Période (géométrie algébrique) - Period (algebraic geometry)

En géométrie algébrique , une période est un nombre qui peut être exprimé comme une intégrale d'une fonction algébrique sur un domaine algébrique. Les sommes et les produits des périodes restent des périodes, les périodes forment donc un anneau .

Maxim Kontsevich et Don Zagier ont donné un aperçu des périodes et ont introduit quelques conjectures à leur sujet.

Définition

Un nombre réel est un point s'il est de la forme

${\displaystyle \int _{P(x,y,z,\ldots )\geq 0}Q(x,y,z,\ldots )\mathrm {d} x\mathrm {d} y\mathrm {d} z\ldots }$

où est un polynôme et une fonction rationnelle sur avec des coefficients rationnels. Un nombre complexe est une période si ses parties réelle et imaginaire sont des périodes. ${\style d'affichage P}$${\style d'affichage Q}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Une définition alternative permet et être des fonctions algébriques ; cela semble plus général, mais est équivalent. Les coefficients des fonctions rationnelles et des polynômes peuvent également être généralisés aux nombres algébriques car les nombres algébriques irrationnels sont exprimables en termes d'aires de domaines appropriés. ${\style d'affichage P}$${\style d'affichage Q}$

Dans l'autre sens, peut être restreint à la fonction constante ou , en remplaçant l'intégrande par une intégrale de sur une région définie par un polynôme en variables supplémentaires. En d'autres termes, une période (non négative) est le volume d'une région définie par une inégalité polynomiale. ${\style d'affichage Q}$${\style d'affichage 1}$${\style d'affichage -1}$${\style d'affichage \pm 1}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Exemples

Outre les nombres algébriques, les nombres suivants sont connus pour être des périodes :

• Le logarithme népérien de tout nombre algébrique positif a , qui est${\displaystyle \int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\ \mathrm {d} x}$
• ??${\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {4}{x^{2}+1}}\ \mathrm {d} x}$
• Intégrales elliptiques avec arguments rationnels
• Toutes les constantes zêta (la fonction zêta de Riemann d'un entier) et plusieurs valeurs zêta
• Valeurs spéciales des fonctions hypergéométriques aux arguments algébriques
• Γ ( p / q ) ^q pour un nombre naturel p et q .

Un exemple de nombre réel qui n'est pas une période est donné par la constante de Chaitin . Tout autre nombre non calculable donne également un exemple de nombre réel qui n'est pas un point. Actuellement, il n'y a pas d'exemples naturels de nombres calculables qui se sont avérés ne pas être des périodes, mais il est possible de construire des exemples artificiels. Les candidats vraisemblables pour les numéros qui ne sont pas des périodes comprennent e , 1 / π et Euler-Mascheroni γ constante .

Propriétés et motivation

Les périodes sont destinées à combler l'écart entre les nombres algébriques et les nombres transcendantaux . La classe des nombres algébriques est trop étroite pour inclure de nombreuses constantes mathématiques communes , tandis que l'ensemble des nombres transcendants n'est pas dénombrable , et ses membres ne sont généralement pas calculables .

L'ensemble de toutes les périodes est dénombrable , et toutes les périodes sont calculables , et en particulier définissables .

Conjectures

Beaucoup de constantes connues pour être des périodes sont également données par des intégrales de fonctions transcendantales . Kontsevich et Zagier notent qu'il « ne semble pas y avoir de règle universelle expliquant pourquoi certaines sommes ou intégrales infinies de fonctions transcendantales sont des périodes ».

Kontsevich et Zagier ont conjecturé que, si une période est donnée par deux intégrales différentes, alors chaque intégrale peut être transformée en l'autre en utilisant uniquement la linéarité des intégrales (à la fois dans l'intégrande et le domaine), les changements de variables et le Newton-Leibniz formule

${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(x)\,dx=f(b)-f(a)}$

(ou, plus généralement, la formule de Stokes ).

Une propriété utile des nombres algébriques est que l'égalité entre deux expressions algébriques peut être déterminée algorithmiquement. La conjecture de Kontsevich et Zagier impliquerait que l'égalité des périodes est aussi décidable : l' inégalité des réels calculables est connue récursivement énumérable ; et inversement si deux intégrales concordent, alors un algorithme pourrait le confirmer en essayant toutes les manières possibles de transformer l'une d'elles en l'autre.

On conjecture que le nombre e d' Euler et la constante d'Euler–Mascheroni ne sont pas des périodes.

Généralisations

Les périodes peuvent être étendues aux périodes exponentielles en permettant à l'intégrande d'être le produit d'une fonction algébrique et de la fonction exponentielle d'une fonction algébrique. Cette extension inclut toutes les puissances algébriques de e , la fonction gamma des arguments rationnels et les valeurs des fonctions de Bessel . ${\style d'affichage Q}$

Kontsevich et Zagier suggèrent qu'il existe des "indications" que les périodes peuvent être naturellement généralisées encore plus loin, pour inclure la constante d'Euler . Avec cette inclusion, « toutes les constantes classiques sont des périodes dans le sens approprié ».

Voir également

• Variété Jacobienne
• Liaison Gauss-Manin
• Motifs mixtes (mathématiques)
• Formalisme tannakien

Les références

• Kontsevitch, Maxime ; Zagier, Don (2001). "Périodes" (PDF) . Dans Engquist, Björn ; Schmid, Wilfried (éd.). Mathématiques illimitées—2001 et au-delà . Berlin, New York : Springer . p. 771-808. ISBN 9783540669135. MR  1852188 .

Notes de bas de page

Lectures complémentaires

• Belkale, Prakash ; Brosnan, Patrick (2003), "Periods and Igusa local zeta functions", International Mathematics Research Notices , 2003 (49): 2655-2670, doi : 10.1155/S107379280313142X , ISSN  1073-7928 , MR  2012522
• Waldschmidt, Michel (2006), "Transcendance des périodes : l'état de l'art" (PDF) , Pure and Applied Mathematics Quarterly , 2 (2) : 435-463, doi : 10.4310/PAMQ.2006.v2.n2.a3 , ISSN  1558-8599 , MR  2251476

Liens externes

• PlanetMath : Période