Paire laxiste - Lax pair

En mathématiques , dans la théorie des systèmes intégrables , une paire Lax est une paire de matrices ou d' opérateurs dépendant du temps qui satisfont à une équation différentielle correspondante , appelée équation Lax . Les paires Lax ont été introduites par Peter Lax pour discuter des solitons dans les médias continus . La transformée de diffusion inverse utilise les équations de Lax pour résoudre de tels systèmes.

Définition

Une paire de Lax est une paire de matrices ou d'opérateurs dépendant du temps et agissant sur un espace de Hilbert fixe , et satisfaisant l'équation de Lax : ${\style d'affichage L(t),P(t)}$

${\displaystyle {\frac {dL}{dt}}=[P,L]}$

où est le commutateur . Souvent, comme dans l'exemple ci-dessous, dépend de d'une manière prescrite, il s'agit donc d'une équation non linéaire pour en fonction de . ${\style d'affichage [P,L]=PL-LP}$${\style d'affichage P}$${\style d'affichage L}$${\style d'affichage L}$${\style d'affichage t}$

Propriété isospectrale

On peut alors montrer que les valeurs propres et plus généralement le spectre de L sont indépendants de t . Les matrices/opérateurs L sont dits isospectraux car variable. ${\style d'affichage t}$

L'observation principale est que les matrices sont toutes similaires en raison de ${\style d'affichage L(t)}$

${\displaystyle L(t)=U(t,s)L(s)U(t,s)^{-1}}$

où est la solution du problème de Cauchy${\style d'affichage U(t,s)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}U(t,s)=P(t)U(t,s),\qquad U(s,s)=I,}$

où I désigne la matrice identité. Notez que si P(t) est anti-adjoint , U(t,s) sera unitaire .

Autrement dit, pour résoudre le problème aux valeurs propres Lψ = λψ à l'instant t , il est possible de résoudre le même problème à l'instant 0 où L est généralement mieux connu, et de propager la solution avec les formules suivantes :

${\displaystyle \lambda (t)=\lambda (0)}$ (pas de changement de spectre)

${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=P\psi .}$

Lien avec la méthode de diffusion inverse

La propriété ci-dessus est la base de la méthode de diffusion inverse. Dans cette méthode, L et P agissent sur un espace fonctionnel (donc ψ = ψ(t,x) ), et dépendent d'une fonction inconnue u(t,x) qui est à déterminer. On suppose généralement que u(0,x) est connu, et que P ne dépend pas de u dans la région de diffusion où . La méthode prend alors la forme suivante : ${\displaystyle \Vert x\Vert \to \infty }$

1. Calculer le spectre de , donnant et ,${\style d'affichage L(0)}$${\style d'affichage \lambda }$${\style d'affichage \psi (0,x)}$
2. Dans la région de diffusion où est connu, propager dans le temps en utilisant avec condition initiale ,${\style d'affichage P}$${\style d'affichage \psi }$${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(t,x)=P\psi (t,x)}$${\style d'affichage \psi (0,x)}$
3. Sachant dans la région de diffusion, calculer et/ou .${\style d'affichage \psi }$${\style d'affichage L(t)}$${\style d'affichage u(t,x)}$

Exemples

Équation de Korteweg–de Vries

L' équation de Korteweg-de Vries

${\displaystyle u_{t}=6uu_{x}-u_{xxx}.\,}$

peut être reformulé comme l'équation de Lax

${\displaystyle L_{t}=[P,L]\,}$

avec

${\displaystyle L=-\partial _{x}^{2}+u\,}$(un opérateur Sturm-Liouville )

${\displaystyle P=-4\partial _{x}^{3}+6u\partial _{x}+3u_{x}\,}$

où toutes les dérivées agissent sur tous les objets à droite. Cela explique le nombre infini d'intégrales premières de l'équation KdV.

Haut Kovalevskaya

L'exemple précédent utilisait un espace de Hilbert de dimension infinie. Des exemples sont également possibles avec des espaces de Hilbert de dimension finie. Ceux-ci incluent le haut Kovalevskaya et la généralisation pour inclure un champ électrique . ${\displaystyle {\vec {h}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L&={\begin{pmatrix}g_{1}+h_{2}&g_{2}+h_{1}&g_{3}&h_{3}\\g_{2}+ h_{1}&-g_{1}+h_{2}&h_{3}&-g_{3}\\g_{3}&h_{3}&-g_{1}-h_{2}&g_{2} -h_{1}\\h_{3}&-g_{3}&g_{2}-h_{1}&g_{1}+h_{2}\\\end{pmatrix}}\lambda ^{-1} \\&+{\begin{pmatrix}0&0&-l_{2}&-l_{1}\\0&0&l_{1}&-l_{2}\\l_{2}&-l_{1}&-2\ lambda &-2l_{3}\\l_{1}&l_{2}&2l_{3}&2\lambda \\\end{pmatrix}}\\P&={\frac {-1}{2}}{\begin {pmatrix}0&-2l_{3}&l_{2}&l_{1}\\2l_{3}&0&-l_{1}&l_{2}\\-l_{2}&l_{1}&2\lambda &2l_{3 }+\gamma \\-l_{1}&-l_{2}&-2l_{3}&-2\lambda \\\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

photo Heisenberg

Dans le schéma de Heisenberg de la mécanique quantique , un A observable sans dépendance explicite au temps t satisfait

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}A(t)={\frac {i}{\hbar }}[H,A(t)],}$

avec H l' hamiltonien et ħ la diminution constante de Planck . Mis à part un facteur, les observables (sans dépendance temporelle explicite) dans cette image peuvent donc être vus former des paires de Lax avec l'hamiltonien. L' image de Schrödinger est alors interprétée comme l'expression alternative en termes d'évolution isospectrale de ces observables.

Autres exemples

D'autres exemples de systèmes d'équations qui peuvent être formulés comme une paire Lax comprennent :

• Équation de Benjamin-Ono
• Équation de Schrödinger cubique à une dimension non linéaire
• Système Davey-Stewartson
• Systèmes intégrables avec contacts Lax paires
• Équation de Kadomtsev-Petviashvili
• Équation de Korteweg–de Vries
• Hiérarchie KdV
• équation de Marchenko
• Équation de Korteweg–de Vries modifiée
• Équation sinus-Gordon
• Treillis Toda
• Hauts Lagrange, Euler et Kovalevskaya
• Transformée de Belinski-Zakharov , en relativité générale.

Le dernier est remarquable, car il implique que la métrique de Schwarzschild et la métrique de Kerr peuvent être comprises comme des solitons.

Les références

• Lax, P. (1968), "Integrals of nonlinear equations of evolution and solitaire waves", Communications on Pure and Applied Mathematics , 21 (5) : 467-490, doi : 10.1002/cpa.3160210503 archiver
• P. Lax et RS Phillips, Théorie de la diffusion pour les fonctions automorphes [1] , (1976) Princeton University Press.