Cohomologie - Cohomology

En mathématiques , en particulier en théorie de l'homologie et en topologie algébrique , la cohomologie est un terme général désignant une séquence de groupes abéliens associés à un espace topologique , souvent défini à partir d'un complexe de cochaîne . La cohomologie peut être considérée comme une méthode d'attribution d'invariants algébriques plus riches à un espace que l'homologie. Certaines versions de la cohomologie résultent de la dualisation de la construction de l'homologie. En d'autres termes, les cochaînes sont des fonctions sur le groupe de chaînes dans la théorie de l'homologie.

Dès ses débuts en topologie , cette idée est devenue une méthode dominante dans les mathématiques de la seconde moitié du XXe siècle. Depuis l'idée initiale de l'homologie comme méthode de construction d'invariants algébriques d'espaces topologiques, la gamme d'applications des théories de l'homologie et de la cohomologie s'est étendue à travers la géométrie et l' algèbre . La terminologie tend à masquer le fait que la cohomologie, une théorie contravariante , est plus naturelle que l'homologie dans de nombreuses applications. A un niveau basique, cela concerne les fonctions et les pullbacks dans des situations géométriques : étant donné les espaces X et Y , et une sorte de fonction F sur Y , pour toute application f  : X → Y , la composition avec f donne lieu à une fonction F ∘ f sur X . Les théories de cohomologie les plus importantes ont un produit, le cup product , qui leur donne une structure en anneau . En raison de cette caractéristique, la cohomologie est généralement un invariant plus fort que l'homologie.

Cohomologie singulière

La cohomologie singulière est un invariant puissant en topologie, associant un anneau gradué-commutatif à n'importe quel espace topologique. Toute application continue f : X → Y détermine un homomorphisme de l'anneau de cohomologie de Y à celui de X ; cela impose de fortes restrictions sur les applications possibles de X à Y . Contrairement à des invariants plus subtils tels que les groupes d'homotopie , l'anneau de cohomologie a tendance à être calculable en pratique pour les espaces d'intérêt.

Pour un espace topologique X , la définition de la cohomologie singulière commence par le complexe de chaînes singulières :

${\displaystyle \cdots \to C_{i+1}{\stackrel {\partial _{i+1}}{\to }}C_{i}{\stackrel {\partial _{i}}{\to } }\ C_{i-1}\à \cdots }$

Par définition, l' homologie singulière de X est l'homologie de cette chaîne complexe (le noyau d'un homomorphisme modulo l'image du précédent). Plus en détail, C _i est le groupe abélien libre sur l'ensemble des applications continues du i -simplex standard à X (appelé " i -simplices singuliers dans X "), et ∂ _i est le i ^ème homomorphisme de bord. Les groupes C _i sont nuls pour i négatif.

Fixons maintenant un groupe abélien A , et remplacez chaque groupe C _i par son groupe dual et par son homomorphisme dual${\displaystyle C_{i}^{*} :=\mathrm {Hom} (C_{i},A),}$${\displaystyle \partial _{i}}$

${\displaystyle d_{i-1}:C_{i-1}^{*}\to C_{i}^{*}.}$

Cela a pour effet « d'inverser toutes les flèches » du complexe d'origine, laissant un complexe de cochaîne

${\displaystyle \cdots \leftarrow C_{i+1}^{*}{\stackrel {d_{i}}{\leftarrow }}\ C_{i}^{*}{\stackrel {d_{i-1} }{\leftarrow }}C_{i-1}^{*}\leftarrow \cdots }$

Pour un entier i , le i ^ème groupe de cohomologie de X à coefficients dans A est défini comme ker( d _i )/im( d _{i −1} ) et noté H ⁱ ( X , A ). Le groupe H ⁱ ( X , A ) est nul pour i négatif. Les éléments de sont appelés i- cochaînes singulières à coefficients dans A . (De manière équivalente, une i -cochaine sur X peut être identifiée avec une fonction de l'ensemble des i -simplices singuliers de X à A .) Les éléments de ker( d ) et im( d ) sont appelés respectivement cocycles et colimites , tandis que les éléments de ker( d )/im( d ) = H ⁱ ( X , A ) sont appelées classes de cohomologie (car ce sont des classes d'équivalence de cocycles). ${\displaystyle C_{i}^{*}}$

Dans ce qui suit, le groupe de coefficients A n'est parfois pas écrit. Il est courant de considérer A comme un anneau commutatif R ; alors les groupes de cohomologie sont des R - modules . Un choix standard est l'anneau Z d' entiers .

Certaines des propriétés formelles de la cohomologie ne sont que des variantes mineures des propriétés de l'homologie :

• Une application continue détermine un homomorphisme pushforward sur l'homologie et un homomorphisme pullback sur la cohomologie. Cela fait de la cohomologie un foncteur contravariant des espaces topologiques aux groupes abéliens (ou R -modules).${\style d'affichage f:X\à Y}$${\displaystyle f_{*}:H_{i}(X)\to H_{i}(Y)}$${\displaystyle f^{*}:H^{i}(Y)\to H^{i}(X)}$

• Deux applications homotopes de X à Y induisent le même homomorphisme sur la cohomologie (tout comme sur l'homologie).

• La séquence Mayer-Vietoris est un outil de calcul important en cohomologie, comme en homologie. Notez que l'homomorphisme de frontière augmente (plutôt que diminue) le degré de cohomologie. Autrement dit, si un espace X est l'union des sous-ensembles ouverts U et V , alors il existe une longue suite exacte :

${\displaystyle \cdots \to H^{i}(X)\to H^{i}(U)\oplus H^{i}(V)\to H^{i}(U\cap V)\to H^{i+1}(X)\à \cdots }$

• Il existe des groupes de cohomologie relative pour tout sous-espace Y d'un espace X . Ils sont liés aux groupes de cohomologie usuels par une longue séquence exacte :${\style d'affichage H^{i}(X,Y;A)}$

${\displaystyle \cdots \à H^{i}(X,Y)\à H^{i}(X)\à H^{i}(Y)\à H^{i+1}(X,Y )\à \cdots }$

• Le théorème du coefficient universel décrit la cohomologie en termes d'homologie, en utilisant les groupes Ext . A savoir, il existe une courte séquence exacte

${\displaystyle 0\to \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(\operatorname {H} _{i-1}(X,\mathbb {Z} ),A)\to H ^{i}(X,A)\à \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(H_{i}(X,\mathbb {Z} ),A)\à 0.}$

Une déclaration connexe est que pour un champ F , est précisément l' espace dual de l' espace vectoriel .${\style d'affichage H^{i}(X,F)}$ ${\style d'affichage H_{i}(X,F)}$

• Si X est une variété topologique ou un complexe CW , alors les groupes de cohomologie sont nuls pour i supérieur à la dimension de X . Si X est une variété compacte (éventuellement avec bord), ou un complexe CW avec un nombre fini de cellules dans chaque dimension, et R est un anneau noethérien commutatif , alors le R -module H ⁱ ( X , R ) est de type fini pour chaque i .${\style d'affichage H^{i}(X,A)}$

D'autre part, la cohomologie a une structure cruciale que l'homologie n'a pas : pour tout espace topologique X et anneau commutatif R , il existe une application bilinéaire , appelée le produit de coupe :

${\displaystyle H^{i}(X,R)\times H^{j}(X,R)\to H^{i+j}(X,R),}$

défini par une formule explicite sur les cochaînes singulières. Le produit des classes de cohomologie u et v s'écrit u ∪ v ou simplement uv . Ce produit fait la somme directe

${\displaystyle H^{*}(X,R)=\bigoplus _{i}H^{i}(X,R)}$

en un anneau gradué , appelé anneau de cohomologie de X . Il est gradué-commutatif en ce sens que :

${\displaystyle uv=(-1)^{ij}vu,\qquad u\in H^{i}(X,R),v\in H^{j}(X,R).}$

Pour toute application continue, le pullback est un homomorphisme de R - algèbres graduées . Il s'ensuit que si deux espaces sont homotopiques équivalents , alors leurs anneaux de cohomologie sont isomorphes. ${\displaystyle f\colon X\à Y,}$ ${\displaystyle f^{*}\colon H^{*}(Y,R)\to H^{*}(X,R)}$

Voici quelques-unes des interprétations géométriques du produit de la tasse. Dans ce qui suit, les variétés sont comprises comme étant sans frontière, sauf indication contraire. Une variété fermée signifie une variété compacte (sans frontière), alors qu'une sous-variété fermée N d'une variété M signifie une sous-variété qui est un sous-ensemble fermé de M , pas nécessairement compact (bien que N soit automatiquement compact si M l' est).

• Soit X une variété orientée fermée de dimension n . Alors la dualité de Poincaré donne un isomorphisme H ⁱ X ≅ H _{n − i} X . En conséquence, une sous-variété orientée fermée S de codimension i dans X détermine une classe de cohomologie dans H ⁱ X , appelée [ S ]. En ces termes, le produit de coupe décrit l'intersection de sous-variétés. À savoir, si S et T sont des sous-variétés de codimension i et j qui se coupent transversalement , alors

${\displaystyle [S][T]=[S\cap T]\in H^{i+j}(X),}$

où l'intersection S ∩ T est une sous - variété de codimension i + j , avec une orientation déterminée par les orientations de S , T et X . Dans le cas des variétés lisses , si S et T ne se coupent pas transversalement, cette formule peut toujours être utilisée pour calculer le produit de coupe [ S ][ T ], en perturbant S ou T pour rendre l'intersection transversale.

Plus généralement, sans supposer que X a une orientation, une sous-variété fermée de X avec une orientation sur son fibré normal détermine une classe de cohomologie sur X . Si X est une variété non compacte, alors une sous-variété fermée (pas nécessairement compacte) détermine une classe de cohomologie sur X . Dans les deux cas, le produit de coupe peut à nouveau être décrit en termes d'intersections de sous-variétés.

Notez que Thom a construit une classe de cohomologie intégrale de degré 7 sur une variété 14 lisse qui n'est la classe d'aucune sous-variété lisse. D'autre part, il a montré que toute classe de cohomologie intégrale de degré positif sur une variété lisse a un multiple positif qui est la classe d'une sous-variété lisse. De plus, chaque classe de cohomologie intégrale sur une variété peut être représentée par une "pseudovariété", c'est-à-dire un complexe simplicial qui est une variété en dehors d'un sous-ensemble fermé de codimension au moins 2.

• Pour une variété lisse X , le théorème de de Rham dit que la cohomologie singulière de X à coefficients réels est isomorphe à la cohomologie de Rham de X , définie en utilisant des formes différentielles . Le produit de coupe correspond au produit de formes différentielles. Cette interprétation a l'avantage que le produit sur les formes différentielles est gradué-commutatif, alors que le produit sur les cochaînes singulières n'est gradué-commutatif qu'à homotopie de la chaîne . En effet, il est impossible de modifier la définition des cochaînes singulières à coefficients dans les entiers ou dans pour un nombre premier p pour rendre le produit gradué-commutatif sur le nez. L'échec de la commutativité graduée au niveau de la cochaîne conduit aux opérations de Steenrod sur la cohomologie mod p .${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$

De manière très informelle, pour tout espace topologique X , les éléments de peuvent être considérés comme représentés par des sous-espaces de codimension- i de X qui peuvent se déplacer librement sur X . Par exemple, une façon de définir un élément de est de donner une application continue f de X à une variété M et une sous-variété fermée de codimension- i N de M avec une orientation sur le fibré normal. De manière informelle, on pense que la classe résultante se trouve sur le sous-espace de X ; ceci est justifié en ce que la classe se restreint à zéro dans la cohomologie de l'ouvert La classe de cohomologie peut se déplacer librement sur X dans le sens où N pourrait être remplacé par toute déformation continue de N à l' intérieur de M . ${\style d'affichage H^{i}(X)}$${\style d'affichage H^{i}(X)}$${\displaystyle f^{*}([N])\in H^{i}(X)}$${\style d'affichage f^{-1}(N)}$${\style d'affichage f^{*}([N])}$${\displaystyle Xf^{-1}(N).}$${\style d'affichage f^{*}([N])}$

Exemples

Dans ce qui suit, la cohomologie est prise avec des coefficients dans les entiers Z , sauf mention contraire.

• L'anneau de cohomologie d'un point est l'anneau Z de degré 0. Par invariance d'homotopie, c'est aussi l'anneau de cohomologie de tout espace contractile , tel que l'espace euclidien R ⁿ .
• 

  Le premier groupe de cohomologie du tore à 2 dimensions a une base donnée par les classes des deux cercles représentés.
  Pour un entier positif n , l'anneau de cohomologie de la sphère est Z [ x ]/( x ² ) (l' anneau quotient d'un anneau polynomial par l' idéal donné ), avec x en degré n . En termes de dualité de Poincaré comme ci-dessus, x est la classe d'un point sur la sphère.${\displaystyle S^{n}}$
• L'anneau de cohomologie du tore est l' algèbre extérieure sur Z sur n générateurs de degré 1. Soit par exemple P un point du cercle , et Q le point ( P , P ) du tore à 2 dimensions . Alors la cohomologie de ( S ¹ ) ² a comme base un Z -module libre de la forme : l'élément 1 en degré 0, x  := [ P × S ¹ ] et y  := [ S ¹ × P ] en degré 1, et xy = [ Q ] en degré 2. (Implicitement, les orientations du tore et des deux cercles ont été fixées ici.) Notons que yx = − xy = −[ Q ], par commutativité graduée.${\style d'affichage (S^{1})^{n}}$${\style d'affichage S^{1}}$${\style d'affichage (S^{1})^{2}}$
• Plus généralement, soit R un anneau commutatif, et X et Y des espaces topologiques quelconques tels que H ^* ( X , R ) soit un R -module libre de type fini à chaque degré. (Aucune hypothèse n'est nécessaire sur Y .) Alors la formule de Künneth donne que l'anneau de cohomologie de l' espace produit X × Y est un produit tensoriel de R -algèbres :

${\displaystyle H^{*}(X\fois Y,R)\cong H^{*}(X,R)\otimes _{R}H^{*}(Y,R).}$

• L'anneau de cohomologie de l'espace projectif réel RP ⁿ à coefficients Z /2 est Z /2[ x ]/( x ^{n +1} ), avec x de degré 1. Ici x est la classe d'un hyperplan RP ^{n −1} dans RP ⁿ ; cela a du sens même si RP ^j n'est pas orientable pour j pair et positif, car la dualité de Poincaré à coefficients Z /2 fonctionne pour des variétés arbitraires.

Avec des coefficients entiers, la réponse est un peu plus compliquée. La Z -cohomologie de RP ^{2 a} a un élément y de degré 2 tel que toute la cohomologie est la somme directe d'une copie de Z étendue par l'élément 1 au degré 0 avec des copies de Z /2 étendues par les éléments y ⁱ pour i =1,..., a . La cohomologie Z de RP ^{2 a +1} est la même avec une copie supplémentaire de Z de degré 2 a +1.

• L'anneau de cohomologie de l'espace projectif complexe CP ⁿ est Z [ x ]/( x ^{n +1} ), avec x de degré 2. Ici x est la classe d'un hyperplan CP ^{n −1} dans CP ⁿ . Plus généralement, x ^j est la classe d'un sous-espace linéaire CP ^{n − j} dans CP ⁿ .
• L'anneau de cohomologie de la surface fermée orientée X de genre g ≥ 0 a pour base un Z -module libre de la forme : l'élément 1 de degré 0, A ₁ ,..., A _g et B ₁ ,... , B _g de degré 1, et la classe P d'un point de degré 2. Le produit est donné par : A _i A _j = B _i B _j = 0 pour tout i et j , A _i B _j = 0 si i ≠ j , et A _i B _i = P pour tout i . Par commutativité graduée, il s'ensuit que B _i A _i = − P .
• Sur tout espace topologique, la commutativité graduée de l'anneau de cohomologie implique que 2 x ² = 0 pour toutes les classes de cohomologie de degré impair x . Il s'ensuit que pour un anneau R contenant 1/2, tous les éléments de degré impair de H ^* ( X , R ) ont un carré zéro. D'autre part, les éléments de degré impair n'ont pas besoin d'avoir un carré zéro si R est Z /2 ou Z , comme on le voit dans l'exemple de RP ² (avec des coefficients Z /2) ou RP ⁴ × RP ² (avec des coefficients Z ) .

La diagonale

Le produit de coupe sur la cohomologie peut être vu comme provenant de l'application diagonale Δ : X → X × X , x ↦ ( x , x ). A savoir, pour toutes les parties X et Y avec des classes de cohomologie u ∈ H ⁱ ( X , R ) et v ∈ H ^j ( Y , R ), il y a un produit externe (ou produit croisé ) classe de cohomologie u × v ∈ H ^{i + j} ( X × Y , R ). Le produit de tasse de classes u ∈ H ⁱ ( X , R ) et v ∈ H ^j ( X , R ) peut être défini comme le retrait du produit externe par la diagonale:

${\displaystyle uv=\Delta ^{*}(u\times v)\in H^{i+j}(X,R).}$

Alternativement, le produit externe peut être défini en termes de produit de tasse. Pour les espaces X et Y , écrivez f : X × Y → X et g : X × Y → Y pour les deux projections. Ensuite , le produit externe des classes u ∈ H ⁱ ( X , R ) et v ∈ H ^j ( Y , R ) est la suivante :

${\displaystyle u\times v=(f^{*}(u))(g^{*}(v))\in H^{i+j}(X\times Y,R).}$

Dualité de Poincaré

Une autre interprétation de la dualité de Poincaré est que l'anneau de cohomologie d'une variété orientée fermée est auto-duale dans un sens fort. A savoir, soit X une variété orientée fermée connexe de dimension n , et soit F un corps. Alors H ⁿ ( X , F ) est isomorphe à F , et le produit

${\displaystyle H^{i}(X,F)\times H^{ni}(X,F)\to H^{n}(X,F)\cong F}$

est un appariement parfait pour chaque entier i . En particulier, les espaces vectoriels H ⁱ ( X , F ) et H ^{n − i} ( X , F ) ont la même dimension (finie). De même, le produit sur la cohomologie intégrale modulo torsion à valeurs dans H ⁿ ( X , Z ) Z est un appariement parfait sur Z .

Classes caractéristiques

Un fibré vectoriel réel orienté E de rang r sur un espace topologique X détermine une classe de cohomologie sur X , la classe d'Euler χ( E ) ∈ H ^r ( X , Z ). De manière informelle, la classe d'Euler est la classe de l'ensemble zéro d'une section générale de E . Cette interprétation peut être rendue plus explicite lorsque E est un fibré vectoriel lisse sur une variété lisse X , puisqu'alors une section lisse générale de X s'annule sur une sous-variété codimension- r de X .

Il existe plusieurs autres types de classes caractéristiques de faisceaux de vecteurs qui prennent des valeurs dans cohomology, y compris les classes de Chern , les classes Stiefel-Whitney , et les classes Pontryagin .

Espaces Eilenberg–MacLane

Pour chaque groupe abélien A et entier naturel j , il existe un espace dont le j -ième groupe d'homotopie est isomorphe à A et dont les autres groupes d'homotopie sont nuls. Un tel espace est appelé un espace Eilenberg-MacLane . Cet espace a la propriété remarquable d'être un espace de classification pour la cohomologie : il existe un élément naturel u de , et chaque classe de cohomologie de degré j sur chaque espace X est le retrait de u par une application continue . Plus précisément, retirer la classe u donne une bijection ${\style d'affichage K(A,j)}$${\style d'affichage H^{j}(K(A,j),A)}$${\style d'affichage X\à K(A,j)}$

${\displaystyle [X,K(A,j)]{\stackrel {\cong }{\to }}H^{j}(X,A)}$

pour tout espace X avec le type d'homotopie d'un complexe CW. Dénote ici l'ensemble des classes d'homotopie des applications continues de X à Y . ${\style d'affichage [X,Y]}$

Par exemple, l'espace (défini jusqu'à l'équivalence d'homotopie) peut être considéré comme le cercle . Ainsi, la description ci-dessus indique que chaque élément de est retiré de la classe u d'un point sur par une carte . ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,1)}$${\style d'affichage S^{1}}$${\displaystyle H^{1}(X,\mathbb {Z} )}$${\style d'affichage S^{1}}$${\displaystyle X\to S^{1}}$

Il existe une description connexe de la première cohomologie avec des coefficients dans tout groupe abélien A , disons pour un complexe CW X . À savoir, est en correspondance biunivoque avec l'ensemble des classes d'isomorphismes de Galois couvrant les espaces de X de groupe A , aussi appelés A- fibrés principaux sur X . Pour X connexe, il s'ensuit que est isomorphe à , où est le groupe fondamental de X . Par exemple, classe les espaces à double recouvrement de X , avec l'élément correspondant au double recouvrement trivial, l'union disjointe de deux exemplaires de X . ${\style d'affichage H^{1}(X,A)}$${\style d'affichage H^{1}(X,A)}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (\pi _{1}(X),A)}$${\style d'affichage \pi _{1}(X)}$${\displaystyle H^{1}(X,\mathbb {Z} /2)}$${\displaystyle 0\in H^{1}(X,\mathbb {Z} /2)}$

Produit bouchon

Pour tout espace topologique X , le produit cap est une carte bilinéaire

${\displaystyle \cap :H^{i}(X,R)\times H_{j}(X,R)\to H_{ji}(X,R)}$

pour tout nombre entier i et j et tout anneau commutatif R . La carte résultante

${\displaystyle H^{*}(X,R)\fois H_{*}(X,R)\to H_{*}(X,R)}$

fait de l'homologie singulière de X un module sur l'anneau de cohomologie singulier de X .

Pour i = j , le produit cap donne l'homomorphisme naturel

${\displaystyle H^{i}(X,R)\à \operatorname {Hom} _{R}(H_{i}(X,R),R),}$

qui est un isomorphisme pour R un corps.

Par exemple, soit X une variété orientée, pas nécessairement compacte. Alors une sous-variété de codimension- i orientée fermée Y de X (pas nécessairement compacte) détermine un élément de H ⁱ ( X , R ), et une sous-variété de dimension j orientée compacte Z de X détermine un élément de H _j ( X , R ) . Le produit cap [ Y ] ∩ [ Z ] ∈ H _{j − i} ( X , R ) peut être calculé en perturbant Y et Z pour les faire se croiser transversalement puis en prenant la classe de leur intersection, qui est une sous-variété compacte orientée de dimension j - je .

Une variété orientée fermée X de dimension n a une classe fondamentale [ X ] dans H _n ( X , R ). L'isomorphisme de dualité de Poincaré

${\displaystyle H^{i}(X,R){\stackrel {\cong }{\to }}H_{ni}(X,R)}$

est défini par le produit cap avec la classe fondamentale de X .

Histoire, à la naissance de la cohomologie singulière

Bien que la cohomologie soit fondamentale pour la topologie algébrique moderne, son importance n'a pas été vue pendant environ 40 ans après le développement de l'homologie. Le concept de structure à double cellule , qu'Henri Poincaré a utilisé dans sa démonstration de son théorème de dualité de Poincaré, contenait le germe de l'idée de cohomologie, mais cela n'a été vu que plus tard.

Il y a eu divers précurseurs de la cohomologie. Au milieu des années 1920, JW Alexander et Solomon Lefschetz ont fondé la théorie de l' intersection des cycles sur les variétés. Sur une variété fermée de dimension n orientée M , un i -cycle et un j -cycle avec intersection non vide auront, s'ils sont en position générale , intersection un ( i  +  j  −  n )-cycle. Cela conduit à une multiplication des classes d'homologie

${\style d'affichage H_{i}(M)\fois H_{j}(M)\à H_{i+jn}(M),}$

qui rétrospectivement peut être identifié avec le produit de coupe sur la cohomologie de M .

Alexander avait défini dès 1930 une première notion de cochaîne, en pensant à une i- cochaîne sur un espace X en fonction des petits voisinages de la diagonale en X ^{i +1} .

En 1931, Georges de Rham reliait l' homologie et les formes différentielles, prouvant le théorème de de Rham. Ce résultat peut être exprimé plus simplement en termes de cohomologie.

En 1934, Lev Pontryagin a prouvé le théorème de dualité de Pontryagin ; un résultat sur les groupes topologiques . Ceci (dans des cas assez particuliers) a fourni une interprétation de la dualité de Poincaré et de la dualité d'Alexandre en termes de caractères de groupe .

Lors d'une conférence à Moscou en 1935 , Andrey Kolmogorov et Alexander ont tous deux présenté la cohomologie et essayé de construire une structure de produit de cohomologie.

En 1936, Norman Steenrod a construit la cohomologie de ech en dualisant l'homologie de ech.

De 1936 à 1938, Hassler Whitney et Eduard Čech ont développé le produit de tasse (faisant la cohomologie en un anneau gradué) et le produit de bouchon, et ont réalisé que la dualité de Poincaré peut être énoncée en termes de produit de bouchon. Leur théorie était encore limitée aux complexes de cellules finies.

En 1944, Samuel Eilenberg surmonte les limitations techniques et donne la définition moderne de l'homologie singulière et de la cohomologie.

En 1945, Eilenberg et Steenrod ont énoncé les axiomes définissant une théorie d'homologie ou de cohomologie, discutés ci-dessous. Dans leur livre de 1952, Foundations of Algebraic Topology , ils ont prouvé que les théories existantes de l'homologie et de la cohomologie satisfaisaient effectivement leurs axiomes.

En 1946, Jean Leray définit la cohomologie des faisceaux.

En 1948, Edwin Spanier , s'appuyant sur les travaux d'Alexandre et de Kolmogorov, développa la cohomologie Alexandre-Spanier .

Cohomologie du faisceau

La cohomologie de faisceau est une riche généralisation de la cohomologie singulière, permettant des « coefficients » plus généraux qu'un simple groupe abélien. Pour tout faisceau de groupes abéliens E sur un espace topologique X , on a des groupes de cohomologie H ⁱ ( X , E ) pour les entiers i . En particulier, dans le cas du faisceau constant sur X associé à un groupe abélien A , les groupes résultants H ⁱ ( X , A ) coïncident avec une cohomologie singulière pour X une variété ou un complexe CW (mais pas pour les espaces arbitraires X ). À partir des années 1950, la cohomologie des faisceaux est devenue un élément central de la géométrie algébrique et de l' analyse complexe , en partie à cause de l'importance du faisceau de fonctions régulières ou du faisceau de fonctions holomorphes .

Grothendieck a élégamment défini et caractérisé la cohomologie des faisceaux dans le langage de l'algèbre homologique . L'essentiel est de fixer l'espace X et de penser la cohomologie des faisceaux comme un foncteur de la catégorie abélienne des faisceaux sur X aux groupes abéliens. Commençons par le foncteur prenant un faisceau E sur X à son groupe abélien de sections globales sur X , E ( X ). Ce foncteur est exact à gauche , mais pas nécessairement exact à droite. Grothendieck défini groupes gerbe de cohomologie être la bonne foncteurs dérivés du foncteur exact à gauche E ↦ E ( X ).

Cette définition suggère diverses généralisations. Par exemple, on peut définir la cohomologie d'un espace topologique X avec des coefficients dans n'importe quel complexe de faisceaux, appelé auparavant hypercohomologie (mais généralement maintenant juste "cohomologie"). De ce point de vue, la cohomologie des faisceaux devient une séquence de foncteurs de la catégorie dérivée des faisceaux sur X aux groupes abéliens.

Au sens large du terme, « cohomologie » est souvent utilisé pour les foncteurs dérivés à droite d'un foncteur exact gauche sur une catégorie abélienne, tandis que « homologie » est utilisé pour les foncteurs dérivés gauche d'un foncteur exact droit. Par exemple, pour un anneau R , le groupe Tor Tor _i ^R ( M , N ) forment une « théorie d'homologie » dans chaque variable, la gauche foncteurs dérivés du produit tensoriel M ⊗ _R N de R - modules. De même, les groupes Ext Ext ⁱ _R ( M , N ) peuvent être considérés comme une "théorie de cohomologie" dans chaque variable, les foncteurs dérivés à droite du foncteur Hom Hom _R ( M , N ).

La cohomologie du faisceau peut être identifiée à un type de groupe Ext. A savoir, pour un faisceau E sur un espace topologique X , H ⁱ ( X , E ) est isomorphe à Ext ⁱ ( Z _X , E ), où Z _X désigne le faisceau constant associé aux entiers Z , et Ext est pris dans le catégorie abélienne de gerbes sur X .

Cohomologie des variétés

Il existe de nombreuses machines construites pour calculer la cohomologie des variétés algébriques. Le cas le plus simple étant la détermination de la cohomologie pour des variétés projectives lisses sur un corps de caractère . Des outils de la théorie de Hodge, appelés structures de Hodge, aident à donner des calculs de cohomologie de ces types de variétés (avec l'ajout d'informations plus raffinées). Dans le cas le plus simple, la cohomologie d'une hypersurface lisse dans peut être déterminée à partir du degré du polynôme seul. ${\style d'affichage 0}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

Lorsque l'on considère des variétés sur un corps fini, ou un corps de caractéristique , des outils plus puissants sont nécessaires car les définitions classiques de l'homologie/cohomologie s'effondrent. C'est parce que les variétés sur des corps finis ne seront qu'un ensemble fini de points. Grothendieck a eu l'idée d'une topologie de Grothendieck et a utilisé la cohomologie des faisceaux sur la topologie etale pour définir la théorie de la cohomologie des variétés sur un corps fini. En utilisant la topologie étale pour une variété sur un corps de caractéristique, on peut construire une cohomologie -adique pour . Ceci est défini comme ${\style d'affichage p}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage \ell }$${\displaystyle \ell \neq p}$

${\displaystyle H^{k}(X;\mathbb {Q} _{\ell }):=\varprojlim H_{et}^{k}(X;\mathbb {Z} /(\ell ^{n} ))\otimes _{\mathbb {Z} _{\ell }}\mathbb {Q} _{\ell }}$

Si on a un schéma de type fini

${\displaystyle X={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {Z} \left[x_{0},\ldots ,x_{n}\right]}{\left(f_{1 },\ldots ,f_{k}\right)}}\right)}$

alors il y a égalité de dimensions pour la cohomologie de Betti et la cohomologie -adique de chaque fois que la variété est lisse sur les deux corps. En plus de ces théories de cohomologie, il existe d'autres théories de cohomologie appelées théories de cohomologie de Weil qui se comportent de manière similaire à la cohomologie singulière. Il existe une théorie conjecturée des motifs qui sous-tend toutes les théories de la cohomologie de Weil. ${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$${\style d'affichage \ell }$${\displaystyle X(\mathbb {F} _{q})}$

Un autre outil de calcul utile est la séquence d'explosion. Étant donné un sous-schéma de codimension, il existe un carré cartésien ${\style d'affichage \geq 2}$${\displaystyle Z\sous-ensemble X}$

${\displaystyle {\begin{matrix}E&\longrightarrow &Bl_{Z}(X)\\\downarrow &&\downarrow \\Z&\longrightarrow &X\end{matrix}}}$

À partir de là, il y a une longue séquence exacte associée

${\displaystyle \cdots \to H^{n}(X)\to H^{n}(Z)\oplus H^{n}(Bl_{Z}(X))\to H^{n}(E )\à H^{n+1}(X)\à \cdots }$

Si la sous - variété est lisse, alors les morphismes de connexion sont tous triviaux, d'où ${\style d'affichage Z}$

${\displaystyle H^{n}(Bl_{Z}(X))\oplus H^{n}(Z)\cong H^{n}(X)\oplus H^{n}(E)}$

Axiomes et théories généralisées de la cohomologie

Il existe différentes façons de définir cohomology pour espaces topologiques (comme cohomology singulier, Čech cohomology , cohomology Alexander-Spanier ou cohomologie des faisceaux ). (Ici, la cohomologie de faisceau est considérée uniquement avec des coefficients dans un faisceau constant.) Ces théories donnent des réponses différentes pour certains espaces, mais il existe une grande classe d'espaces sur lesquels ils sont tous d'accord. Ceci est le plus facilement compris axiomatiquement: il existe une liste de propriétés connues sous le nom d' axiomes d'Eilenberg-Steenrod , et deux constructions partageant ces propriétés conviendront au moins sur tous les complexes CW. Il existe des versions des axiomes pour une théorie d'homologie ainsi que pour une théorie de cohomologie. Certaines théories peuvent être considérées comme des outils pour calculer la cohomologie singulière pour des espaces topologiques spéciaux, comme la cohomologie simpliciale pour les complexes simpliciaux , la cohomologie cellulaire pour les complexes CW et la cohomologie de Rham pour les variétés lisses.

L'un des axiomes d'Eilenberg-Steenrod pour une théorie de la cohomologie est l' axiome de dimension : si P est un seul point, alors H ⁱ ( P ) = 0 pour tout i 0. Vers 1960, George W. Whitehead a observé qu'il est fructueux de omettre complètement l'axiome de dimension : cela donne la notion de théorie d'homologie généralisée ou de théorie de cohomologie généralisée, définie ci-dessous. Il existe des théories de cohomologie généralisées telles que la K-théorie ou le cobordisme complexe qui donnent des informations riches sur un espace topologique, non directement accessibles à partir de la cohomologie singulière. (Dans ce contexte, la cohomologie singulière est souvent appelée « cohomologie ordinaire ».)

Par définition, une théorie d'homologie généralisée est une séquence de foncteurs h _i (pour les entiers i ) de la catégorie des paires CW ( X ,  A ) (donc X est un complexe CW et A est un sous-complexe) à la catégorie des groupes abéliens , avec une transformation naturelle ∂ _i : h _i ( X , A ) → h _{i −1} ( A ) appelée homomorphisme de bord (ici h _{i −1} ( A ) est un raccourci pour h _{i −1} ( A ,∅) ). Les axiomes sont :

1. Homotopie : Si est homotope à , alors les homomorphismes induits sur l'homologie sont les mêmes.${\style d'affichage f:(X,A)\à (Y,B)}$${\style d'affichage g:(X,A)\à (Y,B)}$
2. Exactitude : Chaque couple ( X , A ) induit une longue suite exacte en homologie, via les inclusions f : A → X et g : ( X ,∅) → ( X , A ) :
   ${\displaystyle {}\quad \cdots \to h_{i}(A){\overset {f_{*}}{\to }}h_{i}(X){\overset {g_{*}}{\ à }}h_{i}(X,A){\overset {\partial }{\à }}h_{i-1}(A)\à \cdots .}$
3. Excision : Si X est l'union de Subcomplexes A et B , l'inclusion f : ( A , A ∩ B ) → ( X , B ) induit un isomorphisme
   ${\displaystyle {}\quad h_{i}(A,A\cap B){\overset {f_{*}}{\to }}h_{i}(X,B)}$
   pour chaque i .
4. Additivité : Si ( X , A ) est l'union disjointe d'un ensemble de couples ( X _α , A _α ), alors les inclusions ( X _α , A _α ) → ( X , A ) induisent un isomorphisme à partir de la somme directe :
   ${\displaystyle {}\quad \bigoplus _{\alpha }h_{i}(X_{\alpha },A_{\alpha })\to h_{i}(X,A)}$
   pour chaque i .

Les axiomes pour une théorie de cohomologie généralisée sont obtenus en inversant les flèches, grosso modo. Plus en détail, une théorie de cohomologie généralisée est une séquence de foncteurs contravariants h ⁱ (pour les entiers i ) de la catégorie des paires CW à la catégorie des groupes abéliens, avec une transformation naturelle d : h ⁱ ( A ) → h ^{i +1} ( X , A ) appelé homomorphisme de bord (écrit h ⁱ ( A ) pour h ⁱ ( A ,∅)). Les axiomes sont :

1. Homotopie : Les cartes homotopiques induisent le même homomorphisme sur la cohomologie.
2. Exactitude : Chaque couple ( X , A ) induit une longue suite exacte en cohomologie, via les inclusions f : A → X et g : ( X ,∅) → ( X , A ) :
   ${\displaystyle {}\quad \cdots \to h^{i}(X,A){\overset {g_{*}}{\to }}h^{i}(X){\overset {f_{* }}{\à }}h^{i}(A){\overset {d}{\à }}h^{i+1}(X,A)\à \cdots .}$
3. Excision : Si X est l'union de Subcomplexes A et B , l'inclusion f : ( A , A ∩ B ) → ( X , B ) induit un isomorphisme
   ${\displaystyle {}\quad h^{i}(X,B){\overset {f_{*}}{\to }}h^{i}(A,A\cap B)}$
   pour chaque i .
4. Additivité : Si ( X , A ) est l'union disjointe d'un ensemble de paires ( X _α , A _α ), alors les inclusions ( X _α , A _α ) → ( X , A ) induisent un isomorphisme au groupe produit :
   ${\displaystyle {}\quad h^{i}(X,A)\to \prod _{\alpha }h^{i}(X_{\alpha },A_{\alpha })}$
   pour chaque i .

Un spectre détermine à la fois une théorie d'homologie généralisée et une théorie de cohomologie généralisée. Un résultat fondamental de Brown, Whitehead et Adams dit que toute théorie d'homologie généralisée vient d'un spectre, et de même toute théorie de cohomologie généralisée vient d'un spectre. Ceci généralise la représentabilité de la cohomologie ordinaire par les espaces d'Eilenberg-MacLane.

Un point subtil est que le foncteur de la catégorie d'homotopie stable (la catégorie d'homotopie des spectres) aux théories d'homologie généralisées sur les paires CW n'est pas une équivalence, bien qu'il donne une bijection sur les classes d'isomorphisme ; il existe des cartes non nulles dans la catégorie d'homotopie stable (appelées cartes fantômes ) qui induisent la carte nulle entre les théories d'homologie sur les paires CW. De même, le foncteur de la catégorie d'homotopie stable aux théories de cohomologie généralisée sur les paires CW n'est pas une équivalence. C'est la catégorie d'homotopie stable, et non ces autres catégories, qui a de bonnes propriétés comme être triangulée .

Si l'on préfère que les théories d'homologie ou de cohomologie soient définies sur tous les espaces topologiques plutôt que sur des complexes CW, une approche standard consiste à inclure l'axiome selon lequel toute équivalence d'homotopie faible induit un isomorphisme sur l'homologie ou la cohomologie. (C'est vrai pour l'homologie singulière ou la cohomologie singulière, mais pas pour la cohomologie en faisceau, par exemple.) Puisque chaque espace admet une faible équivalence d'homotopie d'un complexe CW, cet axiome réduit les théories d'homologie ou de cohomologie sur tous les espaces à la théorie correspondante sur CW complexes.

Voici quelques exemples de théories de cohomologie généralisées :

• Groupes de cohomotopie stables La théorie d'homologie correspondante est plus souvent utilisée : groupes d'homotopies stables${\displaystyle \pi _{S}^{*}(X).}$ ${\displaystyle \pi _{*}^{S}(X).}$
• Diverses saveurs différentes de groupes de cobordisme , basées sur l'étude d'un espace en considérant toutes les cartes de celui-ci aux variétés : cobordisme non orienté cobordisme orienté cobordisme complexe et ainsi de suite. Le cobordisme complexe s'est avéré particulièrement puissant dans la théorie de l'homotopie. Elle est étroitement liée aux groupes formels , via un théorème de Daniel Quillen .${\displaystyle MO^{*}(X)}$${\displaystyle MSO^{*}(X),}$ ${\displaystyle MU^{*}(X),}$
• Différentes variantes de la K-théorie topologique , basées sur l'étude d'un espace en considérant tous les fibrés vectoriels sur lui : (réel périodique K-théorie), (réel connecteur K-théorie), (complexe K-théorie périodique), (conjonctif complexe K -théorie), et ainsi de suite.${\displaystyle KO^{*}(X)}$${\displaystyle ko^{*}(X)}$${\style d'affichage K^{*}(X)}$${\displaystyle ku^{*}(X)}$
• Cohomologie Brown-Peterson , théorie K de Morava , théorie E de Morava et autres théories construites à partir d'un cobordisme complexe.
• Diverses saveurs de cohomologie elliptique .

Beaucoup de ces théories contiennent des informations plus riches que la cohomologie ordinaire, mais sont plus difficiles à calculer.

Une théorie de cohomologie E est dite multiplicative si a la structure d'un anneau gradué pour chaque espace X . Dans le langage des spectres, il existe plusieurs notions plus précises d'un spectre en anneau , comme un spectre en anneau E _∞ , où le produit est commutatif et associatif au sens fort. ${\style d'affichage E^{*}(X)}$

Autres théories de la cohomologie

Les théories de cohomologie au sens large (invariants d'autres structures algébriques ou géométriques, plutôt que d'espaces topologiques) comprennent :

Voir également

• théorie de la cohomologie orientée complexe

Citations

Les références

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