Convergence Wijsman - Wijsman convergence

La convergence de Wijsman est une variante de la convergence de Hausdorff adaptée au travail avec des ensembles illimités . Intuitivement, la convergence de Wijsman est à la convergence dans la métrique de Hausdorff comme la convergence ponctuelle est à la convergence uniforme .

Histoire

La convergence a été définie par Robert Wijsman . La même définition a été utilisée plus tôt par Zdeněk Frolík . Encore plus tôt, Hausdorff, dans son livre Grundzüge der Mengenlehre, définissait des limites dites fermées ; pour les espaces métriques appropriés, c'est la même chose que la convergence de Wijsman.

Définition

Soit ( X ,  d ) un espace métrique et soit Cl ( X ) désignent la collecte de tous les d -fermé sous - ensembles de X . Pour un point x  ∈  X et un ensemble A  ∈ Cl ( X ), définissez

${\ displaystyle d (x, A) = \ inf _ {a \ in A} d (x, a).}$

Une suite (ou réseau ) d'ensembles A _i  ∈ Cl ( X ) est dite Wijsman convergente vers A  ∈ Cl ( X ) si, pour chaque x  ∈  X ,

${\ Displaystyle d (x, A_ {i}) \ à d (x, A).}$

La convergence de Wijsman induit une topologie sur Cl ( X ), connue sous le nom de topologie de Wijsman .

Propriétés

• La topologie de Wijsman dépend très fortement de la métrique d . Même si deux métriques sont uniformément équivalentes, elles peuvent générer des topologies Wijsman différentes.
• Théorème de Beer : si ( X ,  d ) est un espace métrique complet et séparable , alors Cl ( X ) avec la topologie de Wijsman est un espace polonais , c'est-à-dire qu'il est séparable et métrique avec une métrique complète.
• Cl ( X ) avec la topologie Wijsman est toujours un espace Tychonoff . De plus, on a le théorème de Levi-Lechicki : ( X ,  d ) est séparable si et seulement si Cl ( X ) est soit métrisé, premier dénombrable ou second dénombrable .
• Si la convergence point à point de la convergence de Wijsman est remplacée par une convergence uniforme (uniformément en x ), alors on obtient la convergence de Hausdorff, où la métrique de Hausdorff est donnée par

${\ displaystyle d _ {\ mathrm {H}} (A, B) = \ sup _ {x \ in X} {\ big |} d (x, A) -d (x, B) {\ big |}. }$

Les topologies de Hausdorff et Wijsman sur Cl ( X ) coïncident si et seulement si ( X ,  d ) est un espace totalement borné .

Voir également

• Distance de Hausdorff
• Convergence Kuratowski
• Topologie Vietoris
• Hémicontinuité

Les références

Remarques

Bibliographie

• Bière, Gerald (1993). Topologies sur ensembles convexes fermés et fermés . Les mathématiques et leurs applications 268. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group. pp. xii + 340. ISBN 0-7923-2531-1. MR 1269778
• Bière, Gerald (1994). "Convergence de Wijsman: une enquête". Anal à valeur fixe . 2 (1–2): 77–94. doi : 10.1007 / BF01027094 . MR 1285822

Liens externes

• Som Naimpally (2001) [1994], "Wijsman convergence" , Encyclopédie de mathématiques , EMS Press