Soliton - Soliton
En mathématiques et en physique , un soliton ou onde solitaire est un paquet d'ondes auto-renforcé qui conserve sa forme tout en se propageant à une vitesse constante. Les solitons sont provoqués par une annulation des effets non linéaires et dispersifs dans le milieu. (Les effets dispersifs sont une propriété de certains systèmes où la vitesse d'une onde dépend de sa fréquence.) Les solitons sont les solutions d'une classe répandue d' équations aux dérivées partielles dispersives faiblement non linéaires décrivant des systèmes physiques.
Le phénomène soliton a été décrit pour la première fois en 1834 par John Scott Russell (1808-1882) qui a observé une vague solitaire dans le canal Union en Écosse. Il reproduisit le phénomène dans un bassin à vagues et le baptisa « Vague de traduction ».
Définition
Une définition unique et consensuelle d'un soliton est difficile à trouver. Drazin & Johnson (1989 , p. 15) attribuent trois propriétés aux solitons :
- Ils sont de forme permanente ;
- Ils sont localisés dans une région ;
- Ils peuvent interagir avec d'autres solitons, et sortir de la collision inchangés, à l'exception d'un déphasage .
Des définitions plus formelles existent, mais elles nécessitent des mathématiques substantielles. De plus, certains scientifiques utilisent le terme soliton pour des phénomènes qui n'ont pas tout à fait ces trois propriétés (par exemple, les « balles légères » de l'optique non linéaire sont souvent appelées solitons malgré la perte d'énergie lors de l'interaction).
Explication
La dispersion et la non - linéarité peuvent interagir pour produire des formes d' ondes permanentes et localisées . Considérez une impulsion de lumière voyageant dans le verre. Cette impulsion peut être considérée comme constituée de lumière de plusieurs fréquences différentes. Comme le verre présente une dispersion, ces différentes fréquences se déplacent à des vitesses différentes et la forme de l'impulsion change donc avec le temps. Cependant, l' effet Kerr non linéaire se produit également ; l' indice de réfraction d'un matériau à une fréquence donnée dépend de l'amplitude ou de la force de la lumière. Si l'impulsion a juste la bonne forme, l'effet Kerr annule exactement l'effet de dispersion et la forme de l'impulsion ne change pas avec le temps. Ainsi, l'impulsion est un soliton. Voir soliton (optique) pour une description plus détaillée.
De nombreux modèles exactement solubles ont des solutions solitons, notamment l' équation de Korteweg-de Vries , l' équation de Schrödinger non linéaire, l'équation de Schrödinger couplée non linéaire et l'équation sinusoïdale de Gordon . Les solutions solitons sont typiquement obtenues au moyen de la transformée de diffusion inverse , et doivent leur stabilité à l' intégrabilité des équations de champ. La théorie mathématique de ces équations est un domaine large et très actif de la recherche mathématique.
Certains types de mascaret , phénomène ondulatoire de quelques rivières dont la rivière Severn , sont « onduleux » : un front d'onde suivi d'un train de solitons. D'autres solitons se produisent comme les ondes internes sous-marines , initiées par la topographie des fonds marins , qui se propagent sur la pycnocline océanique . Des solitons atmosphériques existent également, comme le nuage de gloire du matin du golfe de Carpentarie , où les solitons de pression voyageant dans une couche d' inversion de température produisent de vastes nuages de rouleaux linéaires . Le modèle des solitons récent et peu accepté en neurosciences propose d'expliquer la conduction du signal dans les neurones par des solitons de pression.
Un soliton topologique , également appelé défaut topologique, est toute solution d'un ensemble d' équations aux dérivées partielles qui est stable contre la décroissance vers la « solution triviale ». La stabilité des solitons est due à des contraintes topologiques plutôt qu'à l'intégrabilité des équations de champ. Les contraintes surviennent presque toujours parce que les équations différentielles doivent obéir à un ensemble de conditions aux limites , et la frontière a un groupe d'homotopie non trivial , préservé par les équations différentielles. Ainsi, les solutions d'équations différentielles peuvent être classées en classes d'homotopie .
Aucune transformation continue ne mappe une solution dans une classe d'homotopie à une autre. Les solutions sont vraiment distinctes et conservent leur intégrité, même face à des forces extrêmement puissantes. Des exemples de solitons topologiques incluent la dislocation de vis dans un réseau cristallin , la corde de Dirac et le monopole magnétique en électromagnétisme , le Skyrmion et le modèle Wess-Zumino-Witten en théorie quantique des champs , le skyrmion magnétique en physique de la matière condensée, et les cordes cosmiques et murs de domaine en cosmologie .
Histoire
En 1834, John Scott Russell décrit sa vague de traduction . La découverte est décrite ici dans les propres mots de Scott Russell :
J'observais le mouvement d'un bateau qui était rapidement tiré le long d'un chenal étroit par une paire de chevaux, quand le bateau s'arrêta soudainement – pas la masse d'eau dans le chenal qu'il avait mise en mouvement ; il s'accumula autour de la proue du navire dans un état d'agitation violente, puis le laissant soudain en arrière, roula en avant avec une grande vitesse, prenant la forme d'une grande élévation solitaire, un tas d'eau arrondi, lisse et bien défini, qui continuait son cours le long du canal apparemment sans changement de forme ou diminution de vitesse. Je l'ai suivi à cheval, et je l'ai rattrapé en roulant toujours à une vitesse d'environ huit ou neuf milles à l'heure, conservant sa silhouette originale d'environ trente pieds de long et un pied à un pied et demi de hauteur. Sa hauteur diminua peu à peu, et après une chasse d'un ou deux milles je l'ai perdu dans les méandres du canal. Tel fut, au mois d'août 1834, ma première entrevue fortuite avec ce singulier et beau phénomène que j'ai appelé la Vague de la traduction.
Scott Russell a passé un certain temps à faire des recherches pratiques et théoriques sur ces ondes. Il a construit des réservoirs à vagues chez lui et a remarqué certaines propriétés clés :
- Les vagues sont stables et peuvent parcourir de très grandes distances (les vagues normales auraient tendance soit à s'aplatir, soit à s'accentuer et à basculer)
- La vitesse dépend de la taille de la vague, et sa largeur de la profondeur de l'eau.
- Contrairement aux vagues normales, elles ne fusionneront jamais - donc une petite vague est dépassée par une grande, plutôt que les deux se combinant.
- Si une vague est trop grosse pour la profondeur de l'eau, elle se divise en deux, une grande et une petite.
Les travaux expérimentaux de Scott Russell semblaient en contradiction avec les théories hydrodynamiques d' Isaac Newton et de Daniel Bernoulli . George Biddell Airy et George Gabriel Stokes ont eu du mal à accepter les observations expérimentales de Scott Russell parce qu'elles ne pouvaient pas être expliquées par les théories existantes sur les vagues d'eau. Leurs contemporains ont passé un certain temps à essayer d'étendre la théorie, mais il a fallu attendre les années 1870 pour que Joseph Boussinesq et Lord Rayleigh publient un traitement théorique et des solutions. En 1895, Diederik Korteweg et Gustav de Vries ont fourni ce qui est maintenant connu sous le nom d' équation de Korteweg-de Vries , comprenant des solutions d' onde solitaire et d' onde cnoïdale périodique .
En 1965, Norman Zabusky des Bell Labs et Martin Kruskal de l'Université de Princeton ont démontré pour la première fois le comportement des solitons dans des médias soumis à l' équation de Korteweg-de Vries (équation KdV) dans une étude informatique utilisant une approche de différences finies . Ils ont également montré comment ce comportement expliquait les travaux antérieurs déroutants de Fermi, Pasta, Ulam et Tsingou .
En 1967, Gardner, Greene, Kruskal et Miura ont découvert une transformée de diffusion inverse permettant une solution analytique de l'équation KdV. Les travaux de Peter Lax sur les paires de Lax et l'équation de Lax ont depuis étendu cela à la solution de nombreux systèmes générateurs de solitons apparentés.
Notez que les solitons sont, par définition, inchangés en forme et en vitesse par une collision avec d'autres solitons. Ainsi, les ondes solitaires à la surface de l'eau sont proches des solitons, mais pas exactement - après l'interaction de deux ondes solitaires (collision ou dépassement), elles ont légèrement changé d' amplitude et un résidu oscillatoire est laissé derrière.
Les solitons sont également étudiés en mécanique quantique, grâce au fait qu'ils pourraient en fournir une nouvelle base à travers le programme inachevé de de Broglie , connu sous le nom de « Théorie des doubles solutions » ou « Mécanique ondulatoire non linéaire ». Cette théorie, développée par de Broglie en 1927 et relancée dans les années 1950, est la continuation naturelle de ses idées développées entre 1923 et 1926, qui étendaient la dualité onde-particule introduite par Albert Einstein pour les quanta de lumière , à toutes les particules de matière. . En 2019, des chercheurs de l'université de Tel-Aviv ont mesuré une onde soliton d'eau de gravité de surface qui s'accélère en utilisant un potentiel linéaire hydrodynamique externe. Ils ont également réussi à exciter les solitons balistiques et à mesurer leurs phases correspondantes.
En fibre optique
De nombreuses expérimentations ont été réalisées en utilisant des solitons dans des applications de fibre optique. Les solitons dans un système à fibre optique sont décrits par les équations de Manakov . La stabilité inhérente des solitons permet une transmission longue distance sans l'utilisation de répéteurs et pourrait également doubler la capacité de transmission.
| Année | Découverte |
|---|---|
| 1973 | Akira Hasegawa d' AT&T Bell Labs a été le premier à suggérer que des solitons pourraient exister dans les fibres optiques , en raison d'un équilibre entre l' automodulation de phase et la dispersion anormale . Toujours en 1973, Robin Bullough a fait le premier rapport mathématique de l'existence de solitons optiques. Il a également proposé l'idée d'un système de transmission à base de solitons pour augmenter les performances des télécommunications optiques . |
| 1987 | Emplit et al. (1987) – des Universités de Bruxelles et de Limoges – ont fait la première observation expérimentale de la propagation d'un soliton sombre , dans une fibre optique. |
| 1988 | Linn Mollenauer et son équipe ont transmis des impulsions solitons sur 4 000 kilomètres en utilisant un phénomène appelé effet Raman , du nom de Sir CV Raman qui l'a décrit pour la première fois dans les années 1920, pour fournir un gain optique dans la fibre. |
| 1991 | Une équipe de recherche de Bell Labs a transmis des solitons sans erreur à 2,5 gigabits par seconde sur plus de 14 000 kilomètres, en utilisant des amplificateurs à fibre optique en erbium (segments de fibre optique épissés contenant l'élément de terre rare erbium). Des lasers à pompe, couplés aux amplificateurs optiques, activent l'erbium, qui dynamise les impulsions lumineuses. |
| 1998 | Thierry Georges et son équipe du Centre de R&D de France Télécom , en combinant des solitons optiques de différentes longueurs d'onde ( multiplexage en longueur d' onde ), ont démontré une transmission de données composite de 1 térabit par seconde (1 000 000 000 000 d'unités d'information par seconde), à ne pas confondre avec le térabit- Ethernet.
Les expériences impressionnantes ci-dessus ne se sont toutefois pas traduites par des déploiements commerciaux réels de systèmes solitons, dans des systèmes terrestres ou sous-marins, principalement en raison de la gigue de Gordon-Haus (GH) . La gigue GH nécessite des solutions compensatoires sophistiquées et coûteuses qui rendent finalement la transmission de solitons à multiplexage par répartition en longueur d'onde (DWDM) dense sur le terrain peu attrayante, par rapport au paradigme conventionnel de non-retour à zéro/retour à zéro. En outre, l'adoption future probable des formats à modulation de phase/QAM plus efficaces sur le plan spectral rend la transmission des solitons encore moins viable, en raison de l'effet Gordon-Mollenauer. Par conséquent, le soliton de transmission à fibre optique longue distance est resté une curiosité de laboratoire. |
| 2000 | Cundiff a prédit l'existence d'un soliton vecteur dans une cavité de fibre à biréfringence à verrouillage de mode passif à travers un miroir à absorbeur saturable à semi - conducteur (SESAM). L'état de polarisation d'un tel soliton vecteur pourrait être soit en rotation soit bloqué en fonction des paramètres de la cavité. |
| 2008 | DY Tang et al. ont observé une nouvelle forme de soliton vectoriel d'ordre supérieur du point de vue des expériences et des simulations numériques. Différents types de solitons vecteurs et l'état de polarisation des solitons vecteurs ont été étudiés par son groupe. |
En biologie
Des solitons peuvent apparaître dans les protéines et l'ADN. Les solitons sont liés au mouvement collectif à basse fréquence des protéines et de l'ADN .
Un modèle récemment développé en neurosciences propose que les signaux, sous forme d'ondes de densité, soient conduits au sein des neurones sous forme de solitons. Les solitons peuvent être décrits comme un transfert d'énergie presque sans perte dans des chaînes ou des réseaux biomoléculaires en tant que propagations ondulatoires de perturbations conformationnelles et électroniques couplées.
Dans les aimants
Dans les aimants, il existe également différents types de solitons et autres ondes non linéaires. Ces solitons magnétiques sont une solution exacte des équations différentielles non linéaires classiques - équations magnétiques, par exemple l' équation de Landau-Lifshitz , le modèle Heisenberg du continuum , l' équation d'Ishimori , l'équation de Schrödinger non linéaire et d'autres.
En physique nucléaire
Les noyaux atomiques peuvent présenter un comportement solitonique. Ici, toute la fonction d'onde nucléaire devrait exister sous forme de soliton dans certaines conditions de température et d'énergie. De telles conditions sont suggérées pour exister dans les noyaux de certaines étoiles dans lesquelles les noyaux ne réagiraient pas mais se traverseraient sans changement, conservant leurs ondes solitons lors d'une collision entre les noyaux.
Le modèle de Skyrme est un modèle de noyaux dans lequel chaque noyau est considéré comme une solution soliton topologiquement stable d'une théorie des champs avec un nombre de baryons conservé.
Bions
L'état lié de deux solitons est connu sous le nom de bion , ou dans les systèmes où l'état lié oscille périodiquement, un reniflard . Les forces de type interférence entre solitons pourraient être utilisées pour fabriquer des bions. Cependant, ces forces sont très sensibles à leurs phases relatives. Alternativement, l'état lié des solitons pourrait être formé en habillant des atomes avec des niveaux de Rydberg hautement excités. Le profil de potentiel auto-généré résultant comprend un noyau mou attrayant interne supportant le soliton auto-piégé 3D, une coque répulsive intermédiaire (barrière) empêchant la fusion des solitons, et une couche attrayante externe (puits) utilisée pour compléter l'état lié résultant en molécules de solitons stables géantes. Dans ce schéma, la distance et la taille des solitons individuels dans la molécule peuvent être contrôlées dynamiquement avec le réglage laser.
Dans la théorie des champs, Bion fait généralement référence à la solution du modèle de Born-Infeld . Le nom semble avoir été inventé par GW Gibbons afin de distinguer cette solution du soliton conventionnel, compris comme une solution régulière à énergie finie (et généralement stable) d'une équation différentielle décrivant un système physique. Le mot régulier signifie une solution lisse ne portant aucune source du tout. Cependant, la solution du modèle de Born-Infeld porte toujours une source sous la forme d'une fonction Dirac-delta à l'origine. En conséquence il présente une singularité en ce point (bien que le champ électrique soit partout régulier). Dans certains contextes physiques (par exemple la théorie des cordes), cette caractéristique peut être importante, ce qui a motivé l'introduction d'un nom spécial pour cette classe de solitons.
D'autre part, lorsque la gravité est ajoutée (c'est-à-dire lorsque l'on considère le couplage du modèle de Born-Infeld à la relativité générale), la solution correspondante est appelée EBIon , où "E" signifie Einstein.
Pertinence pour la recherche sur la technologie Warp Drive
Erik Lentz, physicien à l'Université de Göttingen, a émis l'hypothèse que les solitons pourraient permettre la génération de bulles de distorsion d'Alcubierre dans l'espace-temps sans avoir besoin de matière exotique, c'est-à-dire de matière de masse négative.
Voir également
- Compacton , un soliton avec support compact
- Les ondes anormales peuvent être un phénomène lié au soliton de Peregrine impliquant des ondes de respiration qui présentent une énergie localisée concentrée avec des propriétés non linéaires.
- Nématicons
- Soliton non topologique , en théorie quantique des champs
- Équation de Schrödinger non linéaire
- Oscillon
- Formation de motifs
- Peakon , un soliton avec un pic non différentiable
- Q-ball un soliton non topologique
- Équation sinus-Gordon
- Soliton (topologique)
- Distribution Soliton
- Hypothèse de Soliton pour la foudre en boule , par David Finkelstein
- Modèle Soliton de propagation de l'influx nerveux
- Nombre quantique topologique
- vecteur, soliton
Remarques
Les références
Lectures complémentaires
- Zabusky, New Jersey ; Kruskal, MD (1965). "Interaction des 'solitons' dans un plasma sans collision et récurrence des états initiaux" . Phys. le révérend Lett . 15 (6) : 240-243. Bibcode : 1965PhRvL..15..240Z . doi : 10.1103/PhysRevLett.15.240 .
- Hasegawa, A.; Tappert, F. (1973). "Transmission d'impulsions optiques non linéaires stationnaires dans des fibres diélectriques dispersives. I. Dispersion anormale". Appl. Phys. Lett . 23 (3) : 142-144. Bibcode : 1973ApPhL..23..142H . doi : 10.1063/1.1654836 .
- Emplit, P.; Hamaide, JP ; Reynaud, F.; Froehly, C.; Barthélémy, A. (1987). « Pas de picosecondes et impulsions sombres à travers des fibres monomodes non linéaires ». Optique Comm . 62 (6) : 374-379. Bibcode : 1987OptCo..62..374E . doi : 10.1016/0030-4018(87)90003-4 .
- Tao, Terence (2009). « Pourquoi les solitons sont-ils stables ? » (PDF) . Taureau. Un m. Math. Soc . 46 (1) : 1–33. arXiv : 0802.2408 . doi : 10.1090/s0273-0979-08-01228-7 . MR 2457070 . S2CID 546859 .
- Drazin, PG ; Johnson, RS (1989). Solitons : une introduction (2e éd.). La presse de l'Universite de Cambridge. ISBN 978-0-521-33655-0.
- Dunajski, M. (2009). Solitons, Instantons et Twistors . Presses de l'Université d'Oxford. ISBN 978-0-19-857063-9.
- Jaffe, A.; Taubes, CH (1980). Tourbillons et monopôles . Birkhauser. ISBN 978-0-8176-3025-6.
- Manton, N.; Sutcliffe, P. (2004). Solitons topologiques . La presse de l'Universite de Cambridge. ISBN 978-0-521-83836-8.
- Mollenauer, Linn F.; Gordon, James P. (2006). Solitons dans les fibres optiques . Elsevier. ISBN 978-0-12-504190-4.
- Rajaraman, R. (1982). Solitons et instantons . Hollande du Nord. ISBN 978-0-444-86229-7.
- Yang, Y. (2001). Solitons en théorie des champs et analyse non linéaire . Springer. ISBN 978-0-387-95242-0.
Liens externes
- Lié à John Scott Russell
- John Scott Russell et la vague solitaire
- Biographie de John Scott Russell
- Photographie de soliton sur l'aqueduc Scott Russell
- Autre