Listes d'intégrales - Lists of integrals

Fait partie d'une série d'articles sur
Calcul
Théorème fondamental Règle intégrale de Leibniz Limites des fonctions Continuité Théorème de la valeur moyenne Le théorème de Rolle
Différentiel Définitions Dérivé  ( généralisations ) Différentiel infinitésimal d'une fonction le total notions Notation de différenciation Dérivée seconde Différenciation implicite Différenciation logarithmique Tarifs associés Le théorème de Taylor Règles et identités Somme Produit Chaîne Puissance Quotient La règle de l'Hôpital Inverse Général Leibniz La formule de Faà di Bruno Reynolds
Intégral Listes d'intégrales Transformation intégrale Définitions Primitive Intégral  ( impropre ) intégrale de Riemann Intégration de Lebesgue Intégration des contours Intégrale des fonctions inverses Intégration par les pièces Disques Coquilles cylindriques Substitution  ( trigonométrique , Weierstrass , Euler ) la formule d'Euler Fractions partielles Modification de l'ordre Formules de réduction Différencier sous le signe intégral Algorithme de Risch
Séries Géométrique  ( arithmético-géométrique ) Harmonique en alternance Puissance Binôme Taylor Tests de convergence Limite de sommation (test de terme) Rapport Racine Intégral Comparaison directe Comparaison des limites Série alternée Cauchy condensation Dirichlet Abel
Vecteur Pente Divergence Boucle Laplacien Dérivée directionnelle Identités Théorèmes Pente Légumes verts Stokes' Divergence Stokes généralisé
Multivariable Formalismes Matrice Tenseur Extérieur Géométrique Définitions Dérivée partielle Intégrale multiple Intégrale de ligne Intégrale surfacique Intégrale de volume Jacobien Toile de jute
Spécialisé Fractionnaire Malliavin Stochastique Variantes
Divers Précalcul Histoire Glossaire Liste des sujets Abeille d'intégration Une analyse
v t e

L'intégration est l'opération de base du calcul intégral . Alors que la différenciation a des règles simples par lesquelles la dérivée d'une fonction compliquée peut être trouvée en différenciant ses fonctions composantes les plus simples, l'intégration n'en a pas, de sorte que les tables d'intégrales connues sont souvent utiles. Cette page répertorie certains des dérivés les plus courants .

Développement historique des intégrales

Une compilation d'une liste d'intégrales (Integraltafeln) et de techniques de calcul intégral a été publiée par le mathématicien allemand Meier Hirsch  [ de ] (alias Meyer Hirsch  [ de ] ) en 1810. Ces tables ont été rééditées au Royaume-Uni en 1823. tables ont été compilées en 1858 par le mathématicien néerlandais David Bierens de Haan pour ses Tables d'intégrales définies , complétées par Supplément aux tables d'intégrales définies en ca. 1864. Une nouvelle édition est publiée en 1867 sous le titre Nouvelles tables d'intégrales définies . Ces tables, qui contiennent principalement des intégrales de fonctions élémentaires, sont restées en usage jusqu'au milieu du 20e siècle. Ils ont ensuite été remplacés par les tableaux beaucoup plus étendus de Gradshteyn et Ryzhik . Dans Gradshteyn et Ryzhik, les intégrales provenant du livre de Bierens de Haan sont notées BI.

Toutes les expressions de forme fermée n'ont pas de primitives de forme fermée ; cette étude fait l'objet de la théorie différentielle de Galois , qui a été initialement développée par Joseph Liouville dans les années 1830 et 1840, conduisant au théorème de Liouville qui classe quelles expressions ont des primitives de forme fermée. Un exemple simple d'une fonction sans primitive de forme fermée est e ^{− x 2} , dont la primitive est (à constantes près) la fonction d'erreur .

Depuis 1968, il existe l' algorithme de Risch pour déterminer des intégrales indéfinies qui peuvent être exprimées en termes de fonctions élémentaires , typiquement en utilisant un système de calcul formel . Les intégrales qui ne peuvent pas être exprimées à l'aide de fonctions élémentaires peuvent être manipulées symboliquement à l'aide de fonctions générales telles que la fonction G de Meijer .

Listes d'intégrales

Plus de détails peuvent être trouvés sur les pages suivantes pour les listes d' intégrales :

• Liste des intégrales des fonctions rationnelles
• Liste des intégrales des fonctions irrationnelles
• Liste des intégrales des fonctions trigonométriques
• Liste des intégrales des fonctions trigonométriques inverses
• Liste des intégrales des fonctions hyperboliques
• Liste des intégrales des fonctions hyperboliques inverses
• Liste des intégrales des fonctions exponentielles
• Liste des intégrales des fonctions logarithmiques
• Liste des intégrales des fonctions gaussiennes

Gradshteyn , Ryjik , Geronimus , Tseytlin , Jeffrey, Zwillinger, Moll (GR) Table des Intégrales, série et produits contient une grande collection de résultats. Un tableau encore plus grand et multivolume est celui des intégrales et des séries de Prudnikov , Brychkov et Marichev (avec les volumes 1 à 3 répertoriant les intégrales et les séries de fonctions élémentaires et spéciales , les volumes 4 à 5 sont des tables de transformées de Laplace ). Des collections plus compactes peuvent être trouvées dans, par exemple, Brychkov, Marichev, les Tables of Infinite Integrals de Prudnikov , ou sous forme de chapitres dans les CRC Standard Mathematical Tables and Formulas de Zwillinger ou le Guide Book to Mathematics de Bronshtein et Semendyayev , Handbook of Mathematics ou Users' Guide to Mathematics , et d'autres manuels mathématiques.

D'autres ressources utiles incluent Abramowitz et Stegun et le Bateman Manuscript Project . Les deux ouvrages contiennent de nombreuses identités concernant des intégrales spécifiques, qui sont organisées avec le sujet le plus pertinent au lieu d'être rassemblées dans un tableau séparé. Deux volumes du Manuscrit Bateman sont spécifiques aux transformations intégrales.

Il existe plusieurs sites Web qui ont des tables d'intégrales et des intégrales sur demande. Wolfram Alpha peut afficher des résultats, et pour certaines expressions plus simples, également les étapes intermédiaires de l'intégration. Wolfram Research exploite également un autre service en ligne, le Wolfram Mathematica Online Integrator .

Intégrales de fonctions simples

C est utilisé pour une constante d'intégration arbitraire qui ne peut être déterminée que si quelque chose sur la valeur de l'intégrale à un moment donné est connu. Ainsi, chaque fonction a un nombre infini de primitives .

Ces formules ne font qu'énoncer sous une autre forme les assertions du tableau des dérivées .

Intégrales avec une singularité

Lorsqu'il y a une singularité dans la fonction intégrée telle que la primitive devient indéfinie ou à un certain point (la singularité), alors C n'a pas besoin d'être le même des deux côtés de la singularité. Les formes ci-dessous assument normalement la valeur principale de Cauchy autour d'une singularité dans la valeur de C mais ce n'est en général pas nécessaire. Par exemple dans

il y a une singularité en 0 et la primitive y devient infinie. Si l'intégrale ci-dessus devait être utilisée pour calculer une intégrale définie entre -1 et 1, on obtiendrait la mauvaise réponse 0. C'est cependant la valeur principale de Cauchy de l'intégrale autour de la singularité. Si l'intégration se fait dans le plan complexe, le résultat dépend du chemin autour de l'origine, dans ce cas la singularité contribue − i π lorsqu'on utilise un chemin au-dessus de l'origine et i π pour un chemin en dessous de l'origine. Une fonction sur la ligne réelle pourrait utiliser une valeur complètement différente de C de chaque côté de l'origine comme dans :

Fonctions rationnelles

• ${\displaystyle \int a\,dx=ax+C}$

La fonction suivante a une singularité non intégrable en 0 pour a ≤ −1 :

• ${\displaystyle \int x^{n}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\qquad {\text{(pour }}n\neq -1{ \texte{)}}}$( formule en quadrature de Cavalieri )
• ${\displaystyle \int (ax+b)^{n}\,dx={\frac {(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}}+C\qquad {\text {(pour }}n\neq -1{\text{)}}}$
• ${\displaystyle \int {1 \over x}\,dx=\ln \left|x\right|+C}$
  • Plus généralement,
    $${\displaystyle \int {1 \over x}\,dx={\begin{cases}\ln \left|x\right|+C^{-}&x<0\\\ln \left|x\right| +C^{+}&x>0\end{cases}}}$$

    
• ${\displaystyle \int {\frac {c}{ax+b}}\,dx={\frac {c}{a}}\ln \left|ax+b\right|+C}$

Fonctions exponentielles

• ${\displaystyle \int e^{ax}\,dx={\frac {1}{a}}e^{ax}+C}$
• ${\displaystyle \int f'(x)e^{f(x)}\,dx=e^{f(x)}+C}$
• ${\displaystyle \int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C}$

Logarithmes

• ${\displaystyle \int \ln x\,dx=x\ln x-x+C}$
• ${\displaystyle \int \log _{a}x\,dx=x\log _{a}x-{\frac {x}{\ln a}}+C={\frac {x\ln xx}{ \ln a}}+C}$

Fonctions trigonométriques

• ${\displaystyle \int \sin {x}\,dx=-\cos {x}+C}$
• ${\displaystyle \int \cos {x}\,dx=\sin {x}+C}$
• ${\displaystyle \int \tan {x}\,dx=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C=\ln {\left|\sec {x}\right|}+C }$
• ${\displaystyle \int \cot {x}\,dx=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C}$
• ${\displaystyle \int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\tan {x}\right|}+C=\ln \left|\tan \left({\ dfrac {x}{2}}+{\dfrac {\pi }{4}}\right)\right|+C}$
  • (Voir Intégrale de la fonction sécante . Ce résultat était une conjecture bien connue au XVIIe siècle.)
• ${\displaystyle \int \csc {x}\,dx=-\ln {\left|\csc {x}+\cot {x}\right|}+C=\ln {\left|\csc {x} -\cot {x}\right|}+C=\ln {\left|\tan {\frac {x}{2}}\right|}+C}$
• ${\displaystyle \int \sec ^{2}x\,dx=\tan x+C}$
• ${\displaystyle \int \csc ^{2}x\,dx=-\cot x+C}$
• ${\displaystyle \int \sec {x}\,\tan {x}\,dx=\sec {x}+C}$
• ${\displaystyle \int \csc {x}\,\cot {x}\,dx=-\csc {x}+C}$
• ${\displaystyle \int \sin ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {\sin 2x}{2}}\right)+C={ \frac {1}{2}}(x-\sin x\cos x)+C}$
• ${\displaystyle \int \cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {\sin 2x}{2}}\right)+C={\ frac {1}{2}}(x+\sin x\cos x)+C}$
• ${\displaystyle \int \tan ^{2}x\,dx=\tan x-x+C}$
• ${\displaystyle \int \cot ^{2}x\,dx=-\cot x-x+C}$
• ${\displaystyle \int \sec ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}}(\sec x\tan x+\ln |\sec x+\tan x|)+C}$
  • (Voir intégrale de la sécante au cube .)
• ${\displaystyle \int \csc ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}}(-\csc x\cot x+\ln |\csc x-\cot x|)+C={ \frac {1}{2}}\left(\ln \left|\tan {\frac {x}{2}}\right|-\csc x\cot x\right)+C}$
• ${\displaystyle \int \sin ^{n}x\,dx=-{\frac {\sin ^{n-1}{x}\cos {x}}{n}}+{\frac {n-1 }{n}}\int \sin ^{n-2}{x}\,dx}$
• ${\displaystyle \int \cos ^{n}x\,dx={\frac {\cos ^{n-1}{x}\sin {x}}{n}}+{\frac {n-1} {n}}\int \cos ^{n-2}{x}\,dx}$

Fonctions trigonométriques inverses

• ${\displaystyle \int \arcsin {x}\,dx=x\arcsin {x}+{\sqrt {1-x^{2}}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert \ leq +1}$
• ${\displaystyle \int \arccos {x}\,dx=x\arccos {x}-{\sqrt {1-x^{2}}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert \ leq +1}$
• ${\displaystyle \int \arctan {x}\,dx=x\arctan {x}-{\frac {1}{2}}\ln {\vert 1+x^{2}\vert }+C,{ \text{ pour tout réel }}x}$
• ${\displaystyle \int \operatorname {arccot} {x}\,dx=x\operatorname {arccot} {x}+{\frac {1}{2}}\ln {\vert 1+x^{2}\ vert }+C,{\text{ pour tout réel }}x}$
• ${\displaystyle \int \operatorname {arcsec} {x}\,dx=x\operatorname {arcsec} {x}-\ln \left\vert x\,\left(1+{\sqrt {1-x^{ -2}}}\,\right)\right\vert +C,{\text{ pour }}\vert x\vert \geq 1}$
• ${\displaystyle \int \operatorname {arccsc} {x}\,dx=x\operatorname {arccsc} {x}+\ln \left\vert x\,\left(1+{\sqrt {1-x^{ -2}}}\,\right)\right\vert +C,{\text{ pour }}\vert x\vert \geq 1}$

Fonctions hyperboliques

• ${\displaystyle \int \sinh x\,dx=\cosh x+C}$
• ${\displaystyle \int \cosh x\,dx=\sinh x+C}$
• ${\displaystyle \int \tanh x\,dx=\ln \,(\cosh x)+C}$
• ${\displaystyle \int \coth x\,dx=\ln |\sinh x|+C,{\text{ for }}x\neq 0}$
• ${\displaystyle \int \operatorname {sech} \,x\,dx=\arctan \,(\sinh x)+C}$
• ${\displaystyle \int \operatorname {csch} \,x\,dx=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C,{\text{ for }}x\neq 0}$

Fonctions hyperboliques inverses

• ${\displaystyle \int \operatorname {arsinh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arsinh} \,x-{\sqrt {x^{2}+1}}+C,{\text{ pour tout réel }}x}$
• ${\displaystyle \int \operatorname {arcosh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcosh} \,x-{\sqrt {x^{2}-1}}+C,{\text{ pour }}x\geq 1}$
• ${\displaystyle \int \operatorname {artanh} \,x\,dx=x\,\operatorname {artanh} \,x+{\frac {\ln \left(\,1-x^{2}\right)} {2}}+C,{\text{ pour }}\vert x\vert <1}$
• ${\displaystyle \int \operatorname {arcoth} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcoth} \,x+{\frac {\ln \left(x^{2}-1\right)}{2 }}+C,{\text{ pour }}\vert x\vert >1}$
• ${\displaystyle \int \operatorname {arsech} \,x\,dx=x\,\operatorname {arsech} \,x+\arcsin x+C,{\text{ for }}0<x\leq 1}$
• ${\displaystyle \int \operatorname {arcsch} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcsch} \,x+\vert \operatorname {arsinh} \,x\vert +C,{\text{ for }} x\neq 0}$

Produits de fonctions proportionnelles à leurs dérivées secondes

• ${\displaystyle \int \cos ax\,e^{bx}\,dx={\frac {e^{bx}}{a^{2}+b^{2}}}\left(a\sin hache +b\cos hache\droit)+C}$
• ${\displaystyle \int \sin hache\,e^{bx}\,dx={\frac {e^{bx}}{a^{2}+b^{2}}}\left(b\sin hache -a\cos hache\droit)+C}$
• ${\displaystyle \int \cos ax\,\cosh bx\,dx={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left(a\sin ax\,\cosh bx+ b\cos ax\,\sinh bx\right)+C}$
• ${\displaystyle \int \sin ax\,\cosh bx\,dx={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left(b\sin ax\,\sinh bx- a\cos hache\,\cosh bx\right)+C}$

Fonctions de valeur absolue

Soit f une fonction continue , qui a au plus un zéro . Si f est nul, soit g l'unique primitive de f qui soit nulle à la racine de f ; sinon, soit g une primitive quelconque de f . Puis

où sgn( x ) est la fonction signe , qui prend les valeurs -1, 0, 1 lorsque x est respectivement négatif, nul ou positif.

Ceci peut être prouvé en calculant la dérivée du membre de droite de la formule, en tenant compte du fait que la condition sur g est ici pour assurer la continuité de l'intégrale.

Cela donne les formules suivantes (où a ≠ 0 ), qui sont valables sur tout intervalle où f est continu (sur des intervalles plus grands, la constante C doit être remplacée par une fonction constante par morceaux ) :

• ${\displaystyle \int \left|(ax+b)^{n}\right|\,dx=\operatorname {sgn}(ax+b){(ax+b)^{n+1} \over a( n+1)}+C}$
  quand n est impair, et .${\style d'affichage n\neq -1}$
• ${\displaystyle \int \left|\tan {ax}\right|\,dx=-{\frac {1}{a}}\operatorname {sgn}(\tan {ax})\ln(\left|\ cos {ax}\right|)+C}$
  quand pour un nombre entier n .${\textstyle hache\in \left(n\pi -{\frac {\pi }{2}},n\pi +{\frac {\pi }{2}}\right)}$
• ${\displaystyle \int \left|\csc {ax}\right|\,dx=-{\frac {1}{a}}\operatorname {sgn}(\csc {ax})\ln(\left|\ csc {ax}+\cot {ax}\right|)+C}$
  quand pour un nombre entier n .${\displaystyle hache\in \left(n\pi ,n\pi +\pi \right)}$
• ${\displaystyle \int \left|\sec {ax}\right|\,dx={\frac {1}{a}}\operatorname {sgn}(\sec {ax})\ln(\left|\sec {ax}+\tan {ax}\right|)+C}$
  quand pour un nombre entier n .${\textstyle hache\in \left(n\pi -{\frac {\pi }{2}},n\pi +{\frac {\pi }{2}}\right)}$
• ${\displaystyle \int \left|\cot {ax}\right|\,dx={\frac {1}{a}}\operatorname {sgn}(\cot {ax})\ln(\left|\sin {hache}\droit|)+C}$
  quand pour un nombre entier n .${\displaystyle hache\in \left(n\pi ,n\pi +\pi \right)}$

Si la fonction f n'a pas de primitive continue qui prend la valeur zéro aux zéros de f (c'est le cas pour les fonctions sinus et cosinus), alors sgn( f ( x )) ∫ f ( x ) dx est un primitive de f sur tout intervalle sur lequel f n'est pas nul, mais peut être discontinu aux points où f ( x ) = 0 . Pour avoir une primitive continue, il faut donc ajouter une fonction échelon bien choisie . Si on utilise aussi le fait que les valeurs absolues du sinus et du cosinus sont périodiques de période π , alors on obtient :

• ${\displaystyle \int \left|\sin {ax}\right|\,dx={2 \over a}\left\lfloor {\frac {ax}{\pi }}\right\rfloor -{1 \over a}\cos {\left(ax-\left\lfloor {\frac {ax}{\pi }}\right\rfloor \pi \right)}+C}$
• ${\displaystyle \int \left|\cos {ax}\right|\,dx={2 \over a}\left\lfloor {\frac {ax}{\pi }}+{\frac {1}{2 }}\right\rfloor +{1 \over a}\sin {\left(ax-\left\lfloor {\frac {ax}{\pi }}+{\frac {1}{2}}\right\ rfloor \pi \right)}+C}$

Fonctions spéciales

Ci , Si : Intégrales trigonométriques , Ei : Intégrale exponentielle , li : Fonction intégrale logarithmique , erf : Fonction d' erreur

• ${\displaystyle \int \operatorname {Ci} (x)\,dx=x\operatorname {Ci} (x)-\sin x}$
• ${\displaystyle \int \operatorname {Si} (x)\,dx=x\operatorname {Si} (x)+\cos x}$
• ${\displaystyle \int \operatorname {Ei} (x)\,dx=x\operatorname {Ei} (x)-e^{x}}$
• ${\displaystyle \int \operatorname {li} (x)\,dx=x\operatorname {li} (x)-\operatorname {Ei} (2\ln x)}$
• ${\displaystyle \int {\frac {\operatorname {li} (x)}{x}}\,dx=\ln x\,\operatorname {li} (x)-x}$
• ${\displaystyle \int \operatorname {erf} (x)\,dx={\frac {e^{-x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}+x\operatorname {erf} (x )}$

Intégrales définies sans primitives de forme fermée

Il existe certaines fonctions dont les primitives ne peuvent pas être exprimées sous forme fermée . Cependant, les valeurs des intégrales définies de certaines de ces fonctions sur certains intervalles communs peuvent être calculées. Quelques intégrales utiles sont données ci-dessous.

• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\sqrt {x}}\,e^{-x}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi } }}$(voir aussi fonction Gamma )
• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{a }}}}$pour a > 0 (l' intégrale gaussienne )
• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{x^{2}e^{-ax^{2}}\,dx}={\frac {1}{4}}{\sqrt {\ frac {\pi }{a^{3}}}}}$pour un > 0
• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {2n-1}{2a}}\int _{0 }^{\infty }x^{2(n-1)}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {(2n-1)!!}{2^{n+1} }}{\sqrt {\frac {\pi }{a^{2n+1}}}}={\frac {(2n)!}{n!2^{2n+1}}}{\sqrt {\ frac {\pi }{a^{2n+1}}}}}$
  pour a > 0 , n est un entier positif et !! est la factorielle double .
• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{x^{3}e^{-ax^{2}}\,dx}={\frac {1}{2a^{2}}}}$quand a > 0
• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n+1}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {n}{a}}\int _{0 }^{\infty }x^{2n-1}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {n!}{2a^{n+1}}}}$
  pour a > 0 , n = 0, 1, 2, ....
• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$ (voir aussi le numéro de Bernoulli )
• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}\,dx=2\zeta (3)\approx 2.40}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}\,dx={\frac {\pi ^{4}}{ 15}}}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin {x}}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}}$(voir fonction sinc et l' intégrale de Dirichlet )
• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin ^{2}{x}}{x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2} }}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}} \cos ^{n}x\,dx={\frac {(n-1)!!}{n!!}}\times {\begin{cases}1&{\text{if }}n{\text{ est impair}}\\{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}n{\text{ est pair.}}\end{cases}}}$
  (si n est un entier positif et !! est la factorielle double ).
• ${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(\alpha x)\cos ^{n}(\beta x)dx={\begin{cases}{\frac {2\pi } {2}{n}}}{\binom {n}{m}}&|\alpha |=|\beta (2m-n)|\\0&{\text{autrement}}\end{cases}}}$
  (pour α , β , m , n entiers avec β ≠ 0 et m , n ≥ 0 , voir aussi Coefficient binomial )
• ${\displaystyle \int _{-t}^{t}\sin ^{m}(\alpha x)\cos ^{n}(\beta x)dx=0}$
  (pour α , β réel, n un entier non négatif, et m un entier positif impair ; puisque l'intégrande est impair )
• ${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\sin(\alpha x)\sin ^{n}(\beta x)dx={\begin{cases}(-1)^{\left ({\frac {n+1}{2}}\right)}(-1)^{m}{\frac {2\pi }{2^{n}}}{\binom {n}{m} }&n{\text{ impair}},\ \alpha =\beta (2m-n)\\0&{\text{autrement}}\end{cases}}}$
  (pour α , β , m , n entiers avec β ≠ 0 et m , n ≥ 0 , voir aussi Coefficient binomial )
• ${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(\alpha x)\sin ^{n}(\beta x)dx={\begin{cases}(-1)^{\left ({\frac {n}{2}}\right)}(-1)^{m}{\frac {2\pi }{2^{n}}}{\binom {n}{m}}&n {\text{ even}},\ |\alpha |=|\beta (2m-n)|\\0&{\text{autrement}}\end{cases}}}$
  (pour α , β , m , n entiers avec β ≠ 0 et m , n ≥ 0 , voir aussi Coefficient binomial )
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-(ax^{2}+bx+c)}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}} }\exp \left[{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\right]}$
  (où exp[ u ] est la fonction exponentielle e ^u , et a > 0 .)
• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{z-1}\,e^{-x}\,dx=\Gamma (z)}$
  (où est la fonction Gamma )${\style d'affichage \Gamma (z)}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{1}\left(\ln {\frac {1}{x}}\right)^{p}\,dx=\Gamma (p+1)}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}dx={\frac {\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}}}$
  (pour Re( α ) > 0 et Re( β ) > 0 , voir fonction Beta )
• ${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta }d\theta =2\pi I_{0}(x)}$ (où I ₀ ( x ) est la fonction de Bessel modifiée du premier type)
• ${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta +y\sin \theta }d\theta =2\pi I_{0}\left({\sqrt {x^ {2}+y^{2}}}\droit)}$
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{-{\frac {\nu +1 }{2}}}\,dx={\frac {{\sqrt {\nu \pi }}\ \Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}{\Gamma \left ({\frac {\nu +1}{2}}\right)}}}$
  (pour ν > 0 , ceci est lié à la fonction de densité de probabilité de la loi t de Student )

Si la fonction f a une variation bornée sur l'intervalle [ a , b ] , alors la méthode d'épuisement fournit une formule pour l'intégrale :

Le " rêve de deuxième année ":

attribué à Johann Bernoulli .

Voir également

• Fonction gamma incomplète
• Somme indéfinie
• Liste des limites
• Liste des séries mathématiques
• Intégration symbolique

Les références

Lectures complémentaires

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , éd. (1983) [juin 1964]. Manuel des fonctions mathématiques avec formules, graphiques et tableaux mathématiques . Série de Mathématiques Appliquées. 55 (Neuvième réimpression avec des corrections supplémentaires de la dixième impression originale avec des corrections (décembre 1972); première éd.). Washington DC; New York : Département du commerce des États-Unis, Bureau national des normes ; Publications de Douvres. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036 . MR  0167642 . LCCN  65-12253 .
• Bronstein, Ilja Nikolaevič; Semendjajew, Konstantin Adolfovič (1987) [1945]. Grosche, Gunter; Ziegler, Viktor ; Ziegler, Dorothea (éd.). Taschenbuch der Mathematik (en allemand). 1 . Traduit par Ziegler, Viktor. Weiß, Jürgen (23 éd.). Thoune et Francfort-sur-le-Main : Verlag Harri Deutsch (et BG Teubner Verlagsgesellschaft , Leipzig). ISBN 3-87144-492-8.
• Gradshteyn, Izrail Solomonovich ; Ryjik, Iosif Moiseevich ; Geronimus, Youri Veniaminovitch ; Tseytlin, Michail Yulyevich ; Jeffrey, Alan (2015) [octobre 2014]. Zwillinger, Daniel; Moll, Victor Hugo (éd.). Tableau des intégrales, des séries et des produits . Traduit par Scripta Technica, Inc. (8 éd.). Academic Press, Inc. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN  2014010276 . (Plusieurs éditions précédentes également.)
• Prudnikov, Anatolii Platonovich (Прудников, Анатолий Платонович) ; Brychkov, Yuri A. (Брычков, Ю. А.); Marichev, Oleg Igorevich (Маричев, Олег Игоревич) (1988-1992) [1981−1986 (russe)]. Intégrales et séries . 1–5 . Traduit par Queen, NM (1 éd.). ( Nauka ) Gordon & Breach Science Publishers/ CRC Press . ISBN 2-88124-097-6.. Deuxième édition révisée (russe), volume 1–3, Fiziko-Matematicheskaya Literatura, 2003.
• Yuri A. Brychkov (Ю. А. Брычков), Manuel des fonctions spéciales : dérivées, intégrales, séries et autres formules . Édition russe, Fiziko-Matematicheskaya Literatura, 2006. Édition anglaise, Chapman & Hall/CRC Press, 2008, ISBN  1-58488-956-X / 9781584889564.
• Daniel Zwillinger. Tables et formules mathématiques standard du CRC , 31e édition. Chapman & Hall/CRC Press, 2002. ISBN  1-58488-291-3 . (De nombreuses éditions antérieures également.)
• Meyer Hirsch  [ de ] , Integraltafeln oder Sammlung von Integralformeln (Duncker und Humblot, Berlin, 1810)
• Meyer Hirsch  [ de ] , Integral Tables Or A Collection of Integral Formulas (Baynes et fils, Londres, 1823) [traduction anglaise de Integraltafeln ]
• David Bierens de Haan , Nouvelles Tables d'Intégrales définies (Engels, Leiden, 1862)
• Benjamin O. Pierce Une courte table d'intégrales - édition révisée (Ginn & co., Boston, 1899)

Liens externes

Tables d'intégrales

• Notes de mathématiques en ligne de Paul
• A. Dieckmann, Table des intégrales (fonctions elliptiques, racines carrées, tangentes inverses et fonctions plus exotiques) : intégrales indéfinies intégrales définies
• Majeure en mathématiques : une table d'intégrales
• O'Brien, Francis J. Jr. https://www.scribd.com/document/520961656/500-Integrals-of-Elementary-and-Special-Functions . Manquant ou vide |title=( aide ) Intégrales dérivées de fonctions exponentielles, logarithmiques et fonctions spéciales.
• Intégration basée sur des règles Règles d'intégration indéfinies définies avec précision couvrant une large classe d'intégrandes
• Mathar, Richard J. (2012). "Encore une autre table d'intégrales". arXiv : 1207.5845 .

Dérivations

• Victor Hugo Moll, Les Intégraux de Gradshteyn et Ryjik

Un service en ligne

• Exemples d'intégration pour Wolfram Alpha

Programmes open source

• wxmaxima gui pour la résolution symbolique et numérique de nombreux problèmes mathématiques

Vidéos

• La technique d'intégration la plus puissante qui existe . Vidéo YouTube par Flammable Maths sur les symétries