Ensemble maigre - Meagre set

Dans les domaines mathématiques de la topologie générale et de la théorie descriptive des ensembles , un ensemble maigre (appelé aussi ensemble maigre ou ensemble de première catégorie ) est un ensemble qui, considéré comme un sous - ensemble d'un espace topologique (généralement plus grand) , se trouve dans un sens petit ou négligeable . Un espace topologique T est dit maigre s'il est un sous-ensemble maigre de lui-même ; sinon, il est appelé non maigre .

Les maigres sous-ensembles d'un espace fixe forment un σ-idéal de sous - ensembles ; qui est, un sous - ensemble d'un ensemble de maigres est maigre, et l' union des dénombrable de nombreux ensembles de maigres est maigre. Les topologues généralistes utilisent le terme espace de Baire pour désigner une large classe d'espaces topologiques sur lesquels la notion d'ensemble maigre n'est pas triviale (en particulier, l'espace entier n'est pas maigre). Les théoriciens des ensembles descriptifs étudient principalement les ensembles maigres en tant que sous-ensembles des nombres réels , ou plus généralement n'importe quel espace polonais , et réservent le terme espace de Baire à un espace polonais particulier.

Le complément d'un petit ensemble est un petit ensemble ou un ensemble résiduel . Un ensemble qui ne sont pas est appelé maigre nonmeagre et est dit de la seconde catégorie . Notez que les notions d'un ensemble comeagre et d'un ensemble non maigre ne sont pas équivalentes.

Définition

Tout au long, sera un espace topologique . ${\style d'affichage X}$

Un sous - ensemble d'un espace topologique est appelée nulle part dense ou rare dans le cas de sa fermeture a vide intérieur . De manière équivalente, n'est nulle part dense en si pour chaque ensemble ouvert l'ensemble n'est pas dense en${\displaystyle B\subseteq X}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage B}$${\style d'affichage X}$ ${\displaystyle U\subseteq X,}$${\displaystyle B\cap U}$${\displaystyle U.}$

Un sous-ensemble fermé de n'est nulle part dense dans si et seulement si son intérieur topologique dans est vide. ${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X}$

Un sous - ensemble d'un espace topologique est dit être maigre dans un sous maigre ensemble de ou de la première catégorie en si elle est une union dénombrable de parties nulle part denses de sous - ensemble A est de la deuxième catégorie ou nonmeagre dans le cas contraire du premier catégorie dans${\style d'affichage X}$ ${\style d'affichage X,}$ ${\style d'affichage X,}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X.}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X.}$

Un espace topologique est appelé maigre (resp. non maigre ) s'il s'agit d'un sous-ensemble maigre (resp. non maigre) de lui-même.

Attention : Si est un sous-ensemble de then étant un "sous- espace maigre " de signifie que when est doté de la topologie de sous - espace (induite dessus par ) alors est un maigre espace topologique (c'est-à-dire est un maigre sous-ensemble de ). En revanche, être un "sous- ensemble maigre " de moyens qui est égal à une union dénombrable de sous-ensembles denses nulle part de La même chose s'applique aux sous-ensembles et sous-espaces non maigres.${\displaystyle S\subseteq X}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage S}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage S}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage S}$${\style d'affichage S}$${\style d'affichage S}$${\style d'affichage S}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage S}$${\style d'affichage X.}$

Par exemple, si est l'ensemble de tous les entiers positifs alors est un maigre sous- ensemble de mais pas un maigre sous- espace de Si n'est pas un point isolé d'un espace T ₁ (ce qui signifie que ce n'est pas un sous-ensemble ouvert de ) alors est un maigre sous- espace de mais pas un maigre sous- ensemble de${\displaystyle S:=\mathbb {N} }$${\style d'affichage S}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\style d'affichage x\dans X}$ ${\style d'affichage X}$${\style d'affichage \{x\}}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage \{x\}}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X.}$

Un sous - ensemble est comeagre dans si son co m s'en œuvre est maigre dans Équivalemment, elle est égale à une intersection dénombrable de nombreux ensembles, chacun dont l' intérieur topologique est un sous - ensemble dense de cette utilisation du préfixe « co » est compatible avec son utilisation dans d' autres termes tels que " co fini ". ${\displaystyle A\subseteq X}$${\style d'affichage X}$ ${\displaystyle X\setmoins A}$${\style d'affichage X.}$${\style d'affichage X.}$

Il est important de noter qu'être de la deuxième catégorie n'est pas la même chose qu'être comeagre - un ensemble peut n'être ni maigre ni comeagre (dans ce cas, il sera de deuxième catégorie).

Exemples et conditions suffisantes

Soit un espace topologique. ${\style d'affichage X}$

Sous- ensembles et sous- espaces maigres

• Un sous - ensemble singleton est toujours un sous- espace non maigre de (c'est-à-dire qu'il s'agit d'un espace topologique non maigre). Si est un point isolé de then est aussi un sous- ensemble non maigre de ; l'inverse est vrai si est un espace T ₁ .${\displaystyle \{x\}\subseteq X}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage \{x\}}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X}$
• Tout sous-ensemble d'un ensemble maigre est un ensemble maigre.
• Chaque sous-ensemble dense nulle part est un ensemble maigre.
• L'union d'un nombre incalculable d'ensembles maigres est également un ensemble maigre.
• Tout sous-ensemble fermé dont l'intérieur de est vide appartient à la première catégorie de (c'est-à-dire qu'il s'agit d'un maigre sous-ensemble de ). Ainsi, un sous-ensemble fermé de celui qui est de la deuxième catégorie dans doit avoir un intérieur non vide dans${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X.}$
• Un espace Hausdorff dénombrable sans points isolés est maigre.
• Tout espace topologique qui contient un point isolé est non maigre.
• Tout espace discret est non maigre.
• Chaque espace de Baire est non maigre mais il existe des espaces non maigres qui ne sont pas des espaces de Baire.
  • Puisque les espaces métriques complets ainsi que les espaces localement compacts de Hausdorff sont des espaces de Baire, ce sont aussi des espaces non maigres.
• L'ensemble est un sous maigre ensemble de même si un sous non maigre espace (qui est, n'est pas un espace topologique maigre).${\displaystyle S=(\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} )\cup \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Parce que les nombres rationnels sont dénombrables, ils sont maigres en tant que sous-ensemble des réels et en tant qu'espace, c'est-à-dire qu'ils ne forment pas un espace de Baire .
• L' ensemble de Cantor est maigre en tant que sous-ensemble des réels, mais pas en tant que sous-ensemble de lui-même, puisqu'il s'agit d'un espace métrique complet et est donc un espace de Baire , par le théorème des catégories de Baire .
• Si est un homéomorphisme alors un sous - ensemble est maigre si et seulement si est maigre.${\displaystyle h:X\à X}$${\displaystyle S\subseteq X}$${\style d'affichage h(S)}$

Sous-ensemble Comeagre

• Tout surensemble d'un ensemble comeagre est comeagre.
• l'intersection d'un nombre incalculable d'ensembles de comeagre est comeagre.
  • Cela découle du fait qu'une union dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable.

Espaces fonctionnels

L'ensemble des fonctions qui ont une dérivée à un moment donné est un maigre ensemble dans l'espace de toutes les fonctions continues .

Propriétés

• Théorème des catégories de Banach : Dans tout espace, l'union de toute famille dénombrable d'ensembles ouverts de la première catégorie est de la première catégorie.${\style d'affichage X,}$
• Un espace vectoriel topologique localement convexe non maigre est un espace en tonneau .
• Un sous-ensemble fermé de celui qui est de la deuxième catégorie dans doit avoir un intérieur non vide dans${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X.}$
• Si est de la deuxième catégorie dans et si sont des sous-ensembles de tels qu'alors au moins un est de la deuxième catégorie dans${\displaystyle B\subseteq X}$${\style d'affichage X}$${\displaystyle S_{1},S_{2},\ldots }$${\style d'affichage X}$${\displaystyle B\subseteq \bigcup _{n\in \mathbb {N} }S_{n},}$${\style d'affichage S_{n}}$${\style d'affichage X.}$

Sous-ensembles maigres et mesure de Lebesgue

Un petit ensemble n'a pas besoin d'avoir une mesure zéro. Il n'existe nulle part de sous-ensembles denses (qui sont donc de maigres sous-ensembles) qui ont une mesure de Lebesgue positive .

Relation avec la hiérarchie de Borel

Tout comme un besoin de sous - ensemble nulle part dense ne pas être fermé, mais il est toujours contenu dans un sous - ensemble nulle part dense fermé (viz, sa fermeture), un ensemble de maigres n'a pas besoin d' être un F _de l'ensemble (union dénombrable d'ensembles fermés), mais est toujours contenu dans un F _de l'ensemble réalisé à partir d' ensembles denses nulle part (en prenant la fermeture de chaque ensemble).

Doublement, tout comme le complément d'un besoin d'ensemble rare ne soit pas ouvert, mais a un dense intérieur (contient un ensemble ouvert dense), un besoin de set comeagre pas un G _de l'ensemble (intersection dénombrable d' ouverts ensembles), mais contient une dense G _de l'ensemble formé à partir d' ensembles ouverts denses.

Jeu Banach-Mazur

Les ensembles maigres ont une caractérisation alternative utile en termes de jeu Banach-Mazur . Soit un espace topologique, une famille de sous-ensembles de qui ont des intérieurs non vides tels que chaque ensemble ouvert non vide a un sous-ensemble appartenant à et soit un sous-ensemble quelconque de Alors il y a un jeu Banach-Mazur correspondant à Dans le jeu Banach-Mazur, deux joueurs, et alternativement choisir des éléments de plus en plus petits pour produire une séquence Le joueur gagne si l'intersection de cette séquence contient un point dans ; sinon, le joueur gagne. ${\style d'affichage Z}$${\displaystyle {\mathcal {W}}}$${\style d'affichage Z}$${\displaystyle {\mathcal {W}},}$${\style d'affichage Z}$${\style d'affichage Z.}$${\displaystyle X,{\mathcal {W}},Z.}$${\style d'affichage P}$${\style d'affichage Q,}$${\displaystyle {\mathcal {W}}}$${\displaystyle W_{1}\supseteq W_{2}\supseteq W_{3}\supseteq \cdots .}$${\style d'affichage P}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage Q}$

Théorème : Pour tout répondant aux critères ci-dessus, le joueur a une stratégie gagnante si et seulement si elle est maigre.${\displaystyle {\mathcal {W}}}$${\style d'affichage Q}$${\style d'affichage X}$

Voir également

• Théorème des catégories de Baire  - Sur les espaces topologiques où l'intersection d'un nombre dénombrable d'ensembles ouverts denses est dense
• Espace Baire
• Propriété générique , pour les analogues au résidu
• Ensemble négligeable , pour les analogues à maigre
• Nulle part ensemble dense
• Propriété de Baire

Remarques

Bibliographie

• Narici, Laurent ; Beckenstein, Edouard (2011). Espaces vectoriels topologiques . Mathématiques pures et appliquées (deuxième éd.). Boca Raton, Floride : CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Rudin, Walter (1991). Analyse fonctionnelle . Série Internationale de Mathématiques Pures et Appliquées. 8 (Deuxième éd.). New York, NY : McGraw-Hill Science/Ingénierie/Maths . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .

Liens externes

• Existe-t-il une mesure zéro définie qui n'est pas maigre ?