Théorème d'Ehrenfest - Ehrenfest theorem

Partie d'une série sur
Mécanique quantique
${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} | \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} | \ psi (t) \ rangle}$ Équation de Schrödinger
introduction Glossaire L'histoire Manuels
Contexte Mécanique classique Ancienne théorie quantique Notation Bra – ket Hamiltonien Ingérence
Fondamentaux Règle née Longueur d'onde de Compton La cohérence Décohérence Complémentarité Niveau d'énergie Enchevêtrement Hamiltonien Principe incertain État fondamental Amplitude de probabilité Distribution de probabilité Ingérence La mesure Mesure faible Non-localité Observable Opérateur Quantum Fluctuation quantique Nombre quantique Bruit quantique État quantique Système quantique Téléportation quantique Qubit Tourner Superposition État du vide quantique Symétrie Rupture de symétrie (spontanée) État du vide Propagation d'onde Fonction Wave Réduire la fonction d'onde Dualité onde-particule Onde de matière Barrière de potentiel rectangulaire Espace Fock
Effets Effet Zeeman Effet austère Effet Aharonov – Bohm Quantification Landau Effet Hall quantique Effet Quantum Zeno Tunnellisation quantique Effet photoélectrique Effet Casimir
Expériences L'inégalité de Bell Davisson – Germer Double fente Elitzur – Vaidman Franck – Hertz Inégalité de Leggett-Garg Mach – Zehnder Popper Gomme quantique  ( choix différé ) Le chat de Schrödinger Stern – Gerlach Le choix retardé de Wheeler
Formulations Aperçu Images dynamiques ( Heisenberg ; Interaction ; Schrödinger ) Matrice Espace des phases Somme sur les historiques (intégrale de chemin)
Équations Dirac Hellmann – Feynman Klein – Gordon Lippmann – Schwinger Pauli Rydberg Schrödinger Intégration fonctionnelle
Interprétations Aperçu Bayésien Histoires cohérentes Copenhague de Broglie – Bohm Ensemble Variable cachée De nombreux mondes Réduire l'objectif Logique quantique Relationnel Transactionnel
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Catégories ► Mécanique quantique
v t e

Le théorème d'Ehrenfest , du nom de Paul Ehrenfest , physicien théoricien autrichien de l' Université de Leiden , relie la dérivée temporelle des valeurs d'espérance des opérateurs de position et d'impulsion x et p à la valeur d'espérance de la force sur une particule massive se déplaçant dans un potentiel scalaire. , ${\ displaystyle F = -V '(x)}$${\ displaystyle V (x)}$

Le théorème d'Ehrenfest est un cas particulier d'une relation plus générale entre l'espérance de tout opérateur de mécanique quantique et l'espérance du commutateur de cet opérateur avec l' hamiltonien du système

où A est une opérateur mécanique quantique et ⟨ A ⟩ est sa valeur attendue . Ce théorème plus général n'a pas été réellement dérivé par Ehrenfest (il est dû à Werner Heisenberg ).

C'est plus évident dans l' image de Heisenberg de la mécanique quantique, où il s'agit simplement de la valeur d'espérance de l'équation de mouvement de Heisenberg. Il fournit un support mathématique au principe de correspondance .

La raison en est que le théorème d'Ehrenfest est étroitement lié au théorème de Liouville de la mécanique hamiltonienne , qui implique le crochet de Poisson au lieu d'un commutateur. La règle empirique de Dirac suggère que les énoncés de la mécanique quantique qui contiennent un commutateur correspondent aux énoncés de la mécanique classique où le commutateur est supplanté par un crochet de Poisson multiplié par iħ . Cela fait que les valeurs d'espérance de l'opérateur obéissent aux équations classiques du mouvement correspondantes, à condition que l'hamiltonien soit au plus quadratique dans les coordonnées et les moments. Sinon, les équations d'évolution peuvent encore tenir approximativement , à condition que les fluctuations soient faibles.

Relation avec la physique classique

Bien qu'à première vue, il puisse sembler que le théorème d'Ehrenfest dit que les valeurs d'espérance de la mécanique quantique obéissent aux équations classiques du mouvement de Newton, ce n'est pas réellement le cas. Si la paire devait satisfaire la deuxième loi de Newton, le côté droit de la deuxième équation devrait être ${\ displaystyle (\ langle x \ rangle, \ langle p \ rangle)}$

${\ displaystyle -V '\ left (\ left \ langle x \ right \ rangle \ right),}$

qui n'est généralement pas la même chose que

${\ Displaystyle - \ left \ langle V '(x) \ right \ rangle.}$

Si, par exemple, le potentiel est cubique (c'est-à-dire proportionnel à ), alors il est quadratique (proportionnel à ). Cela signifie que, dans le cas de la deuxième loi de Newton, le côté droit serait sous la forme de , tandis que dans le théorème d'Ehrenfest, il est sous la forme de . La différence entre ces deux quantités est le carré de l'incertitude en et est donc non nulle. ${\ displaystyle V (x)}$${\ displaystyle x ^ {3}}$${\ displaystyle V '}$${\ displaystyle x ^ {2}}$${\ displaystyle \ langle x \ rangle ^ {2}}$${\ displaystyle \ langle x ^ {2} \ rangle}$${\ displaystyle x}$

Une exception se produit dans le cas où les équations classiques du mouvement sont linéaires, c'est-à-dire lorsqu'elles sont quadratiques et linéaires. Dans ce cas particulier, et d' accord. Ainsi, pour le cas d'un oscillateur harmonique quantique, la position attendue et l'élan attendu suivent exactement les trajectoires classiques. ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V '}$${\ displaystyle V '\ left (\ left \ langle x \ right \ rangle \ right)}$${\ displaystyle \ left \ langle V '(x) \ right \ rangle}$

Pour les systèmes généraux, si la fonction d'onde est fortement concentrée autour d'un point , alors et sera presque le même, puisque les deux seront approximativement égaux à . Dans ce cas, la position attendue et l'élan attendu suivront approximativement les trajectoires classiques, au moins tant que la fonction d'onde reste localisée en position. ${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle V '\ left (\ left \ langle x \ right \ rangle \ right)}$${\ displaystyle \ left \ langle V '(x) \ right \ rangle}$${\ displaystyle V '(x_ {0})}$

Dérivation dans l'image de Schrödinger

Supposons qu'un système soit actuellement dans un état quantique Φ . Si nous voulons connaître la dérivée temporelle instantanée de la valeur d'espérance de A , c'est-à-dire par définition

${\ displaystyle {\ begin {aligné} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ langle A \ rangle & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d } t}} \ int \ Phi ^ {*} A \ Phi \, \ mathrm {d} ^ {3} x \\ & = \ int \ left ({\ frac {\ partial \ Phi ^ {*}} { \ partial t}} \ right) A \ Phi \, \ mathrm {d} ^ {3} x + \ int \ Phi ^ {*} \ left ({\ frac {\ partial A} {\ partial t}} \ right ) \ Phi \, \ mathrm {d} ^ {3} x + \ int \ Phi ^ {*} A \ left ({\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial t}} \ right) \, \ mathrm { d} ^ {3} x \\ & = \ int \ left ({\ frac {\ partial \ Phi ^ {*}} {\ partial t}} \ right) A \ Phi \, \ mathrm {d} ^ { 3} x + \ left \ langle {\ frac {\ partial A} {\ partial t}} \ right \ rangle + \ int \ Phi ^ {*} A \ left ({\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial t}} \ right) \, \ mathrm {d} ^ {3} x \ end {aligné}}}$

où nous intégrons sur tout l'espace. Si nous appliquons l' équation de Schrödinger , nous trouvons que

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial t}} = {\ frac {1} {i \ hbar}} H \ Phi}$

En prenant le conjugué complexe, nous trouvons

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ Phi ^ {*}} {\ partial t}} = - {\ frac {1} {i \ hbar}} \ Phi ^ {*} H ^ {*} = - { \ frac {1} {i \ hbar}} \ Phi ^ {*} H.}$

Notez H = H   ^∗ , car l' hamiltonien est hermitien . En plaçant cela dans l'équation ci-dessus, nous avons

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ langle A \ rangle = {\ frac {1} {i \ hbar}} \ int \ Phi ^ {*} (AH-HA) \ Phi ~ d ^ { 3} x + \ left \ langle {\ frac {\ partial A} {\ partial t}} \ right \ rangle = {\ frac {1} {i \ hbar}} \ langle [A, H] \ rangle + \ left \ langle {\ frac {\ partial A} {\ partial t}} \ right \ rangle.}$

Souvent (mais pas toujours) l'opérateur A est indépendant du temps de sorte que sa dérivée est nulle et nous pouvons ignorer le dernier terme.

Dérivation dans l'image de Heisenberg

Dans l' image de Heisenberg , la dérivation est triviale. L'image de Heisenberg déplace la dépendance temporelle du système vers les opérateurs au lieu des vecteurs d'état. En commençant par l'équation de mouvement de Heisenberg

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} A (t) = {\ frac {\ partial A (t)} {\ partial t}} + {\ frac {1} {i \ hbar}} [A (e],}$

nous pouvons dériver le théorème d'Ehrenfest simplement en projetant l'équation de Heisenberg sur de la droite et de la gauche, ou en prenant la valeur d'espérance, donc ${\ displaystyle | \ Psi \ rangle}$${\ displaystyle \ langle \ Psi |}$

${\ displaystyle \ left \ langle \ Psi \ left | {\ frac {d} {dt}} A (t) \ right | \ Psi \ right \ rangle = \ left \ langle \ Psi \ left | {\ frac {\ partial A (t)} {\ partial t}} \ right | \ Psi \ right \ rangle + \ left \ langle \ Psi \ left | {\ frac {1} {i \ hbar}} [A (t), H ] \ right | \ Psi \ right \ rangle,}$

Nous pouvons tirer le ré / dt hors du premier terme puisque les vecteurs d'état ne sont plus dépendants du temps dans l'image de Heisenberg. Donc,

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ langle A (t) \ rangle = \ left \ langle {\ frac {\ partial A (t)} {\ partial t}} \ right \ rangle + {\ frac {1} {i \ hbar}} \ left \ langle [A (t), H] \ right \ rangle}$

Exemple général

Cependant, les valeurs d'espérance du théorème sont également les mêmes dans l' image de Schrödinger . Pour l'exemple très général d'une particule massive se déplaçant dans un potentiel , l'hamiltonien est simplement

${\ Displaystyle H (x, p, t) = {\ frac {p ^ {2}} {2m}} + V (x, t)}$

où x est la position de la particule.

Supposons que nous voulions connaître le changement instantané de l'attente de l'élan p . En utilisant le théorème d'Ehrenfest, nous avons

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ langle p \ rangle = {\ frac {1} {i \ hbar}} \ langle [p, H] \ rangle + \ left \ langle {\ frac {\ partiel p} {\ partiel t}} \ right \ rangle = {\ frac {1} {i \ hbar}} \ langle [p, V (x, t)] \ rangle,}$

puisque l'opérateur p commute avec lui-même et n'a aucune dépendance temporelle. En développant le côté droit, en remplaçant p par - iħ ∇ , on obtient

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ langle p \ rangle = \ int \ Phi ^ {*} V (x, t) {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ Phi ~ dx - \ int \ Phi ^ {*} {\ frac {\ partial} {\ partial x}} (V (x, t) \ Phi) ~ dx ~.}$

Après avoir appliqué la règle du produit sur le deuxième terme, nous avons

${\ displaystyle {\ begin {aligné} {\ frac {d} {dt}} \ langle p \ rangle & = \ int \ Phi ^ {*} V (x, t) {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ Phi ~ dx- \ int \ Phi ^ {*} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x}} V (x, t) \ right) \ Phi ~ dx- \ int \ Phi ^ {*} V (x, t) {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ Phi ~ dx \\ & = - \ int \ Phi ^ {*} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x}} V (x, t) \ right) \ Phi ~ dx \\ & = \ left \ langle - {\ frac {\ partial} {\ partial x}} V (x, t) \ right \ rangle = \ langle F \ rangle. \ end {aligné}}}$

Comme expliqué dans l'introduction, ce résultat ne dit pas que la paire satisfait la deuxième loi de Newton , car le côté droit de la formule est plutôt que . Néanmoins, comme expliqué dans l'introduction, pour des états très localisés dans l'espace, la position et le moment attendus suivront approximativement des trajectoires classiques, qui peuvent être comprises comme une instance du principe de correspondance . ${\ displaystyle (\ langle X \ rangle, \ langle P \ rangle)}$${\ displaystyle \ langle F (x, t) \ rangle,}$${\ displaystyle F (\ langle X \ rangle, t)}$

De même, nous pouvons obtenir le changement instantané de la valeur d'espérance de position.

${\ displaystyle {\ begin {aligné} {\ frac {d} {dt}} \ langle x \ rangle & = {\ frac {1} {i \ hbar}} \ langle [x, H] \ rangle + \ left \ langle {\ frac {\ partial x} {\ partial t}} \ right \ rangle \\ [5pt] & = {\ frac {1} {i \ hbar}} \ left \ langle \ left [x, {\ frac {p ^ {2}} {2m}} + V (x, t) \ right] \ right \ rangle +0 \\ [5pt] & = {\ frac {1} {i \ hbar}} \ left \ langle \ left [x, {\ frac {p ^ {2}} {2m}} \ right] \ right \ rangle \\ [5pt] & = {\ frac {1} {i \ hbar 2m}} \ left \ langle [x, p] {\ frac {d} {dp}} p ^ {2} \ right \ rangle \\ [5pt] & = {\ frac {1} {i \ hbar 2m}} \ langle i \ hbar 2p \ rangle \\ [5pt] & = {\ frac {1} {m}} \ langle p \ rangle \ end {aligné}}}$

Ce résultat est en fait en accord exact avec l'équation classique.

Dérivation de l'équation de Schrödinger à partir des théorèmes d'Ehrenfest

Il a été établi ci-dessus que les théorèmes d'Ehrenfest sont des conséquences de l' équation de Schrödinger . Cependant, l'inverse est également vrai: l'équation de Schrödinger peut être déduite des théorèmes d'Ehrenfest. Nous commençons à partir de

${\ displaystyle {\ begin {aligné} m {\ frac {d} {dt}} \ left \ langle \ Psi (t) \ right | {\ hat {x}} \ left | \ Psi (t) \ right \ rangle & = \ left \ langle \ Psi (t) \ right | {\ hat {p}} \ left | \ Psi (t) \ right \ rangle, \\ [5pt] {\ frac {d} {dt}} \ left \ langle \ Psi (t) \ right | {\ hat {p}} \ left | \ Psi (t) \ right \ rangle & = \ left \ langle \ Psi (t) \ right | -V '({ \ hat {x}}) \ left | \ Psi (t) \ right \ rangle. \ end {aligné}}}$

L'application de la règle produit conduit à

${\ displaystyle {\ begin {aligné} \ left \ langle {\ frac {d \ Psi} {dt}} {\ Big |} {\ hat {x}} {\ Big |} \ Psi \ right \ rangle + \ left \ langle \ Psi {\ Big |} {\ hat {x}} {\ Big |} {\ frac {d \ Psi} {dt}} \ right \ rangle & = \ left \ langle \ Psi {\ Big | } {\ frac {\ hat {p}} {m}} {\ Big |} \ Psi \ right \ rangle, \\ [5pt] \ left \ langle {\ frac {d \ Psi} {dt}} {\ Big |} {\ hat {p}} {\ Big |} \ Psi \ right \ rangle + \ left \ langle \ Psi {\ Big |} {\ hat {p}} {\ Big |} {\ frac {d \ Psi} {dt}} \ right \ rangle & = \ langle \ Psi | -V '({\ hat {x}}) | \ Psi \ rangle, \ end {aligné}}}$

Ici, appliquez le théorème de Stone , en utilisant Ĥ pour désigner le générateur quantique de traduction temporelle. L'étape suivante consiste à montrer qu'il s'agit du même que l'opérateur hamiltonien utilisé en mécanique quantique. Le théorème de Stone implique

${\ displaystyle i \ hbar \ left | {\ frac {d \ Psi} {dt}} \ right \ rangle = {\ hat {H}} | \ Psi (t) \ rangle ~,}$

où ħ a été introduit comme constante de normalisation de la dimensionnalité de l'équilibre. Puisque ces identités doivent être valides pour tout état initial, le moyennage peut être abandonné et le système d'équations de commutateur pour Ĥ est dérivé:

${\ displaystyle im [{\ hat {H}}, {\ hat {x}}] = \ hbar {\ hat {p}}, \ qquad i [{\ hat {H}}, {\ hat {p} }] = - \ hbar V '({\ hat {x}}).}$

En supposant que les observables de la coordonnée et de l'impulsion obéissent à la relation de commutation canonique [ x̂, p̂ ] = iħ . Réglage , les équations du commutateur peuvent être converties en équations différentielles ${\ displaystyle {\ hat {H}} = H ({\ hat {x}}, {\ hat {p}})}$

${\ displaystyle m {\ frac {\ partial H (x, p)} {\ partial p}} = p, \ qquad {\ frac {\ partial H (x, p)} {\ partial x}} = V ' (X),}$

dont la solution est le hamiltonien quantique familier

${\ displaystyle {\ hat {H}} = {\ frac {{\ hat {p}} ^ {2}} {2m}} + V ({\ hat {x}}).}$

D'où l' équation de Schrödinger a été dérivée des théorèmes d'Ehrenfest en supposant la relation de commutation canonique entre la coordonnée et l'impulsion. Si l'on suppose que la coordonnée et la quantité de mouvement commutent, la même méthode de calcul conduit à la mécanique classique de Koopman – von Neumann , qui est la formulation spatiale de Hilbert de la mécanique classique . Par conséquent, cette dérivation ainsi que la dérivation de la mécanique de Koopman – von Neumann , montre que la différence essentielle entre la mécanique quantique et classique se réduit à la valeur du commutateur [ x̂, p̂ ] .

Les implications du théorème d'Ehrenfest pour les systèmes à dynamique chaotique classique sont discutées dans l'article de Scholarpedia Ehrenfest time and chaos . En raison de l'instabilité exponentielle des trajectoires classiques, le temps d'Ehrenfest, sur lequel il existe une correspondance complète entre l'évolution quantique et l'évolution classique, est logarithmiquement court étant proportionnel à un logarithme du nombre quantique typique. Pour le cas de la dynamique intégrable, cette échelle de temps est beaucoup plus grande étant proportionnelle à une certaine puissance du nombre quantique.

Remarques

Références

• Hall, Brian C. (2013), Théorie quantique pour les mathématiciens , Textes de diplômés en mathématiques, 267 , Springer, ISBN   978-1461471158