Article de liste Wikimedia avec des règles pour calculer la dérivée d'une fonction en calcul
Ceci est un résumé des règles de différenciation , c'est-à-dire des règles de calcul de la dérivée d'une fonction en calcul .
Règles élémentaires de différenciation
Sauf indication contraire, toutes les fonctions sont des fonctions de nombres réels ( R ) qui renvoient des valeurs réelles ; bien que plus généralement, les formules ci-dessous s'appliquent partout où elles sont bien définies — y compris le cas des nombres complexes ( C ) .
La différenciation est linéaire
Pour toute fonction et et tout nombre réel et , la dérivée de la fonction par rapport à est
Dans la notation de Leibniz, cela s'écrit :
Les cas particuliers incluent :
-
La règle du facteur constant
La règle du produit
Pour les fonctions f et g , la dérivée de la fonction h ( x ) = f ( x ) g ( x ) par rapport à x est
Dans la notation de Leibniz cela est écrit
La règle de la chaîne
La dérivée de la fonction est
Dans la notation de Leibniz, cela s'écrit :
souvent abrégé en
En se concentrant sur la notion de cartes, et le différentiel étant une carte , cela s'écrit de manière plus concise comme suit :
La règle de la fonction inverse
Si la fonction f a une fonction inverse g , ce qui signifie que et alors
En notation Leibniz, cela s'écrit
Lois de puissance, polynômes, quotients et réciproques
La règle de puissance polynomiale ou élémentaire
Si , pour tout nombre réel alors
Lorsque cela devient le cas particulier que si alors
La combinaison de la règle de puissance avec la somme et les règles multiples constantes permet le calcul de la dérivée de n'importe quel polynôme.
La règle réciproque
La dérivée de pour toute fonction (non nulle) f est :
-
où f est non nul.
Dans la notation de Leibniz, cela s'écrit
La règle réciproque peut être dérivée soit de la règle du quotient, soit de la combinaison de la règle de puissance et de la règle de chaîne.
La règle du quotient
Si f et g sont des fonctions, alors :
-
où g est non nul.
Cela peut être dérivé de la règle du produit et de la règle de réciprocité.
Règle de pouvoir généralisée
La règle de puissance élémentaire se généralise considérablement. La règle de puissance la plus générale est la règle de puissance fonctionnelle : pour toutes fonctions f et g ,
partout où les deux côtés sont bien définis.
Cas spéciaux
- Si , alors quand a est un nombre réel non nul et x est positif.
- La règle réciproque peut être dérivée comme le cas particulier où .
Dérivées de fonctions exponentielles et logarithmiques
l'équation ci-dessus est vraie pour tout c , mais la dérivée de donne un nombre complexe.
l'équation ci-dessus est également vraie pour tout c , mais donne un nombre complexe si .
-
où est la fonction Lambert W
-
Dérivées logarithmiques
La dérivée logarithmique est une autre façon d'énoncer la règle pour différencier le logarithme d'une fonction (en utilisant la règle de la chaîne):
-
où f est positif.
La différenciation logarithmique est une technique qui utilise des logarithmes et ses règles de différenciation pour simplifier certaines expressions avant d'appliquer réellement la dérivée.
Les logarithmes peuvent être utilisés pour supprimer des exposants, convertir des produits en sommes et convertir une division en soustraction - chacun pouvant conduire à une expression simplifiée pour prendre des dérivés.
Dérivées de fonctions trigonométriques
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Les dérivées dans le tableau ci-dessus sont pour lorsque la plage de la sécante inverse est et lorsque la plage de la cosécante inverse est .
Il est courant de définir en plus une fonction tangente inverse avec deux arguments , . Sa valeur se situe dans la plage et reflète le quadrant du point . Pour le premier et le quatrième quadrant (c'est-à-dire ) on a . Ses dérivées partielles sont
, et
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Dérivées de fonctions hyperboliques
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Voir Fonctions hyperboliques pour les restrictions sur ces dérivés.
Dérivés de fonctions spéciales
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Fonction Riemann Zeta
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Dérivées d'intégrales
Supposons qu'il soit nécessaire de différencier par rapport à x la fonction
où les fonctions et sont toutes les deux continues dans les deux et dans certaines régions du plan, y compris , et les fonctions et sont toutes les deux continues et ont toutes deux des dérivées continues pour . Alors pour :
Cette formule est la forme générale de la règle intégrale de Leibniz et peut être dérivée en utilisant le
théorème fondamental du calcul .
Dérivés d' ordre n
Certaines règles existent pour calculer la dérivée n - ième des fonctions, où n est un entier positif. Ceux-ci inclus:
La formule de Faà di Bruno
Si f et g sont n fois dérivables, alors
où et l'ensemble se compose de toutes les solutions entières non négatives de l'équation diophantienne .
Règle du général Leibniz
Si f et g sont n fois dérivables, alors
Voir également
Les références
Sources et lectures complémentaires
Ces règles sont données dans de nombreux livres, à la fois sur le calcul élémentaire et avancé, en mathématiques pures et appliquées. Ceux de cet article (en plus des références ci-dessus) peuvent être trouvés dans:
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Manuel mathématique des formules et des tableaux (3e édition) , S. Lipschutz, MR Spiegel, J. Liu, Schaum's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-154855-7 .
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The Cambridge Handbook of Physics Formulas , G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2 .
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Méthodes mathématiques pour la physique et l'ingénierie , KF Riley, MP Hobson, SJ Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3
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Manuel des fonctions mathématiques du NIST , FWJ Olver, DW Lozier, RF Boisvert, CW Clark, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-19225-5 .
Liens externes