Champ de fractionnement - Splitting field

En algèbre abstraite , un champ de division d'un polynôme avec des coefficients dans un champ est la plus petite extension de champ de ce champ sur laquelle le polynôme se divise ou se décompose en facteurs linéaires .

Définition

Un champ de division d'un polynôme p ( X ) sur un champ K est une extension de champ L de K sur laquelle p se factorise en facteurs linéaires

${\displaystyle p(X)=c\prod _{i=1}^{\deg(p)}(X-a_{i})}$

où et pour chacun on a avec a _i pas forcément distinct et tel que les racines a _i engendrent L sur K . L'extension L est alors une extension de degré minimal sur K dans laquelle p se divise. On peut montrer que de tels champs de division existent et sont uniques à l' isomorphisme près. La quantité de liberté dans cet isomorphisme est connue sous le nom de groupe de Galois de p (si nous supposons qu'il est séparable ). ${\displaystyle c\in K}$${\style d'affichage i}$${\style d'affichage (X-a_{i})\dans L[X]}$

Propriétés

Une extension L qui est un corps de division pour un ensemble de polynômes p ( X ) sur K est appelée une extension normale de K .

Étant donné un corps algébriquement clos A contenant K , il existe un unique corps de division L de p entre K et A , généré par les racines de p . Si K est un sous-corps des nombres complexes , l'existence est immédiate. D'autre part, l'existence de clôtures algébriques en général est souvent prouvée par « passage à la limite » à partir du résultat du champ de division, ce qui nécessite donc une preuve indépendante pour éviter le raisonnement circulaire .

Étant donné une extension séparable K de K , une clôture galoisienne L de K ′ est un type de corps de dédoublement, et aussi une extension galoisienne de K contenant K qui est minimale, dans un sens évident. Une telle fermeture de Galois doit contenir un champ de dédoublement pour tous les polynômes p sur K qui sont des polynômes minimaux sur K des éléments a de K ′.

Construction de champs de fractionnement

Motivation

Trouver les racines des polynômes a été un problème important depuis l'époque des Grecs anciens. Certains polynômes, cependant, tels que x ² + 1 sur R , les nombres réels, n'ont pas de racines. En construisant le champ de division pour un tel polynôme, on peut trouver les racines du polynôme dans le nouveau champ.

La construction

Soit F un corps et p ( X ) un polynôme dans l' anneau polynomial F [ X ] de degré n . Le processus général de construction de K , le corps de division de p ( X ) sur F , consiste à construire une chaîne de corps telle que K _i est une extension de K _{i -1} contenant une nouvelle racine de p ( X ). Puisque p ( X ) a au plus n racines, la construction nécessitera au plus n extensions. Les étapes de construction de K _i sont données comme suit : ${\displaystyle F=K_{0}\subset K_{1}\subset \cdots \subset K_{r-1}\subset K_{r}=K}$

• Factoriser p ( X ) sur K _i en facteurs irréductibles .${\displaystyle f_{1}(X)f_{2}(X)\cdots f_{k}(X)}$
• Choisissez n'importe quel facteur irréductible non linéaire f ( X ) = f _i ( X ).
• Construire l' extension de champ K _{i +1} de K _i comme l' anneau quotient K _{i +1} = K _i [ X ] / ( f ( X )) où ( f ( X )) désigne l' idéal dans K _i [ X ] généré par f ( X ).
• Répétez le processus pour K _{i +1} jusqu'à ce que p ( X ) soit complètement factorisé.

Le facteur irréductible f _i ( X ) utilisé dans la construction du quotient peut être choisi arbitrairement. Bien que différents choix de facteurs puissent conduire à différentes séquences de sous-champs, les champs de division résultants seront isomorphes.

Puisque f ( X ) est irréductible, ( f ( X )) est un idéal maximal de K _i [ X ] et K _i [ X ]/( f ( X )) est en fait un corps. De plus, si l'on laisse être la projection naturelle de l'anneau sur son quotient alors ${\displaystyle \pi :K_{i}[X]\to K_{i}[X]/(f(X))}$

${\displaystyle f(\pi (X))=\pi (f(X))=f(X)\ {\bmod {\ }}f(X)=0}$

donc π( X ) est une racine de f ( X ) et de p ( X ).

Le degré d'une seule extension est égal au degré du facteur irréductible f ( X ). Le degré d'extension [ K  : F ] est donné par et vaut au plus n !. ${\style d'affichage [K_{i+1}:K_{i}]}$${\displaystyle [K_{r}:K_{r-1}]\cdots [K_{2}:K_{1}][K_{1}:F]}$

Le champ K _i [ X ]/( f ( X ))

Comme mentionné ci-dessus, l'anneau quotient K _{i +1} = K _i [ X ]/( f ( X )) est un corps lorsque f ( X ) est irréductible. Ses éléments sont de la forme

${\displaystyle c_{n-1}\alpha ^{n-1}+c_{n-2}\alpha ^{n-2}+\cdots +c_{1}\alpha +c_{0}}$

où les c _j sont dans K _i et α = π( X ). (Si on considère K _{i +1} comme un espace vectoriel sur K _i alors les puissances α ^j pour 0 ≤ j ≤ n −1 forment une base.)

Les éléments de K _{i +1} peuvent être considérés comme des polynômes en de degré inférieur à n . L'addition dans K _{i +1} est donnée par les règles d'addition polynomiale et la multiplication est donnée par la multiplication polynomiale modulo f ( X ). C'est-à-dire que pour g (α) et h (α) dans K _{i +1} le produit g (α) h (α) = r (α) où r ( X ) est le reste de g ( X ) h ( X ) divisé par f ( X ) dans K _i [ X ].

Le reste r ( X ) peut être calculé par division longue de polynômes, mais il existe également une règle de réduction simple qui peut être utilisée pour calculer r (α) = g (α) h (α) directement. Laissez d'abord

${\displaystyle f(X)=X^{n}+b_{n-1}X^{n-1}+\cdots +b_{1}X+b_{0}.}$

Le polynôme est sur un corps donc on peut considérer que f ( X ) est unitaire sans perte de généralité. Maintenant α est une racine de f ( X ), donc

${\displaystyle \alpha ^{n}=-(b_{n-1}\alpha ^{n-1}+\cdots +b_{1}\alpha +b_{0}).}$

Si le produit g (α) h (α) a un terme α ^m avec m ≥ n il peut être réduit comme suit :

${\displaystyle \alpha ^{n}\alpha ^{mn}=-\left(b_{n-1}\alpha ^{n-1}+\cdots +b_{1}\alpha +b_{0}\ right)\alpha ^{mn}=-\left(b_{n-1}\alpha ^{m-1}+\cdots +b_{1}\alpha ^{m-n+1}+b_{0} \alpha ^{mn}\right)}$.

Comme exemple de règle de réduction, prenons K _i = Q [ X ], l'anneau de polynômes à coefficients rationnels, et prenons f ( X ) = X ⁷ − 2. Soit et h (α) = α ³ +1 deux éléments de Q [ X ]/( X ⁷ − 2). La règle de réduction donnée par f ( X ) est α ⁷ = 2 donc ${\displaystyle g(\alpha )=\alpha ^{5}+\alpha ^{2}}$

${\displaystyle g(\alpha )h(\alpha )=\left(\alpha ^{5}+\alpha ^{2}\right)\left(\alpha ^{3}+1\right)=\alpha ^{8}+2\alpha ^{5}+\alpha ^{2}=\left(\alpha ^{7}\right)\alpha +2\alpha ^{5}+\alpha ^{2}= 2\alpha ^{5}+\alpha ^{2}+2\alpha .}$

Exemples

Les nombres complexes

Considérons l' anneau polynomial R [ x ], et le polynôme irréductible x ² + 1. L' anneau quotient R [ x ] / ( x ² + 1) est donné par la congruence x ² −1. En conséquence, les éléments (ou classes d'équivalence ) de R [ x ] / ( x ² + 1) sont de la forme a + bx où a et b appartiennent à R . Pour le voir, remarquons que puisque x ² −1 il s'ensuit que x ³ ≡ − x , x ⁴ ≡ 1 , x ⁵ ≡ x , etc.; et ainsi, par exemple p + qx + rx ² + sx ³ ≡ p + qx + r ⋅(−1) + s ⋅(− x ) = ( p − r ) + ( q − s )⋅ x .

Les opérations d'addition et de multiplication sont données en utilisant d'abord l'addition et la multiplication polynomiales ordinaires, puis en réduisant modulo x ² + 1 , c'est-à-dire en utilisant le fait que x ² ≡ −1 , x ³ ≡ − x , x ⁴ ≡ 1 , x ⁵ ≡ x , etc. Ainsi :

${\style d'affichage (a_{1}+b_{1}x)+(a_{2}+b_{2}x)=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2 })X,}$

${\style d'affichage (a_{1}+b_{1}x)(a_{2}+b_{2}x)=a_{1}a_{2}+(a_{1}b_{2}+b_{1 }a_{2})x+(b_{1}b_{2})x^{2}\équiv (a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+(a_{1}b_ {2}+b_{1}a_{2})x\,.}$

Si nous identifions a + bx avec ( a , b ) alors nous voyons que l' addition et la multiplication sont données par

${\style d'affichage (a_{1},b_{1})+(a_{2},b_{2})=(a_{1}+a_{2},b_{1}+b_{2}),}$

${\displaystyle (a_{1},b_{1})\cdot (a_{2},b_{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2},a_{1 }b_{2}+b_{1}a_{2}).}$

Nous prétendons que, en tant que corps, le quotient R [ x ] / ( x ² + 1) est isomorphe aux nombres complexes , C . Un nombre complexe général est de la forme a + bi , où a et b sont des nombres réels et i ² = −1. L'addition et la multiplication sont données par

${\style d'affichage (a_{1}+b_{1}i)+(a_{2}+b_{2}i)=(a_{1}+a_{2})+i(b_{1}+b_{ 2}),}$

${\style d'affichage (a_{1}+b_{1}i)\cdot (a_{2}+b_{2}i)=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+ i(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}).}$

Si nous identifions a + bi avec ( a , b ) alors nous voyons que l' addition et la multiplication sont données par

${\style d'affichage (a_{1},b_{1})+(a_{2},b_{2})=(a_{1}+a_{2},b_{1}+b_{2}),}$

${\displaystyle (a_{1},b_{1})\cdot (a_{2},b_{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2},a_{1 }b_{2}+b_{1}a_{2}).}$

Les calculs précédents montrent que l'addition et la multiplication se comportent de la même manière dans R [ x ] / ( x ² + 1) et C . En fait, on voit que l'application entre R [ x ]/( x ² + 1) et C donnée par a + bx → a + bi est un homomorphisme par rapport à l'addition et à la multiplication. Il est également évident que l'application a + bx → a + bi est à la fois injective et surjective ; ce qui signifie que a + bx → a + bi est un homomorphisme bijectif , c'est-à-dire un isomorphisme. Il s'ensuit que, comme affirmé : R [ x ] / ( x ² + 1) C .

En 1847, Cauchy a utilisé cette approche pour définir les nombres complexes.

Exemple cubique

Soit K le corps de nombres rationnels Q et p ( x ) = x ³ − 2 . Chaque racine de p est égal à ³ √ 2 fois par la racine cubique de l' unité . Par conséquent, si nous désignons les racines cubiques de l'unité par

${\displaystyle \omega _{1}=1,\,}$

${\displaystyle \omega _{2}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i,}$

${\displaystyle \omega _{3}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i.}$

tout champ contenant deux racines distinctes de p contiendra le quotient entre deux racines cubiques distinctes de l'unité. Un tel quotient est une racine cubique primitive de l'unité — soit ω ₂ soit . Il s'ensuit qu'un corps de division L de p contiendra ω ₂ , ainsi que la racine cubique réelle de 2 ; inversement, toute extension de Q contenant ces éléments contient toutes les racines de p . Ainsi ${\displaystyle \omega _{3}=1/\omega _{2}}$

${\displaystyle L=\mathbf {Q} \left({\sqrt[{3}]{2}},\omega _{2}\right)=\left\{\left.a+b{\sqrt[ {3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{2}}^{2}+d\omega _{2}+e{\sqrt[{3}]{2}}\omega _{2}+f{\sqrt[{3}]{2}}^{2}\omega _{2}\right|a,b,c,d,e,f\in \mathbf {Q} \ droite\}}$

Notez qu'en appliquant le processus de construction décrit dans la section précédente à cet exemple, on commence par et construit le champ . Ce champ n'est pas le champ de fractionnement, mais contient une (n'importe quelle) racine. Cependant, le polynôme n'est pas irréductible sur et en fait : ${\displaystyle K_{0}=\mathbf {Q} }$${\displaystyle K_{1}=\mathbf {Q} [X]/(X^{3}-2)}$${\style d'affichage Y^{3}-2}$${\displaystyle K_{1}}$

${\displaystyle Y^{3}-2=(YX)(Y^{2}+XY+X^{2}).}$

Notez que ce n'est pas un indéterminé, et c'est en fait un élément de . Maintenant, en poursuivant le processus, nous obtenons qui est bien le champ de division et est couvert par la -base . Notez que si nous comparons cela avec ci-dessus, nous pouvons identifier et . ${\style d'affichage X}$${\displaystyle K_{1}}$${\displaystyle K_{2}=K_{1}[Y]/(Y^{2}+XY+X^{2})}$${\displaystyle \mathbf {Q} }$${\style d'affichage \{1,X,X^{2},Y,XY,X^{2}Y\}}$${\style d'affichage L}$${\displaystyle X={\sqrt[{3}]{2}}}$${\displaystyle Y=\omega _{2}}$

Autres exemples

• Le corps de division de x ^q - x sur F _p est l'unique corps fini F _q pour q = p ⁿ . Parfois, ce champ est noté GF( q ).

• Le champ de division de x ² + 1 sur F ₇ est F ₄₉ ; le polynôme n'a pas de racine dans F ₇ , c'est-à-dire que −1 n'y est pas un carré, car 7 n'équivaut pas à 1 (mod 4).

• Le champ de division de x ² − 1 sur F ₇ est F ₇ puisque x ² − 1 = ( x + 1)( x − 1) se factorise déjà en facteurs linéaires.

• Nous calculons le champ de division de f ( x ) = x ³ + x + 1 sur F ₂ . Il est facile de vérifier que f ( x ) n'a pas de racines dans F ₂ , donc f ( x ) est irréductible dans F ₂ [ x ]. Mettez r = x + ( f ( x )) dans F ₂ [ x ]/( f ( x )) donc F ₂ ( r ) est un corps et x ³ + x + 1 = ( x + r )( x ² + ax + b ) dans F ₂ ( r )[ x ]. Notez que nous pouvons écrire + pour − puisque la caractéristique est deux. La comparaison des coefficients montre que a = r et b = 1 + r ² . Les éléments de F ₂ ( r ) peuvent être listés comme c + dr + er ² , où c , d , e sont dans F ₂ . Il y a huit éléments : 0, 1, r , 1 + r , r ² , 1 + r ² , r + r ² et 1 + r + r ² . En les substituant dans x ² + rx + 1 + r ² on obtient ( r ² ) ² + r ( r ² ) + 1 + r ² = r ⁴ + r ³ + 1 + r ² = 0, donc x ³ + x + 1 = ( x + r)( x + r ² )( x + ( r + r ² )) pour r dans F ₂ [ x ]/( f ( x )); E = F ₂ ( r ) est un champ de division de x ³ + x + 1 sur F ₂ .

Remarques

Les références

• Dummit, David S., et Foote, Richard M. (1999). Algèbre abstraite (2e éd.). New York : John Wiley & Sons, Inc. ISBN  0-471-36857-1 .
• "Splitting field of a polynomial" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Champ de fractionnement" . MathWorld .