Liaison Levi-Civita - Levi-Civita connection

En géométrie riemannienne ou pseudo riemannienne (en particulier la géométrie lorentzienne de la relativité générale ), la connexion de Levi-Civita est l'unique connexion sur le fibré tangent d'une variété (ie connexion affine ) qui préserve la ( pseudo- ) métrique riemannienne et est de torsion -libre.

Le théorème fondamental de la géométrie riemannienne stipule qu'il existe une connexion unique qui satisfait ces propriétés.

Dans la théorie des variétés riemanniennes et pseudo-riemanniennes, le terme dérivé covariant est souvent utilisé pour la connexion Levi-Civita. Les composantes (coefficients de structure) de cette connexion par rapport à un système de coordonnées locales sont appelées symboles de Christoffel .

Histoire

La connexion Levi-Civita porte le nom de Tullio Levi-Civita , bien qu'à l'origine "découvert" par Elwin Bruno Christoffel . Levi-Civita, avec Gregorio Ricci-Curbastro , a utilisé les symboles de Christoffel pour définir la notion de transport parallèle et explorer la relation du transport parallèle avec la courbure , développant ainsi la notion moderne d' holonomie .

En 1869, Christoffel a découvert que les composants de la dérivée intrinsèque d'un champ vectoriel, lors du changement de système de coordonnées, se transforment en composants d'un vecteur contravariant. Cette découverte fut le véritable début de l'analyse tensorielle.

En 1906, LEJ Brouwer fut le premier mathématicien à considérer le transport parallèle d'un vecteur pour le cas d'un espace à courbure constante .

En 1917, Levi-Civita souligna son importance pour le cas d'une hypersurface plongée dans un espace euclidien , c'est-à-dire pour le cas d'une variété riemannienne noyée dans un espace ambiant « plus grand ». Il a interprété la dérivée intrinsèque dans le cas d'une surface encastrée comme la composante tangentielle de la dérivée habituelle dans l'espace affine ambiant. Les notions de Levi-Civita de dérivée intrinsèque et de déplacement parallèle d'un vecteur le long d'une courbe ont un sens sur une variété riemannienne abstraite, même si la motivation originale reposait sur un plongement spécifique.${\displaystyle M^{n}\subset \mathbf {R} ^{n(n+1)/2}.}$

En 1918, indépendamment de Levi-Civita, Jan Arnoldus Schouten obtint des résultats analogues. La même année, Hermann Weyl généralise les résultats de Levi-Civita.

Notation

• ( M , g ) désigne une variété riemannienne ou pseudo-riemannienne .
• TM est le fibré tangent de M .
• g est la métrique riemannienne ou pseudo-riemannienne de M .
• X , Y , Z sont des champs de vecteurs lisses sur M , c'est-à-dire des sections lissesde TM .
• [ X , Y ] est la parenthèse de Lie de X et Y . C'est encore un champ vectoriel lisse.

La métrique g peut prendre jusqu'à deux vecteurs ou champs de vecteurs X , Y comme arguments. Dans le premier cas, la sortie est un nombre, le (pseudo-) produit scalaire de X et Y . Dans ce dernier cas, le produit scalaire de X _p , Y _p est pris en tous les points p de la variété de sorte que g ( X , Y ) définit une fonction lisse sur M . Les champs de vecteurs agissent (par définition) comme des opérateurs différentiels sur les fonctions lisses. En coordonnées locales , l'action lit ${\style d'affichage (x_{1},\ldots ,x_{n})}$

${\displaystyle X(f)=X^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}f=X^{i}\partial _{i}f}$

où la convention de sommation d'Einstein est utilisée.

Définition formelle

Une connexion affines ∇ est appelé une connexion Levi-Civita si

1. il préserve la métrique , c'est-à-dire ∇ g = 0 .
2. il est torsion -Free , à savoir, pour tout vecteur champs X et Y , nous avons ∇ _X Y - ∇ _Y X = [ X , Y ] , où [ X , Y ] est le support de Lie du champs de vecteurs X et Y .

La condition 1 ci-dessus est parfois appelée compatibilité avec la métrique , et la condition 2 est parfois appelée symétrie, cf. Faites le texte de Carmo.

Théorème fondamental de la (pseudo) géométrie riemannienne

Théorème Chaque pseudo variété riemannienne a une connexion de Levi Civita unique . ${\style d'affichage (M,g)}$${\displaystyle \nabla }$

preuve : Si une connexion Levi-Civita existe, elle doit être unique. Pour voir cela, démêlez la définition de l'action d'une liaison sur les tenseurs pour trouver

${\displaystyle X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}=(\nabla _{X}g)(Y,Z)+g(\nabla _{X}Y,Z)+g (Y,\nabla _{X}Z).}$

On peut donc écrire la condition 1 sous la forme

${\displaystyle X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z).}$

Par la symétrie du tenseur métrique on trouve alors : ${\style d'affichage g}$

${\displaystyle X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}+Y{\bigl (}g(Z,X){\bigr )}-Z{\bigl (}g(Y,X ){\bigr )}=g(\nabla _{X}Y+\nabla _{Y}X,Z)+g(\nabla _{X}Z-\nabla _{Z}X,Y)+g( \nabla _{Y}Z-\nabla _{Z}Y,X).}$

Par la condition 2, le membre de droite est donc égal à

${\style d'affichage 2g(\nabla _{X}Y,Z)-g([X,Y],Z)+g([X,Z],Y)+g([Y,Z],X),}$

et on trouve la formule de Koszul

${\displaystyle g(\nabla _{X}Y,Z)={\tfrac {1}{2}}{\Big \{}X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}+ Y{\bigl (}g(Z,X){\bigr )}-Z{\bigl (}g(X,Y){\bigr )}+g([X,Y],Z)-g([ Y,Z],X)-g([X,Z],Y){\Grand \}}.}$

Par conséquent, si une connexion Levi-Civita existe, elle doit être unique, car elle est arbitraire, n'est pas dégénérée et le membre de droite ne dépend pas de . ${\style d'affichage Z}$${\style d'affichage g}$${\displaystyle \nabla }$

Pour prouver l'existence, notez que pour un champ de vecteurs donné et , le côté droit de l'expression de Koszul est fonction-linéaire dans le champ de vecteurs , pas seulement réel linéaire. Par conséquent, par la non dégénérescence de , le membre de droite définit de manière unique un nouveau champ de vecteurs que nous désignons de manière suggestive comme dans le membre de gauche. En substituant la formule de Koszul, on vérifie maintenant que pour tous les champs de vecteurs , et toutes les fonctions${\style d'affichage X}$${\style d'affichage Y}$${\style d'affichage Z}$${\style d'affichage g}$${\displaystyle \nabla _{X}Y}$${\style d'affichage X,Y,Z}$${\style d'affichage f}$

${\displaystyle g(\nabla _{X}(Y_{1}+Y_{2}),Z)=g(\nabla _{X}Y_{1},Z)+g(\nabla _{X} Y_{2},Z)}$

${\style d'affichage g(\nabla _{X}(fY),Z)=X(f)g(Y,Z)+fg(\nabla _{X}Y,Z)}$

${\style d'affichage g(\nabla _{X}Y,Z)+g(\nabla _{X}Z,Y)=X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}}$

${\displaystyle g(\nabla _{X}Y,Z)-g(\nabla _{Y}X,Z)=g([X,Y],Z).}$

Par conséquent, l'expression de Koszul définit en fait une connexion, et cette connexion est compatible avec la métrique et est sans torsion, c'est-à-dire une connexion (d'où la) Levi-Civita.

Notez qu'avec des variations mineures, la même preuve montre qu'il existe une connexion unique qui est compatible avec la métrique et a une torsion prescrite.

symboles Christoffel

Soit une connexion affine sur le fibré tangent. Choisissez des coordonnées locales avec des champs vectoriels de base de coordonnées et écrivez pour . Les symboles Christoffel de par rapport à ces coordonnées sont définis comme ${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle x^{1},\ldots ,x^{n}}$${\displaystyle \partial _{1},\ldots ,\partial _{n}}$${\displaystyle \nabla _{j}}$${\displaystyle \nabla _{\partial _{j}}}$ ${\displaystyle \Gamma _{jk}^{l}}$${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle \nabla _{j}\partial _{k}=\Gamma _{jk}^{l}\partial _{l}}$

Les symboles de Christoffel définissent à l'inverse la connexion sur le voisinage de coordonnées car ${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle \nabla _{X}Y=\nabla _{X^{j}\partial _{j}}Y=X^{j}\nabla _{j}Y=X^{j}\nabla _ {j}(Y^{k}\partial _{k})=X^{j}{\bigl (}\partial _{j}(Y^{k})\partial _{k}+Y^{ k}\nabla _{j}\partial _{k}{\bigr )}=X^{j}{\bigl (}\partial _{j}(Y^{k})\partial _{k}+ Y^{k}\Gamma _{jk}^{l}\partial _{l}{\bigr )}=X^{j}{\bigl (}\partial _{j}(Y^{l}) +Y^{k}\Gamma _{jk}^{l}{\bigr )}\partial _{l}}$

C'est,

${\displaystyle (\nabla _{j}Y)^{l}=\partial _{j}Y^{l}+\Gamma _{jk}^{l}Y^{k}}$

Une connexion affine est compatible avec une métrique ssi ${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle \partial _{i}{\bigl (}g(\partial _{j},\partial _{k}){\bigr )}=g(\nabla _{i}\partial _{j} ,\partial _{k})+g(\partial _{j},\nabla _{i}\partial _{k})=g(\Gamma _{ij}^{l}\partial _{l} ,\partial _{k})+g(\partial _{j},\Gamma _{ik}^{l}\partial _{l})}$

c'est-à-dire si et seulement si

${\displaystyle \partial _{i}g_{jk}=\Gamma _{ij}^{l}g_{lk}+\Gamma _{ik}^{l}g_{jl}.}$

Une connexion affines ∇ est torsion ssi gratuit

${\displaystyle \nabla _{i}\partial _{j}-\nabla _{j}\partial _{i}=(\Gamma _{jk}^{l}-\Gamma _{kj}^{l })\partial _{l}=[\partial _{i},\partial _{j}]=0.}$

c'est-à-dire si et seulement si

${\displaystyle \Gamma _{jk}^{l}=\Gamma _{kj}^{l}}$

est symétrique dans ses deux indices inférieurs.

Comme on vérifie en prenant pour , les champs de vecteurs de coordonnées (ou calcule directement), l'expression de Koszul de la connexion Levi-Civita dérivée ci-dessus est équivalente à une définition des symboles de Christoffel en termes de métrique comme ${\style d'affichage X,Y,Z}$${\displaystyle \partial _{j},\partial _{k},\partial _{l}}$

${\displaystyle \Gamma _{jk}^{l}={\tfrac {1}{2}}g^{lr}\left(\partial _{k}g_{rj}+\partial _{j}g_ {rk}-\partial _{r}g_{jk}\right)}$

où comme d'habitude sont les coefficients du tenseur métrique dual, c'est-à-dire les entrées de l'inverse de la matrice . ${\style d'affichage g^{ij}}$${\style d'affichage g_{kl}}$

Dérivée le long de la courbe

La connexion Levi-Civita (comme toute connexion affine) définit également une dérivée le long des courbes , parfois notée D .

Étant donné une courbe lisse γ sur ( M , g ) et un champ de vecteurs V le long de γ sa dérivée est définie par

${\displaystyle D_{t}V=\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}V.}$

Formellement, D est la connexion de retrait γ *∇ sur le faisceau de retrait γ * TM .

En particulier, est un champ de vecteurs le long de la courbe γ elle-même. Si elle est nulle, la courbe est appelée une géodésique de la dérivée covariante. Formellement, la condition peut être reformulée comme la disparition de la connexion de retrait appliquée à : ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)}$${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$

${\displaystyle \left(\gamma ^{*}\nabla \right){\dot {\gamma }}\equiv 0.}$

Si la dérivée covariante est la connexion Levi-Civita d'une certaine métrique, alors les géodésiques de la connexion sont précisément les géodésiques de la métrique qui sont paramétrées proportionnellement à leur longueur d'arc.

Transport parallèle

En général, le transport parallèle le long d'une courbe par rapport à une connexion définit des isomorphismes entre les espaces tangents aux points de la courbe. Si la connexion est une connexion Levi-Civita, alors ces isomorphismes sont orthogonaux , c'est-à-dire qu'ils préservent les produits internes sur les différents espaces tangents.

Les images ci-dessous montrent le transport parallèle de la connexion Levi-Civita associé à deux métriques riemanniennes différentes sur le plan, exprimées en coordonnées polaires . La métrique de l'image de gauche correspond à la métrique euclidienne standard , tandis que la métrique de droite a une forme standard en coordonnées polaires, et conserve ainsi le vecteur tangent au cercle. Cette deuxième métrique a une singularité à l'origine, comme on peut le voir en l'exprimant en coordonnées cartésiennes : ${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}}$${\displaystyle {\partial \over \partial \theta }}$

${\displaystyle dr={\frac {xdx+ydy}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}$

${\displaystyle d\theta ={\frac {xdy-ydx}{x^{2}+y^{2}}}}$

${\displaystyle dr^{2}+d\theta ^{2}={\frac {(xdx+ydy)^{2}}{x^{2}+y^{2}}}+{\frac { (xdy-ydx)^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}}$

Exemple : la sphère unité dans R ³

Soit ⟨ , ⟩ le produit scalaire usuel sur R ³ . Soit S ² la sphère unité dans R ³ . L'espace tangent à S ² en un point m est naturellement identifié au sous-espace vectoriel de R ³ constitué de tous les vecteurs orthogonaux à m . Il s'ensuit qu'un champ de vecteurs Y sur S ² peut être vu comme une application Y  : S ² → R ³ , qui satisfait

${\displaystyle {\bigl \langle }Y(m),m{\bigr \rangle }=0,\qquad \forall m\in \mathbf {S} ^{2}.}$

Notons d _m Y ( X ) la dérivée covariante de l'application Y dans la direction du vecteur X . Ensuite nous avons:

Lemme : La formule

${\displaystyle \left(\nabla _{X}Y\right)(m)=d_{m}Y(X)+\langle X(m),Y(m)\rangle m}$

définit une liaison affine sur S ² à torsion nulle.

Preuve : Il est simple de prouver que ∇ satisfait l'identité de Leibniz et est C ^∞ ( S ² ) linéaire dans la première variable. C'est aussi un calcul simple pour montrer que cette connexion est sans torsion. Il suffit donc de prouver ici que la formule ci-dessus définit bien un champ de vecteurs. Autrement dit, nous devons prouver que pour tout m dans S ²

${\displaystyle {\bigl \langle }\left(\nabla _{X}Y\right)(m),m{\bigr \rangle }=0\qquad (1).}$

Considérons l'application f qui envoie chaque m dans S ² à ⟨ Y ( m ), m ⟩ , qui est toujours 0. L'application f est constante, donc son différentiel s'annule. En particulier

${\displaystyle d_{m}f(X)={\bigl \langle }d_{m}Y(X),m{\bigr \rangle }+{\bigl \langle }Y(m),X(m) {\bigr \rangle }=0.}$

L'équation (1) ci-dessus suit. CQFD

En fait, cette connexion est la connexion Levi-Civita pour la métrique sur S ² héritée de R ³ . En effet, on peut vérifier que cette liaison préserve la métrique.

Voir également

• Connexion Weitzenböck

Remarques

Les références

• Boothby, William M. (1986). Une introduction aux variétés différentiables et à la géométrie riemannienne . Presse académique. ISBN 0-12-116052-1.
• Kobayashi, Shoshichi ; Nomizu, Katsumi (1963). Fondements de la géométrie différentielle . John Wiley & Fils. ISBN 0-470-49647-9.Voir la page Tome I. 158

Liens externes

• "Connexion Levi-Civita" , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press , 2001 [1994]
• MathWorld : Connexion Levi-Civita
• PlanetMath : Connexion Levi-Civita
• Connexion Levi-Civita au Manifold Atlas