Loi Curie – Weiss - Curie–Weiss law

La loi de Curie – Weiss décrit la susceptibilité magnétique $χ$ d'un ferromagnet dans la région paramagnétique au-dessus du point de Curie :

{\ displaystyle \ chi = {\ frac {C} {T-T _ {\ rm {C}}}}}

où $C$ est une constante de Curie spécifique au matériau , $T$ est la température absolue et $T$ $C$ est la température de Curie , toutes deux mesurées en kelvin . La loi prévoit une singularité dans la susceptibilité à $T = T$ $C$ . En dessous de cette température, le ferromagnet a une aimantation spontanée .

Bref résumé des concepts connexes

Le moment magnétique d'un aimant est une grandeur qui détermine le couple qu'il subira dans un champ magnétique externe . Une boucle de courant électrique , un barreau magnétique, un électron , une molécule et une planète ont tous des moments magnétiques.

L' aimantation ou polarisation magnétique d'un matériau magnétique est le champ vectoriel qui exprime la densité des moments magnétiques permanents ou induits . Les moments magnétiques peuvent provenir de courants électriques microscopiques provoqués par le mouvement d' électrons dans des atomes individuels , ou le spin des électrons ou des noyaux. La magnétisation nette résulte de la réponse d'un matériau à un champ magnétique externe , ainsi que de tout moment magnétique déséquilibré qui peut être présent même en l'absence de champ magnétique externe , par exemple dans du fer suffisamment froid . Cette dernière est appelée aimantation spontanée . D'autres matériaux qui partagent cette propriété avec le fer, comme le nickel et la magnétite , sont appelés ferromagnétiques . La température seuil en dessous de laquelle un matériau est ferromagnétique est appelée température de Curie et varie d'un matériau à l'autre.

Limites

Dans de nombreux matériaux, la loi de Curie – Weiss ne parvient pas à décrire la susceptibilité au voisinage immédiat du point de Curie, car elle est basée sur une approximation de champ moyen . Au lieu de cela, il y a un comportement critique du formulaire

{\ displaystyle \ chi \ propto {\ frac {1} {(T-T _ {\ rm {C}}) ^ {\ gamma}}}}

avec l' exposant critique $γ$ . Cependant, aux températures $T ≫ T$ $C,$ l'expression de la loi de Curie – Weiss est toujours vraie, mais avec $T$ $C$ remplacée par une température $Θ$ légèrement supérieure à la température de Curie réelle. Certains auteurs appellent $Θ$ la constante de Weiss pour la distinguer de la température du point de Curie réel.

Approches classiques de la susceptibilité magnétique et théorème de Bohr – van Leeuwen

Selon le théorème de Bohr – van Leeuwen , lorsque la mécanique statistique et la mécanique classique sont appliquées de manière cohérente, la moyenne thermique de l'aimantation est toujours nulle. Le magnétisme ne peut être expliqué sans la mécanique quantique. Cependant, nous énumérons quelques approches classiques car elles sont faciles à comprendre et à comprendre même si elles sont incorrectes.

Le moment magnétique d'un atome libre est dû au moment angulaire orbital et au spin de ses électrons et de son noyau. Lorsque les atomes sont tels que leurs coquilles sont complètement remplies, ils n'ont pas de moment dipolaire magnétique net en l'absence de champ magnétique externe. Lorsqu'il est présent, un tel champ déforme les trajectoires (concept classique) des électrons afin que le champ appliqué puisse être opposé comme prévu par la loi de Lenz . En d'autres termes, le dipôle magnétique net induit par le champ externe est dans la direction opposée, et de tels matériaux sont repoussés par celui-ci. Ceux-ci sont appelés matériaux diamagnétiques .

Parfois, un atome a un moment dipolaire magnétique net même en l'absence de champ magnétique externe. Les contributions des électrons individuels et du noyau au moment cinétique total ne s'annulent pas. Cela se produit lorsque les coquilles des atomes ne sont pas complètement remplies ( règle de Hund ). Cependant, une collection de tels atomes peut ne pas avoir de moment magnétique net car ces dipôles ne sont pas alignés. Un champ magnétique externe peut servir à les aligner dans une certaine mesure et développer un moment magnétique net par volume. Un tel alignement dépend de la température car l'agitation thermique agit pour désorienter les dipôles. Ces matériaux sont appelés paramagnétiques .

Dans certains matériaux, les atomes (avec des moments dipolaires magnétiques nets) peuvent interagir les uns avec les autres pour s'aligner même en l'absence de tout champ magnétique externe lorsque l'agitation thermique est suffisamment faible. L'alignement peut être parallèle ( ferromagnétisme ) ou anti-parallèle. Dans le cas de l'anti-parallèle, les moments dipolaires peuvent ou non s'annuler ( antiferromagnétisme , ferrimagnétisme ).

Approche par matrice de densité de la susceptibilité magnétique

Nous prenons une situation très simple dans laquelle chaque atome peut être approché comme un système à deux états. L'énergie thermique est si faible que l'atome est à l'état fondamental. Dans cet état fondamental, on suppose que l'atome n'a pas de moment angulaire orbital net mais seulement un électron non apparié pour lui donner un spin de moitié. En présence d'un champ magnétique externe, l'état fondamental se divisera en deux états ayant une différence d'énergie proportionnelle au champ appliqué. Le spin de l'électron non apparié est parallèle au champ dans l'état d'énergie supérieure et anti-parallèle dans l'état inférieur.

Une matrice de densité , est une matrice qui décrit un système quantique dans un état mélangé, un ensemble statistique de plusieurs états quantiques (ici plusieurs atomes 2-étatiques similaires). Cela devrait être comparé à un vecteur d'état unique qui décrit un système quantique à l'état pur. La valeur attendue d'une mesure,, sur l'ensemble est . En termes d'un ensemble complet d'états , on peut écrire ${\ displaystyle \ rho}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle \ langle A \ rangle = \ operatorname {Tr} (A \ rho)}$ ${\ displaystyle | i \ rangle}$

{\ displaystyle \ rho = \ sum _ {ij} \ rho _ {ij} | i \ rangle \ langle j |.}

L'équation de Von Neumann nous dit comment la matrice de densité évolue avec le temps.

{\ displaystyle i \ hbar {\ frac {d} {dt}} \ rho (t) = [H, \ rho (t)]}

En équilibre, on a , et les matrices de densité autorisées sont . L'ensemble canonique a où . ${\ displaystyle [H, \ rho] = 0}$ ${\ displaystyle f (H)}$ ${\ displaystyle \ rho = \ exp (-H / T) / Z}$ ${\ displaystyle Z = \ operatorname {Tr} \ exp (-H / T)}$

Pour le système à 2 états, nous pouvons écrire . Voici le rapport gyromagnétique . Par conséquent , et ${\ displaystyle H = - \ gamma \ hbar B \ sigma _ {3}}$ ${\ displaystyle \ gamma}$ ${\ Displaystyle Z = 2 \ cosh (\ gamma \ hbar B / (2T))}$

{\ displaystyle \ rho (B, T) = {\ frac {1} {2 \ cosh (\ gamma \ hbar B / (2T))}} {\ begin {pmatrix} \ exp (- \ gamma \ hbar B / (2T)) & 0 \\ 0 & \ exp (\ gamma \ hbar B / (2T)) \ end {pmatrix}}.}

À partir duquel

{\ displaystyle \ langle J_ {x} \ rangle = \ langle J_ {y} \ rangle = 0, \ langle J_ {z} \ rangle = - {\ frac {\ hbar} {2}} \ tanh (\ gamma \ hbar B / (2T)).}

Explication du para et du diamagnétisme à l'aide de la théorie des perturbations

En présence d'un champ magnétique externe uniforme le long de la direction z, l'hamiltonien de l'atome change de ${\ displaystyle B}$

{\ displaystyle \ Delta H = \ alpha J_ {z} B + \ beta B ^ {2} \ sum _ {i} (x_ {i} ^ {2} + y_ {i} ^ {2}),}

où sont des nombres réels positifs qui sont indépendants de l'atome que nous regardons mais dépendent de la masse et de la charge de l'électron. correspond aux électrons individuels de l'atome. ${\ displaystyle \ alpha, \ beta}$ ${\ displaystyle i}$

Nous appliquons la théorie des perturbations du second ordre à cette situation. Ceci est justifié par le fait que même pour les intensités de champ les plus élevées actuellement atteignables, les changements du niveau d'énergie dus à des énergies d'excitation atomique sont assez faibles. La dégénérescence de l'hamiltonien d'origine est gérée en choisissant une base qui se diagonale dans les sous-espaces dégénérés. Soit une telle base pour l'état de l'atome (plutôt les électrons dans l'atome). Laissons être le changement d'énergie en . Alors on obtient ${\ displaystyle \ Delta H}$ ${\ displaystyle \ Delta H}$ ${\ displaystyle | n \ rangle}$ ${\ displaystyle \ Delta E_ {n}}$ ${\ displaystyle | n \ rangle}$

{\ displaystyle \ Delta E_ {n} = \ langle n | \ Delta H | n \ rangle + \ sum _ {m, E_ {m} \ neq E_ {n}} {\ frac {| \ langle n | \ Delta H | m \ rangle | ^ {2}} {E_ {n} -E_ {m}}}.}

Dans notre cas, nous pouvons ignorer et des termes d'ordre supérieur. On a ${\ displaystyle B ^ {3}}$

{\ displaystyle \ Delta E_ {n} = \ alpha B \ langle n | J_ {z} | n \ rangle + \ alpha ^ {2} B ^ {2} \ sum _ {m, E_ {m} \ neq E_ {n}} {\ frac {| \ langle n | J_ {z} | m \ rangle | ^ {2}} {E_ {n} -E_ {m}}} + \ beta B ^ {2} \ sum _ {i} \ langle n | x_ {i} ^ {2} + y_ {i} ^ {2} | n \ rangle.}

Dans le cas d'un matériau diamagnétique, les deux premiers termes sont absents car ils n'ont pas de moment cinétique dans leur état fondamental. Dans le cas d'un matériau paramagnétique, les trois termes contribuent.

Ajout d'une interaction spin-spin dans le modèle hamiltonien: Ising

Jusqu'à présent, nous avons supposé que les atomes n'interagissaient pas les uns avec les autres. Même si c'est une hypothèse raisonnable dans le cas des substances diamagnétiques et paramagnétiques, cette hypothèse échoue dans le cas du ferromagnétisme, où les spins de l'atome essaient de s'aligner les uns avec les autres dans la mesure permise par l'agitation thermique. Dans ce cas, nous devons considérer l'hamiltonien de l'ensemble de l'atome. Un tel hamiltonien contiendra tous les termes décrits ci-dessus pour les atomes individuels et les termes correspondant à l'interaction entre les paires de l'atome. Le modèle d'Ising est l'une des approximations les plus simples d'une telle interaction par paires.

{\ displaystyle H _ {\ text {paires}} = - {\ frac {1} {2}} \ sum _ {R, R '} S (R) \ cdot S (R') J (R-R ') }

Ici, les deux atomes d'une paire sont à . Leur interaction est déterminée par leur vecteur de distance . Afin de simplifier le calcul, on suppose souvent que l'interaction se produit uniquement entre les atomes voisins et est une constante. L'effet d'une telle interaction est souvent approché comme un champ moyen et, dans notre cas, le champ de Weiss . ${\ displaystyle R, R '}$ ${\ displaystyle J}$ ${\ displaystyle R-R '}$ ${\ displaystyle J}$

Modification de la loi de Curie due au champ de Weiss

La loi de Curie-Weiss est une version adaptée de la loi de Curie, qui pour un matériau paramagnétique peut être écrite en unités SI comme suit, en supposant : ${\ displaystyle \ chi \ ll 1}$

${\ displaystyle \ chi = {\ frac {M} {H}} \ approx {\ frac {M \ mu _ {0}} {B}} = {\ frac {C} {T}}.}$

Ici μ ₀ est la perméabilité de l'espace libre ; M la magnétisation ( moment magnétique par unité de volume), $B = μ 0 H$ est le champ magnétique , et C la constante de Curie spécifique au matériau :

{\ displaystyle C = {\ frac {\ mu _ {0} \ mu _ {\ rm {B}} ^ {2}} {3k _ {\ rm {B}}}} Ng ^ {2} J (J + 1),}

où $k B$ est la constante de Boltzmann , $N$ le nombre d'atomes magnétiques (ou molécules) par unité de volume, $g$ le facteur g Landé , $μ B$ le magnéton de Bohr , $J$ le nombre quantique de moment angulaire .

Pour la loi de Curie-Weiss, le champ magnétique total est $B + λM$ où $λ$ est la constante de champ moléculaire de Weiss, puis

{\ displaystyle \ chi = {\ frac {M \ mu _ {0}} {B}}}

→

{\ displaystyle {\ frac {M \ mu _ {0}} {B + \ lambda M}} = {\ frac {C} {T}}}

qui peut être réorganisé pour obtenir

{\ displaystyle \ chi = {\ frac {C} {T - {\ frac {C \ lambda} {\ mu _ {0}}}}}}

qui est la loi Curie-Weiss

{\ displaystyle \ chi = {\ frac {C} {T-T _ {\ rm {C}}}}}

où la température de Curie $T C$ est

{\ displaystyle T _ {\ rm {C}} = {\ frac {C \ lambda} {\ mu _ {0}}}}

Voir également

Remarques

Les références

Kittel, Charles (1996). Introduction à la physique du solide (7e éd.). New York [ua]: Wiley. ISBN 978-0471111818 .
Hall, HE Hook, JR (1994). Physique du solide (2e éd.). Chichester: Wiley. ISBN 0471928054 .
Levy, Robert A (1968). Principes de physique du solide . Presse académique. ISBN 978-0124457508 .
Neil Ashcroft , David Mermin . Physique du solide .
http://theory.tifr.res.in/~sgupta/courses/qm2013/hand5.pdf

Liens externes

Magnétisme: modèles et mécanismes chez E. Pavarini, E. Koch et U. Schollwöck: Emergent Phenomena in Correlated Matter, Jülich 2013, ISBN 978-3-89336-884-6

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