Extension de groupe - Group extension

En mathématiques , une extension de groupe est un moyen général de décrire un groupe en termes de sous-groupe normal particulier et de groupe quotient . Si Q et N sont deux groupes, alors G est une extension de Q par N s'il existe une suite exacte courte

${\displaystyle 1\to N\;{\overset {\iota }{\to }}\;G\;{\overset {\pi }{\to }}\;Q\to 1.}$

Si G est une extension de Q par N , alors G est un groupe, est un sous-groupe normal de G et le groupe quotient est isomorphe au groupe Q . Les extensions de groupe surviennent dans le contexte du problème d'extension , où les groupes Q et N sont connus et les propriétés de G doivent être déterminées. Notez que le phrasé " G est une extension de N par Q " est également utilisé par certains. ${\style d'affichage \iota (N)}$ ${\style d'affichage G/\iota (N)}$

Puisque tout groupe fini G possède un sous- groupe normal maximal N avec un groupe de facteurs simple G / N , tous les groupes finis peuvent être construits comme une série d'extensions avec des groupes simples finis . Ce fait a motivé l'achèvement de la classification des groupes simples finis .

Une extension est appelée extension centrale si le sous-groupe N est au centre de G .

Extensions en général

Une extension, le produit direct , saute aux yeux. Si l'on exige que G et Q soient des groupes abéliens , alors l'ensemble des classes d'isomorphismes d'extensions de Q par un groupe (abélien) donné N est en fait un groupe, qui est isomorphe à

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(Q,N);}$

cf. le foncteur Ext . Plusieurs autres classes générales d'extensions sont connues mais aucune théorie n'existe qui traite toutes les extensions possibles à la fois. L'extension de groupe est généralement décrite comme un problème difficile ; c'est ce qu'on appelle le problème d'extension .

Pour considérer quelques exemples, si G = K × H , alors G est une extension à la fois de H et de K . Plus généralement, si G est un produit semi - direct de K et H , noté , alors G est une extension de H par K , de sorte que des produits tels que le produit en couronne fournissent d'autres exemples d'extensions. ${\displaystyle G=K\rtimes H}$

Problème d'extension

La question de savoir quels groupes G sont des extensions de H par N est appelée le problème d'extension , et a été largement étudiée depuis la fin du XIXe siècle. Quant à sa motivation, considérons que la série de composition d'un groupe fini est une suite finie de sous-groupes { A _i }, où chaque A _{i +1} est une extension de A _i par un groupe simple . La classification des groupes simples finis nous donne une liste complète des groupes simples finis ; donc la solution au problème d'extension nous donnerait suffisamment d'informations pour construire et classer tous les groupes finis en général.

Classer les extensions

Résoudre le problème d'extension revient à classer toutes les extensions de H par K ; ou plus concrètement, en exprimant toutes ces extensions en termes d'objets mathématiques plus faciles à comprendre et à calculer. En général, ce problème est très difficile, et tous les résultats les plus utiles classent les extensions qui satisfont à une condition supplémentaire.

Il est important de savoir quand deux extensions sont équivalentes ou congruentes. On dit que les extensions

${\displaystyle 1\to K{\stackrel {i}{{}\to {}}}G{\stackrel {\pi }{{}\to {}}}H\to 1}$

et

${\displaystyle 1\to K{\stackrel {i'}{{}\to {}}}G'{\stackrel {\pi '}{{}\to {}}}H\to 1}$

sont équivalents (ou congruents) s'il existe un isomorphisme de groupe rendant commutatif le diagramme de la figure 1. En fait il suffit d'avoir un homomorphisme de groupe ; en raison de la commutativité supposée du diagramme, l'application est forcée d'être un isomorphisme par le court cinq lemme . ${\displaystyle T:G\to G'}$${\style d'affichage T}$

Avertissement

Il peut arriver que les extensions et soient inéquivalentes mais G et G' sont isomorphes en tant que groupes. Par exemple, il existe des extensions équivalentes du quatre-groupe de Klein par , mais il n'y a, jusqu'à l'isomorphisme de groupe, que quatre groupes d'ordre contenant un sous-groupe normal d'ordre avec un groupe quotient isomorphe au quatre-groupe de Klein . ${\displaystyle 1\à K\à G\à H\à 1}$${\displaystyle 1\à K\à G^{\prime }\à H\à 1}$${\style d'affichage 8}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\style d'affichage 8}$${\style d'affichage 2}$

Extensions triviales

Une extension triviale est une extension

${\displaystyle 1\à K\à G\à H\à 1}$

qui équivaut à l'extension

${\style d'affichage 1\à K\à K\fois H\à H\à 1}$

où les flèches gauche et droite sont respectivement l'inclusion et la projection de chaque facteur de . ${\displaystyle K\fois H}$

Classification des extensions fractionnées

Une extension fractionnée est une extension

${\displaystyle 1\à K\à G\à H\à 1}$

avec un homomorphisme tel que passer de H à G par s puis revenir à H par la carte quotient de la courte séquence exacte induit la carte d'identité sur H c'est-à-dire, . Dans cette situation, on dit généralement que s divise la séquence exacte ci-dessus . ${\displaystyle s\colon H\à G}$${\displaystyle \pi \circ s=\mathrm {id} _{H}}$

Les extensions fractionnées sont très faciles à classer, car une extension est fractionnée si et seulement si le groupe G est un produit semi - direct de K et H . Les produits semi-directs eux-mêmes sont faciles à classer, car ils sont en correspondance bijective avec les homomorphismes de , où Aut( K ) est le groupe d' automorphismes de K . Pour une discussion complète des raisons pour lesquelles cela est vrai, voir produit semi - direct . ${\displaystyle H\to \operatorname {Aut} (K)}$

Avertissement sur la terminologie

En général en mathématiques, une extension d'une structure K est généralement considérée comme une structure L dont K est une sous-structure. Voir par exemple extension de champ . Cependant, dans la théorie des groupes, la terminologie opposée s'est glissée, en partie à cause de la notation , qui se lit facilement comme des extensions de Q par N , et l'accent est mis sur le groupe Q . ${\displaystyle \operatorname {Ext} (Q,N)}$

Un article de Ronald Brown et Timothy Porter sur la théorie d' Otto Schreier des extensions nonabéliennes utilise la terminologie selon laquelle une extension de K donne une structure plus large.

Rallonge centrale

Une extension centrale d'un groupe G est une courte suite exacte de groupes

${\displaystyle 1\à A\à E\à G\à 1}$

tel que A est inclus dans , le centre du groupe E . L'ensemble des classes d'isomorphismes des extensions centrales de G par A (où G agit trivialement sur A ) est en correspondance biunivoque avec le groupe de cohomologie . ${\style d'affichage Z(E)}$${\style d'affichage H^{2}(G,A)}$

Des exemples d'extensions centrales peuvent être construits en prenant n'importe quel groupe G et n'importe quel groupe abélien A et en fixant E à . Ce type d' exemple fractionné correspond à l'élément 0 sous la correspondance ci-dessus. Des exemples plus sérieux se trouvent dans la théorie des représentations projectives , dans les cas où la représentation projective ne peut pas être élevée à une représentation linéaire ordinaire . ${\style d'affichage A\fois G}$${\style d'affichage H^{2}(G,A)}$

Dans le cas des groupes parfaits finis , il existe une extension centrale parfaite universelle .

De même, l'extension centrale d'une algèbre de Lie est une suite exacte ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle 0\rightarrow {\mathfrak {a}}\rightarrow {\mathfrak {e}}\rightarrow {\mathfrak {g}}\rightarrow 0}$

tel qui est au centre de . ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {e}}}$

Il existe une théorie générale des extensions centrales dans les variétés de Maltsev .

Généralisation aux extensions générales

Il existe une classification similaire de toutes les extensions de G par A en termes d'homomorphismes de , une condition d'existence fastidieuse mais explicitement vérifiable impliquant et le groupe de cohomologie . ${\displaystyle G\to \operatorname {Sortie} (A)}$${\style d'affichage H^{3}(G,Z(A))}$${\style d'affichage H^{2}(G,Z(A))}$

Groupes de mensonges

Dans la théorie des groupes de Lie , les extensions centrales surviennent en relation avec la topologie algébrique . En gros, les extensions centrales des groupes de Lie par des groupes discrets sont les mêmes que les groupes couvrants . Plus précisément, un espace couvrant connexe G ^∗ d'un groupe de Lie connexe G est naturellement une extension centrale de G , de telle sorte que la projection

${\displaystyle \pi \colon G^{*}\to G}$

est un homomorphisme de groupe, et surjectif. (La structure de groupe sur G ^∗ dépend du choix d'un élément d'identité correspondant à l'identité dans G .) Par exemple, lorsque G ^∗ est la couverture universelle de G , le noyau de π est le groupe fondamental de G , qui est connu être abélien (voir l' espace H ). Inversement, étant donné un groupe de Lie G et un sous-groupe central discret Z , le quotient G / Z est un groupe de Lie et G en est un espace couvrant.

Plus généralement, lorsque les groupes A , E et G apparaissant dans une extension centrale sont des groupes de Lie, et les applications entre eux sont des homomorphismes de groupes de Lie, alors si l'algèbre de Lie de G est g , celle de A est a , et celle de E est e , alors e est une extension d'algèbre de Lie centrale de g par a . Dans la terminologie de la physique théorique , les générateurs de a sont appelés charges centrales . Ces générateurs sont au centre de e ; par le théorème de Noether , les générateurs de groupes de symétrie correspondent à des quantités conservées, appelées charges .

Les exemples de base d'extensions centrales en tant que groupes de couverture sont :

• les groupes de spin , qui recouvrent doublement les groupes orthogonaux spéciaux , qui (en dimension paire) recouvrent doublement le groupe orthogonal projectif .
• les groupes métaplectiques , qui recouvrent en double les groupes symplectiques .

Le cas de SL ₂ ( R ) fait intervenir un groupe fondamental cyclique infini . Ici, l'extension centrale impliquée est bien connue en théorie des formes modulaires , dans le cas des formes de poids ½ . Une représentation projective qui correspond est la représentation de Weil , construite à partir de la transformée de Fourier , en l'occurrence sur la droite réelle . Les groupes métaplectiques apparaissent également en mécanique quantique .

Voir également

• Extension algèbre de Lie
• Rallonge d'anneau
• Algèbre de Virasoro
• Rallonge HNN
• Contraction de groupe
• Extension d'un groupe topologique

Les références

• Mac Lane, Saunders (1975), Homologie , Classiques en mathématiques, Springer Verlag , ISBN 3-540-58662-8
• RL Taylor, Couvrant les groupes de groupes topologiques non connectés, Actes de l'American Mathematical Society , vol. 5 (1954), 753-768.
• R. Brown et O. Mucuk, Couvrant les groupes de groupes topologiques non connectés revisités, Procédures mathématiques de la Cambridge Philosophical Society , vol. 115 (1994), 97-110.