En mécanique du continuum , y compris la dynamique des fluides , un dérivé du temps à convection supérieure ou dérivé d' Oldroyd , nommé d'après James G.Oldroyd , est le taux de changement d'une propriété tenseur d'une petite parcelle de fluide qui est écrit dans le système de coordonnées tournant et s'étirant avec le fluide.
L'opérateur est spécifié par la formule suivante:
UNE
▽
=
ré
ré
t
UNE
-
(
∇
v
)
T
⋅
UNE
-
UNE
⋅
(
∇
v
)
{\ displaystyle {\ stackrel {\ triangledown} {\ mathbf {A}}} = {\ frac {D} {Dt}} \ mathbf {A} - (\ nabla \ mathbf {v}) ^ {T} \ cdot \ mathbf {A} - \ mathbf {A} \ cdot (\ nabla \ mathbf {v})}
où:
UNE
▽
{\ displaystyle {\ stackrel {\ triangledown} {\ mathbf {A}}}}
est la dérivée en temps de convection supérieure d'un champ tensoriel
UNE
{\ displaystyle \ mathbf {A}}
ré
ré
t
{\ displaystyle {\ frac {D} {Dt}}}
est le dérivé substantif
∇
v
=
∂
v
j
∂
X
je
{\ displaystyle \ nabla \ mathbf {v} = {\ frac {\ partial v_ {j}} {\ partial x_ {i}}}}
est le tenseur des dérivées de vitesse pour le fluide.
La formule peut être réécrite comme:
UNE
▽
je
,
j
=
∂
UNE
je
,
j
∂
t
+
v
k
∂
UNE
je
,
j
∂
X
k
-
∂
v
je
∂
X
k
UNE
k
,
j
-
∂
v
j
∂
X
k
UNE
je
,
k
{\ displaystyle {\ stackrel {\ triangledown} {A}} _ {i, j} = {\ frac {\ partial A_ {i, j}} {\ partial t}} + v_ {k} {\ frac {\ partial A_ {i, j}} {\ partial x_ {k}}} - {\ frac {\ partial v_ {i}} {\ partial x_ {k}}} A_ {k, j} - {\ frac {\ partiel v_ {j}} {\ partial x_ {k}}} A_ {i, k}}
Par définition, la dérivée temporelle supérieure du tenseur du doigt est toujours nulle.
On peut montrer que la dérivée temporelle de convection supérieure d'un champ vectoriel de type espace est juste sa dérivée de Lie par le champ de vitesse du continuum.
Le dérivé à convection supérieure est largement utilisé en rhéologie des polymères pour la description du comportement d'un fluide viscoélastique sous de grandes déformations.
Pour le cas de cisaillement simple :
∇
v
=
(
0
0
0
γ
˙
0
0
0
0
0
)
{\ displaystyle \ nabla \ mathbf {v} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ {\ dot {\ gamma}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}}}
Donc,
UNE
▽
=
ré
ré
t
UNE
-
γ
˙
(
2
UNE
12
UNE
22
UNE
23
UNE
22
0
0
UNE
23
0
0
)
{\ displaystyle {\ stackrel {\ triangledown} {\ mathbf {A}}} = {\ frac {D} {Dt}} \ mathbf {A} - {\ dot {\ gamma}} {\ begin {pmatrix} 2A_ {12} & A_ {22} & A_ {23} \\ A_ {22} & 0 & 0 \\ A_ {23} & 0 & 0 \ end {pmatrix}}}
Extension uniaxiale du fluide incompressible
Dans ce cas, un matériau est étiré dans la direction X et se comprime dans les directions Y et Z, afin de maintenir le volume constant. Les gradients de vitesse sont:
∇
v
=
(
ϵ
˙
0
0
0
-
ϵ
˙
2
0
0
0
-
ϵ
˙
2
)
{\ displaystyle \ nabla \ mathbf {v} = {\ begin {pmatrix} {\ dot {\ epsilon}} & 0 & 0 \\ 0 & - {\ frac {\ dot {\ epsilon}} {2}} & 0 \\ 0 & 0 & - {\ frac {\ dot {\ epsilon}} {2}} \ end {pmatrix}}}
Donc,
UNE
▽
=
ré
ré
t
UNE
-
ϵ
˙
2
(
4
UNE
11
UNE
21
UNE
31
UNE
12
-
2
UNE
22
-
2
UNE
23
UNE
13
-
2
UNE
23
-
2
UNE
33
)
{\ displaystyle {\ stackrel {\ triangledown} {\ mathbf {A}}} = {\ frac {D} {Dt}} \ mathbf {A} - {\ frac {\ dot {\ epsilon}} {2}} {\ begin {pmatrix} 4A_ {11} & A_ {21} & A_ {31} \\ A_ {12} & - 2A_ {22} & - 2A_ {23} \\ A_ {13} & - 2A_ {23} & - 2A_ {33} \ end {pmatrix}}}
Voir également
Les références
Macosko, Christopher (1993). Rhéologie. Principes, mesures et applications . Éditeur VCH. ISBN 978-1-56081-579-2 .
Remarques
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