Opérateur de moment angulaire - Angular momentum operator

Fait partie d'une série d'articles sur
Mécanique quantique
${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle }$ équation de Schrödinger
introduction Glossaire Histoire
Fond Mécanique classique Ancienne théorie quantique Notation bra-ket Hamiltonien Ingérence
Fondamentaux Complémentarité Décohérence Enchevêtrement Niveau d'énergie La mesure Non-localité Nombre quantique État Superposition Symétrie Tunneling Incertitude Fonction d'onde Effondrer
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Formules Aperçu Heisenberg Interaction Matrice Espace des phases Schrödinger Sum-over-histories (chemin intégral)
Équations Dirac Klein-Gordon Pauli Rydberg Schrödinger
Interprétations Aperçu bayésien Histoires cohérentes Copenhague de Broglie-Bohm Ensemble Variable-cachée Local De nombreux mondes Effondrement de l'objectif Logique quantique Relationnel Transactionnel
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Scientifiques Aharonov cloche Blackett Bloch Bohm Bohr Née Bose de Broglie Candlin Compton Dirac Davisson Au revoir Ehrenfest Einstein Everett Putain Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordan Kramer Pauli agneau Landau Laue Mosley Millikan Onnes Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Sommerfeld von Neumann Weyl Vienne Wigner Zeeman Zeilinger
v t e

En mécanique quantique , l' opérateur de moment cinétique est l'un des nombreux opérateurs apparentés analogues au moment cinétique classique . L'opérateur de moment angulaire joue un rôle central dans la théorie de la physique atomique et moléculaire et d'autres problèmes quantiques impliquant la symétrie de rotation . Un tel opérateur est appliqué à une représentation mathématique de l'état physique d'un système et donne une valeur de moment angulaire si l'état a une valeur définie pour lui. Dans les systèmes mécaniques classiques et quantiques, le moment angulaire (avec le moment linéaire et l' énergie ) est l'une des trois propriétés fondamentales du mouvement.

Il existe plusieurs opérateurs de moment cinétique : moment cinétique total (généralement noté J ), moment cinétique orbital (généralement noté L ) et moment angulaire de spin ( spin en abrégé, généralement noté S ). Le terme opérateur de moment angulaire peut (de manière confuse) se référer au moment angulaire total ou orbital. Le moment angulaire total est toujours conservé , voir le théorème de Noether .

Aperçu

"Cônes vectoriels" du moment angulaire total J (violet), de l'orbitale L (bleu) et du spin S (vert). Les cônes surviennent en raison de l'incertitude quantique entre la mesure des composantes du moment angulaire ( voir ci-dessous ).

En mécanique quantique, le moment angulaire peut faire référence à l'une des trois choses différentes, mais liées.

Moment angulaire orbital

La définition classique du moment cinétique est . Les contreparties quantiques de ces objets partagent la même relation : ${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$

où r est l' opérateur de position quantique , p est l' opérateur de moment quantique , × est le produit croisé et L est l' opérateur de moment angulaire orbital . L (tout comme p et r ) est un opérateur vectoriel (un vecteur dont les composantes sont des opérateurs), c'est-à-dire où L _x , L _y , L _z sont trois opérateurs quantiques différents. ${\displaystyle \mathbf {L} =\left(L_{x},L_{y},L_{z}\right)}$

Dans le cas particulier d'une seule particule sans charge électrique et sans spin , l'opérateur de moment angulaire orbital peut être écrit dans la base de position comme :

${\displaystyle \mathbf {L} =-i\hbar (\mathbf {r} \times \nabla )}$

où ∇ est l'opérateur différentiel vectoriel, del .

Moment angulaire de rotation

Il existe un autre type de moment cinétique, appelé moment angulaire de spin (plus souvent abrégé en spin ), représenté par l'opérateur de spin . Le spin est souvent décrit comme une particule tournant littéralement autour d'un axe, mais ce n'est qu'une métaphore : le spin est une propriété intrinsèque d'une particule, sans rapport avec aucune sorte de mouvement (mais observable expérimentalement) dans l'espace. Toutes les particules élémentaires ont un spin caractéristique, qui est généralement non nul. Par exemple, les électrons ont toujours un "spin 1/2" tandis que les photons ont toujours un "spin 1" (détails ci-dessous ). ${\displaystyle \mathbf {S} =\left(S_{x},S_{y},S_{z}\right)}$

Moment angulaire total

Enfin, il y a le moment angulaire total , qui combine à la fois le spin et le moment angulaire orbital d'une particule ou d'un système : ${\displaystyle \mathbf {J} =\left(J_{x},J_{y},J_{z}\right)}$

${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} .}$

La conservation du moment cinétique indique que J pour un système fermé, ou J pour l'univers entier, est conservé. Cependant, L et S ne sont généralement pas conservés. Par exemple, l' interaction spin-orbite permet au moment angulaire de se transférer entre L et S , le total J restant constant.

Relations de commutation

Relations de commutation entre les composants

L'opérateur de moment angulaire orbital est un opérateur vectoriel, ce qui signifie qu'il peut être écrit en fonction de ses composantes vectorielles . Les composants ont les relations de commutation suivantes entre eux : ${\displaystyle \mathbf {L} =\left(L_{x},L_{y},L_{z}\right)}$

${\displaystyle \left[L_{x},L_{y}\right]=i\hbar L_{z},\;\;\left[L_{y},L_{z}\right]=i\hbar L_{x},\;\;\left[L_{z},L_{x}\right]=i\hbar L_{y},}$

où [ , ] désigne le commutateur

${\style d'affichage [X,Y]\équiv XY-YX.}$

Cela peut s'écrire généralement comme

${\displaystyle \left[L_{l},L_{m}\right]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}L_{n}}$,

où l , m , n sont des indices de composants (1 à x , 2 pour y , 3 pour z ), et ε _lmn désigne le symbole Levi-Civita .

Une expression compacte sous la forme d'une équation vectorielle est également possible :

${\displaystyle \mathbf {L} \times \mathbf {L} =i\hbar \mathbf {L} }$

Les relations de commutation peuvent être prouvés comme conséquence directe des relations de commutation canoniques , où δ _lm est le delta Kronecker . ${\displaystyle [x_{l},p_{m}]=i\hbar \delta _{lm}}$

Il existe une relation analogue en physique classique :

${\displaystyle \left\{L_{i},L_{j}\right\}=\varepsilon _{ijk}L_{k}}$

où L _n est une composante de l' opérateur de moment cinétique classique et est la parenthèse de Poisson . ${\style d'affichage \{,\}}$

Les mêmes relations de commutation s'appliquent pour les autres opérateurs de moment cinétique (spin et moment cinétique total) :

${\displaystyle \left[S_{l},S_{m}\right]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}S_{n},\quad \left[ J_{l},J_{m}\right]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}J_{n}}$.

On peut supposer que ceux-ci sont conformes à L . Alternativement, ils peuvent être dérivés comme discuté ci - dessous .

Ces relations de commutation signifie que L a la structure mathématique d'une algèbre de Lie et les e _LMN sont ses constantes de structure . Dans ce cas, l'algèbre de Lie est SU(2) ou SO(3) en notation physique ( ou respectivement en notation mathématique), c'est-à-dire l'algèbre de Lie associée à des rotations en trois dimensions. Il en est de même pour J et S . La raison est discutée ci - dessous . Ces relations de commutation sont pertinentes pour la mesure et l'incertitude, comme on le verra plus loin. ${\displaystyle \operatorname {su} (2)}$${\displaystyle \operatorname {so} (3)}$

Dans les molécules, le moment angulaire total F est la somme du moment angulaire rovibronique (orbital) N , du moment angulaire de spin électronique S et du moment angulaire de spin nucléaire I . Pour les états singulets électroniques, le moment angulaire rovibronique est noté J plutôt que N . Comme expliqué par Van Vleck, les composantes du moment angulaire rovibronique moléculaire référées aux axes moléculaires fixes ont des relations de commutation différentes de celles données ci-dessus qui concernent les composantes autour d'axes fixes dans l'espace.

Relations de commutation impliquant la magnitude vectorielle

Comme tout vecteur, le carré d'une magnitude peut être défini pour l'opérateur de moment angulaire orbital,

${\displaystyle L^{2}\equiv L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}}$ .

${\style d'affichage L^{2}}$est un autre opérateur quantique . Il commute avec les composants de , ${\displaystyle \mathbf {L} }$

${\displaystyle \left[L^{2},L_{x}\right]=\left[L^{2},L_{y}\right]=\left[L^{2},L_{z} \droit]=0.}$

Une façon de prouver que ces opérateurs commutent est de partir des relations de commutation [ L _ℓ , L _m ] de la section précédente :

Preuve de [ L ² , L _x ] = 0, à partir des relations de commutation [ L _ℓ , L _m ]  —

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[L^{2},L_{x}\right]&=\left[L_{x}^{2},L_{x}\right]+\left[ L_{y}^{2},L_{x}\right]+\left[L_{z}^{2},L_{x}\right]\\&=L_{y}\left[L_{y },L_{x}\right]+\left[L_{y},L_{x}\right]L_{y}+L_{z}\left[L_{z},L_{x}\right]+ \left[L_{z},L_{x}\right]L_{z}\\&=L_{y}\left(-i\hbar L_{z}\right)+\left(-i\hbar L_ {z}\right)L_{y}+L_{z}\left(i\hbar L_{y}\right)+\left(i\hbar L_{y}\right)L_{z}\\&= 0\end{aligné}}}$$

Mathématiquement, est un invariant de Casimir de l' algèbre de Lie SO(3) s'étendant sur . ${\style d'affichage L^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$

Comme ci-dessus, il existe une relation analogue en physique classique :

${\displaystyle \left\{L^{2},L_{x}\right\}=\left\{L^{2},L_{y}\right\}=\left\{L^{2} ,L_{z}\droit\}=0}$

où est une composante de l' opérateur de moment cinétique classique , et est la parenthèse de Poisson . ${\style d'affichage L_{i}}$${\style d'affichage \{,\}}$

Pour en revenir au cas quantique, les mêmes relations de commutation s'appliquent également aux autres opérateurs de moment cinétique (spin et moment cinétique total),

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[S^{2},S_{i}\right]&=0,\\\left[J^{2},J_{i}\right]&=0 .\end{aligné}}}$

Principe incertain

En général, en mécanique quantique, lorsque deux opérateurs observables ne commutent pas, ils sont appelés observables complémentaires . Deux observables complémentaires ne peuvent pas être mesurés simultanément ; au lieu de cela, ils satisfont à un principe d'incertitude . Plus un observable est connu avec précision, moins l'autre peut être connu avec précision. Tout comme il existe un principe d'incertitude reliant la position et le moment, il existe des principes d'incertitude pour le moment angulaire.

La relation de Robertson-Schrödinger donne le principe d'incertitude suivant :

${\displaystyle \sigma _{L_{x}}\sigma _{L_{y}}\geq {\frac {\hbar }{2}}\left|\langle L_{z}\rangle \right|.}$

où est l' écart type des valeurs mesurées de X et désigne la valeur attendue de X . Cette inégalité est également vraie si x, y, z sont réarrangés, ou si L est remplacé par J ou S . ${\displaystyle \sigma _{X}}$${\displaystyle \langle X\rangle }$

Par conséquent, deux composantes orthogonales du moment cinétique (par exemple L _x et L _y ) sont complémentaires et ne peuvent être connues ou mesurées simultanément, sauf dans des cas particuliers tels que . ${\style d'affichage L_{x}=L_{y}=L_{z}=0}$

Il est cependant possible de mesurer ou de spécifier simultanément L ² et n'importe quel composant de L ; par exemple, L ² et L _z . Ceci est souvent utile, et les valeurs sont caractérisées par le nombre quantique azimutal ( l ) et le nombre quantique magnétique ( m ). Dans ce cas l'état quantique du système est un état propre simultané des opérateurs L ² et L _z , mais pas de L _x ou L _y . Les valeurs propres sont liées à l et m , comme indiqué dans le tableau ci-dessous.

Quantification

En mécanique quantique , le moment angulaire est quantifié , c'est-à-dire qu'il ne peut pas varier de manière continue, mais uniquement par « sauts quantiques » entre certaines valeurs autorisées. Pour tout système, les restrictions suivantes sur les résultats de mesure s'appliquent, où est la constante de Planck réduite : ${\style d'affichage \hbar }$

Si vous mesurez ...	...le résultat peut être...	Remarques
${\style d'affichage L^{2}}$	${\displaystyle \hbar ^{2}\ell (\ell +1)}$,    où ${\displaystyle \ell =0,1,2,\ldots }$	${\style d'affichage \ell }$est parfois appelé nombre quantique azimutal ou nombre quantique orbital .
${\style d'affichage L_{z}}$	${\displaystyle \hbar m_{\ell }}$,    où ${\displaystyle m_{\ell }=-\ell ,(-\ell +1),\ldots ,(\ell -1),\ell }$	${\displaystyle m_{\ell }}$est parfois appelé nombre quantique magnétique . Cette même règle de quantification est valable pour tout composant de ; par exemple, . ${\displaystyle \mathbf {L} }$${\displaystyle L_{x}\,ou\,L_{y}}$ Cette règle est parfois appelée quantification spatiale .
${\style d'affichage S^{2}}$	${\displaystyle \hbar ^{2}s(s+1)}$,    où ${\displaystyle s=0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\ldots }$	s est appelé nombre quantique de spin ou simplement spin . Par exemple, une particule spin-½ est une particule où s = ½.
${\style d'affichage S_{z}}$	${\displaystyle \hbar m_{s}}$,    où ${\displaystyle m_{s}=-s,(-s+1),\ldots ,(s-1),s}$	${\style d'affichage m_{s}}$est parfois appelé nombre quantique de projection de spin . Cette même règle de quantification est valable pour tout composant de ; par exemple, . ${\displaystyle \mathbf {S} }$${\displaystyle S_{x}\,ou\,S_{y}}$
${\displaystyle J^{2}}$	${\displaystyle \hbar ^{2}j(j+1)}$,    où ${\displaystyle j=0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\ldots }$	j est parfois appelé nombre quantique de moment cinétique total .
${\style d'affichage J_{z}}$	${\displaystyle \hbar m_{j}}$,    où ${\displaystyle m_{j}=-j,(-j+1),\ldots ,(j-1),j}$	${\style d'affichage m_{j}}$est parfois appelé nombre quantique de projection de moment angulaire total . Cette même règle de quantification est valable pour tout composant de ; par exemple, . ${\displaystyle \mathbf {J} }$${\displaystyle J_{x}\,ou\,J_{y}}$

Dans cette onde stationnaire sur une corde circulaire, le cercle est divisé en exactement 8 longueurs d'onde . Une onde stationnaire comme celle-ci peut avoir 0, 1, 2 ou n'importe quel nombre entier de longueurs d'onde autour du cercle, mais elle ne peut pas avoir un nombre non entier de longueurs d'onde comme 8,3. En mécanique quantique, le moment angulaire est quantifié pour une raison similaire.

Dérivation à l'aide d'opérateurs ladder

Une manière courante de dériver les règles de quantification ci-dessus est la méthode des opérateurs à relais . Les opérateurs d'échelle pour le moment cinétique total sont définis comme : ${\displaystyle \mathbf {J} =\left(J_{x},J_{y},J_{z}\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{+}&\equiv J_{x}+iJ_{y},\\J_{-}&\equiv J_{x}-iJ_{y}\end{aligned}} }$

Supposons qu'il y ait un état propre simultané de et (c'est-à-dire un état avec une valeur définie pour et une valeur définie pour ). Ensuite, en utilisant les relations de commutation pour les composantes de , on peut prouver que chacun des états et est soit nul, soit un état propre simultané de et , avec la même valeur que pour mais avec des valeurs pour qui sont respectivement augmentées ou diminuées . Le résultat est zéro lorsque l'utilisation d'un opérateur d'échelle entraînerait autrement un état avec une valeur pour qui est en dehors de la plage autorisée. En utilisant les opérateurs à relais de cette manière, les valeurs possibles et les nombres quantiques pour et peuvent être trouvés. ${\style d'affichage |\psi \rangle }$${\displaystyle J^{2}}$${\style d'affichage J_{z}}$${\displaystyle J^{2}}$${\style d'affichage J_{z}}$${\displaystyle \mathbf {J} }$${\displaystyle J_{+}|\psi \rangle }$${\displaystyle J_{-}|\psi \rangle }$${\displaystyle J^{2}}$${\style d'affichage J_{z}}$${\style d'affichage |\psi \rangle }$${\displaystyle J^{2}}$${\style d'affichage J_{z}}$${\style d'affichage \hbar }$${\style d'affichage J_{z}}$${\displaystyle J^{2}}$${\style d'affichage J_{z}}$

Dérivation des valeurs possibles et des nombres quantiques pour et . Cliquez sur [afficher] à droite ${\style d'affichage J_{z}}$${\displaystyle J^{2}}$

Soit une fonction d'état pour le système avec valeur propre pour et valeur propre pour . ${\displaystyle \psi ({J^{2}}'J_{z}')}$${\displaystyle {J^{2}}'}$${\displaystyle J^{2}}$${\displaystyle J_{z}'}$${\style d'affichage J_{z}}$ De est obtenu, ${\displaystyle J^{2}=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2}}$ ${\displaystyle J_{x}^{2}+J_{y}^{2}=J^{2}-J_{z}^{2}}$. En appliquant les deux côtés de l'équation ci-dessus à , ${\displaystyle \psi ({J^{2}}'J_{z}')}$ ${\displaystyle (J_{x}^{2}+J_{y}^{2})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')=({J^{2}} '-J_{z}'^{2})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')}$ . Puisque et sont de véritables observables, n'est pas négatif et . A donc une borne supérieure et inférieure. ${\style d'affichage J_{x}}$${\style d'affichage J_{y}}$${\displaystyle {J^{2}}'-J_{z}'^{2}}$${\textstyle |J_{z}'|\leq {\sqrt {{J^{2}}'}}}$${\displaystyle J_{z}'}$ Deux des relations de commutation pour les composants de sont, ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle [J_{y},J_{z}]=i\hbar J_{x},\;\;[J_{z},J_{x}]=i\hbar J_{y}}$. Ils peuvent être combinés pour obtenir deux équations, qui s'écrivent ensemble à l'aide de signes dans la suite, ${\style d'affichage \pm }$ ${\displaystyle J_{z}(J_{x}\pm iJ_{y})=(J_{x}\pm iJ_{y})(J_{z}\pm \hbar )}$, où l'une des équations utilise les signes et l'autre utilise les signes. En appliquant les deux côtés de ce qui précède à , ${\style d'affichage +}$${\style d'affichage -}$${\displaystyle \psi ({J^{2}}'J_{z}')}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}J_{z}(J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')&=(J_{x }\pm iJ_{y})(J_{z}\pm \hbar )\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')\\&=(J_{z}'\pm \ hbar )(J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')\;.\\\end{aligned}}}$ Ce qui précède montre qu'il y a deux fonctions propres de avec des valeurs propres respectives , à moins que l'une des fonctions soit zéro, auquel cas ce n'est pas une fonction propre. Pour les fonctions non nulles, ${\style d'affichage (J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')}$${\style d'affichage J_{z}}$${\displaystyle {J_{z}}'\pm \hbar }$ ${\displaystyle \psi ({J^{2}}'J_{z}'\pm \hbar )=(J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}' J_{z}')}$ . D'autres fonctions propres et valeurs propres correspondantes peuvent être trouvées en appliquant à plusieurs reprises tant que l'amplitude de la valeur propre résultante est . Puisque les valeurs propres de sont bornées, soit la valeur propre la plus basse et soit la plus élevée. Puis ${\style d'affichage J_{z}}$${\displaystyle J_{x}\pm iJ_{y}}$${\displaystyle \leq {\sqrt {{J^{2}}'}}}$${\style d'affichage J_{z}}$${\displaystyle J_{z}^{0}}$${\displaystyle J_{z}^{1}}$ ${\style d'affichage (J_{x}-iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}^{0})=0}$          et ${\style d'affichage (J_{x}+iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}^{1})=0}$ , puisqu'il n'y a pas d'états où la valeur propre de est ou . En appliquant à la première équation, à la seconde, et en utilisant , on peut montrer que ${\style d'affichage J_{z}}$${\style d'affichage <J_{z}^{0}}$${\displaystyle >J_{z}^{1}}$${\style d'affichage (J_{x}+iJ_{y})}$${\style d'affichage (J_{x}-iJ_{y})}$${\displaystyle J_{x}^{2}+J_{y}^{2}=J^{2}-J_{z}^{2}}$ ${\displaystyle {J^{2}}'-(J_{z}^{0})^{2}+\hbar J_{z}^{0}=0}$          et ${\displaystyle {J^{2}}'-(J_{z}^{1})^{2}-\hbar J_{z}^{1}=0}$ . Soustraire la première équation de la seconde et réarranger, ${\style d'affichage (J_{z}^{1}+J_{z}^{0})(J_{z}^{0}-J_{z}^{1}-\hbar )=0}$ . Depuis , le deuxième facteur est négatif. Alors le premier facteur doit être zéro et donc . ${\displaystyle J_{z}^{1}\geq J_{z}^{0}}$${\displaystyle J_{z}^{0}=-J_{z}^{1}}$ La différence provient des applications successives de ou qui abaissent ou élèvent la valeur propre de by de sorte que, ${\displaystyle J_{z}^{1}-J_{z}^{0}}$${\style d'affichage J_{x}-iJ_{y}}$${\style d'affichage J_{x}+iJ_{y}}$${\style d'affichage J_{z}}$${\style d'affichage \hbar }$ ${\displaystyle J_{z}^{1}-J_{z}^{0}=0,\hbar ,2\hbar ,\dots }$ Laisser ${\displaystyle J_{z}^{1}-J_{z}^{0}=2j\hbar }$, où ${\displaystyle j=0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\dots \;.}$ Ensuite, en utilisant et ce qui précède, ${\displaystyle J_{z}^{0}=-J_{z}^{1}}$ ${\displaystyle J_{z}^{0}=-j\hbar }$  et  ,${\displaystyle J_{z}^{1}=j\hbar }$ et les valeurs propres admissibles de sont ${\style d'affichage J_{z}}$ ${\displaystyle J_{z}'=-j\hbar ,-j\hbar +\hbar ,-j\hbar +2\hbar ,\dots ,j\hbar }$ . Exprimant en termes de nombre quantique , et substituant dans d'en haut, ${\displaystyle J_{z}'}$${\displaystyle m_{j}\;}$${\displaystyle J_{z}^{0}=-j\hbar }$${\displaystyle {J^{2}}'-(J_{z}^{0})^{2}+\hbar J_{z}^{0}=0}$ ${\displaystyle J_{z}'=m_{j}\hbar \qquad }$ ${\displaystyle m_{j}=-j,-j+1,-j+2,\dots ,j}$ ${\displaystyle {J^{2}}'=j(j+1)\hbar ^{2}\qquad j=0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{ 2}},\points \;.}$

Puisque et ont les mêmes relations de commutation que , la même analyse en échelle peut leur être appliquée, sauf qu'il existe une restriction supplémentaire sur les nombres quantiques selon lesquels ils doivent être des entiers. ${\displaystyle \mathbf {S} }$${\displaystyle \mathbf {L} }$${\displaystyle \mathbf {J} }$${\displaystyle \mathbf {L} }$

Dérivation traditionnelle de la restriction aux nombres quantiques entiers pour et . Cliquez sur [afficher] à droite ${\style d'affichage L_{z}}$${\style d'affichage L^{2}}$

Dans la représentation de Schroedinger, la composante z de l'opérateur de moment angulaire orbital peut être exprimée en coordonnées sphériques comme, ${\displaystyle L_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \phi }}}$ . Pour et fonction propre avec valeur propre , ${\style d'affichage L_{z}}$ ${\style d'affichage \psi }$${\displaystyle L_{z}'}$ ${\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial }{\partial \phi }}\psi =L_{z}'\psi }$ . Résoudre pour , ${\style d'affichage \psi }$ ${\displaystyle \psi =Ae^{iL_{z}'\phi /\hbar }}$, où est indépendant de . Étant donné qu'il est nécessaire d'avoir une valeur unique et que l'addition à résulte en une coordonnée pour le même point dans l'espace, ${\style d'affichage A}$${\style d'affichage \phi }$${\style d'affichage \psi }$${\style d'affichage 2\pi }$${\style d'affichage \phi }$ ${\displaystyle Ae^{iL_{z}'(\phi +2\pi )/\hbar }=Ae^{iL_{z}'\phi /\hbar }}$, ${\displaystyle e^{iL_{z}'2\pi /\hbar }=1}$ . Résolution de la valeur propre , ${\displaystyle L_{z}'}$ ${\displaystyle L_{z}'=m_{l}\hbar \;,\quad }$où est un entier.${\style d'affichage m_{l}}$ De ce qui précède et de la relation , il s'ensuit que c'est aussi un entier. Cela montre que les nombres quantiques et pour le moment angulaire orbital sont restreints à des nombres entiers, contrairement aux nombres quantiques pour le moment angulaire total et le spin , qui peuvent avoir des valeurs demi-entières. ${\displaystyle m_{\ell }=-\ell ,(-\ell +1),\ldots ,(\ell -1),\ell \ \ }$${\style d'affichage \ell }$${\displaystyle m_{\ell }}$${\style d'affichage \ell }$${\displaystyle \mathbf {L} }$${\displaystyle \mathbf {J} }$${\displaystyle \mathbf {S} }$ Une dérivation alternative qui ne suppose pas de fonctions d'onde à valeur unique suit et un autre argument utilisant des groupes de Lie est ci - dessous .

Dérivation alternative de la restriction aux nombres quantiques entiers pour et Cliquez sur [afficher] à droite ${\style d'affichage L_{z}}$${\style d'affichage L^{2}}$

Un élément clé de la dérivation traditionnelle ci-dessus est que la fonction d'onde doit être à valeur unique. Ceci est maintenant reconnu par beaucoup comme n'étant pas complètement correct : une fonction d'onde n'est pas observable et seule la densité de probabilité doit être à valeur unique. Les fonctions d'onde demi-entier possibles à valeur double ont une densité de probabilité à valeur unique. ${\style d'affichage \psi }$${\displaystyle \psi ^{*}\psi }$ Cela a été reconnu par Pauli en 1939 (cité par Japaridze et al ) ... il n'y a pas d'argument convaincant a priori affirmant que les fonctions d'onde qui décrivent certains états physiques doivent être des fonctions à valeur unique. Pour que les grandeurs physiques, qui sont exprimées par des carrés de fonctions d'onde, soient à valeur unique, il suffit qu'après s'être déplacées autour d'un contour fermé, ces fonctions gagnent un facteur exp(iα) Des fonctions d'onde à valeur double ont été trouvées, telles que et . Ceux-ci ne se comportent pas bien sous les opérateurs d'échelle, mais se sont avérés utiles pour décrire les particules quantiques rigides ${\displaystyle |{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\rangle =e^{i\phi /2}sin^{\frac {1}{2}}\ thêta }$${\displaystyle |{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}}\rangle =e^{-i\phi /2}sin^{\frac {1}{2} }\thêta }$ Ballentine donne un argument basé uniquement sur le formalisme de l'opérateur et qui ne repose pas sur le fait que la fonction d'onde soit à valeur unique. Le moment angulaire azimutal est défini comme ${\displaystyle L_{z}=Q_{x}P_{y}-Q_{y}P_{x}}$ Définir de nouveaux opérateurs ${\displaystyle {\begin{aligned}q_{1}&={\frac {Q_{x}+P_{y}}{\surd 2}}\\q_{2}&={\frac {Q_{x }-P_{y}}{\surd 2}}\\p_{1}&={\frac {P_{x}-Q_{y}}{\surd 2}}\\p_{2}&={ \frac {P_{x}+Q_{y}}{\surd 2}}\end{aligned}}}$ (L'exactitude dimensionnelle peut être maintenue en insérant des facteurs de masse et de fréquence angulaire unitaire numériquement égaux à un.) Ensuite ${\displaystyle L_{z}={\frac {1}{2}}(p_{1}^{2}+q_{1}^{2})-{\frac {1}{2}}(p_ {2}^{2}+q_{2}^{2})}$ Mais les deux termes à droite ne sont que les hamiltoniens pour l' oscillateur harmonique quantique avec une unité de masse et de fréquence angulaire ${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}&={\frac {1}{2}}(p_{1}^{2}+q_{1}^{2})\\H_{2} &={\frac {1}{2}}(p_{2}^{2}+q_{2}^{2})\end{aligned}}}$ et , , et tous les trajets quotidiens. Pour la commutation des opérateurs hermitiens, un ensemble complet de vecteurs de base peut être choisi qui sont des vecteurs propres pour les quatre opérateurs. (L'argument de Glorioso peut facilement être généralisé à n'importe quel nombre d'opérateurs de navettage.) ${\style d'affichage L^{2}}$${\style d'affichage L_{z}}$${\style d'affichage H_{1}}$${\style d'affichage H_{2}}$ Pour chacun de ces vecteurs propres avec ${\style d'affichage \psi }$ ${\displaystyle {\begin{aligned}L^{2}\psi &=\hbar \ell (\ell +1)\psi \\L_{z}\psi &=\hbar m\psi \\H_{1 }\psi &=\hbar (n_{1}+{\frac {1}{2}})\psi \\H_{2}\psi &=\hbar (n_{2}+{\frac {1} {2}})\psi \end{aligned}}}$ pour certains entiers , on trouve ${\style d'affichage n_{1},n_{2}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}m&=(n_{1}+{\frac {1}{2}})-(n_{2}+{\frac {1}{2}})\\&= n_{1}-n_{2}\end{aligned}}}$ En tant que différence de deux nombres entiers, doit être un nombre entier, à partir duquel est également intégral. ${\style d'affichage m}$${\style d'affichage \ell }$ Une version plus complexe de cet argument utilisant les opérateurs en échelle de l' oscillateur harmonique quantique a été donnée par Buchdahl.

Interprétation visuelle

Illustration du modèle vectoriel du moment angulaire orbital.

Puisque les moments angulaires sont des opérateurs quantiques, ils ne peuvent pas être dessinés comme des vecteurs comme en mécanique classique. Néanmoins, il est courant de les représenter heuristiquement de cette manière. Représenté sur la droite est un ensemble d'états avec des nombres quantiques , et pour les cinq cônes de bas en haut. Depuis , les vecteurs sont tous affichés avec la longueur . Les anneaux représentent le fait qui est connu avec certitude, mais et sont inconnus ; par conséquent, chaque vecteur classique avec la longueur et la composante z appropriées est dessiné, formant un cône. La valeur attendue du moment angulaire pour un ensemble donné de systèmes dans l'état quantique caractérisé par et pourrait se trouver quelque part sur ce cône alors qu'elle ne peut pas être définie pour un seul système (puisque les composants de ne commutent pas les uns avec les autres). ${\style d'affichage \ell =1}$${\displaystyle m_{\ell }=-2,-1,0,1,2}$${\displaystyle |L|={\sqrt {L^{2}}}=\hbar {\sqrt {6}}}$${\displaystyle \hbar {\sqrt {6}}}$${\style d'affichage L_{z}}$${\style d'affichage L_{x}}$${\displaystyle L_{y}}$${\style d'affichage \ell }$${\displaystyle m_{\ell }}$${\style d'affichage L}$

Quantification dans les systèmes macroscopiques

Les règles de quantification sont largement considérées comme vraies même pour les systèmes macroscopiques, comme le moment angulaire L d'un pneu en rotation. Cependant, ils n'ont pas d'effet observable, cela n'a donc pas été testé. Par exemple, si est d'environ 100000000, cela ne fait pratiquement aucune différence si la valeur précise est un entier comme 100000000 ou 100000001, ou un non-entier comme 100000000.2 - les étapes discrètes sont actuellement trop petites pour être mesurées. ${\displaystyle L_{z}/\hbar }$

Moment angulaire comme générateur de rotations

La définition la plus générale et la plus fondamentale du moment cinétique est comme le générateur de rotations. Plus précisément, soit un opérateur de rotation , qui fait tourner n'importe quel état quantique autour de l'axe par l'angle . Comme , l'opérateur se rapproche de l' opérateur identité , car une rotation de 0° mappe tous les états sur eux-mêmes. Alors l'opérateur de moment cinétique autour de l'axe est défini comme : ${\displaystyle R({\hat {n}},\phi )}$${\displaystyle {\hat {n}}}$${\style d'affichage \phi }$${\displaystyle \phi \rightarrow 0}$${\displaystyle R({\hat {n}},\phi )}$${\displaystyle J_{\hat {n}}}$${\displaystyle {\hat {n}}}$

${\displaystyle J_{\hat {n}}\equiv i\hbar \lim _{\phi \rightarrow 0}{\frac {R\left({\hat {n}},\phi \right)-1} {\phi }}=\left.i\hbar {\frac {\partial R\left({\hat {n}},\phi \right)}{\partial \phi }}\right|_{\phi =0}}$

où 1 est l' opérateur d'identité . Notez également que R est un morphisme additif :  ; en conséquence ${\displaystyle R\left({\hat {n}},\phi _{1}+\phi _{2}\right)=R\left({\hat {n}},\phi _{1} \right)R\left({\hat {n}},\phi _{2}\right)}$

${\displaystyle R\left({\hat {n}},\phi \right)=\exp \left(-{\frac {i\phi J_{\hat {n}}}{\hbar }}\right )}$

où exp est la matrice exponentielle .

En termes plus simples, l'opérateur de moment cinétique total caractérise comment un système quantique est modifié lorsqu'il est tourné. La relation entre les opérateurs de moment angulaire et les opérateurs de rotation est la même que la relation entre les algèbres de Lie et les groupes de Lie en mathématiques, comme expliqué plus loin.

Les différents types d' opérateurs de rotation . La case du haut montre deux particules, avec des états de spin indiqués schématiquement par les flèches.

1. L'opérateur R , lié à J , fait tourner l'ensemble du système.
2. L'opérateur R _spatial , lié à L , fait tourner les positions des particules sans altérer leurs états de spin interne.
3. L'opérateur R _internal , lié à S , fait tourner les états de spin interne des particules sans changer leurs positions.

Tout comme J est le générateur d' opérateurs de rotation , L et S sont des générateurs d'opérateurs de rotation partielle modifiés. L'opérateur

${\displaystyle R_{\text{spatial}}\left({\hat {n}},\phi \right)=\exp \left(-{\frac {i\phi L_{\hat {n}}} {\hbar }}\droit),}$

fait pivoter la position (dans l'espace) de toutes les particules et de tous les champs, sans faire pivoter l'état interne (spin) d'aucune particule. De même, l'opérateur

${\displaystyle R_{\text{internal}}\left({\hat {n}},\phi \right)=\exp \left(-{\frac {i\phi S_{\hat {n}}} {\hbar }}\droit),}$

fait tourner l'état interne (spin) de toutes les particules, sans déplacer aucune particule ou champ dans l'espace. La relation J = L + S vient de :

${\displaystyle R\left({\hat {n}},\phi \right)=R_{\text{internal}}\left({\hat {n}},\phi \right)R_{\text{ spatial}}\left({\hat {n}},\phi \right)}$

c'est-à-dire que si les positions sont tournées, puis les états internes sont tournés, alors dans l'ensemble le système complet a été tourné.

Rotations SU(2), SO(3) et 360°

Bien que l'on puisse s'y attendre (une rotation de 360° est l'opérateur d'identité), cela n'est pas supposé en mécanique quantique, et il s'avère que ce n'est souvent pas vrai : lorsque le nombre quantique de moment angulaire total est un demi-entier (1/2 , 3/2, etc.), , et lorsqu'il s'agit d'un entier, . Mathématiquement, la structure des rotations dans l'univers n'est pas SO(3) , le groupe des rotations tridimensionnelles en mécanique classique. Il s'agit plutôt de SU(2) , qui est identique à SO(3) pour les petites rotations, mais où une rotation de 360° se distingue mathématiquement d'une rotation de 0°. (Une rotation de 720° est cependant identique à une rotation de 0°.) ${\displaystyle R\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=1}$${\displaystyle R\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=-1}$${\displaystyle R\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=+1}$

D'autre part, en toutes circonstances, car une rotation à 360° d'une configuration spatiale équivaut à aucune rotation du tout. (Ceci est différent d'une rotation de 360° de l'état interne (de rotation) de la particule, qui peut être ou non la même qu'aucune rotation du tout.) En d'autres termes, les opérateurs portent la structure de SO(3) , while et portent la structure de SU(2) . ${\displaystyle R_{\text{spatial}}\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=+1}$${\displaystyle R_{\text{spatial}}}$${\style d'affichage R}$${\displaystyle R_{\text{interne}}}$

De l' équation , on choisit un état propre et on tire ${\displaystyle +1=R_{\text{spatial}}\left({\hat {z}},360^{\circ }\right)=\exp \left(-2\pi iL_{z}/\ hbar \droit)}$${\displaystyle L_{z}|\psi \rangle =m\hbar |\psi \rangle }$

${\displaystyle e^{-2\pi im}=1}$

c'est-à-dire que les nombres quantiques de moment angulaire orbitaire ne peuvent être que des entiers et non des demi-entiers.

Lien avec la théorie des représentations

En partant d'un certain état quantique , considérons l'ensemble des états pour tous les possibles et , c'est-à-dire l'ensemble des états résultant de la rotation de l'état de départ de toutes les manières possibles. L'étendue linéaire de cet ensemble est un espace vectoriel , et donc la manière dont les opérateurs de rotation mappent un état sur un autre est une représentation du groupe d'opérateurs de rotation. ${\displaystyle |\psi _{0}\rangle }$${\displaystyle R\left({\hat {n}},\phi \right)\left|\psi _{0}\right\rangle }$${\displaystyle {\hat {n}}}$${\style d'affichage \phi }$

Lorsque les opérateurs de rotation agissent sur des états quantiques, cela forme une représentation du groupe de Lie SU(2) (pour R et R _internal ), ou SO(3) (pour R _spatial ).

De la relation entre J et les opérateurs de rotation,

Lorsque les opérateurs de moment angulaire agissent sur des états quantiques, cela forme une représentation de l' algèbre de Lie ou .${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

(Les algèbres de Lie de SU(2) et SO(3) sont identiques.)

La dérivation de l'opérateur ladder ci-dessus est une méthode pour classer les représentations de l'algèbre de Lie SU(2).

Connexion aux relations de commutation

Les rotations classiques ne commutent pas entre elles : par exemple, une rotation de 1° autour de l' axe x puis de 1° autour de l' axe y donne une rotation globale légèrement différente que la rotation de 1° autour de l' axe y puis de 1° autour de l'axe x - axe. En analysant soigneusement cette non-commutativité, les relations de commutation des opérateurs de moment cinétique peuvent être dérivées.

(Cette même procédure de calcul est une façon de répondre à la question mathématique "Quelle est l' algèbre de Lie des groupes de Lie SO(3) ou SU(2) ?")

Conservation du moment cinétique

L' hamiltonien H représente l'énergie et la dynamique du système. Dans une situation à symétrie sphérique, l'hamiltonien est invariant par rotations :

${\displaystyle RHR^{-1}=H}$

où R est un opérateur de rotation . En conséquence, , et ensuite en raison de la relation entre J et R . D'après le théorème d'Ehrenfest , il s'ensuit que J est conservé. ${\style d'affichage [H,R]=0}$${\displaystyle [H,\mathbf {J} ]=\mathbf {0} }$

Pour résumer, si H est invariant en rotation (symétrique sphérique), alors le moment cinétique total J est conservé. C'est un exemple du théorème de Noether .

Si H n'est que l'hamiltonien d'une particule, le moment angulaire total de cette particule est conservé lorsque la particule est dans un potentiel central (c'est-à-dire lorsque la fonction d'énergie potentielle ne dépend que de ). Alternativement, H peut être l'hamiltonien de toutes les particules et de tous les champs de l'univers, et alors H est toujours invariant en rotation, car les lois fondamentales de la physique de l'univers sont les mêmes quelle que soit l'orientation. C'est la base pour dire que la conservation du moment angulaire est un principe général de la physique. ${\displaystyle \left|\mathbf {r} \right|}$

Pour une particule sans spin, J = L , donc le moment angulaire orbital est conservé dans les mêmes circonstances. Lorsque le spin est différent de zéro, l' interaction spin-orbite permet au moment angulaire de passer de L à S ou inversement. Par conséquent, L n'est pas, à lui seul, conservé.

Couplage du moment angulaire

Souvent, deux ou plusieurs sortes de moment cinétique interagissent les unes avec les autres, de sorte que le moment angulaire peut passer de l'un à l'autre. Par exemple, dans le couplage spin-orbite , le moment cinétique peut être transféré entre L et S , mais seul le total J = L + S est conservé. Dans un autre exemple, dans un atome à deux électrons, chacun a son propre moment cinétique J ₁ et J ₂ , mais seul le total J = J ₁ + J ₂ est conservé.

Dans ces situations, il est souvent utile de connaître la relation entre, d'une part, des états où tous ont des valeurs définies, et d'autre part, des états où tous ont des valeurs définies, car ces quatre derniers sont généralement conservés (constantes de mouvement ). La procédure pour aller et venir entre ces bases est d'utiliser des coefficients de Clebsch-Gordan . ${\displaystyle \left(J_{1}\right)_{z},\left(J_{1}\right)^{2},\left(J_{2}\right)_{z},\left (J_{2}\droit)^{2}}$${\displaystyle \left(J_{1}\right)^{2},\left(J_{2}\right)^{2},J^{2},J_{z}}$

Un résultat important dans ce domaine est qu'une relation entre les nombres quantiques pour : ${\displaystyle \left(J_{1}\right)^{2},\left(J_{2}\right)^{2},J^{2}}$

${\displaystyle j\in \left\{\left|j_{1}-j_{2}\right|,\left(\left|j_{1}-j_{2}\right|+1\right), \ldots ,\left(j_{1}+j_{2}\right)\right\}}$.

Pour un atome ou une molécule avec J = L + S , le terme symbole donne les nombres quantiques associés aux opérateurs . ${\style d'affichage L^{2},S^{2},J^{2}}$

Moment angulaire orbital en coordonnées sphériques

Opérateurs de moment angulaire se produisent généralement lorsque la résolution d' un problème avec une symétrie sphérique en coordonnées sphériques . Le moment cinétique dans la représentation spatiale est

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=i\hbar \left({\frac {\hat {\boldsymbol {\theta }}}{\sin(\theta )}}{\frac { \partial }{\partial \phi }}-{\hat {\boldsymbol {\phi }}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)\\&=i\hbar \left( {\hat {\mathbf {x} }}\left(\sin(\phi ){\frac {\partial }{\partial \theta }}+\cot(\theta )\cos(\phi ){\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)+{\hat {\mathbf {y} }}\left(-\cos(\phi ){\frac {\partial }{\partial \theta }} +\cot(\theta )\sin(\phi ){\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)-{\hat {\mathbf {z} }}{\frac {\partial }{ \partial \phi }}\right)\\L_{+}&=\hbar e^{i\phi }\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}+i\cot(\theta ){\frac {\partial }{\partial \phi }}\right),\\L_{-}&=\hbar e^{-i\phi }\left(-{\frac {\partial }{\ partiel \theta }}+i\cot(\theta ){\frac {\partial }{\partial \phi }}\right),\\L^{2}&=-\hbar ^{2}\left( {\frac {1}{\sin(\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin(\theta ){\frac {\partial }{\partial \theta }}\droit)+{\frac {1}{\sin ^{2}(\theta )}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right),\\L_{z}&= -i\hbar {\frac {\partial }{\partial \phi }}.\end{aligned}}}$

En coordonnées sphériques, la partie angulaire de l' opérateur de Laplace peut être exprimée par le moment cinétique. Cela conduit à la relation

${\displaystyle \Delta ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}\,{\frac {\partial } {\partial r}}\right)-{\frac {L^{2}}{\hbar ^{2}r^{2}}}.}$

En résolvant pour trouver les états propres de l'opérateur , nous obtenons ce qui suit ${\style d'affichage L^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L^{2}|l,m\rangle &=\hbar ^{2}l(l+1)|l,m\rangle \\L_{z}|l,m \rangle &=\hbar m|l,m\rangle \end{aligné}}}$

où

${\displaystyle \left\langle \theta ,\phi |l,m\right\rangle =Y_{l,m}(\theta ,\phi )}$

sont les harmoniques sphériques .

Voir également

Remarques

Les références