Équation de Vlasov - Vlasov equation

L' équation de Vlasov est une équation différentielle décrivant l'évolution temporelle de la fonction de distribution du plasma constitué de particules chargées avec une interaction à longue distance, par exemple Coulomb . L'équation a été suggérée pour la première fois pour la description du plasma par Anatoly Vlasov en 1938 et plus tard discutée par lui en détail dans une monographie.

Difficultés de l'approche cinétique standard

Premièrement, Vlasov soutient que l' approche cinétique standard basée sur l' équation de Boltzmann a des difficultés lorsqu'elle est appliquée à une description du plasma avec une interaction de Coulomb à longue distance . Il mentionne les problèmes suivants qui se posent lors de l'application de la théorie cinétique basée sur les collisions de paires à la dynamique des plasmas :

1. La théorie des collisions de paires est en désaccord avec la découverte par Rayleigh , Irving Langmuir et Lewi Tonks des vibrations naturelles dans le plasma électronique.
2. La théorie des collisions de paires n'est formellement pas applicable à l'interaction de Coulomb en raison de la divergence des termes cinétiques.
3. La théorie des collisions de paires ne peut pas expliquer les expériences de Harrison Merrill et Harold Webb sur la diffusion anormale des électrons dans le plasma gazeux.

Vlasov suggère que ces difficultés proviennent du caractère à longue distance de l'interaction de Coulomb. Il part de l' équation de Boltzmann sans collision (parfois appelée équation de Vlasov, anachroniquement dans ce contexte), en coordonnées généralisées :

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)}{\operatorname {d} t}}=0,}$

explicitement une PDE :

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\operatorname {d} \mathbf {r} }{\operatorname {d} t}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}+{\frac {\operatorname {d} \mathbf {p} }{\operatorname {d} t}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}=0,}$

et adapté au cas d'un plasma, conduisant aux systèmes d'équations ci-dessous. Ici f est une fonction de distribution générale des particules de quantité de mouvement p aux coordonnées r et au temps t donné . Notez que le terme est la force F agissant sur la particule. ${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \mathbf {p} }{\operatorname {d} t}}}$

Le système d'équations de Vlasov-Maxwell (unités gaussiennes)

Au lieu d'une description cinétique basée sur les collisions pour l'interaction des particules chargées dans le plasma, Vlasov utilise un champ collectif auto-cohérent créé par les particules de plasma chargées. Une telle description utilise des fonctions de distribution et pour les électrons et les ions plasma (positifs) . La fonction de distribution pour les espèces α décrit le nombre de particules de l'espèce α ayant approximativement la dynamique près de la position de la fin du temps t . Au lieu de l'équation de Boltzmann, le système d'équations suivant a été proposé pour la description des composants chargés du plasma (électrons et ions positifs) : ${\displaystyle f_{e}(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)}$${\displaystyle f_{i}(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)}$${\displaystyle f_{\alpha }(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial f_{e}}{\partial t}}+\mathbf {v} _{e}\cdot \nabla f_{e}&-e\left( \mathbf {E} +{\frac {\mathbf {v_{e}} }{c}}\times \mathbf {B} \right)\cdot {\frac {\partial f_{e}}{\partial \ mathbf {p} }}=0\\{\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}+\mathbf {v} _{i}\cdot \nabla f_{i}&+Z_{i }e\gauche(\mathbf {E} +{\frac {\mathbf {v_{i}} }{c}}\times \mathbf {B} \right)\cdot {\frac {\partial f_{i} }{\partial \mathbf {p} }}=0\\\nabla \times \mathbf {B} &={\frac {4\pi \mathbf {j} }{c}}+{\frac {1} {c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {1}{c}}{\frac { \partial \mathbf {B} }{\partial t}}\\\nabla \cdot \mathbf {E} &=4\pi \rho \\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\\\end {aligné}}}$

${\displaystyle \rho =e\int (Z_{i}f_{i}-f_{e})d^{3}p,\quad \mathbf {j} =e\int (Z_{i}f_{i }\mathbf {v} _{i}-f_{e}\mathbf {v} _{e})d^{3}p,\quad \mathbf {v} _{\alpha }={\frac {\ frac {\mathbf {p} }{m_{\alpha }}}{\left(1+{\frac {p^{2}}{(m_{\alpha }c)^{2}}}\right) ^{1/2}}}}$

Ici, e est la charge élémentaire ( ), c est la vitesse de la lumière , m _i est la masse de l'ion, et représente le champ électromagnétique collectif auto-cohérent créé au moment t par toutes les particules de plasma. La différence essentielle de ce système d'équations par rapport aux équations pour les particules dans un champ électromagnétique externe est que le champ électromagnétique auto-cohérent dépend de manière complexe des fonctions de distribution des électrons et des ions et . ${\style d'affichage e>0}$${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)}$${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle f_{e}(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)}$${\displaystyle f_{i}(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)}$

L'équation de Vlasov-Poisson

Les équations de Vlasov-Poisson sont une approximation des équations de Vlasov-Maxwell dans la limite de champ magnétique nul non relativiste :

${\displaystyle {\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial t}}+\mathbf {v} _{\alpha }\cdot {\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial \ mathbf {x} }}+{\frac {q_{\alpha }\mathbf {E} }{m_{\alpha }}}\cdot {\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial \mathbf { v} }}=0,}$

et l'équation de Poisson pour le champ électrique auto-cohérent :

${\displaystyle \nabla ^{2}\phi +\rho =0.}$

Ici , q _α est la charge électrique de la particule, m _α est la masse de la particule, est l'auto-cohérent champ électrique , l'auto-cohérent potentiel électrique et ρ est la charge électrique densité. ${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle \phi (\mathbf {x} ,t)}$

Les équations de Vlasov-Poisson sont utilisées pour décrire divers phénomènes dans le plasma, en particulier l' amortissement de Landau et les distributions dans un plasma à double couche , où ils sont nécessairement fortement non maxwelliens , et donc inaccessibles aux modèles fluides.

Équations des moments

Dans les descriptions fluides des plasmas (voir modélisation des plasmas et magnétohydrodynamique (MHD)), on ne considère pas la distribution des vitesses. Ceci est obtenu en remplaçant par des moments de plasma tels que la densité numérique n , la vitesse d'écoulement u et la pression p . Ils sont appelés moments plasma parce que le n- ième moment de peut être trouvé en intégrant sur la vitesse. Ces variables ne sont que des fonctions de position et de temps, ce qui signifie que certaines informations sont perdues. Dans la théorie multifluide, les différentes espèces de particules sont traitées comme des fluides différents avec des pressions, des densités et des vitesses d'écoulement différentes. Les équations régissant les moments du plasma sont appelées les équations des moments ou fluides. ${\displaystyle f(\mathbf {r} ,\mathbf {v} ,t)}$ ${\style d'affichage f}$${\displaystyle v^{n}f}$

Ci-dessous sont présentées les deux équations de moment les plus utilisées (en unités SI ). La dérivation des équations de moment à partir de l'équation de Vlasov ne nécessite aucune hypothèse sur la fonction de distribution.

Équation de continuité

L'équation de continuité décrit comment la densité change avec le temps. Il peut être trouvé par intégration de l'équation de Vlasov sur tout l'espace des vitesses.

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}fd^{3}v=\int \left({\frac {\partial }{\partial t}}f+ (\mathbf {v} \cdot \nabla _{r})f+(\mathbf {a} \cdot \nabla _{v})f\right)d^{3}v=0}$

Après quelques calculs, on se retrouve avec

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}n+\nabla \cdot (n\mathbf {u} )=0.}$

La densité numérique n et la densité de quantité de mouvement n u sont des moments d'ordre zéro et de premier ordre :

${\displaystyle n=\int fd^{3}v}$

${\displaystyle n\mathbf {u} =\int \mathbf {v} fd^{3}v}$

Équation de la quantité de mouvement

Le taux de changement de quantité de mouvement d'une particule est donné par l'équation de Lorentz :

${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}=q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} ) }$

En utilisant cette équation et l'équation de Vlasov, l'équation de quantité de mouvement pour chaque fluide devient

${\displaystyle mn{\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}\mathbf {u} =-\nabla \cdot {\mathcal {P}}+qn\mathbf {E} +qn \mathbf {u} \times \mathbf {B} }$,

où est le tenseur de pression. Le dérivé matériel est ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla .}$

Le tenseur de pression est défini comme la masse des particules multipliée par la matrice de covariance de la vitesse :

${\displaystyle p_{ij}=m\int (v_{i}-u_{i})(v_{j}-u_{j})fd^{3}v.}$

L'approximation figée

Comme pour le MHD idéal , le plasma peut être considéré comme lié aux lignes de champ magnétique lorsque certaines conditions sont remplies. On dit souvent que les lignes de champ magnétique sont figées dans le plasma. Les conditions gelées peuvent être dérivées de l'équation de Vlasov.

Nous introduisons les échelles T, L et V pour le temps, la distance et la vitesse respectivement. Ils représentent les grandeurs des différents paramètres qui donnent de grands changements dans . En gros, nous entendons que ${\style d'affichage f}$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}T\sim f\quad \left|{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}\right|L\sim f\quad \left|{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\right|V\sim f.}$

On écrit alors

${\displaystyle t^{\prime }={\frac {t}{T}}\quad \mathbf {r} ^{\prime }={\frac {\mathbf {r} }{L}}\quad \ mathbf {v} ^{\prime }={\frac {\mathbf {v} }{V}}.}$

L'équation de Vlasov peut maintenant être écrite

${\displaystyle {\frac {1}{T}}{\frac {\partial f}{\partial t^{\prime }}}+{\frac {V}{L}}\mathbf {v} ^{ \prime }\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} ^{\prime }}}+{\frac {q}{mV}}(\mathbf {E} +V\mathbf { v} ^{\prime }\times \mathbf {B} )\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} ^{\prime }}}=0.}$

Jusqu'à présent, aucune approximation n'a été faite. Pour pouvoir continuer, nous définissons , où est la fréquence du gyroscope et R est le rayon gyroscopique . En divisant par ω _g , on obtient ${\displaystyle V=R\omega _{g}}$${\displaystyle \omega _{g}=qB/m}$

${\displaystyle {\frac {1}{\omega _{g}T}}{\frac {\partial f}{\partial t^{\prime }}}+{\frac {R}{L}}\ mathbf {v} ^{\prime }\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} ^{\prime }}}+\left({\frac {\mathbf {E} }{VB }}+\mathbf {v} ^{\prime }\times {\frac {\mathbf {B} }{B}}\right)\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} ^{\prime }}}=0}$

Si et , les deux premiers termes seront bien inférieurs à puisque et en raison des définitions de T, L et V ci-dessus. Le dernier terme étant de l'ordre de , on peut négliger les deux premiers termes et écrire ${\displaystyle 1/\omega _{g}\ll T}$${\displaystyle R\ll L}$${\style d'affichage f}$${\displaystyle \partial f/\partial t^{\prime }\sim f,v^{\prime }\lesssim 1}$${\displaystyle \partial f/\partial \mathbf {r} ^{\prime }\sim f}$${\style d'affichage f}$

${\displaystyle \left({\frac {\mathbf {E} }{VB}}+\mathbf {v} ^{\prime }\times {\frac {\mathbf {B} }{B}}\right) \cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} ^{\prime }}}\approx 0\Rightarrow (\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} ) \cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\approx 0}$

Cette équation peut être décomposée en un champ aligné et une partie perpendiculaire :

${\displaystyle \mathbf {E} _{\|}{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} _{\|}}}+(\mathbf {E} _{\perp }+\ mathbf {v} \times \mathbf {B} )\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} _{\perp }}}\approx 0}$

L'étape suivante consiste à écrire , où ${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} _{0}+\Delta \mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {v} _{0}\times \mathbf {B} =-\mathbf {E} _{\perp }}$

On comprendra bientôt pourquoi cela est fait. Avec cette substitution, on obtient

${\displaystyle \mathbf {E} _{\|}{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} _{\|}}}+(\Delta \mathbf {v} _{\perp } \times \mathbf {B} )\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} _{\perp }}}\approx 0}$

Si le champ électrique parallèle est faible,

${\displaystyle (\Delta \mathbf {v} _{\perp }\times \mathbf {B} )\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} _{\perp }}}\ environ 0}$

Cette équation signifie que la distribution est gyrotrope. La vitesse moyenne d'une distribution gyrotrope est nulle. Par conséquent, est identique à la vitesse moyenne, u , et nous avons ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}}$

${\displaystyle \mathbf {E} +\mathbf {u} \times \mathbf {B} \environ 0}$

Pour résumer, la période gyroscopique et le rayon gyroscopique doivent être beaucoup plus petits que les temps et les longueurs typiques qui donnent de grands changements dans la fonction de distribution. Le rayon du gyroscope est souvent estimé en remplaçant V par la vitesse thermique ou la vitesse d'Alfvén . Dans ce dernier cas, R est souvent appelé la longueur d'inertie. Les conditions de congélation doivent être évaluées pour chaque espèce de particules séparément. Parce que les électrons ont une période de gyroscope et un rayon de gyroscope beaucoup plus petits que les ions, les conditions gelées seront plus souvent satisfaites.

Voir également

• Liste des articles sur la physique des plasmas
• Équation de Fokker-Planck

Les références

Lectures complémentaires

• Vlasov, AA (1961). « La théorie de nombreuses particules et son application au plasma ». New-York . Bibcode : 1961temc.book ..... V .