Partie d'une série d'articles sur
Calcul
Définitions
Intégration par
En mathématiques , le test de Dirichlet est une méthode de test de la convergence d'une série . Il porte le nom de son auteur Peter Gustav Lejeune Dirichlet et a été publié à titre posthume dans le Journal de Mathématiques Pures et Appliquées en 1862.
Déclaration
Le test indique que si est une séquence de nombres réels et une séquence de nombres complexes satisfaisant
{
une
n
}
{\ displaystyle \ {a_ {n} \}}
{
b
n
}
{\ displaystyle \ {b_ {n} \}}
{
une
n
}
{\ displaystyle \ {a_ {n} \}}
est monotone
lim
n
→
∞
une
n
=
0
{\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} a_ {n} = 0}
|
∑
n
=
1
N
b
n
|
≤
M
{\ Displaystyle \ left | \ sum _ {n = 1} ^ {N} b_ {n} \ right | \ leq M}
pour tout entier positif N
où M est une constante, alors la série
∑
n
=
1
∞
une
n
b
n
{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} b_ {n}}
converge.
Preuve
Laissez et .
S
n
=
∑
k
=
1
n
une
k
b
k
{\ displaystyle S_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} b_ {k}}
B
n
=
∑
k
=
1
n
b
k
{\ displaystyle B_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} b_ {k}}
De la sommation par parties , nous avons cela . Puisque est borné par M et , le premier de ces termes s'approche de zéro, comme .
S
n
=
une
n
B
n
+
∑
k
=
1
n
-
1
B
k
(
une
k
-
une
k
+
1
)
{\ displaystyle S_ {n} = a_ {n} B_ {n} + \ sum _ {k = 1} ^ {n-1} B_ {k} (a_ {k} -a_ {k + 1})}
B
n
{\ displaystyle B_ {n}}
une
n
→
0
{\ displaystyle a_ {n} \ rightarrow 0}
une
n
B
n
→
0
{\ displaystyle a_ {n} B_ {n} \ à 0}
n
→
∞
{\ displaystyle n \ to \ infty}
Nous avons, pour chaque k , . Mais, si diminue,
|
B
k
(
une
k
-
une
k
+
1
)
|
≤
M
|
une
k
-
une
k
+
1
|
{\ displaystyle | B_ {k} (a_ {k} -a_ {k + 1}) | \ leq M | a_ {k} -a_ {k + 1} |}
{
une
n
}
{\ displaystyle \ {a_ {n} \}}
∑
k
=
1
n
M
|
une
k
-
une
k
+
1
|
=
∑
k
=
1
n
M
(
une
k
-
une
k
+
1
)
=
M
∑
k
=
1
n
(
une
k
-
une
k
+
1
)
{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} M | a_ {k} -a_ {k + 1} | = \ sum _ {k = 1} ^ {n} M (a_ {k} -a_ {k + 1}) = M \ somme _ {k = 1} ^ {n} (a_ {k} -a_ {k + 1})}
,
qui est une somme télescopique , qui égale et se rapproche donc de . Ainsi, converge. Et, si augmente,
M
(
une
1
-
une
n
+
1
)
{\ displaystyle M (a_ {1} -a_ {n + 1})}
M
une
1
{\ displaystyle Ma_ {1}}
n
→
∞
{\ displaystyle n \ to \ infty}
∑
k
=
1
∞
M
(
une
k
-
une
k
+
1
)
{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} M (a_ {k} -a_ {k + 1})}
{
une
n
}
{\ displaystyle \ {a_ {n} \}}
∑
k
=
1
n
M
|
une
k
-
une
k
+
1
|
=
-
∑
k
=
1
n
M
(
une
k
-
une
k
+
1
)
=
-
M
∑
k
=
1
n
(
une
k
-
une
k
+
1
)
{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} M | a_ {k} -a_ {k + 1} | = - \ sum _ {k = 1} ^ {n} M (a_ {k} - a_ {k + 1}) = - M \ somme _ {k = 1} ^ {n} (a_ {k} -a_ {k + 1})}
,
qui est à nouveau une somme télescopique, qui égale et se rapproche donc de . Ainsi, à nouveau, converge.
-
M
(
une
1
-
une
n
+
1
)
{\ displaystyle -M (a_ {1} -a_ {n + 1})}
-
M
une
1
{\ displaystyle -Ma_ {1}}
n
→
∞
{\ displaystyle n \ to \ infty}
∑
k
=
1
∞
M
(
une
k
-
une
k
+
1
)
{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} M (a_ {k} -a_ {k + 1})}
Donc, converge également par le test de comparaison directe . La série converge également par le test de convergence absolue . D'où converge.
∑
k
=
1
∞
|
B
k
(
une
k
-
une
k
+
1
)
|
{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} | B_ {k} (a_ {k} -a_ {k + 1}) |}
∑
k
=
1
∞
B
k
(
une
k
-
une
k
+
1
)
{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} B_ {k} (a_ {k} -a_ {k + 1})}
S
n
{\ displaystyle S_ {n}}
Applications
Un cas particulier du test de Dirichlet est le test en série alternée le plus couramment utilisé pour le cas
b
n
=
(
-
1
)
n
⟹
|
∑
n
=
1
N
b
n
|
≤
1.
{\ displaystyle b_ {n} = (- 1) ^ {n} \ Longrightarrow \ left | \ sum _ {n = 1} ^ {N} b_ {n} \ right | \ leq 1.}
Un autre corollaire est que converge chaque fois que c'est une séquence décroissante qui tend vers zéro.
∑
n
=
1
∞
une
n
péché
n
{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} \ sin n}
{
une
n
}
{\ displaystyle \ {a_ {n} \}}
Intégrales incorrectes
Une déclaration analogue pour la convergence d'intégrales incorrectes est prouvée en utilisant l'intégration par pièces. Si l'intégrale d'une fonction f est uniformément bornée sur tous les intervalles et que g est une fonction non négative décroissante monotone, alors l'intégrale de fg est une intégrale impropre convergente.
Remarques
Références
Hardy, GH, A Course of Pure Mathematics , Neuvième édition, Cambridge University Press, 1946. (pp. 379–380).
Voxman, William L., Advanced Calculus: An Introduction to Modern Analysis , Marcel Dekker, Inc., New York, 1981. (§8.B.13-15)
ISBN 0-8247-6949-X .
Liens externes
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