Flambement - Buckling

Panneaux de peau bouclés sur un avion B-52 . Les panneaux de peau mince se déforment à de très faibles charges. Dans le cas illustré ici, le poids de la structure avant du fuselage devant le train avant est suffisant pour provoquer le flambage des panneaux. Les panneaux bouclés sont toujours efficaces pour supporter le cisaillement par tension diagonale.

En génie des structures , le flambement est le changement soudain de forme ( déformation ) d'un composant structurel sous charge , tel que le fléchissement d'un poteau sous compression ou le plissement d'une plaque sous cisaillement . Si une structure est soumise à une charge progressivement croissante, lorsque la charge atteint un niveau critique, un élément peut soudainement changer de forme et on dit que la structure et le composant ont flambé . La charge critique d'Euler et la formule parabolique de Johnson sont utilisées pour déterminer la contrainte de flambement dans les colonnes élancées.

Le flambement peut se produire même si les contraintes qui se développent dans la structure sont bien inférieures à celles nécessaires pour provoquer une rupture du matériau qui compose la structure. Une charge supplémentaire peut provoquer des déformations importantes et quelque peu imprévisibles, pouvant conduire à une perte complète de la capacité de charge de l'élément. Cependant, si les déformations qui se produisent après le flambement ne provoquent pas l'effondrement complet de cette barre, la barre continuera à supporter la charge qui l'a provoquée. Si l'élément déformé fait partie d'un plus grand assemblage de composants tels qu'un bâtiment, toute charge appliquée à la partie déformée de la structure au-delà de celle qui a provoqué le flambage de l'élément sera redistribuée dans la structure. Certains aéronefs sont conçus pour que les panneaux de revêtement minces continuent de transporter une charge même à l'état déformé.

Formes de flambage

Colonnes

Un poteau soumis à une charge axiale concentrique présentant la déformation caractéristique du flambement

L'excentricité de la force axiale entraîne un moment de flexion agissant sur l'élément de poutre.

Le rapport de la longueur efficace d'une colonne au plus petit rayon de giration de sa section transversale est appelé le rapport d'élancement (parfois exprimé avec la lettre grecque lambda, ). Ce rapport permet de classer les colonnes et leur mode de défaillance. Le rapport d'élancement est important pour les considérations de conception. Toutes les valeurs suivantes sont des valeurs approximatives utilisées pour plus de commodité.

Si la charge sur un poteau est appliquée par le centre de gravité ( centre de gravité ) de sa section transversale, elle est appelée charge axiale . Une charge en tout autre point de la section transversale est appelée charge excentrique . Une colonne courte sous l'action d'une charge axiale échouera par compression directe avant de se déformer, mais une colonne longue chargée de la même manière échouera en s'élançant soudainement vers l'extérieur latéralement (flambement) dans un mode de flexion. Le mode de fléchissement par flambement est considéré comme un mode de rupture, et il se produit généralement avant que les contraintes de compression axiale (compression directe) puissent provoquer la rupture du matériau par plastification ou rupture de cet élément de compression. Cependant, les colonnes de longueur intermédiaire échoueront en raison d'une combinaison de contrainte de compression directe et de flexion.

En particulier:

• Une colonne courte en acier est celle dont le rapport d'élancement n'excède pas 50 ; une colonne en acier de longueur intermédiaire a un rapport d'élancement allant d'environ 50 à 200, et son comportement est dominé par la limite de résistance du matériau, tandis qu'une longue colonne en acier peut être supposée avoir un rapport d'élancement supérieur à 200 et son comportement est dominé par le module d'élasticité du matériau.
• Une colonne courte en béton est une colonne dont le rapport entre la longueur non supportée et la dimension minimale de la section transversale est égal ou inférieur à 10. Si le rapport est supérieur à 10, il est considéré comme une colonne longue (parfois appelée colonne élancée).
• Les poteaux en bois peuvent être classés comme poteaux courts si le rapport entre la longueur et la dimension la plus petite de la section transversale est égal ou inférieur à 10. La ligne de démarcation entre les poteaux en bois intermédiaires et longs ne peut pas être facilement évaluée. Une façon de définir la limite inférieure des longues colonnes en bois serait de la définir comme la plus petite valeur du rapport de la longueur à la moindre section transversale qui dépasserait juste une certaine constante K du matériau. Puisque K dépend du module d'élasticité et de la contrainte de compression admissible parallèlement au fil, on peut voir que cette limite arbitraire varierait avec l' essence du bois. La valeur de K est donnée dans la plupart des manuels de structure.

La théorie du comportement des colonnes a été étudiée en 1757 par le mathématicien Leonhard Euler . Il a dérivé la formule, la formule d'Euler, qui donne la charge axiale maximale qu'une colonne idéale longue, mince et idéale peut supporter sans flambage. Une colonne idéale est une colonne parfaitement droite, constituée d'un matériau homogène et exempte de contrainte initiale. Lorsque la charge appliquée atteint la charge d'Euler, parfois appelée charge critique, le poteau se trouve dans un état d' équilibre instable . À cette charge, l'introduction de la moindre force latérale provoquera la défaillance de la colonne en "sautant" soudainement à une nouvelle configuration, et la colonne aurait fléchi. C'est ce qui se passe lorsqu'une personne se tient debout sur une canette en aluminium vide, puis frappe brièvement les côtés, la faisant s'écraser instantanément (les côtés verticaux de la canette peuvent être compris comme une série infinie de colonnes extrêmement minces). La formule dérivée par Euler pour les colonnes longues et minces est donnée ci-dessous.

${\displaystyle F={\frac {\pi ^{2}EI}{(KL)^{2}}}}$

Pour obtenir la démonstration mathématique, lisez : La charge critique d'Euler

où

${\style d'affichage F}$, force maximale ou critique (charge verticale sur poteau),

${\style d'affichage E}$, module d'élasticité ,

${\style d'affichage I}$, le plus petit moment d'inertie d'aire (deuxième moment d'aire) de la section transversale du poteau,

${\style d'affichage L}$, longueur de colonne non prise en charge,

${\style d'affichage K}$, facteur de longueur efficace du poteau , dont la valeur dépend des conditions d'appui en bout du poteau, comme suit.

Pour les deux extrémités goupillées (articulées, libres de tourner), .${\style d'affichage K=1.0}$

Pour les deux extrémités fixes, .${\style d'affichage K=0,50}$

Pour une extrémité fixée et l'autre chevillée, .${\displaystyle K\environ 0,699}$

Pour une extrémité fixe et l'autre extrémité libre à déplacement latéral, .${\style d'affichage K=2.0}$

${\displaystyle KL}$ est la longueur effective de la colonne.

L'examen de cette formule révèle les faits suivants en ce qui concerne la capacité de charge des colonnes élancées.

• L' élasticité du matériau du poteau et non la résistance à la compression du matériau du poteau détermine la charge de flambement du poteau.
• La charge de flambement est directement proportionnelle au deuxième moment de l'aire de la section transversale.
• Les conditions aux limites ont un effet considérable sur la charge critique des poteaux élancés. Les conditions aux limites déterminent le mode de flexion du poteau et la distance entre les points d'inflexion sur la courbe de déplacement du poteau dévié. Les points d'inflexion dans la forme de déviation du poteau sont les points auxquels la courbure du poteau change de signe et sont également les points auxquels les moments de flexion internes du poteau sont nuls. Plus les points d'inflexion sont proches, plus la capacité de charge axiale résultante (charge de choc) du poteau est élevée.

Un modèle de démonstration illustrant les différents modes de flambement "Euler". Le modèle montre comment les conditions aux limites affectent la charge critique d'un poteau élancé. Notez que les colonnes sont identiques, à l'exception des conditions aux limites.

Une conclusion de ce qui précède est que la charge de flambement d'un poteau peut être augmentée en changeant son matériau pour un autre avec un module d'élasticité (E) plus élevé, ou en changeant la conception de la section transversale du poteau afin d'augmenter son moment d'inertie. Cette dernière peut être réalisée sans augmenter le poids de la colonne en répartissant le matériau le plus loin possible de l'axe principal de la section transversale de la colonne. Dans la plupart des cas, l'utilisation la plus efficace du matériau d'une colonne est celle d'une section tubulaire.

Une autre idée qui peut être tirée de cette équation est l'effet de la longueur sur la charge critique. En doublant la longueur non supportée de la colonne, la charge admissible est réduite en quatre. La retenue offerte par les connexions d'extrémité d'un poteau affecte également sa charge critique. Si les connexions sont parfaitement rigides (ne permettant pas la rotation de ses extrémités), la charge critique sera quatre fois celle d'un poteau similaire où les extrémités sont goupillées (permettant la rotation de ses extrémités).

Puisque le rayon de giration est défini comme la racine carrée du rapport du moment d'inertie du poteau autour d'un axe à sa section transversale, la formule d'Euler ci-dessus peut être reformatée en remplaçant le rayon de giration par : ${\displaystyle Ar^{2}}$${\style d'affichage I}$

${\displaystyle \sigma ={\frac {F}{A}}={\frac {\pi ^{2}E}{(l/r)^{2}}}}$

où est la contrainte qui provoque le flambement du poteau, et est le rapport d'élancement. ${\displaystyle \sigma =F/A}$${\style d'affichage g/d}$

Étant donné que les colonnes structurelles sont généralement de longueur intermédiaire, la formule d'Euler a peu d'application pratique pour la conception ordinaire. Les problèmes qui provoquent un écart par rapport au comportement pur de la colonne Euler incluent les imperfections de la géométrie de la colonne en combinaison avec la plasticité/le comportement de contrainte de contrainte non linéaire du matériau de la colonne. Par conséquent, un certain nombre de formules de colonnes empiriques ont été développées qui concordent avec les données d'essai, qui incarnent toutes le rapport d'élancement. En raison de l'incertitude dans le comportement des colonnes, pour la conception, des facteurs de sécurité appropriés sont introduits dans ces formules. L'une de ces formules est la formule de Perry Robertson qui estime la charge critique de flambement sur la base d'une faible courbure initiale supposée, d'où une excentricité de la charge axiale. La formule de Rankine Gordon (nommée d'après William John Macquorn Rankine et Perry Hugesworth Gordon (1899 – 1966)) est également basée sur des résultats expérimentaux et suggère qu'une colonne se déformera à une charge F _max donnée par :

${\displaystyle {\frac {1}{F_{\max }}}={\frac {1}{F_{e}}}+{\frac {1}{F_{c}}}}$

où est la charge maximale d'Euler et est la charge de compression maximale. Cette formule produit généralement une estimation prudente de . ${\style d'affichage F_{e}}$${\style d'affichage F_{c}}$${\style d'affichage F_{\max }}$

Auto-flambage

Pour obtenir la démonstration mathématique, lisez : Auto-flambage

Une colonne verticale autoportante, avec une densité , un module de Young et une section transversale , se déformera sous son propre poids si sa hauteur dépasse une certaine valeur critique : ${\style d'affichage \rho }$${\style d'affichage E}$${\style d'affichage A}$

${\displaystyle h_{\text{crit}}=\left({\frac {9B^{2}}{4}}\,{\frac {EI}{\rho gA}}\right)^{\frac {1}{3}}}$

où est l'accélération due à la pesanteur, est le deuxième moment d'aire de la section transversale de la poutre, et est le premier zéro de la fonction de Bessel du premier type d'ordre −1/3, qui est égal à 1.86635086… ${\style d'affichage g}$${\style d'affichage I}$${\style d'affichage B}$

flambage des plaques

Une plaque est une structure tridimensionnelle définie comme ayant une largeur de taille comparable à sa longueur, avec une épaisseur très faible par rapport à ses deux autres dimensions. Tout comme les poteaux, les plaques minces subissent des déformations de flambement hors plan lorsqu'elles sont soumises à des charges critiques ; Cependant, contrairement au flambement des poteaux, les plaques soumises à des charges de flambement peuvent continuer à supporter des charges, appelées flambement local. Ce phénomène est incroyablement utile dans de nombreux systèmes, car il permet de concevoir des systèmes pour fournir de plus grandes capacités de chargement.

Pour une plaque rectangulaire, supportée le long de chaque bord, chargée avec une force de compression uniforme par unité de longueur, l'équation déterminante dérivée peut être énoncée par :

${\displaystyle {\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y ^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}={\frac {12\left(1-\nu ^{2}\right)} {Et^{3}}}\left(-N_{x}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}\right)}$

où

${\style d'affichage w}$, déviation hors plan

${\style d'affichage N_{x}}$, charge de compression uniformément répartie

${\style d'affichage \nu }$, coefficient de Poisson

${\style d'affichage E}$, module d'élasticité

${\style d'affichage t}$, épaisseur

La solution de la déviation peut être développée en deux fonctions harmoniques illustrées :

${\displaystyle w=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }w_{mn}\sin \left({\frac {m\pi x}{ a}}\right)\sin \left({\frac {n\pi y}{b}}\right)}$

où

${\style d'affichage m}$, nombre de demi-courbures sinusoïdales qui se produisent dans le sens de la longueur

${\style d'affichage n}$, nombre de demi-courbures sinusoïdales qui se produisent dans le sens de la largeur

${\style d'affichage a}$, longueur de l'échantillon

${\style d'affichage b}$, largeur de l'éprouvette

L'équation précédente peut être remplacée par l'équation différentielle précédente où égal à 1. peut être séparé en fournissant l'équation pour le chargement de compression critique d'une plaque : ${\style d'affichage n}$${\style d'affichage N_{x}}$

${\displaystyle N_{x,cr}=k_{cr}{\frac {\pi ^{2}Et^{3}}{12\left(1-\nu ^{2}\right)b^{2 }}}}$

où

${\displaystyle k_{cr}}$, coefficient de flambement, donné par :

${\displaystyle k_{cr}=\left({\frac {mb}{a}}+{\frac {a}{mb}}\right)^{2}}$

Le coefficient de flambement est influencé par l'aspect de l'éprouvette, / , et le nombre de courbures longitudinales. Pour un nombre croissant de telles courbures, le rapport d'aspect produit un coefficient de flambement variable ; mais chaque relation fournit une valeur minimale pour chacun . Cette valeur minimale peut ensuite être utilisée comme constante, indépendante à la fois du rapport hauteur/largeur et de . ${\style d'affichage a}$${\style d'affichage {b}}$${\style d'affichage m}$${\style d'affichage m}$

Étant donné que la contrainte est trouvée par la charge par unité de surface, l'expression suivante est trouvée pour la contrainte critique :

${\displaystyle \sigma _{cr}=k_{cr}{\frac {\pi ^{2}E}{12\left(1-\nu ^{2}\right)\left({\frac {b }{t}}\droit)^{2}}}}$

A partir des équations dérivées, on peut voir les similitudes étroites entre la contrainte critique pour une colonne et pour une plaque. Au fur et à mesure que la largeur diminue, la plaque agit davantage comme une colonne car elle augmente la résistance au flambement le long de la largeur de la plaque. L'augmentation de permet d'augmenter le nombre d'ondes sinusoïdales produites par le flambement le long de la longueur, mais augmente également la résistance du flambement le long de la largeur. Cela crée la préférence de la plaque à se déformer de manière à égaler le nombre de courbures à la fois le long de la largeur et de la longueur. En raison des conditions aux limites, lorsqu'une plaque est chargée avec une contrainte critique et des flambages, les bords perpendiculaires à la charge ne peuvent pas se déformer hors du plan et continueront donc à supporter les contraintes. Cela crée un chargement de compression non uniforme le long des extrémités, où les contraintes sont imposées sur la moitié de la largeur efficace de chaque côté de l'éprouvette, donnée par ce qui suit : ${\style d'affichage b}$${\style d'affichage a}$

${\displaystyle {\frac {b_{\text{eff}}}{b}}\approx {\sqrt {{\frac {\sigma _{cr}}{\sigma _{y}}}\left(1 -1.022{\sqrt {\frac {\sigma _{cr}}{\sigma _{y}}}}\right)}}}$

où

${\displaystyle b_{\text{eff}}}$, largeur efficace

${\displaystyle \sigma _{y}}$, cédant le stress

Au fur et à mesure que la contrainte chargée augmente, la largeur effective continue de rétrécir ; si les contraintes sur les extrémités atteignent jamais la limite d'élasticité, la plaque échouera. C'est ce qui permet à la structure flambée de continuer à supporter les charges. Lorsque la charge axiale sur la charge critique est tracée en fonction du déplacement, le chemin fondamental est affiché. Il démontre la similitude de la plaque avec un poteau sous flambement ; cependant, au-delà de la charge de flambement, le chemin fondamental bifurque en un chemin secondaire qui s'incurve vers le haut, offrant la possibilité d'être soumis à des charges plus élevées au-delà de la charge critique.

Flambement en flexion-torsion

Le flambement en flexion-torsion peut être décrit comme une combinaison de réponse en flexion et en torsion d'un élément en compression. Un tel mode de déflexion doit être pris en compte à des fins de conception. Cela se produit principalement dans les colonnes avec des sections transversales "ouvertes" et ont donc une faible rigidité en torsion, telles que les canaux, les tés structurels, les formes à double angle et les angles simples à jambe égale. Les sections transversales circulaires ne subissent pas un tel mode de flambement.

Flambement latéral-torsion

Flambement latéral par torsion d'une poutre en I avec force verticale au centre : a) vue longitudinale, b) coupe transversale près de l'appui, c) coupe transversale au centre avec flambement latéral par torsion

Lorsqu'une poutre simplement appuyée est chargée en flexion , la face supérieure est en compression et la face inférieure est en tension . Si la poutre n'est pas soutenue dans la direction latérale (c'est-à-dire perpendiculaire au plan de flexion) et que la charge de flexion augmente jusqu'à une limite critique, la poutre subira une déviation latérale de la semelle comprimée lorsqu'elle flambera localement. La déflexion latérale de la semelle comprimée est limitée par l'âme de la poutre et la semelle tendue, mais pour une section ouverte, le mode de torsion est plus flexible, par conséquent la poutre se tord et dévie latéralement dans un mode de rupture connu sous le nom de flambement latéral-torsion . Dans les sections à larges ailes (avec une rigidité latérale élevée en flexion), le mode de déflexion sera principalement la torsion en torsion. Dans les sections à semelles étroites, la rigidité en flexion est plus faible et la déflexion du poteau sera plus proche de celle du mode de déflexion latérale.

L'utilisation de sections fermées telles que les sections creuses carrées atténuera les effets de flambement latéral-torsion en raison de leur grande rigidité en torsion .

C _b est un facteur de modification utilisé dans l'équation de la résistance à la flexion nominale lors de la détermination du voilement latéral par torsion. La raison de ce facteur est de permettre des diagrammes de moments non uniformes lorsque les extrémités d'un segment de poutre sont contreventées. La valeur prudente pour C _b peut être considérée comme 1, quelle que soit la configuration de la poutre ou le chargement, mais dans certains cas, elle peut être excessivement prudente. C _b est toujours égal ou supérieur à 1, jamais inférieur. Pour les porte-à - faux ou surplombs dont l'extrémité libre n'est pas contreventée, C _b est égal à 1. Des tableaux de valeurs de C _b pour les poutres simplement appuyées existent.

Si une valeur appropriée de C _b n'est pas donnée dans les tableaux, elle peut être obtenue via la formule suivante :

${\displaystyle C_{b}={\frac {12.5M_{\max }}{2.5M_{\max }+3M_{A}+4M_{B}+3M_{C}}}}$

où

${\style d'affichage M_{\max }}$, valeur absolue du moment maximal dans le segment non contreventé,

${\style d'affichage M_{A}}$, valeur absolue du moment maximal au quart de point du segment non contreventé,

${\style d'affichage M_{B}}$, valeur absolue du moment maximal à l'axe du segment non contreventé,

${\style d'affichage M_{C}}$, valeur absolue du moment maximal aux trois quarts du segment non contreventé,

Le résultat est le même pour tous les systèmes unitaires.

Bouclage plastique

La résistance au flambement d'un élément est inférieure à la résistance au flambement élastique d'une structure si le matériau de l'élément est soumis à une contrainte au-delà de la plage de matériau élastique et dans la plage de comportement du matériau non linéaire (plastique). Lorsque la charge de compression est proche de la charge de flambement, la structure se pliera de manière significative et le matériau de la colonne s'écartera d'un comportement de contrainte-déformation linéaire. Le comportement contrainte-déformation des matériaux n'est pas strictement linéaire même en dessous de la limite d'élasticité, donc le module d'élasticité diminue à mesure que la contrainte augmente, et de manière significative à mesure que les contraintes se rapprochent de la limite d'élasticité du matériau. Cette rigidité réduite du matériau réduit la résistance au flambement de la structure et entraîne une charge de flambement inférieure à celle prédite par l'hypothèse d'un comportement élastique linéaire.

Une approximation plus précise de la charge de flambement peut être obtenue en utilisant le module d'élasticité tangent, E _t , qui est inférieur au module d'élasticité, à la place du module d'élasticité élastique. La tangente est égale au module d'élasticité puis décroît au-delà de la limite proportionnelle. Le module tangent est une ligne tracée tangente à la courbe contrainte-déformation à une valeur particulière de déformation (dans la section élastique de la courbe contrainte-déformation, le module tangent est égal au module élastique). Des tracés du module d'élasticité tangent pour une variété de matériaux sont disponibles dans les références standard.

Paralysant

Les sections constituées de plaques à brides telles qu'un canal peuvent encore supporter une charge dans les coins une fois que les brides se sont localement déformées. La paralysie est l'échec de la section complète.

Tension diagonale

En raison des peaux minces généralement utilisées dans les applications aérospatiales, les peaux peuvent flamber à de faibles niveaux de charge. Cependant, une fois flambés, au lieu de pouvoir transmettre des forces de cisaillement, ils sont toujours capables de supporter une charge par le biais de contraintes de tension diagonale (DT) dans l'âme. Il en résulte un comportement non linéaire dans le comportement de charge de ces détails. Le rapport entre la charge réelle et la charge à laquelle le flambement se produit est appelé rapport de flambement d'une tôle. Des taux de flambage élevés peuvent conduire à un froissement excessif des feuilles qui peuvent alors se rompre en cédant les plis. Bien qu'elles puissent se déformer, les tôles minces sont conçues pour ne pas se déformer de façon permanente et revenir à un état débouclé lorsque la charge appliquée est supprimée. Le flambement répété peut entraîner des ruptures par fatigue .

Les tôles sous tension diagonale sont supportées par des raidisseurs qui, en raison du flambement des tôles, supportent une charge répartie sur toute leur longueur, et peuvent à leur tour entraîner la rupture de ces éléments structurels sous le flambement.

Des plaques plus épaisses peuvent ne former que partiellement un champ de tension diagonal et peuvent continuer à supporter une partie de la charge par cisaillement. C'est ce qu'on appelle la tension diagonale incomplète (IDT). Ce comportement a été étudié par Wagner et ces faisceaux sont parfois appelés faisceaux de Wagner.

La tension diagonale peut également entraîner une force de traction sur toutes les attaches telles que les rivets qui sont utilisés pour fixer la bande aux éléments de support. Les attaches et les tôles doivent être conçues pour résister à l'arrachement de leurs supports.

Flambement dynamique

Si un poteau est chargé soudainement et que la charge est ensuite relâchée, le poteau peut supporter une charge beaucoup plus élevée que sa charge de flambement statique (appliquée lentement). Cela peut se produire dans une longue colonne non supportée utilisée comme marteau-pilon. La durée de compression à l'extrémité d'impact est le temps nécessaire pour qu'une onde de contrainte se déplace le long de la colonne jusqu'à l'autre extrémité (libre) et redescende sous forme d'onde de soulagement. Le flambement maximal se produit près de l'extrémité d'impact à une longueur d'onde beaucoup plus courte que la longueur de la tige et à une contrainte plusieurs fois supérieure à la contrainte de flambement d'une colonne chargée statiquement. La condition critique pour que l'amplitude de flambement reste inférieure à environ 25 fois l'imperfection effective de rectitude de la tige à la longueur d'onde de flambement est

${\displaystyle \sigma L=\rho c^{2}h}$

où est la contrainte d'impact, est la longueur de la tige, est la vitesse de l'onde élastique et est la plus petite dimension latérale d'une tige rectangulaire. Parce que la longueur d'onde de la boucle ne dépend que de et , cette même formule est valable pour les coques cylindriques minces d'épaisseur . ${\style d'affichage \sigma }$${\style d'affichage L}$${\style d'affichage c}$${\style d'affichage h}$${\style d'affichage \sigma }$${\style d'affichage h}$${\style d'affichage h}$

Théorie

Méthode énergétique

Il est souvent très difficile de déterminer la charge de flambement exacte dans les structures complexes à l'aide de la formule d'Euler, en raison de la difficulté à déterminer la constante K. Par conséquent, la charge de flambement maximale est souvent estimée à l'aide de la conservation de l'énergie et appelée méthode énergétique dans l'analyse structurelle. .

La première étape de cette méthode consiste à supposer un mode de déplacement et une fonction qui représente ce déplacement. Cette fonction doit satisfaire les conditions aux limites les plus importantes, telles que le déplacement et la rotation. Plus la fonction de déplacement est précise, plus le résultat est précis.

La méthode suppose que le système (la colonne) est un système conservateur dans lequel l'énergie n'est pas dissipée sous forme de chaleur, donc l'énergie ajoutée à la colonne par les forces externes appliquées est stockée dans la colonne sous forme d'énergie de déformation.

${\displaystyle U_{\text{applied}}=U_{\text{strain}}}$

Dans cette méthode, deux équations sont utilisées (pour les petites déformations) pour approximer l'énergie "de déformation" (l'énergie potentielle stockée sous forme de déformation élastique de la structure) et l'énergie "appliquée" (le travail effectué sur le système par des forces externes).

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{\text{strain}}&={\frac {E}{2}}\int I(x)(w_{xx}(x))^{2}\, dx\\U_{\text{appliqué}}&={\frac {P_{\text{crit}}}{2}}\int (w_{x}(x))^{2}\,dx\end {aligné}}}$

où est la fonction de déplacement et les indices et se réfèrent aux dérivées première et seconde du déplacement. ${\style d'affichage w(x)}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage xx}$

Modèles à un degré de liberté

En utilisant le concept d' énergie potentielle totale , , il est possible d'identifier quatre formes fondamentales de flambement trouvées dans les modèles structuraux à un degré de liberté. On commence par exprimer ${\style d'affichage V}$

${\displaystyle V=UP\Delta }$

où est l'énergie de déformation stockée dans la structure, est la charge conservatrice appliquée et est la distance parcourue dans sa direction. En utilisant les axiomes de la théorie de l'instabilité élastique, à savoir que l'équilibre est tout point où est stationnaire par rapport à la coordonnée mesurant le(s) degré(s) de liberté et que ces points ne sont stables que s'il s'agit d'un minimum local et instable sinon (par exemple maximum ou un point d'inflexion). ${\style d'affichage U}$${\style d'affichage P}$${\style d'affichage \Delta }$${\style d'affichage P}$${\style d'affichage V}$${\style d'affichage V}$

Ces quatre formes de flambement élastique sont la bifurcation nœud-selle ou point limite ; la bifurcation supercritique ou stable-symétrique ; la bifurcation sous - critique ou à symétrie instable ; et la bifurcation transcritique ou asymétrique . Tous ces exemples, sauf le premier, sont une forme de bifurcation en fourche . Des modèles simples pour chacun de ces types de comportement de flambement sont présentés dans les figures ci-dessous, ainsi que les diagrammes de bifurcation associés.

Modèles de liens rigides à un degré de liberté (SDoF) illustrant quatre types distincts de phénomènes de flambement. Le ressort de chaque modèle n'est pas sollicité lorsque . ${\style d'affichage q=0}$

Point limite	Bifurcation stable et symétrique	Bifurcation à symétrie instable	Bifurcation asymétrique
Un modèle en treillis noué avec des liens inclinés et un ressort horizontal.	Modèle à maillons avec ressort de rotation	Modèle à maillons avec ressort transversal	Modèle à maillons avec ressort incliné

Diagrammes de bifurcation (bleu) pour les modèles ci-dessus avec la fonction énergie (rouge) animée à différentes valeurs de charge, (noir). Notez que la charge est sur l'axe vertical. Tous les graphiques sont sous forme non dimensionnelle. ${\style d'affichage P}$

	${\style d'affichage P^{C}=c/(2L)}$	${\style d'affichage P^{C}=kL/2}$	${\style d'affichage P^{C}=kL/2}$

Exemples d'ingénierie

Roues de vélo

Une roue de bicyclette conventionnelle se compose d'une jante mince maintenue sous une contrainte de compression élevée par la traction vers l'intérieur (à peu près normale) d'un grand nombre de rayons. Il peut être considéré comme une colonne chargée qui a été pliée en un cercle. Si la tension des rayons est augmentée au-delà d'un niveau de sécurité ou si une partie de la jante est soumise à une certaine force latérale, la roue se brise spontanément en une forme de selle caractéristique (parfois appelée "taco" ou " pringle ") comme un tridimensionnel colonne d'Euler. S'il s'agit d'une déformation purement élastique, la jante reprendra sa forme plane appropriée si la tension des rayons est réduite ou si une force latérale de la direction opposée est appliquée.

Routes

Le flambement est également un mode de rupture dans les matériaux de chaussée , principalement avec le béton, car l' asphalte est plus flexible. La chaleur rayonnante du soleil est absorbée par la surface de la route, la faisant se dilater , forçant les pièces adjacentes à se pousser les unes contre les autres. Si le stress est suffisamment important, la chaussée peut se soulever et se fissurer sans avertissement. Passer sur une section tordue peut être très choquant pour les automobilistes , décrit comme le passage sur un dos d'âne à vitesse d'autoroute.

Les voies ferrées

Voies ferrées aux Pays - Bas affectées par Sun Kink.

De même, les voies ferrées se dilatent également lorsqu'elles sont chauffées et peuvent échouer par flambage, un phénomène appelé sunkink . Il est plus courant que les rails se déplacent latéralement, tirant souvent les traverses sous-jacentes (traverses).

Ces accidents ont été jugés liés au sunkink ( plus d'informations disponibles sur la liste des accidents ferroviaires (2000-2009) ) :

• 18 avril 2002 Déraillement de l' Auto-Train d' Amtrak , hors des voies CSX , près de Crescent City, en Floride .
• 29 juillet 2002 Déraillement d' Amtrak Capitol Limited , hors des voies CSX , près de Kensington, Maryland .
• 8 juillet 2010 Déraillement d'un train CSX à Waxhaw, Caroline du Nord .
• 6 juillet 2012 Déraillement d'un train WMATA Metrorail près de la gare de West Hyattsville , Maryland .

Tuyaux et récipients sous pression

Les tuyaux et les récipients sous pression soumis à une surpression externe, causée par exemple par le refroidissement de la vapeur à l'intérieur du tuyau et la condensation dans l'eau avec une chute de pression massive subséquente, risquent de se déformer en raison des contraintes circonférentielles de compression . Les règles de conception pour le calcul de l'épaisseur de paroi requise ou des anneaux de renforcement sont données dans divers codes de tuyauterie et de récipients sous pression.

Véhicules aérospatiaux supersoniques et hypersoniques

Le chauffage aérothermique peut entraîner le flambage des panneaux de surface sur les véhicules aérospatiaux supersoniques et hypersoniques tels que les avions à grande vitesse, les fusées et les véhicules de rentrée. Si le flambement est causé par des charges aérothermiques, la situation peut être encore compliquée par un transfert de chaleur amélioré dans les zones où la structure se déforme vers le champ d'écoulement.

Voir également

• Charge critique d'Euler
• Formule Perry Robertson
• Contrainte des rails
• Raidissement
• Méthode du bois
• Bouclage Yoshimura

Les références

Lectures complémentaires

• Timochenko, SP ; Gere, JM (1961). Théorie de la stabilité élastique (2e éd.). McGraw-Hill.
• Nenezich, M. (2004). "Mécanique du continu thermoplastique". Journal des structures aérospatiales . 4 .
• Koiter, WT (1945). La stabilité de l'équilibre élastique (PDF) (Thèse de doctorat).
• Rajesh, Dhakal; Maekawa, Koichi (2002). "La stabilité du renforcement et la rupture du béton de couverture dans les éléments en béton armé". Journal d'ingénierie structurelle . 128 (10) : 1253-1262. doi : 10.1061/(ASCE)0733-9445(2002)128:10(1253) . hdl : 10092/4229 .
• Segui, Willian T. (2007). Conception en acier (quatrième éd.). États-Unis : Thomson. ISBN 0-495-24471-6.
• Bruhn, EF (1973). Analyse et conception des structures de véhicules de vol . Indianapolis : Jacobs.
• Elishakoff, I. (2004). Résolution de l'énigme du vingtième siècle en stabilité élastique . Singapour : World Scientific/Imperial College Press. ISBN 978-981-4583-53-4.

Liens externes

• La théorie complète et des exemples de résultats expérimentaux pour de longues colonnes sont disponibles sous forme de document PDF de 39 pages à l' adresse http://lindberglce.com/tech/buklbook.htm
• « Flambement latéral par torsion » (PDF) . Archivé de l'original (PDF) le 1er avril 2010.`