Octaèdre régulier - Regular octahedron

Dimensions

Si la longueur d'arête d'un octaèdre régulier est a , le rayon d'une sphère circonscrite (celle qui touche l'octaèdre à tous les sommets) est

${\displaystyle r_{u}={\frac {\sqrt {2}}{2}}a\approx 0.707\cdot a}$

et le rayon d'une sphère inscrite ( tangente à chacune des faces de l'octaèdre) est

${\displaystyle r_{i}={\frac {\sqrt {6}}{6}}a\approx 0.408\cdot a}$

tandis que le rayon médian, qui touche le milieu de chaque bord, est

${\displaystyle r_{m}={\tfrac {1}{2}}a=0.5\cdot a}$

Projections orthogonales

L' octaèdre a quatre projections orthogonales spéciales , centrées, sur une arête, un sommet, une face et une normale à une face. Le deuxième et le troisième correspondent aux avions B ₂ et A ₂ Coxeter .

Projections orthogonales

Centré par	Bord	Visage normal	Sommet	Affronter
Image
Symétrie projective	[2]	[2]	[4]	[6]

Carrelage sphérique

L'octaèdre peut également être représenté comme un pavage sphérique , et projeté sur le plan via une projection stéréographique . Cette projection est conforme , préservant les angles mais pas les surfaces ou les longueurs. Les lignes droites sur la sphère sont projetées sous forme d'arcs de cercle sur le plan.

Projection orthographique	Projection stéréographique

Coordonnées cartésiennes

Un octaèdre de longueur d'arête √ 2 peut être placé avec son centre à l'origine et ses sommets sur les axes de coordonnées ; les coordonnées cartésiennes des sommets sont alors

( ±1, 0, 0 );

(0, ±1, 0 );

(0, 0, ±1 ).

Dans un x - y - z système de coordonnées cartésiennes , l'octaèdre avec le centre de coordonnées ( a , b , c ) et le rayon r est l'ensemble de tous les points ( x , y , z ) de telle sorte que

${\displaystyle \left|xa\right|+\left|yb\right|+\left|zc\right|=r.}$

Superficie et volume

La surface A et le volume V d'un octaèdre régulier de longueur d'arête a sont :

${\displaystyle A=2{\sqrt {3}}a^{2}\environ 3,464a^{2}}$

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}{\sqrt {2}}a^{3}\approx 0.471a^{3}}$

Ainsi le volume est quatre fois celui d'un tétraèdre régulier avec la même longueur d'arête, tandis que la surface est deux fois (car nous avons 8 plutôt que 4 triangles).

Si un octaèdre a été étiré pour qu'il obéisse à l'équation

${\displaystyle \left|{\frac {x}{x_{m}}}\right|+\left|{\frac {y}{y_{m}}}\right|+\left|{\frac { z}{z_{m}}}\right|=1,}$

les formules pour la surface et le volume s'étendent pour devenir

${\displaystyle A=4\,x_{m}\,y_{m}\,z_{m}\times {\sqrt {{\frac {1}{x_{m}^{2}}}+{\ frac {1}{y_{m}^{2}}}+{\frac {1}{z_{m}^{2}}}}},}$

${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\,x_{m}\,y_{m}\,z_{m}.}$

De plus, le tenseur d'inertie de l'octaèdre étiré est

${\displaystyle I={\begin{bmatrix}{\frac {1}{10}}m(y_{m}^{2}+z_{m}^{2})&0&0\\0&{\frac {1 }{10}}m(x_{m}^{2}+z_{m}^{2})&0\\0&0&{\frac {1}{10}}m(x_{m}^{2}- y_{m}^{2})\end{bmatrice}}.}$

Ceux-ci se réduisent aux équations de l'octaèdre régulier lorsque

${\displaystyle x_{m}=y_{m}=z_{m}=a\,{\frac {\sqrt {2}}{2}}.}$

Relations géométriques

L'intérieur du composé de deux tétraèdres doubles est un octaèdre, et ce composé, appelé stella octangula , est sa première et unique stellation . Corrélativement, un octaèdre régulier est le résultat de la coupure d'un tétraèdre régulier, quatre tétraèdres réguliers de la moitié de la taille linéaire (c'est-à-dire rectifiant le tétraèdre). Les sommets de l'octaèdre se situent au milieu des arêtes du tétraèdre et, en ce sens, il se rapporte au tétraèdre de la même manière que le cuboctaèdre et l' icosidodécaèdre se rapportent aux autres solides platoniciens. On peut aussi diviser les arêtes d'un octaèdre dans le rapport du nombre d' or pour définir les sommets d'un icosaèdre . Cela se fait en plaçant d'abord des vecteurs le long des arêtes de l'octaèdre de telle sorte que chaque face soit délimitée par un cycle, puis en partitionnant de la même manière chaque arête dans le nombre d'or le long de la direction de son vecteur. Il y a cinq octaèdres qui définissent un icosaèdre donné de cette manière, et ensemble ils définissent un composé régulier .

Les octaèdres et les tétraèdres peuvent être alternés pour former un sommet, une arête et un pavage uniforme de l'espace , appelé l' octet truss par Buckminster Fuller . C'est le seul carrelage de ce type à l'exception du pavage régulier des cubes , et c'est l'un des 28 nids d'abeilles uniformes convexes . Un autre est un pavage d'octaèdres et de cuboctaèdres .

L'octaèdre est unique parmi les solides platoniciens en ayant un nombre pair de faces se rencontrant à chaque sommet. Par conséquent, il est le seul membre de ce groupe à posséder des plans miroirs qui ne traversent aucune des faces.

En utilisant la nomenclature standard pour les solides de Johnson , un octaèdre serait appelé une bipyramide carrée . La troncature de deux sommets opposés donne un bifrustum carré .

L'octaèdre est 4-connexe , ce qui signifie qu'il faut supprimer quatre sommets pour déconnecter les sommets restants. C'est l'un des quatre polyèdres simpliciels bien-couverts 4-connexes , ce qui signifie que tous les ensembles indépendants maximaux de ses sommets ont la même taille. Les trois autres polyèdres avec cette propriété sont le dipyramide pentagonal , le disphénoïde retroussé et un polyèdre irrégulier avec 12 sommets et 20 faces triangulaires.

L'octaèdre peut également être généré dans le cas d'un superellipsoïde 3D avec toutes les valeurs définies sur 1.

Colorations uniformes et symétrie

Il existe 3 colorations uniformes de l'octaèdre, nommées par les couleurs de face triangulaires entourant chaque sommet : 1212, 1112, 1111.

L'octaèdre de groupe de symétrie est O _h , de l' ordre de 48, les trois dimensions groupe hyperoctahedral . Les sous - groupes de ce groupe comprennent D _3d (ordre 12), le groupe de symétrie d'un antiprisme triangulaire ; D _4h (ordre 16), le groupe de symétrie d'une bipyramide carrée ; et T _d (ordre 24), le groupe de symétrie d'un tétraèdre rectifié . Ces symétries peuvent être accentuées par différentes colorations des visages.

Nom	Octaèdre	Rectifiés tétraèdre (Tetratetrahedron)	triangulaire antiprisme	Bipyramide carrée	Fusil rhombique
Image (coloration du visage)	(1111)	(1212)	(1112)	(1111)	(1111)
Diagramme de Coxeter		=
Symbole Schläfli	{3,4}	r{3,3}	s{2,6} sr{2,3}	pi{2,4} { } + {4}	ftr{2,2} { } + { } + { }
Symbole Wythoff	4 | 3 2	2 | 4 3	2 | 6 2 | 2 3 2
Symétrie	O h , [4,3], (* 432)	T d , [3,3], (*332)	D 3d , [2 + ,6], (2*3) D 3 , [2,3] + , (322)	D 4h , [2,4], (*422)	D 2h , [2,2], (*222)
Ordre	48	24	12 6	16	8

Filets

L'octaèdre régulier a onze arrangements de filets .

Double

L'octaèdre est le polyèdre dual du cube .

Si la longueur d'une arête de l'octaèdre , alors la longueur d'une arête du cube dual . ${\style d'affichage =a}$${\displaystyle ={\sqrt {2}}a}$

Facettage

Le tétrahémihexaèdre uniforme est une facette de symétrie tétraédrique de l'octaèdre régulier, partageant l' arrangement des arêtes et des sommets . Il a quatre des faces triangulaires et 3 carrés centraux.

Octaèdre

tétrahémihexaèdre

v t e Polytopes fondamentaux convexes réguliers et uniformes de dimensions 2 à 10
Famille	Un n	B n	I 2 (p) / D n	E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2	H n
Polygone régulier	Triangle	Carré	p-gon	Hexagone	Pentagone
Polyèdre uniforme	Tétraèdre	Octaèdre • Cube	demi-cube		Dodécaèdre • Icosaèdre
Polychore uniforme	Pentachoron	16 cellules • Tesseract	Demitesseract	24 cellules	120 cellules • 600 cellules
Uniforme 5-polytope	5-simplex	5 orthoplexes • 5 cubes	5-demicube
Uniforme 6-polytope	6-simplex	6-orthoplexe • 6-cube	6 demi-cube	1 22 • 2 21
Uniforme 7-polytope	7-simplex	7 orthoplexes • 7 cubes	7-demicube	1 32 • 2 31 • 3 21
Uniforme 8-polytope	8-simplex	8 orthoplexes • 8 cubes	8 demi-cube	1 42 • 2 41 • 4 21
Uniforme 9-polytope	9-simplex	9-orthoplexe • 9-cube	9 demi-cube
Uniforme 10-polytope	10-simplex	10 orthoplexes • 10 cubes	10-demicube
Uniforme n - polytope	n - simplexe	n - orthoplexe • n - cube	n - demi - cube	1 k2 • 2 k1 • k 21	n - polytope pentagonal
Sujets: familles Polytope • polytope régulier • Liste des polyèdres réguliers et composés