Équation de Weyl - Weyl equation

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v t e

En physique , en particulier en théorie quantique des champs , l' équation de Weyl est une équation d' onde relativiste pour décrire des particules de spin 1/2 sans masse appelées fermions de Weyl . L'équation porte le nom d' Hermann Weyl . Les fermions de Weyl sont l'un des trois types possibles de fermions élémentaires, les deux autres étant les fermions de Dirac et de Majorana .

Aucune des particules élémentaires du modèle standard n'est des fermions de Weyl. Avant la confirmation des oscillations des neutrinos , il était possible que le neutrino soit un fermion de Weyl (on s'attend maintenant à ce qu'il s'agisse d'un fermion de Dirac ou de Majorana). En physique de la matière condensée , certains matériaux peuvent présenter des quasi - particules qui se comportent comme des fermions de Weyl, d'où la notion de semi-métaux de Weyl .

Mathématiquement, tout fermion de Dirac peut être décomposé en deux fermions de Weyl de chiralité opposée couplés par le terme de masse.

Histoire

L' équation de Dirac , a été publiée en 1928 par Paul Dirac , décrivant d'abord les particules de spin-½ dans le cadre de la mécanique quantique relativiste . Allemand mathématicien et physicien mathématique, Hermann Weyl a publié son équation en 1929 comme une version simplifiée de l'équation de Dirac. Wolfgang Pauli a écrit en 1933 contre l'équation de Weyl parce qu'elle violait la parité . Cependant, trois ans auparavant, Pauli avait prédit l'existence d'un nouveau fermion élémentaire , le neutrino , pour expliquer la désintégration bêta , qui a finalement été décrite en utilisant la même équation.

En 1937, Conyers Herring a proposé que les fermions de Weyl puissent exister sous forme de quasiparticules dans la matière condensée.

Les neutrinos ont finalement été confirmés en 1956 comme des particules avec des masses nulles. La même année, l' expérience de Wu montra que la parité était violée par l' interaction faible . Suivie par la découverte expérimentale de l' hélicité fixe des neutrinos en 1958. De plus, comme les expériences n'ont montré aucun signe d'une masse de neutrinos, l'intérêt pour l'équation de Weyl a refait surface. Ainsi, le modèle standard a été construit en supposant que les neutrinos étaient des fermions de Weyl.

Alors que le physicien italien Bruno Pontecorvo avait proposé en 1957 la possibilité de masses de neutrinos et d' oscillations de neutrinos , ce n'est qu'en 1998 que Super-Kamiokande a finalement confirmé son existence. Cette découverte a confirmé que l'équation de Weyl ne peut pas décrire complètement la propagation des neutrinos.

En 2015, le premier semi-métal de Weyl a été démontré expérimentalement dans l'arséniure de tantale cristallin ( ) par la collaboration des équipes de MZ Hasan ( Princeton University ) et H. Ding ( Chinese Academy of Sciences ). Indépendamment, la même année, l' équipe de M. Soljačić ( Massachusetts Institute of Technology ) a également observé Weyl comme l'excitation des cristaux photoniques . ${\displaystyle {\ce {TaAs}}}$

Équation

L'équation de Weyl peut s'écrire :

${\displaystyle \sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0}$

Développer ce qui précède et insérer pour la vitesse de la lumière : ${\style d'affichage c}$

${\displaystyle I_{2}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+\sigma _{x}{\frac {\partial \psi }{\ partiel x}}+\sigma _{y}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}+\sigma _{z}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}=0 }$

où

${\displaystyle \sigma ^{\mu }={\begin{pmatrix}\sigma ^{0}&\sigma ^{1}&\sigma ^{2}&\sigma ^{3}\end{pmatrix}} ={\begin{pmatrix}I_{2}&\sigma _{x}&\sigma _{y}&\sigma _{z}\end{pmatrix}}}$

est un vecteur dont les composants sont la matrice identité 2×2 pour et les matrices de Pauli pour et est la fonction d'onde – l'un des spineurs de Weyl . Une forme duale de l'équation s'écrit généralement : ${\style d'affichage I_{2}}$${\displaystyle \mu =0}$${\displaystyle \mu =1,2,3,}$${\style d'affichage \psi }$

${\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0}$

où

${\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }={\begin{pmatrix}I_{2}&-\sigma _{x}&-\sigma _{y}&-\sigma _{z }\end{pmatrix}}~.}$

Ces deux sont des formes distinctes de l'équation de Weyl ; leurs solutions sont également distinctes. On peut montrer que les solutions ont une hélicité gauche et droite , et donc une chiralité . Il est commode d'étiqueter ces deux explicitement ; l'étiquetage est et${\displaystyle \sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}=0}$${\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}=0~.}$

Solutions d'ondes planes

Les solutions d' ondes planes de l'équation de Weyl sont appelées spineurs de Weyl gauche et droit, chacune ayant deux composantes. Les deux ont la forme

${\displaystyle \psi \left(\mathbf {r} ,t\right)={\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\\\end{pmatrix}}=\chi e^{-i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}=\chi e^{-i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)/\ hbar }}$,

où

${\displaystyle \chi ={\begin{pmatrix}\chi _{1}\\\chi _{2}\\\end{pmatrix}}}$

est un spineur à deux composants dépendant de la quantité de mouvement qui satisfait

${\displaystyle \sigma ^{\mu }p_{\mu }\chi =\left(I_{2}E-{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}\right)\chi = 0}$

ou

${\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }p_{\mu }\chi =\left(I_{2}E+{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}\ à droite)\chi =0}$.

Par manipulation directe, on obtient que

${\displaystyle \left({\bar {\sigma }}^{\nu }p_{\nu }\right)\left(\sigma ^{\mu }p_{\mu }\right)\chi =\left (\sigma ^{\nu }p_{\nu }\right)\left({\bar {\sigma }}^{\mu }p_{\mu }\right)\chi =p_{\mu }p^ {\mu }\chi =\left(E^{2}-{\vec {p}}\cdot {\vec {p}}\right)\chi =0}$,

et conclut que les équations correspondent à une particule sans masse . En conséquence, l'amplitude de la quantité de mouvement est directement liée au vecteur d' onde par les relations de De Broglie comme suit : ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$

${\displaystyle |\mathbf {p} |=\hbar |\mathbf {k} |={\frac {\hbar \omega }{c}}\,\Rightarrow \,|\mathbf {k} |={\ frac {\omega }{c}}}$

L'équation peut être écrite en termes de spineurs gauchers et droitiers comme :

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}&=0\\{\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}&=0\end{aligned}}}$

Hélicité

Les composantes gauche et droite correspondent à l'hélicité des particules, l' opérateur de projection du moment cinétique sur le moment linéaire : ${\style d'affichage \lambda }$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {J} \left|\mathbf {p} ,\lambda \right\rangle =\lambda |\mathbf {p} |\left|\mathbf {p} ,\ lambda \right\rangle }$

Ici ${\textstyle \lambda =\pm {\frac {1}{2}}~.}$

Invariance de Lorentz

Les deux équations sont invariantes de Lorentz sous la transformation de Lorentz où plus précisément, les équations se transforment en ${\displaystyle x\mapsto x^{\prime }=\Lambda x}$${\displaystyle \Lambda \in \mathrm {SO} (1,3)~.}$

${\displaystyle \sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \sigma ^{\mu } {\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=\left (S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {R}} (X)}$

où est la transposée hermitienne , à condition que le champ droitier se transforme comme ${\displaystyle S^{\dagger }}$

${\displaystyle \psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=S\psi _ {\rm {R}}(x)}$

La matrice est liée à la transformée de Lorentz au moyen du double revêtement du groupe de Lorentz par le groupe linéaire spécial donné par ${\displaystyle S\in SL(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\nu }S ^{-1}}$

Ainsi, si le différentiel non transformé disparaît dans une trame de Lorentz, alors il disparaît également dans une autre. de la même manière

${\displaystyle {\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {L}}(x)\mapsto { \overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {L}}^{\prime }\left( x^{\prime }\right)=S{\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {L }}(X)}$

à condition que le champ de gauche se transforme en

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}(x)\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=\left(S ^{\dagger }\right)^{-1}\psi _{\rm {L}}(x)~.}$

Preuve : Aucune de ces propriétés de transformation n'est "évidente" et mérite donc une dérivation minutieuse. Commencer par le formulaire

${\displaystyle \psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=R\psi _ {\rm {R}}(x)}$

pour certains inconnus à déterminer. La transformée de Lorentz, en coordonnées, est ${\displaystyle R\in \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}$

${\displaystyle x^{\prime \mu }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu }}$

ou équivalent,

${\displaystyle x^{\nu }={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }x^{\prime \mu }}$

Cela mène à

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }^{\prime }\psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\ prime }\right)&=\sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {R}}^{\prime }\ left(x^{\prime }\right)\\&=\sigma ^{\mu }{\frac {\partial x^{\nu }}{\partial x^{\prime \mu }}}{\ frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}R\psi _{\rm {R}}(x)\\&=\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{- 1}\right)^{\nu }}_{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}R\psi _{\rm {R}}(x)\\ &=\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }\partial _{\nu }R\psi _{\rm {R }}(x)\end{aligné}}}$

Pour utiliser la carte de Weyl

${\displaystyle \sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\nu }S ^{-1}}$

quelques index doivent être levés et abaissés. C'est plus facile à dire qu'à faire, car il invoque l'identité

${\displaystyle \eta \Lambda ^{\mathsf {T}}\eta =\Lambda ^{-1}}$

où est la métrique de Minkowski à espace plat . L'identité ci-dessus est souvent utilisée pour définir les éléments que l'on prend la transposition : ${\displaystyle \eta ={\mbox{diag}}(+1,-1,-1,-1)}$${\displaystyle \Lambda \in \mathrm {SO} (1,3).}$

${\displaystyle {\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }={\left(\Lambda ^{-1{\mathsf {T}}}\right) _{\mu }}^{\nu }}$

écrire

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }\partial _{\nu }R\ psi _{\rm {R}}(x)&=\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1{\mathsf {T}}}\right)_{\mu }}^{ \nu }\partial _{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\\&=\sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }\ partiel ^{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\\&=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\mu }\partial ^{\mu }S^{-1}R\psi _{\rm {R}}(x)\end{aligned}}}$

On retrouve ainsi la forme originale si c'est, en effectuant les mêmes manipulations pour l'équation de la main gauche, on conclut que ${\style d'affichage S^{-1}R=1,}$${\style d'affichage R=S.}$

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}(x)\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=L\psi _ {\rm {L}}(x)}$

avec ${\displaystyle L=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}.}$

Relation avec Majorana

L'équation de Weyl est classiquement interprétée comme décrivant une particule sans masse. Cependant, avec une légère modification, on peut obtenir une version à deux composantes de l' équation de Majorana . Cela se produit parce que le groupe linéaire spécial est isomorphe au groupe symplectique Le groupe symplectique est défini comme l'ensemble de toutes les matrices complexes 2 × 2 qui satisfont ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathrm {Sp} (2,\mathbb {C} )~.}$

${\displaystyle \omega ^{-1}S^{\mathsf {T}}\omega =S^{-1}}$

où

${\displaystyle \omega =i\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}}$

La relation de définition peut être réécrite comme où est le conjugué complexe . Le champ droitier, comme indiqué précédemment, se transforme en ${\displaystyle \omega S^{*}=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\omega }$${\displaystyle S^{*}}$

${\displaystyle \psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=S\psi _ {\rm {R}}(x)}$

et ainsi le champ conjugué complexe se transforme comme

${\displaystyle \psi _{\rm {R}}^{*}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime *}\left(x^{\prime }\right) =S^{*}\psi _{\rm {R}}^{*}(x)}$

En appliquant la relation de définition, on conclut que

${\displaystyle m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)\mapsto m\omega \psi _{\rm {R}}^{\prime *}\left(x^{ \prime }\right)=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)}$

qui est exactement la même propriété de covariance de Lorentz notée précédemment. Ainsi, la combinaison linéaire, utilisant un facteur de phase complexe arbitraire${\displaystyle \eta =e^{i\phi }}$

${\displaystyle i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}(x)+\eta m\omega \psi _{\rm {R}}^{* }(X)}$

se transforme de façon covariante ; le mettre à zéro donne l' équation complexe de Majorana à deux composants . L'équation de Majorana est conventionnellement écrite comme une équation réelle à quatre composants, plutôt qu'une équation complexe à deux composants ; ce qui précède peut être mis sous forme de quatre composants (voir cet article pour plus de détails). De même, l'équation de Majorana chirale gauche (incluant un facteur de phase arbitraire ) est ${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}(x)+\zeta m\omega \psi _{\rm { L}}^{*}(x)=0}$

Comme indiqué précédemment, les versions chirales gauche et droite sont liées par une transformation de parité. Le conjugué complexe asymétrique peut être reconnu comme la forme conjuguée de charge de Ainsi, l'équation de Majorana peut être lue comme une équation qui relie un spineur à sa forme conjuguée de charge. Les deux phases distinctes sur le terme de masse sont liées aux deux valeurs propres distinctes de l'opérateur de conjugaison de charges ; voir la conjugaison des charges et l' équation de Majorana pour plus de détails. ${\displaystyle \omega \psi ^{*}=i\sigma ^{2}\psi }$${\style d'affichage \psi ~.}$

Définir une paire d'opérateurs, les opérateurs Majorana,

${\displaystyle D_{\rm {L}}=i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }+\zeta m\omega K\qquad D_{\rm {R}} =i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }+\eta m\omega K}$

où est un rappel abrégé pour prendre le conjugué complexe. Sous les transformations de Lorentz, celles-ci se transforment en ${\style d'affichage K}$

${\displaystyle D_{\rm {L}}\mapsto D_{\rm {L}}^{\prime }=SD_{\rm {L}}S^{\dagger }\qquad D_{\rm {R} }\mapsto D_{\rm {R}}^{\prime }=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}D_{\rm {R}}S^{-1}}$

alors que les spineurs de Weyl se transforment en

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\psi _{\rm {L}}\qquad \psi _{\rm {R}}\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }=S\psi _{\rm {R}}}$

tout comme ci-dessus. Ainsi, les combinaisons appariées de ceux-ci sont covariantes de Lorentz, et on peut prendre

${\displaystyle D_{\rm {L}}\psi _{\rm {L}}=0\qquad D_{\rm {R}}\psi _{\rm {R}}=0}$

comme une paire d'équations de Majorana complexes à 2 spineurs.

Les produits et sont tous deux covariants de Lorentz. Le produit est explicitement ${\displaystyle D_{\rm {L}}D_{\rm {R}}}$${\displaystyle D_{\rm {R}}D_{\rm {L}}}$

${\displaystyle D_{\rm {R}}D_{\rm {L}}=\left(i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }+\eta m\omega K\right)\left (i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }+\zeta m\omega K\right)=-\left(\partial _{t}^{2}-{\ vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}+\eta \zeta ^{*}m^{2}\right)=-\left(\square +\eta \zeta ^{*}m ^{2}\droit)}$

Vérifier cela nécessite de garder à l'esprit que et que Le RHS se réduit à l' opérateur de Klein-Gordon à condition que , c'est-à-dire que ces deux opérateurs de Majorana soient donc des "racines carrées" de l'opérateur de Klein-Gordon. ${\displaystyle \omega ^{2}=-1}$${\displaystyle Ki=-iK~.}$${\displaystyle \eta \zeta ^{*}=1}$${\displaystyle \eta =\zeta ~.}$

Densités lagrangiennes

Les équations sont obtenues à partir des densités lagrangiennes

${\displaystyle {\mathcal {L}}=i\psi _{\rm {R}}^{\dagger }\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R} }~,}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}=i\psi _{\rm {L}}^{\dagger }{\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _ {\rm {L}}~.}$

En traitant le spineur et son conjugué (noté ) comme des variables indépendantes, l'équation de Weyl pertinente est obtenue. ${\displaystyle \dagger }$

Les spineurs de Weyl

Le terme Weyl spinor est également fréquemment utilisé dans un cadre plus général, comme un certain élément d'une algèbre de Clifford . Ceci est étroitement lié aux solutions données ci-dessus et donne une interprétation géométrique naturelle aux spineurs en tant qu'objets géométriques vivant sur une variété . Ce cadre général a de multiples atouts : il clarifie leur interprétation en tant que fermions en physique, et il montre précisément comment définir le spin en relativité générale , ou, en effet, pour toute variété riemannienne ou pseudo-riemannienne . Ceci est officieusement esquissé comme suit.

L'équation de Weyl est invariante sous l'action du groupe de Lorentz . Cela signifie que, au fur et à mesure que les boosts et les rotations sont appliqués, la forme de l'équation elle-même ne change pas. Cependant, la forme du spineur lui-même change. Ignorant entièrement l' espace-temps , l'algèbre des spineurs est décrite par une algèbre de Clifford (complexée) . Les spineurs se transforment sous l'action du groupe de spins . C'est tout à fait analogue à la façon dont on pourrait parler d'un vecteur, et comment il se transforme sous le groupe de rotation , sauf que maintenant, il a été adapté au cas des spineurs. ${\style d'affichage \psi }$

Étant donné une variété pseudo-riemannienne arbitraire de dimension , on peut considérer son fibré tangent . En tout point, l' espace tangent est un espace vectoriel dimensionnel . Étant donné cet espace vectoriel, on peut y construire l'algèbre de Clifford . Si sont une base d'espace vectoriel sur , on peut construire une paire de spineurs de Weyl comme ${\style d'affichage M}$${\style d'affichage (p,q)}$ ${\displaystyle TM}$${\style d'affichage x\en M,}$ ${\style d'affichage T_{x}M}$${\style d'affichage (p,q)}$${\displaystyle \mathrm {Cl} (p,q)}$${\style d'affichage \{e_{i}\}}$${\style d'affichage T_{x}M}$

${\displaystyle w_{j}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(e_{2j}+ie_{2j+1}\right)}$

et

${\displaystyle w_{j}^{*}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(e_{2j}-ie_{2j+1}\right)}$

Lorsqu'elles sont correctement examinées à la lumière de l'algèbre de Clifford, celles-ci sont naturellement anti-commutation , c'est-à-dire que cela peut être interprété comme la réalisation mathématique du principe d'exclusion de Pauli , permettant ainsi à ces structures formelles définies de manière abstraite d'être interprétées comme des fermions. . Pour l'espace-temps de Minkowski dimensionnel , il n'y a que deux spineurs possibles, par convention étiquetés "gauche" et "droite", comme décrit ci-dessus. Une présentation plus formelle et générale des spineurs de Weyl peut être trouvée dans l'article sur le groupe de spin . ${\displaystyle w_{j}w_{m}=-w_{m}w_{j}~.}$${\style d'affichage (p,q)=(1,3)}$

La forme abstraite, relativiste générale de l'équation de Weyl peut être comprise comme suit : étant donné une variété pseudo-riemannienne, on construit un faisceau de fibres au-dessus, avec le groupe de spin comme fibre. Le groupe de spins est une double couverture du groupe orthogonal spécial , et donc on peut identifier le groupe de spins par fibre avec le faisceau de trame sur. Lorsque cela est fait, la structure résultante est appelée structure de spin . ${\style d'affichage M,}$${\displaystyle \mathrm {Spin} (p,q)}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (p,q)}$${\style d'affichage M~.}$

La sélection d'un seul point sur la fibre correspond à la sélection d'un repère local pour l'espace-temps ; deux points différents sur la fibre sont liés par un boost/rotation (Lorentz), c'est-à-dire par un changement local de coordonnées. Les habitants naturels de la structure de spin sont les spineurs de Weyl, en ce sens que la structure de spin décrit complètement comment les spineurs se comportent sous (Lorentz) des poussées/rotations.

Étant donné une variété de spin , l'analogue de la connexion métrique est la connexion de spin ; c'est effectivement "la même chose" que la connexion normale, juste avec des index de spin qui lui sont attachés de manière cohérente. La dérivée covariante peut être définie en termes de connexion d'une manière tout à fait conventionnelle. Il agit naturellement sur le faisceau Clifford ; le faisceau de Clifford est l'espace dans lequel vivent les spineurs. L'exploration générale de telles structures et de leurs relations est appelée géométrie de spin .

Cas spéciaux

Il existe trois cas particuliers importants qui peuvent être construits à partir de spineurs de Weyl. L'un est le spineur de Dirac , qui peut être considéré comme une paire de spineurs de Weyl, un gaucher et un droitier. Ceux-ci sont couplés ensemble de manière à représenter un champ de fermions électriquement chargé. La charge électrique survient parce que le champ de Dirac se transforme sous l'action du groupe de spin complexifié Ce groupe a la structure ${\displaystyle \mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(p,q).}$

${\displaystyle \mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(p,q)\cong \mathrm {Spin} (p,q)\times _{\mathbb {Z} _{2}}S^{ 1}}$

où est le cercle, et peut être identifié avec le de l' électromagnétisme . Le produit est juste une notation fantaisiste désignant le produit avec des points opposés identifiés (un double revêtement). ${\displaystyle S^{1}\cong \mathrm {U} (1)}$${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$${\displaystyle \times _{\mathbb {Z} _{2}}}$${\displaystyle \mathrm {Spin} (p,q)\times S^{1}}$${\style d'affichage (s,u)=(-s,-u)}$

Le spineur de Majorana est à nouveau une paire de spineurs de Weyl, mais cette fois arrangés de telle sorte que le spineur gaucher soit la charge conjuguée du spineur droitier. Le résultat est un champ avec deux degrés de liberté de moins que le spineur de Dirac. Il est incapable d'interagir avec le champ électromagnétique, car il se transforme en scalaire sous l'action du groupe. C'est-à-dire qu'il se transforme en spineur, mais transversalement, de sorte qu'il est invariant sous l' action du groupe spinc. ${\displaystyle \mathrm {spin} ^{\mathbb {C} }}$${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$

Le troisième cas particulier est le spineur ELKO , construit à peu près comme le spineur de Majorana, sauf avec un signe moins supplémentaire entre la paire charge-conjugué. Cela le rend à nouveau électriquement neutre, mais introduit un certain nombre d'autres propriétés assez surprenantes.

Remarques

Les références

Lectures complémentaires

• McMahon, D. (2008). La théorie quantique des champs démystifiée . États-Unis : McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-154382-8.
• Martin, BR; Shaw, G. (2008). Physique des particules . Physique de Manchester (2e éd.). John Wiley & Fils. ISBN 978-0-470-03294-7.
  • Martin, Brian R.; Shaw, Graham (2013). Physique des particules (3e éd.). ISBN 9781118681664 – via Google Livres.
• LaBelle, P. (2010). La supersymétrie démystifiée . États-Unis : McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-163641-4 – via Google Livres.
• Penrose, Roger (2007). Le chemin de la réalité . Livres d'époque. ISBN 978-0-679-77631-4.
• Johnston, Hamish (23 juillet 2015). "Les fermions de Weyl sont enfin repérés" . Monde de la physique . Récupéré le 22 novembre 2018 .
• Ciudad, David (20 août 2015). "Sans masse mais réel" . Matériaux naturels . 14 (9) : 863. doi : 10.1038/nmat4411 . ISSN  1476-1122 . PMID  26288972 .
• Vishwanath, Ashvin (8 septembre 2015). "Où sont les choses Weyl" . Physique de l'APS . Vol. 8 . Consulté le 22 novembre 2018 .
• Jia, Shuang ; Xu, Su-Yang ; Hasan, M. Zahid (25 octobre 2016). "Semimétaux de Weyl, arcs de Fermi et anomalie chirale" . Matériaux naturels . 15 (11) : 1140–1144. arXiv : 1612.00416 . Bibcode : 2016NatMa..15.1140J . doi : 10.1038/nmat4787 . PMID  27777402 . S2CID  1115349 .

Liens externes

• http://aesop.phys.utk.edu/qft/2004-5/2-2.pdf
• http://www.nbi.dk/~kleppe/random/ll/l2.html
• http://www.tfkp.physik.uni-erlangen.de/download/research/DW-derivation.pdf
• http://www.weylmann.com/weyldirac.pdf