\style d'affichage S.}$

Preuve

Les preuves de ces propriétés de base sont des exercices simples, de sorte que seules les preuves des déclarations les plus importantes sont données.

La preuve qu'un sous - ensemble convexe qui satisfait est nécessairement absorbant en est simple et peut être trouvée dans l'article sur les ensembles absorbants . ${\style d'affichage A\subseteq X}$ ${\style d'affichage (0,\infty )A=X}$ ${\style d'affichage X}$

Pour tout vrai ${\style d'affichage t>0,}$

\{r>0:tx\in rK\}=\left\{t(r/t):x\in (r/t)K\right\}=t\{s>0:x\ en SK\}

de sorte que prendre l'infimum des deux côtés montre que

p_{K}(tx)=\inf\{r>0:tx\in rK\}=t\inf\{s>0:x\in sK\}=tp_{K}(x).

Ceci prouve que les fonctionnelles de Minkowski sont strictement homogènes positives. Pour être bien défini, il faut et il suffit qu'ainsi pour tout et tout réel non négatif si et seulement si soit valorisé en réel.

0\cdot p_{K}(x)

p_{K}(x)\neq \infty ;

{\style d'affichage p_{K}(tx)=tp_{K}(x)}

{\style d'affichage x\dans X}

{\style d'affichage t\geq 0}

{\style d'affichage p_{K}}

L'hypothèse de l'énoncé (6) nous permet de conclure que pour tous et tous les scalaires satisfaisant Tout scalaire est de la forme pour un réel où et est réel si et seulement si est réel. Les résultats de l'énoncé sur l'homogénéité absolue découlent immédiatement de la conclusion susmentionnée, de la stricte homogénéité positive de et de l'homogénéité positive de quand est à valeur réelle. ${\style d'affichage p_{K}(sx)=p_{K}(x)}$ ${\style d'affichage x\dans X}$ ${\style d'affichage s}$ ${\style d'affichage |s|=1.}$ ${\style d'affichage s}$ $re^{it}$ ${\style d'affichage t}$ $r:=|s|\geq 0$ $e^{it}$ ${\style d'affichage s}$ ${\style d'affichage p_{K},}$ ${\style d'affichage p_{K}}$ ${\style d'affichage p_{K}}$ $\blacksquare$

Exemples

Si est une collection non vide de sous-ensembles de then pour tout où ${\mathcal {L}}$ ${\mathcal {L}}$ ${\style d'affichage X}$ $X$ $p_{\cup {\mathcal {L}}}(x)=\inf \left\{p_{L}(x):L\in {\mathcal {L}}\right\}$ $p_{\cup {\mathcal {L}}}(x)=\inf \left\{p_{L}(x):L\in {\mathcal {L}}\right\}$ ${\style d'affichage x\dans X,}$ ${\style d'affichage x\dans X,}$ $\cup {\mathcal {L}}:=\bigcup _{L\in {\mathcal {L}}}L.$ $\cup {\mathcal {L}}:=\bigcup _{L\in {\mathcal {L}}}L.$
- Ainsi pour tous $p_{K\cup L}(x)=\min \left\{p_{K}(x),p_{L}(x)\right\}$ ${\style d'affichage x\dans X.}$
Si est une collection non vide de sous-ensembles de et satisfait ${\mathcal {L}}$ ${\style d'affichage X}$ $I\subseteq X$ $\left\{x\in X:p_{L}(x)<1{\text{ for all }}L\in {\mathcal {L}}\right\}\quad \subseteq \quad I \quad \subseteq \quad \left\{x\in X:p_{L}(x)\leq 1{\text{ for all }}L\in {\mathcal {L}}\right\}$ alors pour tous $p_{I}(x)=\sup \left\{p_{L}(x):L\in {\mathcal {L}}\right\}$ ${\style d'affichage x\dans X.}$

Les exemples suivants montrent que le confinement pourrait être approprié. $(0,R]K\subseteq \bigcap _{e>0}(0,R+e)K$

Exemple : Si et puis mais qui montre qu'il est possible d'être un sous-ensemble approprié de quand ${\style d'affichage R=0}$ ${\style d'affichage K=X}$ $(0,R]K=(0,0]X=\varnothing$ $\bigcap _{e>0}(0,e)K=\bigcap _{e>0}X=X,$ ${\style d'affichage (0,R]K}$ $\bigcap _{e>0}(0,R+e)K$ ${\style d'affichage R=0.}$ $\blacksquare$

L'exemple suivant montre que le confinement peut être approprié lorsque l'exemple qui peut être généralisé à tout réel En supposant que l'exemple suivant est représentatif de la façon dont cela se produit qui satisfait mais ${\style d'affichage R=1;}$ ${\style d'affichage R>0.}$ $[0,1]K\subseteq K,$ ${\style d'affichage x\dans X}$ ${\style d'affichage p_{K}(x)=1}$ $x\not \in (0,1]K.$

Exemple : Soit non nul et soit d' où et De il s'ensuit que Cela découle de l'observation de cela pour tout qui contient Ainsi et Cependant, de sorte que comme souhaité. ${\style d'affichage x\dans X}$ ${\style d'affichage K:=[0,1)x}$ ${\style d'affichage [0,1]K=K}$ $x\pas \in K.$ $x\not \in (0,1)K=K$ $p_{K}(x)\geq 1.$ ${\style d'affichage p_{K}(x)\leq 1}$ ${\style d'affichage e>0,}$ ${\style d'affichage (0,1+e)K=[0,1+e)([0,1)x)=[0,1+e)x,}$ ${\style d'affichage x.}$ ${\style d'affichage p_{K}(x)=1}$ $x\in \bigcap _{e>0}(0,1+e)K.$ ${\style d'affichage (0,1]K=(0,1]([0,1)x)=[0,1)x=K}$ $x\not \in (0,1]K,$ $\blacksquare$

Caractériser les fonctionnelles de Minkowski qui sont des semi-normes

Dans ce théorème suivant, qui découle immédiatement du corollaire ci-dessus, on

ne suppose pas qu'il absorbe en et à la place, on en déduit qu'il absorbe quand est une semi-norme. Il n'est pas non plus supposé qu'il soit équilibré (ce qui est une propriété qu'il est souvent nécessaire d'avoir) ; à sa place se trouve la condition plus faible que pour tous les scalaires satisfaisant L'exigence commune d' être convexe est également affaiblie pour n'exiger que d' être convexe.

{\style d'affichage K}

{\style d'affichage X}

{\style d'affichage (0,1)K}

{\style d'affichage p_{K}}

{\style d'affichage K}

{\style d'affichage K}

(0,1)sK\subseteq (0,1)K

{\style d'affichage s}

{\style d'affichage |s|=1.}

{\style d'affichage K}

{\style d'affichage (0,1)K}

Théorème — Soit un sous-ensemble d'un espace vectoriel réel ou complexe Alors est une semi - norme sur si et seulement si toutes les conditions suivantes sont vérifiées : ${\style d'affichage K}$ ${\style d'affichage X.}$ ${\style d'affichage p_{K}}$ ${\style d'affichage X}$

${\style d'affichage (0,\infty )K=X}$ (ou de manière équivalente, est à valeur réelle) ; ${\style d'affichage p_{K}}$
${\style d'affichage (0,1)K}$ ${\style d'affichage (0,1)K}$ est convexe ;
- Il suffit (mais n'est pas nécessaire) d'être convexe. ${\style d'affichage K}$
$(0,1)uK\subseteq (0,1)K$ $(0,1)uK\subseteq (0,1)K$ pour tous les scalaires unitaires $u.$ $vous.$
- Cette condition est satisfaite si est équilibré ou plus généralement si pour tous les scalaires unitaires ${\style d'affichage K}$ $uK\subseteq K$ $u.$

auquel cas et les deux et seront des sous-ensembles convexes, équilibrés et absorbants de ${\style d'affichage 0\en K}$ ${\style d'affichage (0,1)K=\{x\in X:p(x)<1\}}$ $\bigcap _{e>0}(0,1+e)K=\left\{x\in X:p_{K}(x)\leq 1\right\}$ ${\style d'affichage X.}$

Inversement, si est une semi-norme sur alors l'ensemble satisfait les trois conditions ci-dessus (et donc aussi les conclusions) et aussi de plus, est nécessairement convexe, équilibré, absorbant et satisfait ${\style d'affichage f}$ ${\style d'affichage X}$ $V:=\{x\in X:f(x)<1\}$ ${\style d'affichage f=p_{V};}$ ${\style d'affichage V}$ ${\style d'affichage (0,1)V=V=[0,1]V.}$

Corollaire — Si est un sous-ensemble convexe, équilibré et absorbant d'un espace vectoriel réel ou complexe, alors est une semi - norme sur ${\style d'affichage K}$ ${\style d'affichage X,}$ ${\style d'affichage p_{K}}$ ${\style d'affichage X.}$

Fonctions sublinéaires positives et fonctionnelles de Minkowski

On peut montrer qu'une fonction sous -

additive à valeur réelle sur une TVS arbitraire est continue à l'origine si et seulement si elle est uniformément continue, où si en plus est non négative, alors est continue si et seulement si est un voisinage ouvert dans Si est subadditive et satisfait alors est continue si et seulement si sa valeur absolue est continue.

f:X\to \mathbb {R}

{\style d'affichage X}

{\style d'affichage f}

{\style d'affichage f}

V:=\{x\in X:f(x)<1\}

{\style d'affichage X.}

f:X\to \mathbb {R}

{\style d'affichage f(0)=0,}

{\style d'affichage f}

|f|:X\to [0,\infty )

Une fonction sublinéaire positive est une fonction homogène réelle qui satisfait l'inégalité triangulaire. Il résulte immédiatement des résultats ci-dessous que pour une telle fonction si alors $f:X\to [0,\infty )$ ${\style d'affichage f,}$ $V:=\{x\in X:f(x)<1\}$ $f=p_{Y}.$

Correspondance entre les ensembles convexes ouverts et les fonctions sublinéaires continues positives

Théorème — Supposons que ce soit un TVS (pas nécessairement localement convexe ou Hausdorff) sur les nombres réels ou complexes. Alors les sous-ensembles convexes ouverts de sont exactement ceux qui sont de la forme pour certaines et certaines fonctions sous- linéaires continues positives sur ${\style d'affichage X}$ ${\style d'affichage X}$ $z+\{x\in X:p(x)<1\}=\{x\in X:p(xz)<1\}$ $z\in X$ ${\style d'affichage p}$ ${\style d'affichage X.}$

Preuve

Laisser être un sous-ensemble ouvert convexe de Si alors laissez et sinon laissez être arbitraire. Soit la fonctionnelle de Minkowski de où est une fonction sublinéaire continue sur puisque est convexe, absorbante et ouverte ( ce n'est cependant pas nécessairement une semi-norme car elle n'est pas nécessairement absolument homogène). D'après les propriétés des fonctionnelles de Minkowski, il s'ensuit que pour que Mais ${\style d'affichage V}$ ${\style d'affichage X.}$ ${\style d'affichage 0\dans V}$ ${\style d'affichage z:=0}$ $z\in V$ $p:X\to [0,\infty )$ ${\style d'affichage Vz}$ ${\style d'affichage p}$ ${\style d'affichage X}$ ${\style d'affichage Vz}$ ${\style d'affichage p}$ $Vz=\{x\in X:p(x)<1\}$ $V=z+\{x\in X:p(x)<1\}.$

z+\{x\in X:p(x)<1\}=\{z+x:x\in X,p(x)<1\}=\{z+x:x\in X ,p((z+x)-z)<1\}=\{x\in X:p(xz)<1\},

comme voulu.

\blacksquare

Une homogénéité positive caractérise les fonctionnelles de Minkowski

Le théorème suivant montre que les fonctionnelles de Minkowski sont exactement ces fonctions qui ont une certaine propriété purement algébrique qui est largement utilisée. Ce théorème peut être étendu pour caractériser certaines classes de cartes à valeurs (par exemple, les

fonctions sublinéaires à valeurs réelles ) en termes de fonctionnelles de Minkowski. Par exemple, il peut être utilisé pour décrire comment chaque fonction homogène réelle (telle que les fonctionnelles linéaires) peut être écrite en termes d'une fonctionnelle de Minkowski unique ayant une certaine propriété.

f:X\to [0,\infty ]

{\style d'affichage [-\infty ,\infty ]}

f:X\to \mathbb {R}

Théorème — Soit n'importe quelle fonction. Les éléments suivants sont équivalents : $f:X\to [0,\infty ]$

Stricte homogénéité positive :pour toutet toutréel positif ${\style d'affichage f(tx)=tf(x)}$ ${\style d'affichage x\dans X}$ ${\style d'affichage t>0.}$
${\style d'affichage f}$ est une fonctionnelle de Minkowski (c'est-à-dire qu'il existe un sous - ensemble de tel que ). ${\style d'affichage K}$ ${\style d'affichage X}$ ${\style d'affichage f=p_{K}}$
${\style d'affichage f=p_{K}}$ où $K:=\{x\in X:f(x)\leq 1\}.$
${\style d'affichage f=p_{L}}$ où $L:=\{x\in X:f(x)<1\}.$

De plus, si jamais prend la valeur (pour que le produit soit toujours bien défini) alors cette liste peut être étendue pour inclure : ${\style d'affichage f}$ ${\style d'affichage \,\infty \,}$ ${\style d'affichage 0\cdot f(x)}$

Homogénéité positive / Homogénéité non négative :pour toutet toutréel non négatif ${\style d'affichage f(tx)=tf(x)}$ ${\style d'affichage x\dans X}$ ${\style d'affichage t\geq 0.}$

Preuve

Seul (1) implique (3) sera prouvé car par la suite, le reste du théorème découle immédiatement des propriétés de base des fonctionnelles de Minkowski décrites précédemment ; propriétés qui seront désormais utilisées sans commentaire. Supposons donc que ce soit une fonction telle que pour tout et tout réel et laissez $f:X\to [0,\infty ]$ ${\style d'affichage f(tx)=tf(x)}$ ${\style d'affichage x\dans X}$ ${\style d'affichage t>0}$ $K:=\{y\in X:f(y)\leq 1\}.$

Pour tous les biens si en prenant par exemple, il en résulte que soit Let Reste à montrer que ${\style d'affichage t>0,}$ ${\style d'affichage f(0)=f(t0)=tf(0)}$ ${\style d'affichage t=2}$ $f(0)=0{\text{ ou }}f(0)=\infty .$ ${\style d'affichage x\dans X.}$ ${\style d'affichage f(x)=p_{K}(x).}$

On va maintenant montrer que si ou alors pour qu'en particulier, il s'ensuivra que Donc supposons que ou dans les deux cas pour tout réel Maintenant si alors cela implique que cela pour tout réel (depuis ), ce qui implique que comme souhaité. De même, si alors pour tout réel ce qui implique que comme souhaité. Ainsi, on supposera désormais qu'il s'agit d' un nombre réel positif et que (important, cependant, la possibilité qui est ou n'a pas encore été écartée). ${\style d'affichage f(x)=0}$ ${\style d'affichage f(x)=\infty }$ ${\style d'affichage f(x)=p_{K}(x),}$ ${\style d'affichage f(0)=p_{K}(0).}$ ${\style d'affichage f(x)=0}$ $f(x)=\infty ;$ ${\style d'affichage f(tx)=tf(x)=f(x)}$ ${\style d'affichage t>0.}$ ${\style d'affichage f(x)=0}$ $tx\in K$ ${\style d'affichage t>0}$ ${\style d'affichage f(tx)=0\leq 1}$ ${\style d'affichage p_{K}(x)=0,}$ ${\style d'affichage f(x)=\infty }$ $tx\pas \in K$ ${\style d'affichage t>0,}$ $p_{K}(x)=\infty ,$ ${\style d'affichage R:=f(x)}$ ${\style d'affichage x\neq 0}$ ${\style d'affichage p_{K}(x)}$ ${\style d'affichage 0}$ ${\style d'affichage \,\infty \,}$

Rappelons que de même que la fonction satisfait pour tout Since réel si et seulement si oui supposons sans perte de généralité cela et il reste à montrer que Since qui implique cela (donc en particulier, est garanti). Il reste à montrer que ce rappel se produit si et seulement si Donc supposons pour des raisons de contradiction que et soit et soit tel que où noter que cela implique que Alors ${\style d'affichage f,}$ ${\style d'affichage p_{K}}$ ${\style d'affichage p_{K}(tx)=tp_{K}(x)}$ ${\style d'affichage t>0.}$ $0<{\frac {1}{R}}<\infty ,$ ${\style d'affichage p_{K}(x)=R=f(x)}$ $p_{K}\left({\frac {1}{R}}x\right)=1=f\left({\frac {1}{R}}x\right)$ ${\style d'affichage R=1}$ $p_{K}\left({\frac {1}{R}}x\right)=1.$ ${\style d'affichage f(x)=1,}$ $x\in K\subseteq (0,1]K,$ ${\style d'affichage p_{K}(x)\leq 1}$ $p_{K}(x)\neq \infty$ $p_{K}(x)\geq 1,$ $x\pas \in (0,1)K.$ ${\style d'affichage x\in (0,1)K}$ ${\style d'affichage 0<r<1}$ $k\in K$ ${\style d'affichage x=rk,}$ $k\in K$ ${\style d'affichage f(k)\leq 1.}$ $1=f(x)=f(rk)=rf(k)\leq r<1.$ $\blacksquare$

Voir également

Norme asymétrique – Généralisation du concept de norme
Collecteur Finsler
Le théorème de Hadwiger
Hugo Hadwiger – mathématicien suisse
Espace vectoriel topologique localement convexe - Un espace vectoriel avec une topologie définie par des ensembles ouverts convexes
Traitement d'images morphologiques
Norme (mathématiques) – Longueur dans un espace vectoriel
Semi-norme
Espace vectoriel topologique –

Espace vectoriel avec une notion de proximité

Remarques

Les références

Berberian, Sterling K. (1974). Cours d'Analyse Fonctionnelle et Théorie des Opérateurs . Textes d'études supérieures en mathématiques. 15 . New York : Springer. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC 878109401 .
Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Sur certains espaces vectoriels topologiques [ Espaces vectoriels topologiques : chapitres 1 à 5 ]. Annales de l'Institut Fourier . Éléments de mathématique . 2 . Traduit par Eggleston, HG; Madan, S. Berlin New York : Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC 17499190 .
Conway, John (1990). Un cours d'analyse fonctionnelle . Textes d'études supérieures en mathématiques . 96 (2e éd.). New York : Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908 .
Diestel, Joe (2008). La théorie métrique des produits tensoriels : le résumé de Grothendieck revisité . 16 . Providence, RI : Société mathématique américaine . ISBN 9781470424831. OCLC 185095773 .
Dineen, Seán (1981). Analyse complexe dans des espaces localement convexes . Études de mathématiques en Hollande du Nord. 57 . Amsterdam New York New York : Pub de Hollande du Nord. Co., Elsevier Science Pub. Cie ISBN 978-0-08-087168-4. OCLC 16549589 .
Dunford, Nelson ; Schwartz, Jacob T. (1988). Opérateurs linéaires . Mathématiques pures et appliquées . 1 . New York : Wiley-Interscience . ISBN 978-0-471-60848-6. OCLC 18412261 .
Edwards, Robert E. (1995). Analyse fonctionnelle : théorie et applications . New York : Publications de Douvres. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138 .
Grothendieck, Alexandre (1973). Espaces vectoriels topologiques . Traduit par Chaljub, Orlando. New York : Gordon et Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098 .
Hogbe-Nlend, Henri (1977). Bornologies et Analyse Fonctionnelle : Cours d'Introduction à la Théorie de la Topologie de la Dualité-Bornologie et son utilisation en Analyse Fonctionnelle . Études de mathématiques en Hollande du Nord. 26 . Amsterdam New York New York : Hollande du Nord. ISBN 978-0-08-087137-0. OCLC 316549583 .
Hogbe-Nlend, Henri ; Moscatelli, VB (1981). Espaces Nucléaires et Conucléaires : Cours d'Introduction aux Espaces Nucléaires et Conucléaires à la Lumière de la Dualité "topologie-bornologie" . Études de mathématiques en Hollande du Nord. 52 . Amsterdam New York New York : Hollande du Nord. ISBN 978-0-08-087163-9. OCLC 316564345 .
Husain, Taqdir ; Khaleelulla, SM (1978). Barrellité dans les espaces vectoriels topologiques et ordonnés . Notes de cours en mathématiques . 692 . Berlin, New York, Heidelberg : Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-09096-0. OCLC 4493665 .
Jarchow, Hans (1981). Espaces localement convexes . Stuttgart : BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342 .
Keller, Hans (1974). Calcul différentiel dans les espaces localement convexes . Notes de cours en mathématiques . 417 . Berlin New York : Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-06962-1. OCLC 1103033 .
Khaleelulla, SM (1982). Contre-exemples dans les espaces vectoriels topologiques . Notes de cours en mathématiques . 936 . Berlin, Heidelberg, New York : Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370 .
Jarchow, Hans (1981). Espaces localement convexes . Stuttgart : BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342 .
Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Espaces vectoriels topologiques I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 159 . Traduit par Garling, DJH New York : Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR 0248498 . OCLC 840293704 .
Köthe, Gottfried (1979). Espaces vectoriels topologiques II . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 237 . New York : Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90400-9. OCLC 180577972 .
Narici, Laurent ; Beckenstein, Edouard (2011). Espaces vectoriels topologiques . Mathématiques pures et appliquées (deuxième éd.). Boca Raton, Floride : CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
Pietsch, Albrecht (1979). Espaces localement convexes nucléaires . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 66 (deuxième éd.). Berlin, New York : Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-05644-9. OCLC 539541 .
Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Espaces vectoriels topologiques . Cambridge Tracts en mathématiques . 53 . Cambridge Angleterre : Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250 .
Rudin, Walter (1991). Analyse fonctionnelle . Série Internationale de Mathématiques Pures et Appliquées. 8 (Deuxième éd.). New York, NY : McGraw-Hill Science/Ingénierie/Maths . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .
Thompson, Anthony C. (1996). Géométrie Minkowski . Encyclopédie des mathématiques et de ses applications. Presse de l'Université de Cambridge . ISBN 0-521-40472-X.
Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espaces vectoriels topologiques . GTM . 8 (Deuxième éd.). New York, NY : Springer New York Mentions légales Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
Schechter, Éric (1996). Manuel d'analyse et ses fondements . San Diego, Californie : Presse académique. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365 .
Schaefer, HH (1999). Espaces vectoriels topologiques . New York, NY : Springer New York Mentions légales Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
Swartz, Charles (1992). Introduction à l'analyse fonctionnelle . New York : M. Dekker. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067 .
Trèves, François (2006) [1967]. Espaces vectoriels topologiques, distributions et noyaux . Mineola, NY : Publications de Douvres. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
Wilansky, Albert (2013). Méthodes modernes dans les espaces vectoriels topologiques . Mineola, New York : Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .
Wong, Yau Chuen (1979). Espaces de Schwartz, espaces nucléaires et produits tensoriels . Notes de cours en mathématiques . 726 . Berlin New York : Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-09513-2. OCLC 5126158 .

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Contenu

Définition

Exemples motivants

Les conditions communes garantissant que les jauges sont des semi-normes

Jauges de disques absorbants

Propriétés algébriques

Propriétés topologiques

Propriétés (exigences minimales sur l'ensemble)

Exemples

Caractériser les fonctionnelles de Minkowski qui sont des semi-normes

Fonctions sublinéaires positives et fonctionnelles de Minkowski

Une homogénéité positive caractérise les fonctionnelles de Minkowski

Voir également

Remarques

Les références