Fonction sublinéaire - Sublinear function

En algèbre linéaire , une fonction sublinéaire (ou fonctionnelle comme on l'utilise plus souvent en analyse fonctionnelle ), également appelée quasi-seminorme ou fonctionnelle de Banach , sur un espace vectoriel est une fonction à valeur réelle avec seulement certaines des propriétés d'une seminorme . Contrairement aux semi-normes, une fonction sublinéaire n'a pas besoin d'être à valeur non négative et n'a pas non plus besoin d'être absolument homogène . Les semi-normes sont elles-mêmes des abstractions de la notion plus connue de normes , où une semi-norme a toutes les propriétés de définition d'une norme, sauf qu'il n'est pas nécessaire de mapper des vecteurs non nuls à des valeurs non nulles. ${\style d'affichage X}$

En analyse fonctionnelle, le nom fonctionnel de Banach est parfois utilisé, reflétant qu'ils sont le plus souvent utilisés lors de l'application d'une formulation générale du théorème de Hahn-Banach . La notion de fonction sublinéaire a été introduite par Stefan Banach lorsqu'il a prouvé sa version du théorème de Hahn-Banach .

Il existe également une notion différente en informatique , décrite ci-dessous, qui porte également le nom de "fonction sublinéaire".

Définitions

Laissez un espace vectoriel sur un champ où est soit les nombres réels ou des nombres complexes Une fonction à valeur réelle sur est appelée une fonction sous - linéaire (ou d' un sous - linéaire fonctionnelle si ), et aussi parfois appelée quasi-seminorme ou fonctionnelle Banach , si il a ces deux propriétés : ${\style d'affichage X}$ $\mathbb {K} ,$ $\mathbb {K}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C} .$ $f:X\to \mathbb {R}$ ${\style d'affichage X}$ $\mathbb {K} =\mathbb {R}$

Homogénéité positive / Homogénéité non négative :pour tout réelet tout; et ${\style d'affichage f(rx)=rf(x)}$ ${\style d'affichage r\geq 0}$ ${\style d'affichage x\dans X}$
Subadditivité / Inégalité triangulaire :pour tout ${\style d'affichage f(x+y)\leq f(x)+f(y)}$ ${\style d'affichage f(x+y)\leq f(x)+f(y)}$ ${\style d'affichage x,y\dans X.}$ ${\style d'affichage x,y\dans X.}$
- Cette condition de sous-additivité nécessite une valeur réelle. ${\style d'affichage f}$

Une fonction sublinéaire est dite positive ou non négative si pour tout ${\style d'affichage f}$ ${\style d'affichage f(x)\geq 0}$ ${\style d'affichage x\dans X.}$

L'ensemble de toutes les fonctions sous-linéaires sur noté par peut être partiellement ordonné en déclarant si et seulement si pour tous Une fonction sous-linéaire est dite minimale si elle est un élément minimal de sous cet ordre. Une fonction sublinéaire est minimale si et seulement si c'est une réelle fonctionnelle linéaire . ${\style d'affichage X,}$ $X^{\#},$ $p\leq q$ ${\style d'affichage p(x)\leq q(x)}$ ${\style d'affichage x\dans X.}$ $X^{\#}$

Exemples et conditions suffisantes

Chaque semi - norme et norme est une fonction sublinéaire et toute fonctionnelle linéaire réelle est une fonction sublinéaire. Les réciproques ne sont pas vraies en général.

Si et sont des fonctions sublinéaires sur un espace vectoriel réel, alors la carte l'est aussi. Plus généralement, si est une collection non vide de fonctionnelles sublinéaires sur un espace vectoriel réel et si pour tout alors est une fonctionnelle ${\style d'affichage p}$ ${\style d'affichage q}$ ${\style d'affichage X}$ $x\mapsto \max\{p(x),q(x)\}.$ ${\mathcal {P}}$ ${\style d'affichage X}$ ${\style d'affichage x\dans X,}$ $q(x):=\sup\{p(x):p\in {\mathcal {P}}\},$ ${\style d'affichage q}$ ${\style d'affichage X.}$

La fonctionnelle linéaire sur est une fonctionnelle sublinéaire qui n'est pas positive et n'est pas une semi-norme. $x\mapsto -x$ $X=\mathbb {R}$

Propriétés

Toute fonction sublinéaire est une fonctionnelle convexe .

Si est une fonction sous-linéaire à valeur réelle sur alors : ${\style d'affichage p}$ ${\style d'affichage X}$

${\style d'affichage p(0)=0.}$
${\style d'affichage 0\leq p(x)+p(-x)}$ pour chaque ${\style d'affichage x\dans X.}$
$0\leq \max\{p(x),p(-x)\}$ $0\leq \max\{p(x),p(-x)\}$ pour tous ${\style d'affichage x\dans X.}$ ${\style d'affichage x\dans X.}$
- La carte définie par est une semi-norme sur ${\style d'affichage q(x):=\max\{p(x),p(-x)\}}$ ${\style d'affichage X.}$
- Ceci implique notamment qu'au moins l'un de et soit non négatif. ${\style d'affichage p(x)}$ ${\style d'affichage p(-x)}$
${\style d'affichage p(x)-p(y)\leq p(xy)}$ pour tous ${\style d'affichage x,y\dans X.}$

Semi-norme associée

Si est une fonction sous- linéaire à valeur réelle sur alors la carte définit une semi-norme sur appelée la semi - norme associée à ${\style d'affichage p}$ ${\style d'affichage X}$ ${\style d'affichage q(x):=\max\{p(x),p(-x)\}}$ ${\style d'affichage X}$ ${\style d'affichage p.}$

Relation avec les fonctions linéaires

Si est une fonction sublinéaire sur un espace vectoriel réel, alors les éléments suivants sont équivalents : ${\style d'affichage p}$ ${\style d'affichage X}$

${\style d'affichage p}$ est une fonctionnelle linéaire ;
pour chaque ; ${\style d'affichage x\dans X,}$ ${\style d'affichage p(x)+p(-x)\leq 0}$
pour chaque ; ${\style d'affichage x\dans X,}$ ${\style d'affichage p(x)+p(-x)=0}$
${\style d'affichage p}$ est une fonction sous-linéaire minimale.

Si est une fonction sublinéaire sur un espace vectoriel réel alors il existe une fonctionnelle linéaire sur telle que ${\style d'affichage p}$ ${\style d'affichage X}$ ${\style d'affichage f}$ ${\style d'affichage X}$ $f\leq p.$

Si est un espace vectoriel réel, est une fonctionnelle linéaire sur et est une fonction sublinéaire positive sur alors sur si et seulement si ${\style d'affichage X}$ ${\style d'affichage f}$ ${\style d'affichage X,}$ ${\style d'affichage p}$ ${\style d'affichage X,}$ ${\style d'affichage f\leq p}$ ${\style d'affichage X}$ $f^{-1}(1)\cap \{x\in X:p(x)<1\}=\varnothing .$

Continuité

Théorème — Supposons qu'il s'agisse d'une fonction sous-additive (c'est-à-dire pour tout ). Alors est continue à l'origine si et seulement si est uniformément continue sur Si satisfait alors est continue si et seulement si sa valeur absolue est continue. Si est non négatif alors est continu si et seulement si est ouvert dans $f:X\to \mathbb {R}$ ${\style d'affichage f(x+y)\leq f(x)+f(y)}$ ${\style d'affichage x,y\dans X}$ ${\style d'affichage f}$ ${\style d'affichage f}$ ${\style d'affichage X.}$ ${\style d'affichage f}$ ${\style d'affichage f(0)=0}$ ${\style d'affichage f}$ $|f|:X\to [0,\infty )$ ${\style d'affichage f}$ ${\style d'affichage f}$ $\{x\in X:f(x)<1\}$ ${\style d'affichage X.}$

Supposons qu'il s'agisse d' un espace vectoriel topologique (TVS) sur les nombres réels ou complexes et d' une fonction sublinéaire sur Alors les éléments suivants sont équivalents : ${\style d'affichage X}$ ${\style d'affichage p}$ ${\style d'affichage X.}$

${\style d'affichage p}$ est continu;
${\style d'affichage p}$ est continue en 0 ;
${\style d'affichage p}$ est uniformément continue sur ; ${\style d'affichage X}$

et si est positif alors nous pouvons ajouter à cette liste : ${\style d'affichage p}$

$\{x\in X:p(x)<1\}$ est ouvert dans ${\style d'affichage X.}$

Si est un vrai TVS, est une chaîne linéaire fonctionnelle sur et est une fonction continue sur sublinéaire alors sur implique que est continue. ${\style d'affichage X}$ ${\style d'affichage f}$ ${\style d'affichage X,}$ ${\style d'affichage p}$ ${\style d'affichage X,}$ ${\style d'affichage f\leq p}$ ${\style d'affichage X}$ ${\style d'affichage f}$

Relation avec les fonctions de Minkowski et les ensembles ouverts convexes

Théorème — Si est un voisinage ouvert convexe de l'origine dans un TVS alors la fonctionnelle de Minkowski de est une fonction sous-linéaire continue non négative sur telle que ; si en plus est équilibré alors est une semi - norme sur ${\style d'affichage U}$ ${\style d'affichage X}$ ${\style d'affichage U,}$ $p_{U}:X\to [0,\infty ),$ ${\style d'affichage X}$ $U=\left\{x\in X:p_{U}(x)<1\right\}$ ${\style d'affichage U}$ ${\style d'affichage p_{U}}$ ${\style d'affichage X.}$

Relation avec les ensembles convexes ouverts

Théorème — Supposons que ce soit un TVS (pas nécessairement localement convexe ou Hausdorff) sur les nombres réels ou complexes. Alors les sous-ensembles convexes ouverts de sont exactement ceux qui sont de la forme pour certains et certains fonctions sublinéaires continues positives sur ${\style d'affichage X}$ ${\style d'affichage X}$ $z+\{x\in X:p(x)<1\}=\{x\in X:p(xz)<1\}$ ${\style d'affichage z\dans X}$ ${\style d'affichage p}$ ${\style d'affichage X.}$

Preuve

Laisser être un sous-ensemble ouvert convexe de Si alors laissez et sinon laissez être arbitraire. Soit la fonctionnelle de Minkowski de où est une fonction sublinéaire continue sur puisque est convexe, absorbante et ouverte ( ce n'est cependant pas nécessairement une semi-norme puisqu'elle n'a pas été supposée équilibrée). Des propriétés des fonctionnelles de Minkowski, on sait ce qui en découle. Mais ${\style d'affichage V}$ ${\style d'affichage X.}$ ${\style d'affichage 0\dans V}$ ${\style d'affichage z:=0}$ $z\in V$ $p:X\to [0,\infty )$ ${\style d'affichage Vz}$ ${\style d'affichage p}$ ${\style d'affichage X}$ ${\style d'affichage Vz}$ ${\style d'affichage p}$ ${\style d'affichage V}$ $Vz=\{x\in X:p(x)<1\}$ $V=z+\{x\in X:p(x)<1\}$

z+\{x\in X:p(x)<1\}=\{z+x:x\in X,p(x)<1\}=\{z+x:x\in X ,p((z+x)-z)<1\}=\{x\in X:p(xz)<1\},

comme voulu. $\blacksquare$

Les opérateurs

Le concept peut être étendu à des opérateurs homogènes et sous-additifs. Cela nécessite seulement que le codomaine soit, disons, un espace vectoriel ordonné pour donner un sens aux conditions.

Définition de l'informatique

En informatique , une fonction est dite sublinéaire si ou en notation asymptotique (notez le petit ). Formellement, si et seulement si, pour toute donnée, il existe une telle que pour That is, croît plus lentement que n'importe quelle fonction linéaire. Les deux sens ne doivent pas être confondus : alors qu'une fonctionnelle de Banach est convexe , presque le contraire est vrai pour les fonctions de croissance sublinéaire : chaque fonction peut être majorée par une fonction concave de croissance sublinéaire. $f:\mathbb {Z} ^{+}\to \mathbb {R}$ $\lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{n}}=0,$ ${\style d'affichage f(n)\in o(n)}$ ${\style d'affichage o}$ ${\style d'affichage f(n)\in o(n)}$ ${\style d'affichage c>0,}$ ${\style d'affichage N}$ ${\style d'affichage f(n)<cn}$ ${\style d'affichage n\geq N.}$ ${\style d'affichage f}$ ${\style d'affichage f(n)\in o(n)}$

Voir également

Norme asymétrique – Généralisation du concept de norme
Théorème de Hahn-Banach
Fonctionnel linéaire
Norme (mathématiques) – Longueur dans un espace vectoriel
Semi-norme
Superadditivité

Remarques

Les références

Bibliographie

Narici, Laurent ; Beckenstein, Edouard (2011). Espaces vectoriels topologiques . Mathématiques pures et appliquées (deuxième éd.). Boca Raton, Floride : CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espaces vectoriels topologiques . GTM . 8 (Deuxième éd.). New York, NY : Springer New York Mentions légales Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
Trèves, François (2006) [1967]. Espaces vectoriels topologiques, distributions et noyaux . Mineola, NY : Publications de Douvres. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .

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