Produit direct des groupes - Direct product of groups

En mathématiques , en particulier en théorie des groupes , le produit direct est une opération qui prend deux groupes $G$ et $H$ et construit un nouveau groupe, généralement noté $G \times H$ . Cette opération est l'analogue de la théorie des groupes du produit cartésien des ensembles et est l'une des notions importantes de produit direct en mathématiques.

Dans le contexte des groupes abéliens , le produit direct est parfois appelé somme directe et est noté . Les sommes directes jouent un rôle important dans la classification des groupes abéliens : selon le théorème fondamental des groupes abéliens finis , chaque groupe abélien fini peut être exprimé comme la somme directe des groupes cycliques . $G\oplus H$

Définition

Étant donnés les groupes $G$ (avec l'opération $*$ ) et $H$ (avec l'opération $∆$ ), le produit direct $G \times H$ est défini comme suit :

L'ensemble sous-jacent est le produit cartésien, $G \times H$ . Autrement dit, les paires ordonnées $(g, h)$ , où $g \in G$ et $h \in H$ .
L' opération binaire sur $G \times H$ est définie par composants :
$(G 1, h 1) \cdot (g 2, h 2) = (g 1 * g 2, h 1 Δ h 2)$

L'objet algébrique résultant satisfait les axiomes pour un groupe. Spécifiquement:

L'associativité: L'opération binaire sur $G \times H$ est associative .
Identité: Le produit direct a un élément d'identité , à savoir $(1 G, 1 H)$ , où $1 G$ est l'élément d'identité de $G$ et $1 H$ est l'élément d'identité de $H$ .
Inverses: L' inverse d'un élément $(g, h)$ de $G \times H$ est le couple $(g -1, h -1)$ , où $g -1$ est l'inverse de $g$ dans $G$ , et $h -1$ est l'inverse de $h$ dans $H$ .

Exemples

Soit $R$ le groupe des nombres réels par addition . Alors le produit direct $R \times R$ est le groupe de tous les vecteurs à deux composantes $(x, y)$ sous l'opération d' addition vectorielle :

(x 1, y 1) + (x 2, y 2) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2)

.

Soit $R +$ le groupe des nombres réels positifs sous multiplication. Alors le produit direct $R + \times R +$ est le groupe de tous les vecteurs dans le premier quadrant sous l'opération de multiplication par composant

(x 1, y 1) \times (x 2, y 2) = (x 1 \times x 2, y 1 \times y 2)

.

Soient $G$ et $H$ soient des groupes cycliques ayant chacun deux éléments:

${\style d'affichage G}$

* 1 une

1 1 une

une une 1
${\style d'affichage H}$

* 1 b

1 1 b

b b 1

Alors le produit direct $G \times H$ est isomorphe au quatre-groupe de Klein :

$G\fois H$
*	(1,1)	(a,1)	(1,b)	(un B)
(1,1)	(1,1)	(a,1)	(1,b)	(un B)
(a,1)	(a,1)	(1,1)	(un B)	(1,b)
(1,b)	(1,b)	(un B)	(1,1)	(a,1)
(un B)	(un B)	(1,b)	(a,1)	(1,1)

Propriétés élémentaires

Le produit direct est commutatif et associatif à isomorphisme près. Autrement dit, $G \times H ≅ H x G$ et $(G \times H) \times K ≅ G \times (H \times K)$ pour un groupe $G$ , $H$ et $K$ .
L' ordre d'un produit direct $G \times H$ est le produit des ordres de $G$ et $H$ :
$| G \times H | = | G | | H |$ .
Cela découle de la formule de la cardinalité du produit cartésien des ensembles.
L'ordre de chaque élément $(g, h)$ est le plus petit commun multiple des ordres de $g$ et $h$ :
$| (g, h) | = lcm (| g |, | h |)$ .
En particulier, si $| g |$ et $| h |$ sont relativement premiers , alors l' ordre de $(g, h)$ est le produit des ordres de $g$ et $h$ .
En conséquence, si $G$ et $H$ sont des groupes cycliques dont les ordres sont relativement premiers, alors $G \times H$ est également cyclique. Autrement dit, si $m$ et $n$ sont relativement premiers, alors
$(Z / m Z) x (Z / n Z) ≅ Z / mn Z$ .
Ce fait est étroitement lié au théorème des restes chinois .

Structure algébrique

Soient $G$ et $H des$ groupes, soit $P = G \times H$ , et considérons les deux sous - ensembles suivants de $P$ :

G'= {(g, 1): g \in G}

et

H' = {(1, h): h \in H}

.

Les deux sont en fait des sous - groupes de $P$ , le premier étant isomorphe à $G$ , et le second isomorphe à $H$ . Si nous les identifions respectivement à $G$ et $H$ , alors nous pouvons considérer le produit direct $P$ comme contenant les groupes originaux $G$ et $H en$ tant que sous-groupes.

Ces sous - groupes de $P$ ont trois propriétés importantes suivantes: (Dire à nouveau que nous identifions $G'$ et $H'$ avec $G$ et $H$ , respectivement.)

L' intersection $G \cap H$ est triviale .
Chaque élément de $P$ peut être exprimé uniquement comme le produit d'un élément de $G$ et d'un élément de $H$ .
Chaque élément de $G$ commute avec chaque élément de $H$ .

Ensemble, ces trois propriétés déterminent complètement la structure algébrique du produit direct $P$ . C'est-à-dire que si $P$ est un groupe ayant des sous-groupes $G$ et $H$ qui satisfont aux propriétés ci-dessus, alors $P$ est nécessairement isomorphe au produit direct de $G$ et $H$ . Dans cette situation, $P$ est parfois appelé le produit direct interne de ses sous-groupes $G$ et $H$ .

Dans certains contextes, la troisième propriété ci-dessus est remplacée par la suivante :

3′. Les deux

G

et

H

sont normales dans

P

.

Cette propriété est équivalente à la propriété 3, puisque les éléments de deux sous-groupes normaux à intersection triviale commutent nécessairement, ce qui peut être déduit en considérant le commutateur $[g, h]$ de tout $g$ dans $G$ , $h$ dans $H$ .

Exemples

Soit $V$ le quatre-groupe de Klein :
$V$

?? $1$ $une$ $b$ $c$

$1$ $1$ $une$ $b$ $c$

$une$ $une$ $1$ $c$ $b$

$b$ $b$ $c$ $1$ $une$

$c$ $c$ $b$ $une$ $1$

Alors $V$ est le produit direct interne des sous-groupes à deux éléments {1, a } et {1, b }.
Soit un groupe cyclique d'ordre mn , où m et n sont relativement premiers. Alors et sont des sous-groupes cycliques d'ordres m et n , respectivement, et est le produit interne direct de ces sous-groupes. $\langle a\rangle$ $\langle a^{n}\rangle$ $\langle a^{m}\rangle$ $\langle a\rangle$
Soit $C \times$ le groupe des nombres complexes non nuls sous multiplication . Alors $C \times$ est le produit direct interne du groupe circulaire $T$ des nombres complexes unitaires et du groupe $R +$ des nombres réels positifs par multiplication.
Si n est impair, alors le groupe linéaire général $GL(n, R)$ est le produit direct interne du groupe linéaire spécial $SL(n, R)$ et du sous-groupe constitué de toutes les matrices scalaires .
De même, lorsque n est impair, le groupe orthogonal $O(n, R)$ est le produit direct interne du groupe orthogonal spécial $SO(n, R)$ et du sous-groupe à deux éléments ${- I, I},$ où $I$ désigne la matrice identité .
Le groupe de symétrie d'un cube est le produit direct interne du sous-groupe des rotations et du groupe à deux éléments ${- I, I},$ où $I$ est l'élément d'identité et $- I$ est le point de réflexion par le centre du cube. Un fait similaire est vrai pour le groupe de symétrie d'un icosaèdre .
Soit n impair, et soit D _{4 n} le groupe dièdre d'ordre 4 n :
$D_{4n}=\langle r,s\mid r^{2n}=s^{2}=1,sr=r^{-1}s\rangle .$
Alors D _{4 n} est le produit direct interne du sous-groupe (qui est isomorphe à D ₂_n ) et du sous-groupe à deux éléments {1, r ⁿ }. $\langle r^{2},s\rangle$

Présentations

La structure algébrique de $G \times H$ peut être utilisée pour donner une présentation du produit direct en termes de présentations de $G$ et $H$ . Concrètement, supposons que

G=\langle S_{G}\mid R_{G}\rangle \ \

et

\ \ H=\langle S_{H}\mid R_{H}\rangle ,

où et sont des ensembles générateurs (disjoints) et et définissent des relations. Puis ${\style d'affichage S_{G}}$ ${\style d'affichage S_{H}}$ ${\style d'affichage R_{G}}$ ${\style d'affichage R_{H}}$

G\times H=\langle S_{G}\cup S_{H}\mid R_{G}\cup R_{H}\cup R_{P}\rangle

où est un ensemble de relations spécifiant que chaque élément de commute avec chaque élément de . ${\style d'affichage R_{P}}$ ${\style d'affichage S_{G}}$ ${\style d'affichage S_{H}}$

Par exemple si

G=\langle a\mid a^{3}=1\rangle \ \

et

\ \ H=\langle b\mid b^{5}=1\rangle

alors

G\times H=\langle a,b\mid a^{3}=1,b^{5}=1,ab=ba\rangle .

Structure normale

Comme mentionné ci-dessus, les sous-groupes $G$ et $H$ sont normaux dans $G \times H$ . Spécifiquement, définissez les fonctions $π G : G \times H \to G$ et $π H : G \times H \to H$ par

π G (g, h) = g

et

π H (g, h) = h

.

Alors $π G$ et $π H$ sont des homomorphismes , appelés homomorphismes de projection , dont les noyaux sont respectivement $H$ et $G$ .

Il s'ensuit que $G \times H$ est une extension de $G$ par $H$ (ou vice versa). Dans le cas où $G \times H$ est un groupe fini , il s'ensuit que les facteurs de composition de $G \times H$ sont précisément la réunion des facteurs de composition de $G$ et des facteurs de composition de $H$ .

Autres propriétés

Propriété universelle

Le produit direct $G \times H$ peut être caractérisé par la propriété universelle suivante . Soient $π G : G \times H \to G$ et $π H : G \times H \to H$ les homomorphismes de projection. Alors pour tout groupe $P$ et tout homomorphisme $ƒ G : P \to G$ et $ƒ H : P \to H$ , il existe un unique homomorphisme $ƒ : P \to G \times H$ faisant commuter le diagramme suivant :

Plus précisément, l'homomorphisme $ƒ$ est donnée par la formule

ƒ (p) = (ƒ G (p), ƒ H (p))

.

Il s'agit d'un cas particulier de la propriété universelle des produits en théorie des catégories .

Sous-groupes

Si $A$ est un sous-groupe de $G$ et $B$ est un sous-groupe de $H$ , alors le produit direct $A \times B$ est un sous-groupe de $G \times H$ . Par exemple, la copie isomorphe de $G$ dans $G \times H$ est le produit $G \times {1}$ , où ${1}$ est le sous-groupe trivial de $H$ .

Si $A$ et $B$ sont normaux, alors $A \times B$ est un sous-groupe normal de $G \times H$ . De plus, le quotient des produits directs est isomorphe au produit direct des quotients :

(G x H) / (A \times B) ≅ (G / A) x (H / B)

.

Notez qu'il n'est pas vrai en général que chaque sous-groupe de $G \times H$ est le produit d'un sous-groupe de $G$ avec un sous-groupe de $H$ . Par exemple, si $G$ est un groupe non trivial, alors le produit $G \times G$ a un sous-groupe diagonal

Δ = {(g, g): g \in G}

qui n'est pas le produit direct de deux sous-groupes de $G$ .

Les sous-groupes de produits directs sont décrits par le lemme de Goursat . Les autres sous-groupes comprennent les produits fibreux de $G$ et $H$ .

Conjugaison et centralisateurs

Deux éléments $(g 1, h 1)$ et $(g 2, h 2)$ sont conjugués dans $G \times H$ si et seulement si $g 1$ et $g 2$ sont conjugués dans $G$ et $h 1$ et $h 2$ sont conjugués dans $H$ . Il s'ensuit que chaque classe de conjugaison dans $G \times H$ est simplement le produit cartésien d'une classe de conjugaison dans $G$ et d'une classe de conjugaison dans $H$ .

Dans le même ordre d'idées, si $(g, h) G \times H$ , le centralisateur de $(g, h)$ est simplement le produit des centralisateurs de $g$ et $h$ :

C G \times H (g, h)

=

C G (g) \times C H (h)

.

De même, le centre de $G \times H$ est le produit des centres de $G$ et $H$ :

Z (G \times H)

=

Z (G) \times Z (H)

.

Les normalisateurs se comportent de manière plus complexe puisque tous les sous-groupes de produits directs ne se décomposent pas eux-mêmes en produits directs.

Automorphismes et endomorphismes

Si $α$ est un automorphisme de $G$ et $β$ est un automorphisme de $H$ , alors la fonction produit $α \times β : G \times H \to G \times H$ définie par

(α \times β)(g, h) = (α (g), β (h))

est un automorphisme de $G \times H$ . Il s'ensuit que $Aut(G \times H)$ a un sous-groupe isomorphe au produit direct $Aut(G) \times Aut(H)$ .

Il n'est pas vrai en général que tout automorphisme de $G \times H$ ait la forme ci-dessus. (C'est, $Aut (G) \times Aut (H)$ est souvent un sous - groupe approprié de $Aut (G \times H)$ .) Par exemple, si $G$ est un groupe, alors il existe un automorphisme $σ$ de $G \times G$ qui passe les deux facteurs, c'est-à-dire

σ (g 1, g 2) = (g 2, g 1)

.

Pour un autre exemple, le groupe d'automorphisme de $Z \times Z$ est $GL (2, Z)$ , le groupe de toutes les matrices $2 \times 2$ avec des entrées entières et un déterminant , $\pm1$ . Ce groupe d'automorphismes est infini, mais seulement un nombre fini d'automorphismes ont la forme donnée ci-dessus.

En général, tout endomorphisme de $G \times H$ peut être écrit comme une matrice $2 \times 2$

{\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{bmatrix}}

où $α$ est un endomorphisme de $G$ , $δ$ est un endomorphisme de $H$ , et $β$ $:$ $H$ $\to$ $G$ et $γ$ $:$ $G$ $\to$ $H$ sont des homomorphismes. Une telle matrice doit avoir la propriété que chaque élément de l' image de d' $alpha$ commute avec chaque élément de l'image de $β$ , et chaque élément dans l'image de $gamma$ commute avec chaque élément de l'image de $δ$ .

Lorsque G et H sont des groupes indécomposables, centerless, alors le groupe d'automorphismes est relativement simple, étant Aut ( G ) x Aut ( H ) si G et H ne sont pas isomorphes, et Aut ( G ) wr 2 si G ≅ H , désigne wr le produit de la couronne . Cela fait partie du théorème de Krull-Schmidt et s'applique plus généralement aux produits directs finis.

Généralisations

Produits directs finis

Il est possible de prendre le produit direct de plus de deux groupes à la fois. Étant donné une suite finie $G 1, ..., G n$ de groupes, le produit direct

\prod _{i=1}^{n}G_{i}\;=\;G_{1}\times G_{2}\times \cdots \times G_{n}

est défini comme suit :

Les éléments de $G 1 \times \dots \times G n$ sont des tuples $(g 1, ..., g n)$ , où $g i \in G i$ pour chaque $i$ .
L'opération sur $G 1 \times \dots \times G n$ est définie par composants :
$(g 1, ..., g n)(g 1, ..., g n')$ = $(g 1 g 1', ..., g n g n')$ .

Cela a beaucoup des mêmes propriétés que le produit direct de deux groupes, et peut être caractérisé algébriquement d'une manière similaire.

Produits directs infinis

Il est également possible de prendre le produit direct d'un nombre infini de groupes. Pour une séquence infinie $G 1, G 2, ...$ de groupes, cela peut être défini comme le produit direct fini de ci-dessus, les éléments du produit direct infini étant des tuples infinis.

De manière plus générale, étant donné une famille indexée { $G i$ } $i \in I$ des groupes, le produit direct $Π i \in I G i$ est défini comme suit:

Les éléments de $Π i \in I G i$ sont les éléments du produit cartésien infini des ensembles $G i$ ; c'est-à-dire les fonctions $ƒ : I \to ⋃ i \in I G i$ avec la propriété que $ƒ(i) G i$ pour chaque $i$ .
Le produit de deux éléments $, g$ est défini par composants :
$(ƒ • g)(i)$ = $ƒ(i) • g (i)$ .

Contrairement à un produit direct fini, l'infini produit direct $Π i \in I G i$ n'est pas généré par les éléments des sous - groupes isomorphes { $G i$ } $i \in I$ . Au lieu de cela, ces sous-groupes génèrent un sous-groupe du produit direct connu sous le nom de somme directe infinie , qui se compose de tous les éléments qui n'ont qu'un nombre fini de composants de non-identité.

Autres produits

Produits semi-directs

Rappelons qu'un groupe $P$ avec les sous-groupes $G$ et $H$ est isomorphe au produit direct de $G$ et $H$ tant qu'il satisfait les trois conditions suivantes :

L' intersection $G \cap H$ est triviale .
Chaque élément de $P$ peut être exprimé uniquement comme le produit d'un élément de $G$ et d'un élément de $H$ .
Les deux $G$ et $H$ sont normales dans $P$ .

Un produit semi-direct de $G$ et $H$ est obtenu en relâchant la troisième condition, de sorte qu'un seul des deux sous-groupes $G, H$ doit être normal. Le produit résultant se compose toujours de paires ordonnées $(g, h)$ , mais avec une règle de multiplication légèrement plus compliquée.

Il est également possible d'assouplir entièrement la troisième condition, ne nécessitant aucun des deux sous-groupes pour être normal. Dans ce cas, le groupe $P$ est appelé produit Zappa-Szép de $G$ et $H$ .

Produits gratuits

Le produit libre de $G$ et $H$ , habituellement notée $G * H$ , est similaire au produit direct, sauf que les sous - groupes $G$ et $H$ de $G * H$ ne sont pas tenus de faire la navette. C'est-à-dire si

G

=

< S G

|

R

G

>

et

H

=

<

S

H

|

R

H

>

,

sont des présentations pour $G$ et $H$ , alors

G * H

=

< S G \cup S H

|

R

G

\cup

R

H

>

.

Contrairement au produit direct, les éléments du produit gratuit ne peuvent pas être représentés par des paires ordonnées. En fait, le produit libre de deux groupes non triviaux est infini. Le produit gratuit est en fait le coproduit dans la catégorie des groupes .

Produits sous-directs

Si $G$ et $H$ sont des groupes, un produit sous-direct de $G$ et $H$ est tout sous-groupe de $G \times H$ qui s'applique surjectivement sur $G$ et $H$ sous les homomorphismes de projection. D'après le lemme de Goursat , tout produit sous-direct est un produit fibre.

Produits en fibres

Soient $G$ , $H$ , et $Q des$ groupes, et soit $φ : G \to Q$ et $χ : H \to Q des$ homomorphismes. Le produit de fibre de $G$ et $H$ sur $Q$ , également connu sous le nom de pullback , est le sous-groupe suivant de $G \times H$ :

G \times Q H

= {

(g, h) \in G \times H : φ(g) = χ(h)

} .

Si $φ : G \to Q$ et $χ : H \to Q$ sont des épimorphismes , alors c'est un produit sous-direct.

Les références

^ Gallian, Joseph A. (2010). Algèbre abstraite contemporaine (7 éd.). Cengager l'apprentissage. p. 157. ISBN 9780547165097.

Artin, Michael (1991), Algèbre , Prentice Hall , ISBN 978-0-89871-510-1
Herstein, Israël Nathan (1996), Algèbre abstraite (3e éd.), Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall Inc., ISBN 978-0-13-374562-7, MR 1375019.
Herstein, Israël Nathan (1975), Topics in algebra (2e éd.), Lexington, Mass.: Xerox College Publishing, MR 0356988.
Lang, Serge (2002), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , 211 (Troisième édition révisée), New York : Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
Lang, Serge (2005), Undergraduate Algebra (3e éd.), Berlin, New York : Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-22025-3.
Robinson, Derek John Scott (1996), A course in the theory of groups , Berlin, New York : Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94461-6.

[1] Gallian, Joseph A. (2010). Algèbre abstraite contemporaine (7 éd.). Cengager l'apprentissage. p. 157. ISBN 9780547165097.

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Contenu

Définition

Exemples

Propriétés élémentaires

Structure algébrique

Exemples

Présentations

Structure normale

Autres propriétés

Propriété universelle

Sous-groupes

Conjugaison et centralisateurs

Automorphismes et endomorphismes

Généralisations

Produits directs finis

Produits directs infinis

Autres produits

Produits semi-directs

Produits gratuits

Produits sous-directs

Produits en fibres

Les références

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