Connexion Spin - Spin connection

En géométrie différentielle et en physique mathématique , une connexion de spin est une connexion sur un faisceau de spineurs . Elle est induite, de manière canonique, à partir de la connexion affine . Il peut également être considéré comme le champ de jauge généré par les transformations locales de Lorentz . Dans certaines formulations canoniques de la relativité générale, une connexion de spin est définie sur des tranches spatiales et peut également être considérée comme le champ de jauge généré par des rotations locales .

La connexion de spin se produit sous deux formes courantes: la connexion de spin Levi-Civita , lorsqu'elle est dérivée de la connexion de Levi-Civita , et la connexion de spin affine , lorsqu'elle est obtenue à partir de la connexion affine. La différence entre les deux est que la connexion Levi-Civita est par définition la connexion unique sans torsion , alors que la connexion affine (et donc la connexion de spin affine) peut contenir une torsion.

Définition

Soit les champs de trame de Lorentz locaux ou vierbein (également connu sous le nom de tétrade), qui est un ensemble de champs de vecteurs spatio-temporels orthonormés qui diagonalisent le tenseur métrique ${\ Displaystyle e _ {\ mu} ^ {\; \, a}}$

{\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} = e _ {\ mu} ^ {\; \, a} e _ {\ nu} ^ {\; \, b} \ eta _ {ab},}

où est la métrique de l'espace-temps et est la métrique de Minkowski . Ici, les lettres latines désignent les indices de trame de Lorentz locaux ; Les indices grecs désignent des indices de coordonnées généraux. Cela exprime simplement que , lorsqu'il est écrit en termes de base , est localement plat. Les indices grecs de vierbein peuvent être augmentés ou abaissés par la métrique, c'est -à- dire ou . Les indices de vierbein latins ou «lorentziens» peuvent être augmentés ou abaissés respectivement de ou . Par exemple, et ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$ ${\ displaystyle \ eta _ {ab}}$ ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$ ${\ Displaystyle e _ {\ mu} ^ {\; \, a}}$ ${\ displaystyle g ^ {\ mu \ nu}}$ ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$ ${\ displaystyle \ eta ^ {ab}}$ ${\ displaystyle \ eta _ {ab}}$ ${\ Displaystyle e ^ {\ mu a} = g ^ {\ mu \ nu} e _ {\ nu} ^ {\; \, a}}$ ${\ displaystyle e _ {\ nu a} = \ eta _ {ab} e _ {\ nu} ^ {\; \, b}}$

La connexion de spin sans torsion est donnée par

{\ displaystyle \ omega _ {\ mu} ^ {\ ab} = e _ {\ nu} ^ {\ a} \ Gamma _ {\ \ sigma \ mu} ^ {\ nu} e ^ {\ sigma b} + e_ {\ nu} ^ {\ a} \ partial _ {\ mu} e ^ {\ nu b} = e _ {\ nu} ^ {\ a} \ Gamma _ {\ \ sigma \ mu} ^ {\ nu} e ^ {\ sigma b} -e ^ {\ nu b} \ partial _ {\ mu} e _ {\ nu} ^ {\ a},}

où sont les symboles Christoffel . Cette définition doit être considérée comme définissant la connexion de spin sans torsion, puisque, par convention, les symboles Christoffel sont dérivés de la connexion Levi-Civita , qui est l'unique connexion métrique compatible et sans torsion sur un manifold riemannien. En général, il n'y a pas de restriction: la connexion de spin peut également contenir une torsion. ${\ displaystyle \ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ {\ sigma}}$

Notez que l' utilisation de la dérivée covariante gravitationnelle du vecteur contravariant . La connexion de spin peut être écrite uniquement en termes de champ vierbein comme ${\ displaystyle \ omega _ {\ mu} ^ {\ ab} = e _ {\ nu} ^ {\ a} \ partial _ {; \ mu} e ^ {\ nu b} = e _ {\ nu} ^ {\ a} (\ partial _ {\ mu} e ^ {\ nu b} + \ Gamma _ {\ \ sigma \ mu} ^ {\ nu} e ^ {\ sigma b})}$ ${\ displaystyle \ partial _ {; \ mu} e ^ {\ nu b}}$ ${\ displaystyle e ^ {\ nu b}}$

{\ displaystyle \ omega _ {\ mu} ^ {\ ab} = {\ frac {1} {2}} e ^ {\ nu a} (\ partial _ {\ mu} e _ {\ nu} ^ {\ b } - \ partial _ {\ nu} e _ {\ mu} ^ {\ b}) - {\ frac {1} {2}} e ^ {\ nu b} (\ partial _ {\ mu} e _ {\ nu } ^ {\ a} - \ partial _ {\ nu} e _ {\ mu} ^ {\ a}) - {\ frac {1} {2}} e ^ {\ rho a} e ^ {\ sigma b} (\ partial _ {\ rho} e _ {\ sigma c} - \ partial _ {\ sigma} e _ {\ rho c}) e _ {\ mu} ^ {\ c},}

qui par définition est anti-symétrique dans ses indices internes . ${\ displaystyle a, b}$

La connexion de spin définit une dérivée covariante sur des tenseurs généralisés. Par exemple, son action sur est ${\ displaystyle \ omega _ {\ mu} ^ {\ ab}}$ ${\ displaystyle D _ {\ mu}}$ ${\ displaystyle V _ {\ nu} ^ {\ a}}$

{\ displaystyle D _ {\ mu} V _ {\ nu} ^ {\ a} = \ partial _ {\ mu} V _ {\ nu} ^ {\ a} + {{\ omega _ {\ mu}} ^ {a }} _ {b} V _ {\ nu} ^ {\ b} - \ Gamma _ {\ \ nu \ mu} ^ {\ sigma} V _ {\ sigma} ^ {\ a}}

Équations de structure de Cartan

Dans le formalisme de Cartan , la connexion de spin est utilisée pour définir à la fois la torsion et la courbure. Ceux-ci sont plus faciles à lire en travaillant avec des formes différentielles , car cela masque une partie de la profusion d'index. Les équations présentées ici sont en fait une reformulation de celles que l'on peut trouver dans l'article sur la forme de connexion et la forme de courbure . La principale différence est que ceux-ci conservent les index sur le vierbein, au lieu de les cacher complètement. Plus étroitement, le formalisme de Cartan est à interpréter dans son cadre historique, comme une généralisation de l'idée d'une connexion affine à un espace homogène ; elle n'est pas encore aussi générale que l'idée d'une connexion principale sur un faisceau de fibres . Il sert de point intermédiaire approprié entre le réglage plus étroit de la géométrie riemannienne et le réglage du faisceau de fibres entièrement abstrait, soulignant ainsi la similitude avec la théorie de la jauge . Notez que les équations de structure de Cartan, telles qu'exprimées ici, ont un analogue direct: les équations de Maurer – Cartan pour les groupes de Lie (c'est-à-dire que ce sont les mêmes équations, mais dans un cadre et une notation différents).

Ecrire les vierbeins sous forme de formes différentielles

{\ Displaystyle e ^ {a} = e _ {\ mu} ^ {\; \, a} dx ^ {\ mu}}

pour les coordonnées orthonormées sur le faisceau cotangent , la monoforme de connexion de spin affine est

{\ displaystyle \ omega ^ {ab} = \ omega _ {\ mu} ^ {\; \; ab} dx ^ {\ mu}}

La forme 2 de torsion est donnée par

{\ displaystyle \ Theta ^ {a} = de ^ {a} + \ omega _ {\; b} ^ {a} \ wedge e ^ {b}}

tandis que la forme 2 de courbure est

{\ displaystyle R _ {\; \, b} ^ {a} = d \ omega _ {\; \, b} ^ {a} + \ omega _ {\; c} ^ {a} \ wedge \ omega _ { \; \, b} ^ {c} = {\ frac {1} {2}} R _ {\; \, bcd} ^ {a} e ^ {c} \ wedge e ^ {d}}

Ces deux équations, prises ensemble, sont appelées les équations de structure de Cartan . La cohérence exige que les identités Bianchi soient respectées. La première identité de Bianchi est obtenue en prenant la dérivée extérieure de la torsion:

{\ displaystyle d \ Theta ^ {a} + \ omega _ {\; b} ^ {a} \ wedge \ Theta ^ {b} = R _ {\; \, b} ^ {a} \ wedge e ^ {b }}

tandis que le second en différenciant la courbure:

{\ displaystyle dR _ {\; \, b} ^ {a} + \ omega _ {\; c} ^ {a} \ wedge R _ {\; \, b} ^ {c} -R _ {\; \, c } ^ {a} \ wedge \ omega _ {\; b} ^ {c} = 0.}

La dérivée covariante pour une forme différentielle générique de degré p est définie par ${\ Displaystyle V _ {\; \, b} ^ {a}}$

{\ displaystyle DV _ {\; \, b} ^ {a} = dV _ {\; \, b} ^ {a} + \ omega _ {\; c} ^ {a} \ wedge V _ {\; \, b } ^ {c} - (- 1) ^ {p} V _ {\; \, c} ^ {a} \ wedge \ omega _ {\; b} ^ {c}.}

La seconde identité de Bianchi devient alors

{\ displaystyle DR _ {\; \, b} ^ {a} = 0.}

La différence entre une connexion avec torsion et la connexion unique sans torsion est donnée par le tenseur de contorsion . Les connexions avec la torsion se trouvent généralement dans les théories de teleparallelism , la théorie d' Einstein-Cartan , la gravité de la théorie de jauge et supergravité .

Dérivation

Métricité

Il est facile de déduire en augmentant et en abaissant les indices selon les besoins que les champs de trame définis par satisferont également et . Nous prévoyons que cela annihilera également la métrique de Minkowski , ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} = {e _ {\ mu}} ^ {a} {e _ {\ nu}} ^ {b} \ eta _ {ab}}$ ${\ displaystyle {e _ {\ mu}} ^ {a} {e ^ {\ mu}} _ {b} = \ delta _ {b} ^ {a}}$ ${\ displaystyle {e _ {\ mu}} ^ {b} {e ^ {\ nu}} _ {b} = \ delta _ {\ mu} ^ {\ nu}}$ ${\ displaystyle D _ {\ mu}}$ ${\ displaystyle \ eta _ {ab}}$

{\ displaystyle D _ {\ mu} \ eta _ {ab} = \ partial _ {\ mu} \ eta _ {ab} - {\ omega _ {\ mu a}} ^ {c} \ eta _ {cb} - {\ omega _ {\ mu b}} ^ {c} \ eta _ {ac} = 0.}

Cela implique que la connexion est anti-symétrique dans ses indices internes, Ceci est également déduit en prenant la dérivée covariante gravitationnelle qui implique donc en fin de compte, . Ceci est parfois appelé la condition de métricité ; il est analogue à la condition de métricité plus communément énoncée que Noter que cette condition n'est valable que pour la connexion de spin Levi-Civita, et non pour la connexion de spin affine en général. ${\ displaystyle {\ omega _ {\ mu}} ^ {ab} = - {\ omega _ {\ mu}} ^ {ba}.}$ ${\ displaystyle \ partial _ {; \ beta} ({e _ {\ mu}} ^ {a} {e ^ {\ mu}} _ {b}) = 0}$ ${\ displaystyle \ partial _ {; \ beta} {e _ {\ mu}} ^ {a} {e ^ {\ mu}} _ {b} = - {e _ {\ mu}} ^ {a} \ partial _ {; \ beta} {e ^ {\ mu}} _ {b}}$ ${\ displaystyle {\ omega _ {\ beta}} ^ {ab} = - {\ omega _ {\ beta}} ^ {ba}}$ ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu; \ alpha} = 0.}$

En substituant la formule aux symboles Christoffel écrits en termes de , la connexion de spin peut être entièrement écrite en termes de , ${\ displaystyle {\ Gamma ^ {\ nu}} _ {\ sigma \ mu} = {1 \ over 2} g ^ {\ nu \ delta} (\ partial _ {\ sigma} g _ {\ delta \ mu} + \ partial _ {\ mu} g _ {\ sigma \ delta} - \ partial _ {\ delta} g _ {\ sigma \ mu})}$ ${\ displaystyle {e _ {\ mu}} ^ {a}}$ ${\ displaystyle {e _ {\ mu}} ^ {a}}$

{\ displaystyle {\ omega _ {\ mu}} ^ {ab} = e ^ {\ nu [a} ({{e _ {\ nu}} ^ {b]}} _ {, \ mu} - {{e_ {\ mu}} ^ {b]}} _ {, \ nu} + e ^ {\ sigma | b]} {e _ {\ mu}} ^ {c} e _ {\ nu c, \ sigma})}

où l'antisymétrisation des indices a un facteur implicite de 1/2.

Par la compatibilité métrique

Cette formule peut être dérivée d'une autre manière. Pour résoudre directement la condition de compatibilité de la connexion de spin , on peut utiliser la même astuce que celle utilisée pour résoudre les symboles de Christoffel . Premier contrat la condition de compatibilité à donner ${\ displaystyle {\ omega _ {\ mu}} ^ {ab}}$ ${\ displaystyle \ nabla _ {\ rho} g _ {\ alpha \ beta} = 0}$ ${\ displaystyle {\ Gamma ^ {\ gamma}} _ {\ alpha \ beta}}$

{\ displaystyle {e ^ {\ alpha}} _ {b} {e ^ {\ beta}} _ {c} (\ partial _ {[\ alpha} e _ {\ beta] a} + {\ omega _ {[ \ alpha a}} ^ {d} \; e _ {\ beta] d}) = 0}

.

Ensuite, faites une permutation cyclique des indices libres et , et additionnez et soustrayez les trois équations résultantes: ${\ displaystyle a, b,}$ ${\ displaystyle c}$

{\ displaystyle \ Omega _ {bca} + \ Omega _ {abc} - \ Omega _ {cab} +2 {e ^ {\ alpha}} _ {b} \ omega _ {\ alpha ac} = 0}

où nous avons utilisé la définition . La solution pour la connexion spin est ${\ displaystyle \ Omega _ {bca}: = {e ^ {\ alpha}} _ {b} {e ^ {\ beta}} _ {c} \ partial _ {[\ alpha} e _ {\ beta] a} }$

{\ displaystyle \ omega _ {\ alpha ca} = {1 \ over 2} {e _ {\ alpha}} ^ {b} (\ Omega _ {bca} + \ Omega _ {abc} - \ Omega _ {cab} )}

.

De cela, nous obtenons la même formule que précédemment.

Applications

La connexion de spin apparaît dans l' équation de Dirac lorsqu'elle est exprimée dans le langage de l'espace - temps courbe , voir l' équation de Dirac dans l'espace-temps courbe . Plus précisément, il existe des problèmes de couplage de la gravité aux champs de spineurs : il n'y a pas de représentation de spineurs de dimension finie du groupe de covariance générale . Cependant, il existe bien sûr des représentations spinorielles du groupe de Lorentz . Ce fait est utilisé en employant des champs tétrades décrivant un espace tangent plat à chaque point de l'espace-temps. Les matrices de Dirac sont contractées sur des vierbiens, ${\ displaystyle \ gamma ^ {a}}$

{\ displaystyle \ gamma ^ {a} {e ^ {\ mu}} _ {a} (x) = \ gamma ^ {\ mu} (x)}

.

Nous souhaitons construire une équation de Dirac généralement covariante. Sous une transformation de Lorentz d' espace tangent plat, le spineur se transforme en

{\ Displaystyle \ psi \ mapsto e ^ {i \ epsilon ^ {ab} (x) \ sigma _ {ab}} \ psi}

Nous avons introduit des transformations locales de Lorentz sur un espace tangent plat généré par les 's, tel qu'il est fonction de l'espace-temps. Cela signifie que la dérivée partielle d'un spineur n'est plus un véritable tenseur. Comme d'habitude, on introduit un champ de connexion qui nous permet de jauger le groupe de Lorentz. La dérivée covariante définie avec la connexion de spin est, ${\ displaystyle \ sigma _ {ab}}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {ab}}$ ${\ displaystyle {\ omega _ {\ mu}} ^ {ab}}$

{\ displaystyle \ nabla _ {\ mu} \ psi = (\ partial _ {\ mu} - {i \ over 4} {\ omega _ {\ mu}} ^ {ab} \ sigma _ {ab}) \ psi = (\ partial _ {\ mu} - {i \ over 4} e ^ {\ nu a} \ partial _ {; \ mu} {e _ {\ nu}} ^ {b} \ sigma _ {ab}) \ psi}

,

et est un véritable tenseur et l'équation de Dirac est réécrite comme

{\ displaystyle (i \ gamma ^ {\ mu} \ nabla _ {\ mu} -m) \ psi = 0}

.

L'action de fermion généralement covariante couple les fermions à la gravité lorsqu'elle est ajoutée à l' action de Palatini tétradique du premier ordre ,

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = - {1 \ over 2 \ kappa ^ {2}} e \, {e ^ {\ mu}} _ {a} {e ^ {\ nu}} _ {b } {\ Omega _ {\ mu \ nu}} ^ {ab} [\ omega] + e {\ overline {\ psi}} (i \ gamma ^ {\ mu} \ nabla _ {\ mu} -m) \ psi}

où et est la courbure de la connexion de spin. ${\ displaystyle e: = \ det {e _ {\ mu}} ^ {a} = {\ sqrt {-g}}}$ ${\ displaystyle {\ Omega _ {\ mu \ nu}} ^ {ab}}$

La formulation de Palatini tétradique de la relativité générale qui est une formulation du premier ordre de l' action d'Einstein-Hilbert où la tétrade et la connexion de spin sont les variables indépendantes de base. Dans la version 3 + 1 de la formulation de Palatini, les informations sur la métrique spatiale,, sont codées dans la triade (version spatiale tridimensionnelle de la tétrade). Ici, nous étendons la condition de compatibilité métrique à , c'est-à-dire, et nous obtenons une formule similaire à celle donnée ci-dessus mais pour la connexion de spin spatiale . ${\ displaystyle q_ {ab} (x)}$ ${\ displaystyle e_ {a} ^ {i}}$ ${\ displaystyle D_ {a} q_ {bc} = 0}$ ${\ displaystyle e_ {a} ^ {i}}$ ${\ displaystyle D_ {a} e_ {b} ^ {i} = 0}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {a} ^ {ij}}$

La connexion de spin spatiale apparaît dans la définition des variables Ashtekar-Barbero qui permet de réécrire la relativité générale 3 + 1 comme un type spécial de théorie de jauge de Yang – Mills . On définit . La variable de connexion Ashtekar-Barbero est alors définie comme où et est la courbure extrinsèque et est le paramètre Immirzi . Avec comme variable de configuration, l'impulsion conjuguée est la triade densitisée . Avec la relativité générale 3 + 1 réécrite comme un type spécial de la théorie de jauge de Yang – Mills , elle permet l'importation de techniques non perturbatives utilisées en chromodynamique quantique dans la relativité générale quantique canonique. ${\ displaystyle \ mathrm {SU} (2)}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {a} ^ {i} = \ epsilon ^ {ijk} \ Gamma _ {a} ^ {jk}}$ ${\ displaystyle A_ {a} ^ {i} = \ Gamma _ {a} ^ {i} + \ beta c_ {a} ^ {i}}$ ${\ displaystyle c_ {a} ^ {i} = c_ {ab} e ^ {bi}}$ ${\ displaystyle c_ {ab}}$ ${\ displaystyle \ beta}$ ${\ displaystyle A_ {a} ^ {i}}$ ${\ displaystyle E_ {a} ^ {i} = | \ det (e) | e_ {a} ^ {i}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {SU} (2)}$