Quasi-empirisme en mathématiques - Quasi-empiricism in mathematics
Le quasi-empirisme en mathématiques est la tentative en philosophie des mathématiques d'attirer l'attention des philosophes sur la pratique mathématique , en particulier les relations avec la physique , les sciences sociales et les mathématiques computationnelles , plutôt que sur les seuls problèmes liés aux fondements des mathématiques . Cette discussion porte sur plusieurs sujets: la relation de l' empirisme (voir Penelope Maddy ) avec les mathématiques , les questions liées au réalisme , l'importance de la culture , la nécessité de l' application , etc.
Arguments primaires
Un argument principal concernant le quasi-empirisme est que si les mathématiques et la physique sont souvent considérées comme des domaines d'études étroitement liés, cela peut refléter un biais cognitif humain . On prétend que, malgré l'application rigoureuse de méthodes empiriques appropriées ou de pratique mathématique dans l'un ou l'autre domaine, cela serait néanmoins insuffisant pour réfuter d'autres approches.
Eugene Wigner (1960) a noté que cette culture ne devait pas être limitée aux mathématiques, à la physique ou même aux humains. Il a ajouté que "Le miracle de la pertinence du langage des mathématiques pour la formulation des lois de la physique est un cadeau merveilleux que nous ne comprenons ni ne méritons. Nous devrions en être reconnaissants et espérer qu'il restera valable dans les recherches futures. et qu'elle s'étendra, pour le meilleur ou pour le pire, à notre plaisir, même si peut-être aussi à notre perplexité, à de larges branches du savoir. " Wigner a utilisé plusieurs exemples pour démontrer pourquoi la `` confusion '' est une description appropriée, comme montrer comment les mathématiques ajoutent à la connaissance situationnelle d'une manière qui n'est pas possible autrement ou qui est si hors de la normale que l'on pense que cela ne suscite guère l'attention. La capacité prédictive, au sens de décrire des phénomènes potentiels avant leur observation, qui peut être soutenue par un système mathématique serait un autre exemple.
Dans le prolongement de Wigner , Richard Hamming (1980) a écrit sur les applications des mathématiques comme thème central de ce sujet et a suggéré qu'une utilisation réussie peut parfois l'emporter sur la preuve, dans le sens suivant: lorsqu'un théorème a une véracité évidente par l'applicabilité, des preuves ultérieures qui montrent la preuve du théorème comme problématique conduirait davantage à essayer de raffermir le théorème plutôt qu'à essayer de refaire les applications ou de nier les résultats obtenus à ce jour. Hamming avait quatre explications à l '«efficacité» que nous voyons avec les mathématiques et considérait définitivement ce sujet comme digne de discussion et d'étude.
- "Nous voyons ce que nous cherchons." Pourquoi «quasi» est à propos en référence à cette discussion.
- "Nous sélectionnons le type de mathématiques à utiliser." Notre utilisation et modification des mathématiques est essentiellement situationnelle et axée sur les objectifs.
- "La science répond en fait à relativement peu de problèmes." Ce qui doit encore être examiné, c'est un ensemble plus large.
- "L'évolution de l'homme a fourni le modèle." Il peut y avoir des limites attribuables à l'élément humain.
Pour Willard Van Orman Quine (1960), l'existence n'est que l'existence dans une structure. Cette position est pertinente pour le quasi-empirisme, car Quine croit que les mêmes preuves qui soutiennent la théorisation de la structure du monde sont les mêmes que celles qui soutiennent la théorisation des structures mathématiques.
Hilary Putnam (1975) a déclaré que les mathématiques avaient accepté des preuves informelles et des preuves par autorité, et avaient commis et corrigé des erreurs tout au long de son histoire. En outre, il a déclaré que le système d' Euclide consistant à prouver les théorèmes de géométrie était unique aux Grecs classiques et n'avait pas évolué de la même manière dans d'autres cultures mathématiques en Chine , en Inde et en Arabie . Cette preuve et d'autres ont conduit de nombreux mathématiciens à rejeter l'étiquette des platoniciens , ainsi que l'ontologie de Platon - qui, avec les méthodes et l'épistémologie d' Aristote , avait servi d' ontologie de base pour le monde occidental depuis ses débuts. Une culture véritablement internationale des mathématiques serait, selon Putnam et al. (1983), nécessairement au moins «quasi» empirique (englobant «la méthode scientifique» pour le consensus sinon l'expérience).
Imre Lakatos (1976), qui a réalisé son travail original sur ce sujet pour sa thèse (1961, Cambridge ), a plaidé en faveur de `` programmes de recherche '' comme moyen de soutenir une base pour les mathématiques et a considéré les expériences de pensée comme appropriées à la découverte mathématique. Lakatos a peut-être été le premier à utiliser le «quasi-empirisme» dans le contexte de ce sujet.
Aspects opérationnels
Plusieurs travaux récents portent sur ce sujet. Les travaux de Gregory Chaitin et Stephen Wolfram , bien que leurs positions puissent être considérées comme controversées, s'appliquent. Chaitin (1997/2003) suggère un caractère aléatoire sous-jacent aux mathématiques et Wolfram ( A New Kind of Science , 2002) soutient que l'indécidabilité peut avoir une pertinence pratique, c'est-à-dire être plus qu'une abstraction.
Une autre plus pertinente serait les discussions concernant le calcul interactif , en particulier ceux liés à la signification et l' utilisation de Turing modèle de ( thèse de Church-Turing , machines de Turing , etc.).
Ces travaux sont fortement computationnels et soulèvent un autre ensemble de problèmes. Pour citer Chaitin (1997/2003):
Maintenant, tout est à l'envers. Il est allé à l'envers, pas à cause d'un argument philosophique, pas à cause des résultats de Gödel ou des résultats de Turing ou de mes propres résultats incomplets. Il est allé à l'envers pour une raison très simple: l'ordinateur!
La collection «Undecidables» de Wolfram ( A New Kind of Science , 2002) est un autre exemple.
L' article de 2006 de Wegner "Principes de résolution de problèmes" suggère que le calcul interactif peut aider les mathématiques à former un cadre plus approprié ( empirique ) que celui qui peut être fondé avec le rationalisme seul. Lié à cet argument est que la fonction (même récursivement liée à l'infini) est une construction trop simple pour gérer la réalité des entités qui résolvent (via le calcul ou un certain type d'analogue) des systèmes à n dimensions (sens général du mot).