Essai en série alternée - Alternating series test
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En analyse mathématique , le test des séries alternées est la méthode utilisée pour prouver qu'une série alternée avec des termes décroissants en valeur absolue est une série convergente . Le test a été utilisé par Gottfried Leibniz et est parfois connu comme le test de Leibniz , la règle de Leibniz , ou le critère Leibniz .
Formulation
Une série de la forme
où soit tous un n sont positifs ou tous un n sont négatifs, est appelé une série alternée .
Le test des séries alternées dit alors : si décroît de façon monotone et alors la série alternée converge.
De plus, notons L la somme de la série, puis la somme partielle
se rapproche de L avec une erreur bornée par le prochain terme omis :
Preuve
Supposons qu'on nous donne une série de la forme , où et pour tous les nombres naturels n . (Le cas suit en prenant le négatif.)
Preuve de convergence
Nous allons prouver que les deux sommes partielles à nombre impair de termes, et à nombre pair de termes, convergent vers le même nombre L . Ainsi la somme partielle habituelle converge aussi vers L .
Les sommes partielles impaires décroissent de façon monotone :
tandis que les sommes paires partielles augmentent de façon monotone :
les deux parce que a n décroît de façon monotone avec n .
De plus, puisque a n sont positifs, . Ainsi, nous pouvons rassembler ces faits pour former l'inégalité suggestive suivante :
Maintenant, notons que a 1 − a 2 est une borne inférieure de la suite monotone décroissante S 2m+1 , le théorème de convergence monotone implique alors que cette suite converge lorsque m tend vers l'infini. De même, la séquence de somme même partielle converge aussi.
Enfin, ils doivent converger vers le même nombre car
Appelez la limite L , puis le théorème de convergence monotone nous dit également des informations supplémentaires que
pour tout m . Cela signifie que les sommes partielles d'une série alternative "alternent" également au-dessus et au-dessous de la limite finale. Plus précisément, lorsqu'il y a un nombre impair (pair) de termes, c'est-à-dire que le dernier terme est un terme plus (moins), alors la somme partielle est supérieure (inférieure) à la limite finale.
Cette compréhension conduit immédiatement à une borne d'erreur des sommes partielles, illustrée ci-dessous.
Preuve de l'erreur de somme partielle liée
Nous voudrions montrer en divisant en deux cas.
Lorsque k = 2m+1, c'est-à-dire impair, alors
Lorsque k = 2m, c'est-à-dire pair, alors
comme voulu.
Les deux cas reposent essentiellement sur la dernière inégalité dérivée de la preuve précédente.
Pour une preuve alternative utilisant le test de convergence de Cauchy , voir Séries alternées .
Pour une généralisation, voir le test de Dirichlet .
Exemple
Toutes les conditions du test, à savoir la convergence vers zéro et la monotonie, doivent être remplies pour que la conclusion soit vraie. Par exemple, prenons la série
Les signes sont alternés et les termes tendent vers zéro. Cependant, la monotonie n'est pas présente et nous ne pouvons pas appliquer le test. En fait, la série est divergente. En effet, pour la somme partielle on a qui est le double de la somme partielle de la série harmonique, qui est divergente. La série originale est donc divergente.
Voir également
Remarques
- ^ En pratique, les premiers termes peuvent augmenter. Ce qui est important, c'est quepour tousaprès un certain point.
Les références
- Konrad Knopp (1956) Infinite Sequences and Series , § 3.4, Dover Publications ISBN 0-486-60153-6
- Konrad Knopp (1990) Théorie et application des séries infinies , § 15, Dover Publications ISBN 0-486-66165-2
- ET Whittaker & GN Watson (1963) A Course in Modern Analysis , 4e édition, §2.3, Cambridge University Press ISBN 0-521-58807-3