Paradoxe du menteur - Liar paradox

En philosophie et en logique , le paradoxe classique du menteur ou le paradoxe du menteur ou l' antinomie du menteur est la déclaration d'un menteur qu'il ment : par exemple, déclarer que « je mens ». Si le menteur ment effectivement, alors le menteur dit la vérité, ce qui signifie que le menteur vient de mentir. Dans « cette phrase est un mensonge », le paradoxe est renforcé afin de le rendre accessible à une analyse logique plus rigoureuse. On l'appelle encore généralement le "paradoxe du menteur", bien que l'abstraction soit faite précisément à partir du menteur qui fait la déclaration. Tenter d'attribuer à cette affirmation, le menteur renforcé, une valeur de vérité binaire classique conduit à une contradiction .

Si "cette phrase est fausse" est vraie, alors elle est fausse, mais la phrase dit qu'elle est fausse, et si elle est fausse, alors elle doit être vraie, et ainsi de suite.

Histoire

Le paradoxe d'Épiménide (vers 600 av. J.-C.) a été suggéré comme exemple du paradoxe du menteur, mais ils ne sont pas logiquement équivalents. Le voyant semi-mythique Epiménide , un Crétois , aurait déclaré que "Tous les Crétois sont des menteurs". Cependant, la déclaration d'Épiménide selon laquelle tous les Crétois sont des menteurs peut être considérée comme fausse, étant donné qu'il connaît au moins un autre Crétois qui ne ment pas.

Le nom du paradoxe se traduit par pseudómenos lógos (ψευδόμενος λόγος) en grec ancien . Une version du paradoxe du menteur est attribuée au philosophe grec Eubulide de Milet , qui vécut au IVe siècle av. Eubulides aurait demandé : « Un homme dit qu'il ment. Est-ce que ce qu'il dit est vrai ou faux ?

Le paradoxe a été une fois discuté par saint Jérôme dans un sermon :

" J'ai dit dans mon alarme : Tout homme est un menteur ! " David dit-il la vérité ou ment-il ? S'il est vrai que tout homme est un menteur, et que la déclaration de David : « Tout homme est un menteur » est vraie, alors David ment aussi ; lui aussi est un homme. Mais si lui aussi ment, son affirmation selon laquelle « Chaque homme est un menteur » n'est donc pas vraie. Quelle que soit la façon dont vous tournez la proposition, la conclusion est une contradiction. Puisque David lui-même est un homme, il s'ensuit qu'il ment aussi ; mais s'il ment parce que tout homme est un menteur, son mensonge est d'une autre sorte.

Le grammairien-philosophe indien Bhartrhari (fin du Ve siècle après J. Il analyse cet énoncé ainsi que le paradoxe de « l'insignifiabilité » et explore la frontière entre les énoncés qui ne posent pas de problème dans la vie quotidienne et les paradoxes.

Il y a eu des discussions sur le paradoxe du menteur dans la tradition islamique ancienne pendant au moins cinq siècles, à partir de la fin du IXe siècle, et apparemment sans être influencé par aucune autre tradition. Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī aurait pu être le premier logicien à identifier le paradoxe du menteur comme auto-référentiel .

Explication et variantes

Le problème du paradoxe du menteur est qu'il semble montrer que les croyances communes sur la vérité et la fausseté conduisent en fait à une contradiction . Il est possible de construire des phrases auxquelles on ne peut pas systématiquement attribuer une valeur de vérité, même si elles sont tout à fait en accord avec les règles grammaticales et sémantiques .

La version la plus simple du paradoxe est la phrase :

Si (A) est vrai, alors "Cet énoncé est faux" est vrai. Par conséquent, (A) doit être faux. L'hypothèse que (A) est vraie conduit à la conclusion que (A) est fausse, une contradiction.

Si (A) est faux, alors "Cet énoncé est faux" est faux. Par conséquent, (A) doit être vrai. L'hypothèse que (A) est faux conduit à la conclusion que (A) est vrai, une autre contradiction. Dans tous les cas, (A) est à la fois vrai et faux, ce qui est un paradoxe.

Cependant, le fait que la phrase du menteur puisse être prouvée vraie si elle est fausse et fausse si elle est vraie a conduit certains à conclure qu'elle n'est « ni vraie ni fausse ». Cette réponse au paradoxe est, en effet, le rejet de l'affirmation selon laquelle chaque affirmation doit être vraie ou fausse, également connue sous le nom de principe de bivalence , un concept lié à la loi du tiers exclu .

La proposition selon laquelle la déclaration n'est ni vraie ni fausse a donné lieu à la version renforcée suivante du paradoxe :

Si (B) n'est ni vrai ni faux, alors il ne doit pas être vrai . Puisque c'est ce que (B) lui-même déclare, cela signifie que (B) doit être vrai . Comme initialement (B) n'était pas vrai et est maintenant vrai, un autre paradoxe surgit.

Une autre réaction au paradoxe de (A) est de postuler, comme l'a fait Graham Priest , que la déclaration est à la fois vraie et fausse. Néanmoins, même l'analyse de Priest est sensible à la version suivante du menteur :

Si (C) est à la fois vrai et faux, alors (C) est seulement faux. Mais alors, ce n'est pas vrai . Comme initialement (C) était vrai et n'est plus vrai maintenant , c'est un paradoxe. Cependant, il a été avancé qu'en adoptant une sémantique relationnelle à deux valeurs (par opposition à la sémantique fonctionnelle ), l'approche dialectique peut surmonter cette version du Menteur.

Il existe également des versions en plusieurs phrases du paradoxe du menteur. Voici la version en deux phrases :

Supposons que (D1) est vrai. Alors (D2) est vrai. Cela signifierait que (D1) est faux. Par conséquent, (D1) est à la fois vrai et faux.

Supposons que (D1) est faux. Alors (D2) est faux. Cela signifierait que (D1) est vrai. Ainsi (D1) est à la fois vrai et faux. Dans tous les cas, (D1) est à la fois vrai et faux – le même paradoxe que (A) ci-dessus.

La version en plusieurs phrases du paradoxe du menteur se généralise à toute séquence circulaire de telles déclarations (dans laquelle la dernière déclaration affirme la vérité/fausseté de la première déclaration), à condition qu'il y ait un nombre impair de déclarations affirmant la fausseté de leur successeur ; ce qui suit est une version en trois phrases, chaque déclaration affirmant la fausseté de son successeur :

Supposons que (E1) est vrai. Alors (E2) est faux, ce qui signifie que (E3) est vrai, et donc (E1) est faux, ce qui conduit à une contradiction.

Supposons que (E1) est faux. Alors (E2) est vrai, ce qui signifie que (E3) est faux, et donc (E1) est vrai. Dans tous les cas, (E1) est à la fois vrai et faux – le même paradoxe qu'avec (A) et (D1).

Il existe de nombreuses autres variantes, et de nombreux compléments, possibles. Dans la construction de phrase normale, la version la plus simple du complément est la phrase :

Si F est supposé porter une valeur de vérité, alors cela pose le problème de déterminer l'objet de cette valeur. Mais, une version plus simple est possible, en supposant que le seul mot « vrai » porte une valeur de vérité. L'analogue au paradoxe est de supposer que le seul mot « faux » porte également une valeur de vérité, à savoir qu'il est faux. Cela révèle que le paradoxe peut être réduit à l'acte mental de supposer que l'idée même de sophisme porte une valeur de vérité, à savoir que l'idée même de sophisme est fausse : un acte de fausse représentation. Ainsi, la version symétrique du paradoxe serait :

Résolutions possibles

Logique floue

Dans la logique floue , la valeur de vérité d'une instruction peut être n'importe quel nombre réel compris entre 0 et 1 inclus, par opposition à la logique booléenne , où les valeurs de vérité ne peuvent être que les valeurs entières 0 ou 1. Dans ce système, l'instruction "Ceci déclaration est fausse" n'est plus paradoxal car on peut lui attribuer une valeur de vérité de 0,5, ce qui la rend précisément à moitié vraie et à moitié fausse. Une explication simplifiée est présentée ci-dessous.

Notons la valeur de vérité de la déclaration "Cette déclaration est fausse" par x. L'énoncé devient

$${\style d'affichage x=PAS(x)}$$

en généralisant l'opérateur NOT à l' opérateur Zadeh équivalent de la logique floue, la déclaration devient

$${\style d'affichage x=1-x}$$

d'où il découle que

$${\style d'affichage x=0,5}$$

Alfred Tarski

Alfred Tarski a diagnostiqué le paradoxe comme n'apparaissant que dans les langues « sémantiquement fermées », c'est-à-dire une langue dans laquelle il est possible pour une phrase de prédire la vérité (ou la fausseté) d'une autre phrase dans la même langue (ou même d'elle-même). ). Pour éviter l'auto-contradiction, il est nécessaire, lors de la discussion des valeurs de vérité, d'envisager des niveaux de langues, dont chacun ne peut prédire la vérité (ou la fausseté) que des langues à un niveau inférieur. Ainsi, lorsqu'une phrase fait référence à la valeur de vérité d'une autre, elle est sémantiquement plus élevée. La phrase visée fait partie du « langage objet », tandis que la phrase de référence est considérée comme faisant partie d'un « méta-langage » par rapport au langage objet. Il est légitime que les phrases des « langues » supérieures dans la hiérarchie sémantique fassent référence à des phrases inférieures dans la hiérarchie des « langues », mais pas l'inverse. Cela empêche un système de devenir autoréférentiel.

Cependant, ce système est incomplet. On aimerait pouvoir faire des déclarations telles que "Pour chaque déclaration au niveau α de la hiérarchie, il y a une déclaration au niveau α +1 qui affirme que la première déclaration est fausse." C'est une déclaration vraie et significative sur la hiérarchie que Tarski définit, mais elle fait référence à des déclarations à chaque niveau de la hiérarchie, elle doit donc être au-dessus de chaque niveau de la hiérarchie, et n'est donc pas possible dans la hiérarchie (bien que les versions limitées de la phrase sont possibles). Saul Kripke est crédité d'avoir identifié cette incomplétude dans la hiérarchie de Tarski dans son article très cité « Les grandes lignes d'une théorie de la vérité », et il est reconnu comme un problème général dans les langues hiérarchiques.

Arthur Prieur

Arthur Prior affirme qu'il n'y a rien de paradoxal dans le paradoxe du menteur. Son affirmation (qu'il attribue à Charles Sanders Peirce et John Buridan ) est que chaque déclaration inclut une affirmation implicite de sa propre vérité. Ainsi, par exemple, l'énoncé « Il est vrai que deux plus deux font quatre » ne contient pas plus d'informations que l'énoncé « deux plus deux font quatre », car la phrase « il est vrai que... » y est toujours implicitement. Et dans l'esprit autoréférentiel du Liar Paradox, l'expression "il est vrai que..." équivaut à "toute cette affirmation est vraie et...".

Ainsi, les deux énoncés suivants sont équivalents :

Cette dernière est une simple contradiction de la forme "A et non A", et est donc fausse. Il n'y a donc pas de paradoxe car l'affirmation selon laquelle ce Menteur à deux conjoints est faux ne conduit pas à une contradiction. Eugene Mills présente une réponse similaire.

Saul Kripke

Saul Kripke a soutenu que si une phrase est paradoxale ou non peut dépendre de faits contingents. Si la seule chose que Smith dit à propos de Jones est

et Jones ne dit que ces trois choses à propos de Smith :

Si Smith est vraiment un grand dépensier mais n'est pas indulgent avec le crime, alors la remarque de Smith à propos de Jones et la dernière remarque de Jones à propos de Smith sont paradoxales.

Kripke propose une solution de la manière suivante. Si la valeur de vérité d'une déclaration est finalement liée à un fait évaluable sur le monde, cette déclaration est "fondée". Si ce n'est pas le cas, cette déclaration est « non fondée ». Les déclarations non fondées n'ont pas de valeur de vérité. Les déclarations de menteur et les déclarations de type menteur sont sans fondement et n'ont donc aucune valeur de vérité.

Jon Barwise et John Etchemendy

Jon Barwise et John Etchemendy proposent que la phrase de menteur (qu'ils interprètent comme synonyme du menteur renforcé) soit ambiguë. Ils fondent cette conclusion sur une distinction qu'ils font entre un « déni » et une « négation ». Si le menteur veut dire : "Ce n'est pas vrai que cette affirmation est vraie", alors il se nie lui-même. S'il signifie « Cette déclaration n'est pas vraie », alors il se nie lui-même. Ils poursuivent en affirmant, sur la base de la sémantique de situation , que le « menteur de négation » peut être vrai sans contradiction tandis que le « menteur de négation » peut être faux sans contradiction. Leur livre de 1987 fait un usage intensif de la théorie des ensembles non fondée .

Dialéthéisme

Graham Priest et d'autres logiciens, dont JC Beall et Bradley Armour-Garb, ont proposé que la phrase du menteur soit considérée à la fois comme vraie et fausse, un point de vue connu sous le nom de dialéthéisme . Le dialéthéisme est le point de vue selon lequel il existe de véritables contradictions. Le dialéthéisme pose ses propres problèmes. Le principal d'entre eux est que puisque le dialéthéisme reconnaît le paradoxe du menteur, une contradiction intrinsèque, comme étant vrai, il doit rejeter le principe d'explosion reconnu depuis longtemps , qui affirme que toute proposition peut être déduite d'une contradiction, à moins que le dialéthéiste ne soit disposé à accepter trivialisme - la vue que toutes les propositions sont vraies. Puisque le trivialisme est une vision intuitivement fausse, les dialéthéistes rejettent presque toujours le principe de l'explosion. Les logiques qui le rejettent sont appelées paraconsistantes .

Non-cognitivisme

Andrew Irvine a plaidé en faveur d'une solution non cognitiviste au paradoxe, suggérant que certaines phrases apparemment bien formées se révéleront ni vraies ni fausses et que « les critères formels seuls se révéleront inévitablement insuffisants » pour résoudre le paradoxe.

Le perspectivisme de Bhartrhari

Le grammairien-philosophe indien Bhartrhari (fin du Ve siècle après JC) a traité de paradoxes tels que le menteur dans une section d'un des chapitres de son magnum opus le Vākyapadīya. Bien qu'il précède chronologiquement tous les traitements modernes du problème du paradoxe du menteur, il n'est devenu possible que très récemment pour ceux qui ne peuvent pas lire les sources originales sanskrites de confronter ses vues et analyses avec celles des logiciens et philosophes modernes parce que des éditions et des traductions suffisamment fiables de son travail n'ont commencé à être disponibles que depuis la seconde moitié du 20e siècle. La solution de Bhartrhari s'inscrit dans son approche générale du langage, de la pensée et de la réalité, qui a été qualifiée par certains de « relativiste », « sans engagement » ou « perspectiviste ». En ce qui concerne le paradoxe du menteur ( sarvam mithyā bravīmi « tout ce que je dis est faux »), Bhartrhari identifie un paramètre caché qui peut transformer des situations non problématiques dans la communication quotidienne en un paradoxe tenace. La solution de Bhartrhari peut être comprise dans les termes de la solution proposée en 1992 par Julian Roberts : « Les paradoxes se consument. point dans le temps n'a pas besoin d'être le cas dans un autre... La force globale de l'argument "austinien" n'est pas simplement que "les choses changent", mais que la rationalité est essentiellement temporelle en ce sens que nous avons besoin de temps pour réconcilier et gérer ce qui serait autrement être des états mutuellement destructeurs." Selon la suggestion de Robert, c'est le facteur « temps » qui permet de réconcilier les « parties du monde » séparées qui jouent un rôle crucial dans la solution de Barwise et Etchemendy. La capacité du temps à empêcher une confrontation directe des deux "parties du monde" est ici extérieure au "menteur". À la lumière de l'analyse de Bhartrhari, cependant, l'extension dans le temps qui sépare deux perspectives sur le monde ou deux « parties du monde » – la partie avant et la partie après que la fonction accomplisse sa tâche – est inhérente à toute « fonction » : aussi la fonction à signifier qui sous-tend chaque affirmation, y compris le « menteur ». Le paradoxe insoluble - une situation dans laquelle nous avons soit une contradiction ( virodha ) soit une régression infinie ( anavasthā ) - survient, dans le cas du menteur et d'autres paradoxes tels que le paradoxe de l'insignifiabilité ( paradoxe de Bhartrhari ), lorsque l'abstraction est faite à partir de cette fonction ( vyāpāra ) et son extension dans le temps, en acceptant une fonction simultanée et opposée ( apara vyāpāra ) défaisant la précédente.

Structure logique

Pour mieux comprendre le paradoxe du menteur, il est utile de l'écrire de manière plus formelle. Si "cet énoncé est faux" est noté A et que sa valeur de vérité est recherchée, il est nécessaire de trouver une condition qui restreint le choix des valeurs de vérité possibles de A. Comme A est autoréférentiel, il est possible de donner la condition par une équation.

Si une déclaration, B, est supposée fausse, on écrit, "B = faux". L'énoncé (C) selon lequel l'énoncé B est faux s'écrirait « C = 'B = faux ' ». Maintenant, le paradoxe du menteur peut être exprimé par l'énoncé A, que A est faux :

Il s'agit d'une équation à partir de laquelle la valeur de vérité de A = "cette déclaration est fausse" pourrait, espérons-le, être obtenue. Dans le domaine booléen "A = faux" est équivalent à "pas A" et donc l'équation n'est pas résoluble. C'est la motivation pour la réinterprétation de A. L'approche logique la plus simple pour rendre l'équation résoluble est l'approche dialéthéiste, auquel cas la solution est A étant à la fois "vraie" et "fausse". D'autres résolutions incluent pour la plupart des modifications de l'équation ; Arthur Prior prétend que l'équation devrait être " A = 'A = faux et A = vrai ' " et donc A est faux. Dans la logique verbale informatique, le paradoxe du menteur est étendu à des déclarations telles que « J'entends ce qu'il dit ; il dit ce que je n'entends pas », où la logique verbale doit être utilisée pour résoudre le paradoxe.

Applications

Le premier théorème d'incomplétude de Gödel

Les théorèmes d'incomplétude de Gödel sont deux théorèmes fondamentaux de la logique mathématique qui énoncent les limitations inhérentes aux systèmes axiomatiques suffisamment puissants pour les mathématiques. Les théorèmes ont été prouvés par Kurt Gödel en 1931 et sont importants dans la philosophie des mathématiques. En gros, pour prouver le premier théorème d'incomplétude , Gödel a utilisé une version modifiée du paradoxe du menteur, en remplaçant « cette phrase est fausse » par « cette phrase n'est pas prouvable », appelée la « phrase de Gödel G ». Sa preuve a montré que pour toute théorie suffisamment puissante T, G est vrai, mais non prouvable dans T. L'analyse de la vérité et de la prouvabilité de G est une version formalisée de l'analyse de la vérité de la phrase menteuse.

Pour prouver le premier théorème d'incomplétude, Gödel a représenté des énoncés par des nombres . Ensuite, la théorie en question, qui est supposée prouver certains faits sur les nombres, prouve également des faits sur ses propres déclarations. Les questions sur la prouvabilité des énoncés sont représentées comme des questions sur les propriétés des nombres, qui seraient décidables par la théorie si elle était complète. En ces termes, la phrase de Gödel déclare qu'aucun nombre naturel n'existe avec une certaine propriété étrange. Un nombre avec cette propriété encoderait une preuve de l'incohérence de la théorie. S'il y avait un tel nombre, la théorie serait incohérente, contrairement à l'hypothèse de cohérence. Donc, sous l'hypothèse que la théorie est cohérente, il n'y a pas de tel nombre.

Il n'est pas possible de remplacer « non prouvable » par « faux » dans une phrase de Gödel car le prédicat « Q est le nombre de Gödel d'une fausse formule » ne peut pas être représenté comme une formule arithmétique. Ce résultat, connu sous le nom de théorème d'indéfinissabilité de Tarski , a été découvert indépendamment par Gödel (quand il travaillait sur la preuve du théorème d'incomplétude) et par Alfred Tarski .

George Boolos a depuis esquissé une preuve alternative du premier théorème d'incomplétude qui utilise le paradoxe de Berry plutôt que le paradoxe du menteur pour construire une formule vraie mais impossible à prouver.

Dans la culture populaire

Le paradoxe du menteur est parfois utilisé dans la fiction pour faire taire les intelligences artificielles, qui sont présentées comme incapables de traiter la phrase. Dans Star Trek: The Original Series épisode " I, Mudd ", le paradoxe du menteur est utilisé par le capitaine Kirk et Harry Mudd pour confondre et finalement désactiver un androïde les tenant captifs. Dans la série Doctor Who de 1973, The Green Death , le Docteur déconcerte temporairement le BOSS informatique fou en lui demandant « Si je devais vous dire que la prochaine chose que je dirais serait vraie, mais que la dernière chose que j'ai dite était un mensonge, serait tu me crois?" BOSS essaie de le comprendre mais ne peut pas et décide finalement que la question n'est pas pertinente et appelle la sécurité.

Dans le jeu vidéo Portal 2 de 2011 , l'intelligence artificielle GLaDOS tente d'utiliser le paradoxe « cette phrase est fausse » pour tuer une autre intelligence artificielle, Wheatley . Cependant, faute d'intelligence pour réaliser la déclaration est un paradoxe, il répond simplement: "Euh, vrai. Je vais y aller avec vrai. Là, c'était facile." et n'est pas affecté. Avec humour, toutes les autres IA présentes à l'exception de GLaDOS, qui sont toutes nettement moins sensibles et lucides qu'elle et Wheatley, sont toujours tuées en entendant le paradoxe. Cependant, GLaDOS note plus tard qu'elle s'est presque suicidée de sa propre tentative de tuer Wheatley.

La chanson de Devo , Enough Said , comprend les paroles La prochaine chose que je vous dira sera vraie / La dernière chose que j'ai dite était fausse.

Dans le septième épisode de Minecraft: Story Mode intitulé "Accès refusé", le personnage principal Jesse et ses amis sont capturés par un superordinateur nommé PAMA. Après que PAMA contrôle deux des amis de Jesse, Jesse apprend que PAMA cale lors du traitement et utilise un paradoxe pour le confondre et s'échapper avec son dernier ami. L'un des paradoxes que le joueur peut lui faire dire est le paradoxe du menteur.

Dans Douglas Adams The Hitchhiker's Guide to the Galaxy , chapitre 21, il décrit un vieil homme solitaire habitant un petit astéroïde dans les coordonnées spatiales où il aurait dû être une planète entière dédiée aux formes de vie Biro . Ce vieil homme a affirmé à plusieurs reprises que rien n'était vrai, bien qu'il ait été découvert plus tard qu'il mentait.

La chanson " Liar " de Rollins Band de 1994 faisait allusion au paradoxe lorsque le narrateur termine la chanson en déclarant " Je mentirai encore et encore et je continuerai de mentir, je le promets ".

La chanson de Robert Earl Keen "The Road Goes On and On" fait allusion au paradoxe. On pense généralement que la chanson a été écrite dans le cadre de la querelle de Keen avec Toby Keith, qui est vraisemblablement le « menteur » auquel Keen fait référence.

Voir également

• Contradiction performative
• Paradoxe de Hilbert-Bernays
• Insolubilia
• Chevaliers et valets
• Auto-référence

Remarques

Les références

Liens externes

• Dowden, Bradley. "Paradoxe du menteur" . Encyclopédie Internet de la philosophie .
• Béall, JC; Glanzberg, Michel. "Paradoxe du menteur" . Dans Zalta, Edward N. (éd.). Encyclopédie de philosophie de Stanford .