Espace de classement - Classifying space

En mathématiques , en particulier en théorie de l'homotopie , un espace de classification BG d'un groupe topologique G est le quotient d'un espace faiblement contractile EG (ie un espace topologique dont tous les groupes d'homotopie sont triviaux) par une action libre propre de G . Il a la propriété que tout fibré principal G sur une variété paracompacte est isomorphe à un pullback du fibré principal EG → BG . Comme expliqué plus loin, cela signifie que la classification des espaces représente un foncteur à valeurs d'ensemble sur la catégorie d'homotopie des espaces topologiques. Le terme espace classifiant peut également être utilisé pour des espaces qui représentent un foncteur à valeurs d'ensemble sur la catégorie des espaces topologiques , tels que l' espace de Sierpiński . Cette notion est généralisée par la notion de topos classifiant . Cependant, le reste de cet article traite de la notion la plus couramment utilisée de classification de l'espace jusqu'à l'homotopie.

Pour un groupe discret G , BG est, grosso modo, un espace topologique de chemin connecté X tel que le groupe fondamental de X est isomorphe à G et les groupes d'homotopie supérieurs de X sont triviaux , c'est-à-dire que BG est un espace d' Eilenberg-MacLane , ou un K(G,1) .

Motivation

Un exemple d'espace de classification pour le groupe cyclique infini G est le cercle en tant que X . Lorsque G est un groupe discret , une autre façon de spécifier la condition sur X est que la couverture universelle Y de X soit contractile . Dans ce cas, la carte de projection

\pi :Y\longrightarrow X\

devient un faisceau de fibres de groupe de structure G , en fait un faisceau principal pour G . L'intérêt du concept d'espace classifiant vient en réalité du fait que dans ce cas Y a une propriété universelle par rapport aux G- fibrés principaux , dans la catégorie d'homotopie . C'est en fait plus fondamental que la condition que les groupes d'homotopie supérieurs disparaissent : l'idée fondamentale est, étant donné G , de trouver un tel espace contractile Y sur lequel G agit librement . (L' idée d' équivalence faible de la théorie de l'homotopie relie les deux versions.) Dans le cas de l'exemple du cercle, ce qui est dit, c'est que l'on remarque qu'un groupe cyclique infini C agit librement sur la droite réelle R , qui est contractile. En prenant X comme cercle spatial quotient , nous pouvons considérer la projection π de R = Y vers X comme une hélice en termes géométriques, subissant une projection en trois dimensions vers le plan. Ce qui est affirmé, c'est que π a une propriété universelle parmi les principaux C -bundles ; que tout C -bundle principal d' une manière définie « vient de » π.

Formalisme

Une déclaration plus formelle prend en compte que G peut être un groupe topologique (pas simplement un groupe discret ), et que les actions de groupe de G sont considérées comme continues ; en l'absence d'actions continues, le concept d'espace classifiant peut être traité, en termes d'homotopie, via la construction spatiale d'Eilenberg-MacLane . En théorie de l'homotopie, la définition d'un espace topologique BG , l' espace de classement des principaux G -fibrés, est donnée, ainsi que l'espace EG qui est l' espace total du fibré universel sur BG . C'est-à-dire que ce qui est fourni est en fait une cartographie continue

\pi :EG\longrightarrow BG.\

Supposons que la catégorie d'homotopie des complexes CW soit désormais la catégorie sous-jacente. La propriété classificatrice exigée de BG porte en fait sur π. Nous devons pouvoir dire qu'étant donné tout G- bundle principal

\gamma :Y\longrightarrow Z\

sur un espace Z , il existe une application de classification φ de Z dans BG , telle que γ est le pullback de π le long de φ. En termes moins abstraits, la construction de γ par « torsion » devrait être réductible via φ à la torsion déjà exprimée par la construction de π.

Pour que ce concept soit utile, il doit évidemment y avoir des raisons de croire que de tels espaces BG existent. Les premiers travaux sur la classification des espaces ont introduit des constructions (par exemple, la construction de barres ), qui ont donné des descriptions concrètes de BG en tant que complexe simplicial pour un groupe discret arbitraire. De telles constructions mettent en évidence le lien avec la cohomologie de groupe .

Plus précisément, EG soit le complexe simplicial faible dont les n- simplices sont les ( n + 1)-uplets ordonnés des éléments de G , où signifie que ce sommet est supprimé. Un tel n- simplexe s'attache aux (n−1) simplexes de la même manière qu'un simplexe standard s'attache à ses faces. Le complexe EG est contractile. Le groupe G agit sur EG par multiplication à gauche : , et seule l'identité e prend n'importe quel simplexe pour lui-même. Ainsi l'action de G sur EG est une action d'espace couvrant et l'application quotient EG → EG / G est la couverture universelle de l'espace orbital BG = EG / G , et BG est un K( G ,1). $[g_{0},\ldots ,g_{n}]$ ${\hat {g}}_{i}$ $[g_{0},\ldots ,{\hat {g}}_{i},\ldots ,g_{n}]$ $g\cdot [g_{0},\ldots ,g_{n}]=[gg_{0},\ldots ,gg_{n}]$

En termes abstraits (qui ne sont pas ceux utilisés à l'origine vers 1950 lorsque l'idée a été introduite pour la première fois) il s'agit de savoir si un certain foncteur est représentable : le foncteur contravariant de la catégorie d'homotopie à la catégorie des ensembles , défini par

h ( Z ) = ensemble de classes d'isomorphismes de G -fibrés principaux sur Z.

Les conditions abstraites connues pour cela ( théorème de représentabilité de Brown ) garantissent que le résultat, en tant que théorème d'existence , est affirmatif et pas trop difficile.

Exemples

Le cercle $S 1$ est un espace classifiant pour le groupe cyclique infini L'espace total est $\mathbb {Z} .$ $E\mathbb {Z} =\mathbb {R} .$
Le n -tore est un espace de classification pour , le groupe abélien libre de rang n . L'espace total est $\mathbb {T} ^{n}$ $\mathbb {Z} ^{n}$ $E\mathbb {Z} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}.$
Le coin de n cercles est un espace de classement pour le groupe libre de rang n .
Une surface connexe fermée (c'est-à-dire compacte et sans frontière) S de genre au moins 1 est un espace de classification pour son groupe fondamental ${\style d'affichage \pi _{1}(S).}$
Une variété hyperbolique connexe fermée (c'est-à-dire compacte et sans frontière) M est un espace de classification pour son groupe fondamental . ${\style d'affichage \pi _{1}(M)}$
Un complexe cubique CAT(0) fini localement connexe est un espace de classification de son groupe fondamental .
L' espace projectif de dimension infinie est un espace de classification pour le groupe cyclique L'espace total est (c'est la limite directe des sphères de manière équivalente, l'espace de Hilbert avec l'origine supprimée ; il est contractile). $\mathbb {RP} ^{\infty }$ $\mathbb {Z} _{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} .$ $E\mathbb {Z} _{2}=S^{\infty }$ $S^{n},$
L'espace est l'espace de classification pour le groupe cyclique Ici, on entend un certain sous-ensemble de l'espace de Hilbert de dimension infinie avec l'origine supprimée ; le groupe cyclique est censé agir sur lui par multiplication avec des racines d'unité. $B\mathbb {Z} _{n}=S^{\infty }/\mathbb {Z} _{n}$ $\mathbb {Z} _{n}.$ $S^{\infty }$ $\mathbb {C} ^{\infty }$
L' espace de configuration non ordonné est l'espace de classification du groupe de tresses d'Artin et l'espace de configuration ordonné est l'espace de classification du groupe de tresses d'Artin pur. $\operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})$ ${\style d'affichage B_{n}}$ $\operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})$ ${\style d'affichage P_{n}.}$
L' espace de configuration (non ordonné) est un espace de classification pour le groupe symétrique $\operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{\infty })$ ${\style d'affichage S_{n}.}$
L' espace projectif complexe de dimension infinie est l'espace de classification $BS$ $1$ pour le cercle $S$ $1$ pensé comme un groupe topologique compact. $\mathbb {CP} ^{\infty }$
Le Grassmannien des n- plans dans est l'espace de classification du groupe orthogonal $O($ $n$ $)$ . L'espace total est , la variété de Stiefel des repères orthonormés à n dimensions dans $Gr(n,\mathbb {R} ^{\infty })$ $\mathbb {R} ^{\infty }$ $EO(n)=V(n,\mathbb {R} ^{\infty })$ $\mathbb {R} ^{\infty }.$

Applications

Reste la question de faire des calculs efficaces avec BG ; par exemple, la théorie des classes caractéristiques est essentiellement la même que le calcul des groupes de cohomologie de BG , au moins dans les termes restrictifs de la théorie de l'homotopie, pour des groupes intéressants G tels que les groupes de Lie ( théorème de H. Cartan ). Comme l'a montré le théorème de périodicité de Bott , les groupes d'homotopie de BG sont également d'un intérêt fondamental.

Un exemple d'espace de classification est celui où G est cyclique d'ordre deux ; alors BG est un espace projectif réel de dimension infinie, correspondant à l'observation que EG peut être pris comme l'espace contractile résultant de la suppression de l'origine dans un espace de Hilbert de dimension infinie , avec G agissant via v allant vers − v , et tenant compte de l' homotopie équivalence dans le choix de BG . Cet exemple montre que la classification des espaces peut être compliquée.

En relation avec la géométrie différentielle ( théorie de Chern-Weil ) et la théorie des grassmanniens , une approche beaucoup plus pratique de la théorie est possible pour des cas tels que les groupes unitaires qui présentent le plus grand intérêt. La construction du complexe de Thom MG a montré que les espaces BG étaient également impliqués dans la théorie du cobordisme , de sorte qu'ils occupaient une place centrale dans les considérations géométriques issues de la topologie algébrique . Étant donné que la cohomologie de groupe peut (dans de nombreux cas) être définie par l'utilisation d'espaces de classification, ils peuvent également être considérés comme fondamentaux dans de nombreuses algèbres homologiques .

Les généralisations incluent celles pour classer les feuilletages et les topos de classification pour les théories logiques du calcul des prédicats dans la logique intuitionniste qui prennent la place d'un « espace de modèles ».

Voir également

Espace de classification pour O(n) , B O( n )
Espace de classification pour U(n) , B U( n )
Pile de classification
théorème de Borel
Cohomologie équivariante

Remarques

^ Stasheff, James D. (1971), " Espaces H et espaces de classification : fondements et développements récents ", Topologie algébrique (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXII, Univ. Wisconsin, Madison, Wisconsin, 1970) , Providence, RI : American Mathematical Society , pp. 247-272, Théorème 2
^ Hatcher, Allen. (2002). Topologie algébrique . Cambridge : Cambridge University Press. p. 89. ISBN 0-521-79160-X. OCLC 45420394 .
^ Arnold, Vladimir I. (1969). « L'anneau de cohomologie du groupe des tresses colorées ». Vladimir I. Arnold - uvres Collectées . Springer, Berlin, Heidelberg. p. 183-186. doi : 10.1007/978-3-642-31031-7_18 . ISBN 978-3-642-31030-0.
^ "classement de l'espace dans nLab" . ncatlab.org . Récupéré le 22/08/2017 .

Les références

JP May, Un cours concis en topologie algébrique
Classer l'espace dans nLab
"Classifier l'espace" , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press , 2001 [1994]

[1] Stasheff, James D. (1971), " Espaces H et espaces de classification : fondements et développements récents ", Topologie algébrique (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXII, Univ. Wisconsin, Madison, Wisconsin, 1970) , Providence, RI : American Mathematical Society , pp. 247-272, Théorème 2

[2] Hatcher, Allen. (2002). Topologie algébrique . Cambridge : Cambridge University Press. p. 89. ISBN 0-521-79160-X. OCLC 45420394 .

[3] Arnold, Vladimir I. (1969). « L'anneau de cohomologie du groupe des tresses colorées ». Vladimir I. Arnold - uvres Collectées . Springer, Berlin, Heidelberg. p. 183-186. doi : 10.1007/978-3-642-31031-7_18 . ISBN 978-3-642-31030-0.

[4] "classement de l'espace dans nLab" . ncatlab.org . Récupéré le 22/08/2017 .

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