Théorème de Borsuk-Ulam - Borsuk–Ulam theorem

En mathématiques , le théorème de Borsuk-Ulam stipule que chaque fonction continue d'une n- sphère dans un n- espace euclidien fait correspondre une paire de points antipodaux au même point. Ici, deux points sur une sphère sont appelés antipodes s'ils sont dans des directions exactement opposées par rapport au centre de la sphère.

Formellement : si est continue alors il existe un tel que : . ${\displaystyle f:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle x\in S^{n}}$${\style d'affichage f(-x)=f(x)}$

Le cas peut être illustré en disant qu'il existe toujours une paire de points opposés sur l' équateur terrestre avec la même température. Il en est de même pour n'importe quel cercle. Cela suppose que la température varie continuellement dans l'espace. ${\style d'affichage n=1}$

Le cas est souvent illustré en disant qu'à tout moment, il y a toujours une paire de points antipodaux à la surface de la Terre avec des températures et des pressions barométriques égales, en supposant que les deux paramètres varient continuellement dans l'espace. ${\style d'affichage n=2}$

Le théorème de Borsuk-Ulam a plusieurs déclarations équivalentes en termes de fonctions impaires . Rappelons qu'il s'agit de la n -sphère et de la n -boule : ${\displaystyle S^{n}}$${\style d'affichage B^{n}}$

• Si est une fonction impaire continue, alors il existe une telle que : .${\displaystyle g:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle x\in S^{n}}$${\style d'affichage g(x)=0}$
• Si est une fonction continue impaire sur (la frontière de ), alors il existe une telle que : .${\displaystyle g:B^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle S^{n-1}}$${\style d'affichage B^{n}}$${\displaystyle x\in B^{n}}$${\style d'affichage g(x)=0}$

Histoire

Selon Jiří Matoušek (2003 , p. 25) , la première mention historique de l'énoncé du théorème de Borsuk-Ulam apparaît dans Lyusternik & Shnirel'man (1930) . La première preuve a été donnée par Karol Borsuk  ( 1933 ), où la formulation du problème a été attribuée à Stanislaw Ulam . Depuis lors, de nombreuses preuves alternatives ont été trouvées par divers auteurs, comme rassemblées par Steinlein (1985) . erreur harvtxt : pas de cible : CITEREFJiří_Matoušek2003 ( aide )

Énoncés équivalents

Les énoncés suivants sont équivalents au théorème de Borsuk-Ulam.

Avec des fonctions impaires

Une fonction est appelée impaire (aka antipodal ou antipode-preserving ) si pour chaque : . ${\style d'affichage g}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage g(-x)=-g(x)}$

Le théorème de Borsuk-Ulam est équivalent à l'énoncé suivant : Une fonction impaire continue d'une n- sphère dans un n- espace euclidien a un zéro. PREUVE:

• Si le théorème est correct, alors il est spécifiquement correct pour les fonctions impaires, et pour une fonction impaire, ssi . Par conséquent, toute fonction continue impaire a un zéro.${\style d'affichage g(-x)=g(x)}$${\style d'affichage g(x)=0}$
• Pour toute fonction continue , la fonction suivante est continue et impaire : . Si chaque fonction continue impaire a un zéro, alors a un zéro, et donc, . Le théorème est donc correct.${\style d'affichage f}$${\style d'affichage g(x)=f(x)-f(-x)}$${\style d'affichage g}$${\style d'affichage f(x)=f(-x)}$

Avec rétractations

Définir une rétraction comme une fonction Le théorème de Borsuk-Ulam est équivalent à l'affirmation suivante : il n'y a pas de rétraction impaire continue. ${\displaystyle h:S^{n}\to S^{n-1}.}$

Preuve : Si le théorème est correct, alors chaque fonction impaire continue de doit inclure 0 dans sa plage. Cependant, il ne peut donc pas y avoir de fonction impaire continue dont la plage est . ${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle 0\notin S^{n-1}}$${\displaystyle S^{n-1}}$

Inversement, si elle est incorrecte, il existe une fonction impaire continue sans zéro. Ensuite, nous pouvons construire une autre fonction impaire en : ${\displaystyle g:S^{n}\to {\mathbb {R}}^{n}}$${\displaystyle h:S^{n}\to S^{n-1}}$

${\displaystyle h(x)={\frac {g(x)}{|g(x)|}}}$

car n'a pas de zéros, est bien défini et continu. On a donc une rétraction impaire continue. ${\style d'affichage g}$${\style d'affichage h}$

Preuves

boîtier à une dimension

Le cas à une dimension peut facilement être prouvé en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires (IVT).

Soit une fonction continue à valeur réelle impaire sur un cercle. Choisissez un fichier arbitraire . Si alors nous avons terminé. Sinon, sans perte de généralité, Mais donc, par l'IVT, il y a un point entre et auquel . ${\style d'affichage g}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage g(x)=0}$${\style d'affichage g(x)>0.}$${\style d'affichage g(-x)<0.}$${\style d'affichage y}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage -x}$${\style d'affichage g(y)=0}$

Cas général

Preuve topologique algébrique

Supposons qu'il s'agisse d' une fonction continue impaire avec (le cas est traité ci-dessus, le cas peut être traité en utilisant la théorie de la couverture de base ). En passant aux orbites sous l'action antipodale, on obtient alors une fonction continue induite entre espaces projectifs réels , ce qui induit un isomorphisme sur les groupes fondamentaux . Par le théorème de Hurewicz , l' homomorphisme d'anneau induit sur la cohomologie à coefficients [où désigne le corps à deux éléments ], ${\displaystyle h:S^{n}\to S^{n-1}}$${\style d'affichage n>2}$${\style d'affichage n=1}$${\style d'affichage n=2}$${\displaystyle h':\mathbb {RP} ^{n}\to \mathbb {RP} ^{n-1}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$

${\displaystyle \mathbb {F} _{2}[a]/a^{n+1}=H^{*}\left(\mathbb {RP} ^{n};\mathbb {F} _{2 }\right)\leftarrow H^{*}\left(\mathbb {RP} ^{n-1};\mathbb {F} _{2}\right)=\mathbb {F} _{2}[b ]/b^{n},}$

envoie à . Mais alors nous obtenons qui est envoyé à , une contradiction. ${\style d'affichage b}$${\style d'affichage a}$${\style d'affichage b^{n}=0}$${\displaystyle a^{n}\neq 0}$

On peut également montrer l'affirmation la plus forte selon laquelle toute application impaire a un degré impair , puis déduire le théorème de ce résultat. ${\displaystyle S^{n-1}\to S^{n-1}}$

Preuve combinatoire

Le théorème de Borsuk-Ulam peut être prouvé à partir du lemme de Tucker .

Soit une fonction impaire continue. Parce que g est continu sur un domaine compact , il est uniformément continu . Donc, pour tout , il y a a tel que, pour tous les deux points qui sont à l'intérieur l'un de l'autre, leurs images sous g sont à l'intérieur l'une de l'autre. ${\displaystyle g:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\style d'affichage S_{n}}$${\style d'affichage \delta }$${\style d'affichage \epsilon }$

Définir une triangulation de avec des arêtes de longueur au plus . Étiquetez chaque sommet de la triangulation avec une étiquette de la manière suivante : ${\style d'affichage S_{n}}$${\style d'affichage \delta }$${\style d'affichage v}$${\displaystyle l(v)\in {\pm 1,\pm 2,\ldots ,\pm n}}$

• La valeur absolue de l'étiquette est l' indice de la coordonnée avec la valeur absolue la plus élevée de g : .${\displaystyle |l(v)|=\arg \max _{k}(|g(v)_{k}|)}$
• Le signe de l'étiquette est le signe de g , de sorte que : .${\displaystyle l(v)=\operatorname {sgn}(g(v))|l(v)|}$

Parce que g est impair, l'étiquetage est également impair : . Par conséquent, par le lemme de Tucker, il y a deux sommets adjacents avec des étiquettes opposées. Supposons wlog que les étiquettes sont . Par la définition de l , cela signifie que dans les deux et , la coordonnée #1 est la plus grande coordonnée : dans cette coordonnée est positive alors qu'elle est négative. Par la construction de la triangulation, la distance entre et est d'au plus , donc en particulier (puisque et ont des signes opposés) et donc . Mais puisque la plus grande coordonnée de est la coordonnée #1, cela signifie que pour chaque . Alors , où est une constante en fonction de et de la norme que vous avez choisie. ${\style d'affichage l(-v)=-l(v)}$${\style d'affichage u,v}$${\style d'affichage l(u)=1,l(v)=-1}$${\style d'affichage g(u)}$${\style d'affichage g(v)}$${\style d'affichage g(u)}$${\style d'affichage g(v)}$${\style d'affichage g(u)}$${\style d'affichage g(v)}$${\style d'affichage \epsilon }$${\displaystyle |g(u)_{1}-g(v)_{1}|=|g(u)_{1}|+|g(v)_{1}|\leq \epsilon }$${\style d'affichage g(u)_{1}}$${\style d'affichage g(v)_{1}}$${\displaystyle |g(u)_{1}|\leq \epsilon }$${\style d'affichage g(u)}$${\displaystyle |g(u)_{k}|\leq \epsilon }$${\style d'affichage 1\leq k\leq n}$${\displaystyle |g(u)|\leq c_{n}\epsilon }$${\style d'affichage c_{n}}$${\style d'affichage n}$${\style d'affichage |\cdot |}$

Ce qui précède est vrai pour chaque ; puisque est compact il doit donc y avoir un point u dans lequel . ${\displaystyle \epsilon >0}$${\style d'affichage S_{n}}$${\style d'affichage |g(u)|=0}$

Corollaires

• Aucun sous-ensemble de n'est homéomorphe à${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle S^{n}}$
• Le théorème du sandwich au jambon : Pour tout ensemble compact A ₁ , ..., A _n in on peut toujours trouver un hyperplan divisant chacun d'eux en deux sous-ensembles de même mesure.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Résultats équivalents

Ci-dessus, nous avons montré comment prouver le théorème de Borsuk-Ulam à partir du lemme de Tucker. L'inverse est également vrai : il est possible de prouver le lemme de Tucker à partir du théorème de Borsuk-Ulam. Ces deux théorèmes sont donc équivalents. Il existe plusieurs théorèmes à virgule fixe qui se déclinent en trois variantes équivalentes : une variante de topologie algébrique , une variante combinatoire et une variante couvrant l'ensemble. Chaque variante peut être prouvée séparément en utilisant des arguments totalement différents, mais chaque variante peut également être réduite aux autres variantes de sa ligne. De plus, chaque résultat de la ligne du haut peut être déduit de celui en dessous dans la même colonne.

Topologie algébrique	Combinatoire	Ensemble couvrant
Théorème du point fixe de Brouwer	Lemme de Sperner	Lemme de Knaster–Kuratowski–Mazurkiewicz
Théorème de Borsuk-Ulam	Lemme de Tucker	Théorème de Lusternik-Schnirelmann

Généralisations

• Dans le théorème original, le domaine de la fonction f est l'unité n -sphère (la frontière de l'unité n -boule). En général, c'est également vrai lorsque le domaine de f est la frontière de tout sous-ensemble symétrique délimité ouvert contenant l'origine (Ici, symétrique signifie que si x est dans le sous-ensemble, alors - x est également dans le sous-ensemble).${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• Considérons la fonction A qui mappe un point à son point antipodal : Notez que Le théorème original prétend qu'il existe un point x dans lequel En général, cela est vrai aussi pour chaque fonction A pour laquelle Cependant, en général, ce n'est pas vrai pour les autres fonctions A .${\style d'affichage A(x)=-x.}$${\style d'affichage A(A(x))=x.}$${\style d'affichage f(A(x))=f(x).}$${\style d'affichage A(A(x))=x.}$

Voir également

• Combinatoire topologique
• Problème de rupture de collier
• Théorème de Kakutani (géométrie)
• Imre Barány

Remarques

Les références

• Borsuk, Karol (1933). "Drei Sätze über die n- dimensionale euklidische Sphäre" (PDF) . Fundamenta Mathematicae (en allemand). 20 : 177-190. doi : 10.4064/fm-20-1-177-190 .
• Lyusternik, Lazar ; Shnirel'man, Lev (1930). "Méthodes topologiques dans les problèmes variationnels". Issledowatelskii Institut Matematiki I Mechaniki Pri OMG U . Moscou.
• Matoušek, Jiří (2003). Utilisation du théorème de Borsuk-Ulam . Berlin : Springer Verlag. doi : 10.1007/978-3-540-76649-0 . ISBN 978-3-540-00362-5.
• Steinlein, H. (1985). "Le théorème antipodal de Borsuk et ses généralisations et applications : une enquête. Méthodes topologiques en analyse non linéaire". Sém. Math. Super. Montréal, Sém. Sci. OTAN (OTAN Adv. Study Inst.) . 95 : 166-235.
• Su, Francis Edward (novembre 1997). "Borsuk-Ulam Implique Brouwer: Une Construction Directe" (PDF) . Le mensuel mathématique américain . 104 (9) : 855-859. CiteSeerX  10.1.1.142.4935 . doi : 10.2307/2975293 . JSTOR  2975293 . Archivé de l'original (PDF) le 2008-10-13 . Récupéré le 21/04/2006 .

Liens externes

• Qui (d'autre) se soucie de la topologie ? Colliers volés et Borsuk-Ulam sur YouTube