Théorie quantique des champs non commutative - Noncommutative quantum field theory

En physique mathématique , la théorie quantique des champs non commutative (ou la théorie quantique des champs sur l'espace-temps non commutatif) est une application des mathématiques non commutatives à l' espace - temps de la théorie quantique des champs qui est une excroissance de la géométrie non commutative et de la théorie des indices dans laquelle les fonctions de coordonnées sont non commutatives . Une version couramment étudiée de ces théories a la relation de commutation "canonique":

${\displaystyle [x^{\mu },x^{\nu }]=i\theta ^{\mu \nu }\,\!}$

ce qui signifie que (avec un ensemble donné d'axes), il est impossible de mesurer avec précision la position d'une particule par rapport à plus d'un axe. En fait, cela conduit à une relation d'incertitude pour les coordonnées analogue au principe d'incertitude de Heisenberg .

Diverses limites inférieures ont été revendiquées pour l'échelle non commutative (c'est-à-dire avec quelle précision les positions peuvent être mesurées), mais il n'y a actuellement aucune preuve expérimentale en faveur d'une telle théorie ou de motifs pour les écarter.

L'une des nouvelles caractéristiques des théories des champs non commutatives est le phénomène de mélange UV/IR dans lequel la physique aux hautes énergies affecte la physique aux basses énergies qui ne se produit pas dans les théories quantiques des champs dans lesquelles les coordonnées commutent.

D'autres caractéristiques incluent la violation de l'invariance de Lorentz en raison de la direction préférée de la non-commutativité. L'invariance relativiste peut cependant être retenue au sens d' invariance de Poincaré tordue de la théorie. La condition de causalité est modifiée par rapport à celle des théories commutatives.

Histoire et motivation

Heisenberg a été le premier à suggérer d'étendre la non-commutativité aux coordonnées comme moyen possible d'éliminer les quantités infinies apparaissant dans les théories des champs avant que la procédure de renormalisation ne soit développée et ait été acceptée. Le premier article sur le sujet a été publié en 1947 par Hartland Snyder . Le succès de la méthode de renormalisation a conduit à peu d'attention au sujet pendant un certain temps. Dans les années 1980, les mathématiciens, notamment Alain Connes , ont développé la géométrie non commutative . Entre autres choses, ce travail a généralisé la notion de structure différentielle à un cadre non commutatif. Cela a conduit à une description algébrique d'opérateurs d' espaces-temps non commutatifs , avec le problème qu'il correspond classiquement à une variété avec un tenseur métrique défini positivement , de sorte qu'il n'y a pas de description de causalité (non commutative) dans cette approche. Cependant, cela a également conduit au développement d'une théorie de Yang-Mills sur un tore non commutatif .

La communauté de la physique des particules s'est intéressée à l'approche non commutative à cause d'un article de Nathan Seiberg et Edward Witten . Ils ont soutenu dans le contexte de la théorie des cordes que les fonctions de coordonnées des extrémités des cordes ouvertes contraintes à une brane D en présence d'un champ B constant de Neveu-Schwarz - équivalent à un champ magnétique constant sur la brane - satisferaient à la algèbre non commutative décrite ci-dessus. L'implication est qu'une théorie quantique des champs sur l'espace-temps non commutatif peut être interprétée comme une limite de basse énergie de la théorie des cordes ouvertes.

Deux articles, l'un de Sergio Doplicher , Klaus Fredenhagen et John Roberts et l'autre de DV Ahluwalia, exposent une autre motivation pour la non-commutativité possible de l'espace-temps. Les arguments sont les suivants : selon la relativité générale , lorsque la densité d'énergie augmente suffisamment, un trou noir se forme. D'autre part, selon le principe d' incertitude de Heisenberg , une mesure d'une séparation espace-temps provoque une incertitude en quantité de mouvement inversement proportionnelle à l'étendue de la séparation. Ainsi l'énergie dont l'échelle correspond à l'incertitude de la quantité de mouvement est localisée dans le système à l'intérieur d'une région correspondant à l'incertitude de position. Lorsque la séparation est suffisamment petite, le rayon de Schwarzschild du système est atteint et un trou noir se forme, ce qui empêche toute information de s'échapper du système. Il existe donc une borne inférieure pour la mesure de la longueur. Une condition suffisante pour empêcher l'effondrement gravitationnel peut être exprimée comme une relation d'incertitude pour les coordonnées. Cette relation peut à son tour être dérivée d'une relation de commutation pour les coordonnées.

Il convient de souligner que, à la différence d'autres approches, en particulier celles s'appuyant sur les idées de Connes, l'espace-temps non commutatif est ici un espace-temps propre, c'est-à-dire qu'il prolonge l'idée d'une variété pseudo-riemannienne à quatre dimensions . D'autre part, contrairement à la géométrie non commutative de Connes, le modèle proposé s'avère être des coordonnées dépendantes de toutes pièces. Dans l'article de Doplicher Fredenhagen Roberts, la non-commutativité des coordonnées concerne les quatre coordonnées d'espace-temps et pas seulement les coordonnées spatiales.

Voir également

• Produit moyal
• Géométrie non commutative
• Modèle standard non commutatif
• Transformée de Wigner-Weyl

Notes de bas de page

Lectures complémentaires

• Grensing, Gerhard (2013). Aspects structurels de la théorie quantique des champs et de la géométrie non commutative . Scientifique du monde. doi : 10.1142/8771 . ISBN 978-981-4472-69-2.
• MR Douglas et NA Nekrasov (2001) " Théorie des champs non commutative ", Rev. Mod. Phys. 73 : 977-1029.
• Szabo, R. (2003) " Quantum Field Theory on Noncommutative Spaces ", Physics Reports 378: 207-99. Un article explicatif sur les théories quantiques des champs non commutatives.
• Théorie quantique des champs non commutative, voir les statistiques sur arxiv.org
• V. Moretti (2003), " Aspects de la géométrie lorentzienne non commutative pour les espaces - temps globalement hyperboliques ", Rev. Math. Phys. 15 : 1171-1218. Un article explicatif (aussi) sur les difficultés d'étendre la géométrie non commutative au cas lorentzien décrivant la causalité