Octaèdre étoilé - Stellated octahedron

Octaèdre étoilé
Vu comme un composé de deux tétraèdres réguliers (rouge et jaune)
Taper	Composé régulier
Symbole de Coxeter	{4,3}[2{3,3}]{3,4}
Symboles Schläfli	{{3,3}} a{4,3} {2,4} r{2,2}
Diagrammes de Coxeter	??
Noyau stellaire	Octaèdre
Enveloppe convexe	cube
Indice	UC ₄ , W ₁₉
Polyèdres	2 tétraèdres
Visages	8 triangles
Bords	12
Sommets	8
Double	Auto-dual
Groupe Symétrie Groupe Coxeter	O _h , [4,3], ordre 48 D _4h , [4,2], ordre 16 D _2h , [2,2], ordre 8 D_3d , [2⁺ ,6], ordre 12
Sous-groupe se limitant à un constituant	T _d , [3,3], ordre 24 D _2d , [2⁺ ,4], ordre 8 D ₂ , [2,2]⁺ , ordre 4 C_3v , [3], ordre 6

L' octaèdre étoilé est la seule étoile de l' octaèdre . On l'appelle aussi stella octangula (du latin pour « étoile à huit branches »), un nom qui lui a été donné par Johannes Kepler en 1609, bien qu'elle soit connue des géomètres antérieurs . Il a été décrit dans Pacioli de De Divina Proportione, 1509.

C'est le plus simple des cinq composés polyédriques réguliers , et le seul composé régulier de deux tétraèdres . C'est aussi le moins dense des composés polyédriques réguliers, ayant une densité de 2.

Il peut être vu comme une extension 3D de l' hexagramme : l'hexagramme est une forme à deux dimensions formé à partir de deux triangles équilatéraux chevauchant, à symétrie centrale à l'autre, et de la même façon l'octaèdre étoilé peut être formé à partir de deux tétraèdres de recouvrement à symétrie centrale . Ceci peut être généralisé à n'importe quelle quantité souhaitée de dimensions supérieures ; la construction équivalente à quatre dimensions est le composé de deux 5-cellules . Il peut également être considéré comme l'une des étapes de la construction d'un flocon de neige 3D de Koch , une forme fractale formée par la fixation répétée de tétraèdres plus petits à chaque face triangulaire d'une figure plus grande. La première étape de la construction du flocon de neige de Koch est un seul tétraèdre central, et la deuxième étape, formée en ajoutant quatre plus petits tétraèdres aux faces du tétraèdre central, est l'octaèdre étoilé.

Construction

Les coordonnées cartésiennes de l'octaèdre étoilé sont les suivantes : (±1/2, ±1/2, 0) (0, 0, ±1/√2) (±1, 0, ±1/√2) (0, ±1, ±1/√2)

L'octaèdre étoilé peut être construit de plusieurs manières :

C'est une stellation de l' octaèdre régulier , partageant les mêmes plans de face. (Voir le modèle Wenninger W ₁₉ .)

En perspective	Avion stellaire	La seule stellation d'un octaèdre régulier, avec un plan de stellation en jaune.

C'est aussi un polyèdre régulier composé , lorsqu'il est construit comme l'union de deux tétraèdres réguliers (un tétraèdre régulier et son double tétraèdre ).
Il peut être obtenu comme une augmentation de l' octaèdre régulier , en ajoutant des pyramides tétraédriques sur chaque face. Dans cette construction il a la même topologie que le solide catalan convexe , l' octaèdre triakis , qui a des pyramides beaucoup plus courtes.
C'est une facette du cube , partageant l' arrangement des sommets .
Il peut être vu comme un antiprisme {4/2} ; avec {4/2} étant un tétragramme, un composé de deux digons doubles et le tétraèdre vu comme un antiprisme digonal, cela peut être vu comme un composé de deux antiprismes digonaux .
Il peut être vu comme un réseau d'une pyramide octaédrique à quatre dimensions , constituée d'un octaèdre central entouré de huit tétraèdres.

Facettage d'un cube	Un seul triangle diagonal facetté en rouge

Concepts associés

L'octaèdre étoilé est la première itération de l'analogue 3D d'un flocon de neige de Koch .

Un composé de deux tétraèdres sphériques peut être construit, comme illustré.

Les deux tétraèdres de la vue composée de l'octaèdre étoilé sont "desmiques", ce qui signifie que (lorsqu'il est interprété comme une ligne dans l'espace projectif ) chaque bord d'un tétraèdre croise deux bords opposés de l'autre tétraèdre. L'un de ces deux croisements est visible dans l'octaèdre étoilé ; l'autre croisement se produit en un point à l'infini de l'espace projectif, entre deux arêtes parallèles des deux tétraèdres. Ces deux tétraèdres peuvent être complétés en un système desmique de trois tétraèdres, où le troisième tétraèdre a pour quatre sommets les trois points de croisement à l'infini et le centroïde des deux tétraèdres finis. Les mêmes douze sommets du tétraèdre forment également les points de la configuration de Reye .

Les nombres stella octangula sont des nombres figurés qui comptent le nombre de boules pouvant être disposées en forme d'octaèdre étoilé. Elles sont

0, 1, 14, 51, 124, 245, 426, 679, 1016, 1449, 1990, .... (séquence A007588 dans l' OEIS )

Dans la culture populaire

Comme un pavage sphérique , les bords combinés dans le composé de deux tétraèdres forment un dodécaèdre rhombique .

L'octaèdre étoilé apparaît avec plusieurs autres polyèdres et composés polyédriques dans l' estampe " Stars " de MC Escher , et fournit la forme centrale dans le Double Planetoid d' Escher (1949).

L'obélisque au centre de la Plaza de Europa [ es ] à Saragosse , en Espagne , est entouré de douze lampadaires octaédriques étoilés.

Certains mystiques modernes ont associé cette forme au "merkaba", qui selon eux est un "champ d'énergie contrarotatif" du nom d'un ancien mot égyptien. Cependant, le mot "merkaba" est en fait hébreu , et se réfère plus correctement à un char dans les visions d' Ézéchiel . La ressemblance entre cette forme et l' étoile bidimensionnelle de David a également été fréquemment notée.