Espace polonais - Polish space

Dans la discipline mathématique de la topologie générale , un espace polonais est un espace topologique séparable complètement métrisable ; c'est-à-dire un espace homéomorphe à un espace métrique complet qui a un sous - ensemble dense dénombrable . Les espaces polonais sont ainsi nommés parce qu'ils ont d'abord été étudiés de manière approfondie par des topologues et des logiciens polonais - Sierpiński , Kuratowski , Tarski et d'autres. Cependant, les espaces polonais sont principalement étudiés aujourd'hui car ils constituent le cadre principal de la théorie descriptive des ensembles , y compris l'étude des relations d'équivalence de Borel . Les espaces polonais sont également un cadre pratique pour une théorie de la mesure plus avancée , en particulier en théorie des probabilités .

Des exemples courants d'espaces polonais sont la ligne réelle , tout espace de Banach séparable , l' espace de Cantor et l' espace de Baire . De plus, certains espaces qui ne sont pas des espaces métriques complets dans la métrique habituelle peuvent être polonais ; par exemple, l' intervalle ouvert (0, 1) est polonais.

Entre deux innombrables espaces polonais, il existe un isomorphisme de Borel ; c'est-à-dire une bijection qui préserve la structure de Borel. En particulier, chaque espace polonais innombrables a la cardinalité du continuum .

Espaces lusiniens , espaces Suslin et espaces Radon sontgénéralisations des espaces polonais.

Propriétés

  1. Chaque espace polonais est dénombrable en second (en raison d'être métrisable séparable).
  2. ( Théorème d'Alexandrov ) Si X est polonais, alors tout sous-ensemble G δ de X l'est aussi .
  3. Un sous-espace Q d'un espace polonais P est polonais si et seulement si Q est l'intersection d'une suite de sous-ensembles ouverts de P . (C'est l'inverse du théorème d'Alexandrov.)
  4. ( théorème de Cantor-Bendixson ) Si X est polonais, alors tout sous-ensemble fermé de X peut être écrit comme l' union disjointe d'un ensemble parfait et d'un ensemble dénombrable. De plus, si l'espace polonais X est indénombrable, il peut être écrit comme l'union disjointe d'un ensemble parfait et d'un ensemble ouvert dénombrable.
  5. Chaque espace polonais est homéomorphe à un G δ -subset du cube Hilbert (qui est, je N , où j'est l'intervalle unitaire et N est l'ensemble des nombres naturels).

Les espaces suivants sont polonais :

  • sous-ensembles fermés d'un espace polonais,
  • sous-ensembles ouverts d'un espace polonais,
  • produits et unions disjointes de familles dénombrables d'espaces polonais,
  • des espaces localement compacts , métrisables et dénombrables à l'infini ,
  • intersections dénombrables de sous-espaces polonais d'un espace topologique de Hausdorff,
  • l'ensemble des nombres irrationnels avec la topologie induite par la topologie standard de la droite réelle.

Caractérisation

Il existe de nombreuses caractérisations qui indiquent quand un second espace topologique dénombrable est métrisable, comme le théorème de métrisation d'Urysohn . Le problème de déterminer si un espace métrisable est complètement métrisable est plus difficile. Les espaces topologiques tels que l'intervalle d'unité ouverte (0,1) peuvent recevoir à la fois des métriques complètes et des métriques incomplètes générant leur topologie.

Il existe une caractérisation des espaces métriques complets séparables en termes de jeu connu sous le nom de jeu de Choquet fort . Un espace métrique séparable est complètement métrisable si et seulement si le deuxième joueur a une stratégie gagnante dans ce jeu.

Une deuxième caractérisation découle du théorème d'Alexandrov. Il déclare qu'un espace métrique séparable est complètement métrisable si et seulement si c'est un sous - ensemble de son achèvement dans la métrique d'origine.

Espaces métriques polonais

Bien que les espaces polonais soient métrisables, ils ne sont pas en eux-mêmes des espaces métriques ; chaque espace polonais admet de nombreuses métriques complètes donnant lieu à la même topologie, mais aucune d'entre elles n'est distinguée ou distinguée. Un espace polonais avec une métrique complète distinguée est appelé un espace métrique polonais . Une approche alternative, équivalente à celle donnée ici, consiste d'abord à définir « espace métrique polonais » pour signifier « espace métrique séparable complet », puis à définir un « espace polonais » comme l'espace topologique obtenu à partir d'un espace métrique polonais en oubliant la métrique.

Généralisations des espaces polonais

Espaces Lusin

Un espace topologique est un espace de Lusin s'il est homéomorphe à un sous-ensemble de Borel d'un espace métrique compact. Une topologie plus forte transforme un Lusin en un espace polonais.

Il existe de nombreuses façons de former des espaces Lusin. En particulier:

  • Chaque espace polonais est Lusin
  • Un sous-espace d'un espace de Lusin est Lusin si et seulement si c'est un ensemble de Borel.
  • Toute union ou intersection dénombrable de sous-espaces Lusin d'un espace Hausdorff est Lusin.
  • Le produit d'un nombre dénombrable d'espaces Lusin est Lusin.
  • L'union disjointe d'un nombre dénombrable d'espaces Lusin est Lusin.

Espaces Suslin

Un espace Suslin est l'image d'un espace polonais sous une cartographie continue. Ainsi, chaque espace Lusin est Suslin. Dans un espace polonais, un sous-ensemble est un espace Suslin si et seulement s'il s'agit d'un ensemble Suslin (une image de l' opération Suslin ).

Les espaces Suslin sont les suivants :

  • des sous-ensembles fermés ou ouverts d'un espace de Suslin,
  • produits dénombrables et unions disjointes d'espaces Suslin,
  • intersections dénombrables ou unions dénombrables de sous-espaces de Suslin d'un espace topologique de Hausdorff,
  • images continues des espaces Suslin,
  • Sous-ensembles de Borel d'un espace de Suslin.

Ils ont les propriétés suivantes :

  • Chaque espace Suslin est séparable.

Espaces radon

Un espace de Radon , nommé d' après Johann Radon , est un espace topologique tel que chaque mesure de probabilité de Borel sur M est interne régulière . Puisqu'une mesure de probabilité est globalement finie, et donc une mesure localement finie , toute mesure de probabilité sur un espace de Radon est aussi une mesure de Radon . En particulier un espace métrique complet séparable ( M , d ) est un espace de Radon.

Chaque espace Suslin est Radon.

Groupes polonais

Un groupe polonais est un groupe topologique G qui est aussi un espace polonais, c'est-à-dire homéomorphe à un espace métrique complet séparable. Il existe plusieurs résultats classiques de Banach , Freudenthal et Kuratowski sur les homomorphismes entre groupes polonais. Premièrement, l'argument de Banach (1932 , p. 23) s'applique mutatis mutandi aux groupes polonais non abéliens : si G et H sont des espaces métriques séparables avec G polonais, alors tout homomorphisme de Borel de G vers H est continu. Deuxièmement, il existe une version du théorème de l'application ouverte ou du théorème du graphe fermé dû à Kuratowski (1933 , p. 400) : un homomorphisme injectif continu d'un sous-groupe polonais G sur un autre groupe polonais H est une application ouverte. En conséquence, c'est un fait remarquable à propos des groupes polonais que les applications mesurables de Baire (c'est-à-dire pour lesquelles la préimage de tout ensemble ouvert a la propriété de Baire ) qui sont des homomorphismes entre eux sont automatiquement continues. Le groupe des homéomorphismes du cube de Hilbert [0,1] N est un groupe polonais universel, dans le sens où tout groupe polonais est isomorphe à un sous-groupe fermé de celui-ci.

Exemples:

  • Tous les groupes de Lie de dimension finie avec un nombre dénombrable de composants sont des groupes polonais.
  • Le groupe unitaire d'un espace de Hilbert séparable (avec la topologie de l'opérateur fort ) est un groupe polonais.
  • Le groupe des homéomorphismes d'un espace métrique compact est un groupe polonais.
  • Le produit d'un nombre dénombrable de groupes polonais est un groupe polonais.
  • Le groupe des isométries d'un espace métrique complet séparable est un groupe polonais

Voir également

Les références

  • Banach, Stéphane (1932). Théorie des opérations linéaires . Monografie Matematyczne (en français). Varsovie.
  • Bourbaki, Nicolas (1989). "IX. Utilisation de nombres réels dans la topologie générale". Éléments de mathématiques : Topologie générale, partie 2 . Springer-Verlag . 3540193723.
  • Freudenthal, Hans (1936). "Einige Sätze ueber topologische Gruppen" . Anne. des mathématiques. 37 (1) : 46-56. doi : 10.2307/1968686 . JSTOR  1968686 .
  • Kuratowski, K. (1966). Topologie Vol. je . Presse académique. ISBN 012429202X.
  • Moore, Calvin C. (1976). "Extensions de groupe et cohomologie pour les groupes localement compacts. III" . Trans. Amer. Math. Soc. 221 : 1–33. doi : 10.1090/S0002-9947-1976-0414775-X .
  • Pettis, BJ (1950). « Sur la continuité et l'ouverture des homomorphismes dans les groupes topologiques » . Anne. des mathématiques. 51 (2) : 293-308. doi : 10.2307/1969471 . JSTOR  1969471 .
  • Rogers, LCG; Williams, David (1994). Diffusions, processus de Markov et martingales, volume 1 : fondements, 2e édition . John Wiley & Fils Ltée.
  • Schwartz, Laurent (1973). Mesures du radon sur les espaces topologiques arbitraires et mesures cylindriques . Presses de l'Université d'Oxford. ISBN 978-0195605167.
  • Srivastava, Sashi Mohan (1998). Un cours sur les ensembles de Borel . Textes d'études supérieures en mathématiques . Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-98412-4. Récupéré le 04/12/2008 .

Lectures complémentaires