Spectre en anneau hautement structuré - Highly structured ring spectrum

En mathématiques, un spectre en anneau hautement structuré ou -ring est un objet de la théorie de l'homotopie codant pour un raffinement d'une structure multiplicative sur une théorie de la cohomologie . Une version commutative d'un -ring est appelée -ring. Bien qu'à l'origine motivés par des questions de topologie géométrique et de théorie des bundles , ils sont aujourd'hui le plus souvent utilisés dans la théorie de l'homotopie stable . ${\ displaystyle A _ {\ infty}}$${\ displaystyle A _ {\ infty}}$${\ displaystyle E _ {\ infty}}$

Arrière-plan

Les spectres en anneau hautement structurés ont de meilleures propriétés formelles que les théories de cohomologie multiplicative - un point utilisé, par exemple, dans la construction de formes modulaires topologiques , et qui a également permis de nouvelles constructions d'objets plus classiques tels que la K-théorie de Morava . Outre leurs propriétés formelles, les structures sont également importantes dans les calculs, car elles permettent des opérations dans la théorie de la cohomologie sous-jacente, analogues (et généralisant) les opérations de Steenrod bien connues dans la cohomologie ordinaire. Comme toutes les théories de la cohomologie ne permettent pas de telles opérations, toutes les structures multiplicatives ne peuvent pas être affinées en une structure et même dans les cas où cela est possible, cela peut être une tâche redoutable de le prouver. ${\ displaystyle E _ {\ infty}}$${\ displaystyle E _ {\ infty}}$

L'idée approximative des spectres en anneau hautement structurés est la suivante: si la multiplication dans une théorie de la cohomologie (analogue à la multiplication en cohomologie singulière, induisant le produit de coupe ) ne remplit l'associativité (et la commutativité) que jusqu'à l'homotopie, c'est trop laxiste pour de nombreuses constructions (par exemple pour les limites et les colimites au sens de la théorie des catégories). D'autre part, exiger une associativité stricte (ou commutativité) de manière naïve est trop restrictif pour la plupart des exemples recherchés. Une idée de base est que les relations doivent seulement tenir jusqu'à l'homotopie, mais ces homotopies devraient remplir à nouveau certaines relations d'homotopie, dont les homotopies remplissent à nouveau d'autres conditions d'homotopie; etc. L'approche classique organise cette structure via des opérades , tandis que l'approche récente de Jacob Lurie la traite en utilisant des -operads en -catégories. Les approches les plus largement utilisées aujourd'hui utilisent le langage des catégories de modèles . ${\ displaystyle \ infty}$${\ displaystyle \ infty}$

Toutes ces approches dépendent de la construction minutieuse d'une catégorie sous-jacente de spectres .

Approches pour la définition

Opérades

La théorie des opérades est motivée par l'étude des espaces de boucle . Un espace de boucle ΩX a une multiplication

${\ displaystyle \ Omega X \ times \ Omega X \ to \ Omega X}$

par composition de boucles. Ici, les deux boucles sont accélérées d'un facteur 2 et la première prend l'intervalle [0,1 / 2] et la seconde [1 / 2,1]. Ce produit n'est pas associatif car les échelles ne sont pas compatibles, mais il est associatif jusqu'à l'homotopie et les homotopies sont cohérentes jusqu'aux homotopies supérieures et ainsi de suite. Cette situation peut être précisée en disant que ΩX est une algèbre sur le petit opérateur d'intervalle . Ceci est un exemple d'une -operade, c'est-à-dire une opérade d'espaces topologiques qui est une homotopie équivalente à l' opérade associatif mais qui a une "liberté" appropriée pour permettre aux choses de ne tenir que jusqu'à l'homotopie (succinctement: tout remplacement de cofibrant de l'opérade associative) . Un spectre -ring peut maintenant être imaginé comme une algèbre sur une -operade dans une catégorie appropriée de spectres et des conditions de compatibilité appropriées (voir May, 1977). ${\ displaystyle A _ {\ infty}}$${\ displaystyle A _ {\ infty}}$${\ displaystyle A _ {\ infty}}$

Pour la définition des spectres -ring, la même approche fonctionne essentiellement, où l'on remplace la -operade par une -operade, c'est-à-dire une opérade d'espaces topologiques contractibles avec des conditions de "liberté" analogues. Un exemple d'un tel opérade peut à nouveau être motivé par l'étude des espaces de boucle. Le produit de l'espace double boucle est déjà commutatif jusqu'à l'homotopie, mais cette homotopie ne remplit pas de conditions supérieures. Pour obtenir une cohérence totale des homotopies supérieures, il faut supposer que l'espace est (équivalent à) un espace de boucle n- fois pour tout  n . Cela conduit à l' opérade en -cube de cubes de dimension infinie dans un espace de dimension infinie, qui est un exemple de -operade. ${\ displaystyle E _ {\ infty}}$${\ displaystyle A _ {\ infty}}$${\ displaystyle E _ {\ infty}}$${\ displaystyle \ Omega ^ {2} X}$${\ displaystyle \ infty}$${\ displaystyle E _ {\ infty}}$

L'approche ci-dessus a été mise au point par J. Peter May . En collaboration avec Elmendorf, Kriz et Mandell, il a développé dans les années 90 une variante de son ancienne définition des spectres, appelée S-modules (voir Elmendorf et al., 2007). Les modules S possèdent une structure modèle , dont la catégorie d'homotopie est la catégorie d'homotopie stable . Dans les modules S, la catégorie des modules sur une -operade et la catégorie des monoïdes sont équivalentes à Quillen et de même la catégorie des modules sur une -operade et la catégorie des monoïdes commutatifs. Par conséquent, est-il possible de définir les spectres -ring et -ring comme des monoïdes (commutatifs) dans la catégorie des S-modules, appelés S-algèbres (commutatives) . Puisque les monoïdes (commutatifs) sont plus faciles à traiter que les algèbres sur des opérades compliqués, cette nouvelle approche est à de nombreuses fins plus pratique. Il convient cependant de noter que la construction proprement dite de la catégorie des modules S est techniquement assez compliquée. ${\ displaystyle A _ {\ infty}}$${\ displaystyle E _ {\ infty}}$${\ displaystyle A _ {\ infty}}$${\ displaystyle E _ {\ infty}}$

Spectres de diagramme

Une autre approche de l'objectif consistant à voir des spectres en anneau hautement structurés sous forme de monoïdes dans une catégorie appropriée de spectres sont des catégories de spectres de diagramme. Le plus célèbre d'entre eux est probablement la catégorie des spectres symétriques, lancée par Jeff Smith. Son idée de base est la suivante:

Au sens le plus naïf, un spectre est une séquence d'espaces (pointus) avec des cartes , où ΣX désigne la suspension . Un autre point de vue est le suivant: on considère la catégorie des séquences d'espaces ainsi que la structure monoïdale donnée par un produit smash . Ensuite, la séquence de sphères a la structure d'un monoïde et les spectres ne sont que des modules sur ce monoïde. Si ce monoïde était commutatif, alors une structure monoïdale sur la catégorie des modules au-dessus se produirait (comme en algèbre les modules sur un anneau commutatif ont un produit tensoriel). Mais la structure monoïde de la séquence de sphères n'est pas commutative en raison de l'ordre différent des coordonnées. ${\ displaystyle (X_ {0}, X_ {1}, \ dots)}$${\ displaystyle \ Sigma X_ {i} \ à X_ {i + 1}}$${\ displaystyle (S ^ {0}, S ^ {1}, \ dots)}$

L'idée est maintenant que l'on peut intégrer les changements de coordonnées dans la définition d'une séquence: une séquence symétrique est une séquence d'espaces avec une action du n- ième groupe symétrique sur . Si l'on équipe celle-ci d'un produit monoïdal approprié, on obtient que la séquence de sphères est un monoïde commutatif . Or les spectres symétriques sont des modules sur la séquence de sphères, c'est-à-dire une séquence d'espaces avec une action du n- ième groupe symétrique sur et des cartes satisfaisant des conditions d'équivariance appropriées. La catégorie des spectres symétriques a un produit monoïdal désigné par . Un spectre d'anneau hautement structuré (commutatif) est maintenant défini comme un monoïde (commutatif) dans les spectres symétriques, appelé spectre d'anneau symétrique (commutatif) . Cela revient à donner des cartes ${\ displaystyle (X_ {0}, X_ {1}, \ dots)}$${\ displaystyle X_ {n}}$${\ displaystyle (X_ {0}, X_ {1}, \ dots)}$${\ displaystyle X_ {n}}$${\ displaystyle \ Sigma X_ {i} \ à X_ {i + 1}}$${\ displaystyle \ wedge}$

${\ displaystyle X_ {n} \ wedge X_ {m} \ à X_ {n + m},}$

qui satisfont aux conditions appropriées d'équivariance, d'unitalité et d'associativité (et de commutativité) (voir Schwede 2007).

Il existe plusieurs structures modèles sur spectres symétriques, qui ont pour homotopie la catégorie d'homotopie stable. Ici aussi, il est vrai que la catégorie des modules sur une -operade et la catégorie des monoïdes sont équivalentes à Quillen , de même que la catégorie des modules sur une -operade et la catégorie des monoïdes commutatifs. ${\ displaystyle A _ {\ infty}}$${\ displaystyle E _ {\ infty}}$

Une variante des spectres symétriques sont les spectres orthogonaux , où l'on remplace le groupe symétrique par le groupe orthogonal (voir Mandell et al., 2001). Ils présentent l'avantage que les groupes d'homotopie définis naïvement coïncident avec ceux de la catégorie d'homotopie stable, ce qui n'est pas le cas pour les spectres symétriques. (C'est-à-dire que le spectre sphérique est maintenant cofibrant.) D'autre part, les spectres symétriques ont l'avantage de pouvoir également être définis pour des ensembles simplicial . Les spectres symétriques et orthogonaux sont sans doute les moyens les plus simples de construire une catégorie monoïdale symétrique sensible de spectres.

Catégories Infinity

Les catégories à l'infini sont une variante des catégories classiques où la composition des morphismes n'est pas définie de manière unique, mais uniquement jusqu'au choix contractable. En général, cela n'a pas de sens de dire qu'un diagramme commute strictement dans une catégorie infinie, mais seulement qu'il commute jusqu'à une homotopie cohérente. On peut définir une catégorie infinie de spectres (comme le fait Lurie ). On peut également définir des versions à l'infini de monoïdes (commutatifs), puis définir les spectres -ring comme des monoïdes dans les spectres et les spectres -ring comme des monoïdes commutatifs dans les spectres. Ceci est élaboré dans le livre de Lurie Higher Algebra . ${\ displaystyle A _ {\ infty}}$${\ displaystyle E _ {\ infty}}$

Comparaison

Les catégories de modules S, spectres symétriques et orthogonaux et leurs catégories de monoïdes (commutatifs) admettent des comparaisons via des équivalences de Quillen grâce aux travaux de plusieurs mathématiciens (dont Schwede). Malgré cela, la catégorie modèle des modules S et la catégorie modèle des spectres symétriques ont un comportement assez différent: dans les modules S, chaque objet est fibrant (ce qui n'est pas vrai dans les spectres symétriques), tandis que dans les spectres symétriques, le spectre de la sphère est cofibrant (ce qui n'est pas vrai dans les modules S). Par un théorème de Lewis, il n'est pas possible de construire une catégorie de spectres, qui possède toutes les propriétés souhaitées. Une comparaison de l'approche par catégorie d'infini des spectres avec l'approche de catégorie de modèle plus classique des spectres symétriques peut être trouvée dans l'algèbre supérieure de Lurie 4.4.4.9.

Exemples

Il est plus facile d'écrire des exemples concrets de spectres -ring dans des spectres symétriques / orthogonaux. L'exemple le plus fondamental est le spectre de sphère avec la carte de multiplication (canonique) . Il n'est pas non plus difficile d'écrire des cartes de multiplication pour les spectres d'Eilenberg-MacLane (représentant la cohomologie ordinaire ) et certains spectres de Thom (représentant les théories du bordisme ). La K-théorie topologique (réelle ou complexe) est également un exemple, mais plus difficile à obtenir: dans les spectres symétriques on utilise une interprétation C * -algèbre de la K-théorie, dans l'approche opérade on utilise une machine de théorie multiplicative de l' espace en boucle infinie . ${\ displaystyle E _ {\ infty}}$${\ displaystyle S ^ {n} \ wedge S ^ {m} \ à S ^ {n + m}}$

Une approche plus récente pour trouver des raffinements de théories de cohomologie multiplicative est la théorie de l'obstruction de Goerss-Hopkins . Il a réussi à trouver des structures -ring sur les spectres Lubin – Tate et sur les spectres elliptiques . Par une méthode similaire (mais plus ancienne), on pourrait également montrer que la K-théorie de Morava ainsi que d'autres variantes de la cohomologie de Brown-Peterson possèdent une structure -ring (voir par exemple Baker et Jeanneret, 2002). Basterra et Mandell ont montré que la cohomologie Brown-Peterson a même une structure -ring, où une -structure est définie en remplaçant l'opérade de cubes de dimension infinie dans un espace de dimension infinie par des cubes à 4 dimensions dans un espace à 4 dimensions dans la définition de -ring spectres. D'autre part, Tyler Lawson a montré que la cohomologie Brown-Peterson n'a pas de structure. ${\ displaystyle E _ {\ infty}}$${\ displaystyle E _ {\ infty}}$${\ displaystyle A _ {\ infty}}$${\ displaystyle E_ {4}}$${\ displaystyle E_ {4}}$${\ displaystyle E _ {\ infty}}$${\ displaystyle E _ {\ infty}}$

Constructions

Les spectres en anneau hautement structurés permettent de nombreuses constructions.

• Ils forment une catégorie de modèle, et donc (homotopie) des limites et des colimites existent.
• Les modules sur un spectre en anneau hautement structuré forment une catégorie de modèle stable . En particulier, leur catégorie d'homotopie est triangulée . Si le spectre en anneau a une structure, la catégorie de modules a un produit de smash monoïdal ; si c'est le cas au moins , alors il a un produit monoïdal symétrique (smash). ${\ displaystyle E_ {2}}$${\ displaystyle E_ {4}}$
• On peut former des spectres d'anneaux de groupe.
• On peut définir la K-théorie algébrique , l' homologie topologique de Hochschild , etc., d'un spectre d'anneau très structuré.
• On peut définir l'espace des unités, ce qui est crucial pour certaines questions d'orientabilité des faisceaux.

Voir également

• Spectre d'anneau commutatif
• En-anneau

Les références

Références sur les spectres E _∞ -ring

• Elmendorf, AD; Kriz, I .; Mandell, MA; Mai, JP (2007). Anneaux, modules et algèbres dans la théorie de l'homotopie stable . AMS. ISBN   978-0-8218-4303-1 .
• May, J. Peter (1977). -espaces annulaires et spectres annulaires . Springer. ${\ displaystyle E _ {\ infty}}$${\ displaystyle E _ {\ infty}}$
• Mai, J. Peter (2009). "Quels sont précisément les espaces d' anneau et les spectres d'anneau?". Monographies de géométrie et de topologie . 16 : 215-282. arXiv : 0903.2813 . doi : 10.2140 / gtm.2009.16.215 . ${\ displaystyle E _ {\ infty}}$${\ displaystyle E _ {\ infty}}$

Références sur la structure des spectres E _∞ -ring

• Basterra, M .; Mandell, MA (2005). " Homologie et cohomologie des spectres en anneau E-infinity " (PDF)
• Lawson, T. (2017). "Calculer les groupes d'obstruction pour les spectres -ring". arXiv : 1709.09629 [ math.AT ]. ${\ displaystyle E _ {\ infty}}$

Références sur des exemples spécifiques

• Baker, A .; Jeanneret, A. (2002). "Brave nouvelles algébroïdes de Hopf et extensions de MU- algèbres" . Homologie, homotopie et applications . 4 (1): 163-173. doi : 10.4310 / HHA.2002.v4.n1.a9 .
• Basterra, M .; Mandell, MA (juin 2013). "La multiplication sur BP" (PDF) . Journal de topologie . 6 (2): 285–310. arXiv : 1101.0023 . doi : 10.1112 / jtopol / jts032 . S2CID   119652118 . Archivé de l'original (PDF) le 2015-02-06.

Références générales sur les spectres associés

• Lurie, J. "Algèbre supérieure" (PDF) . Archivé de l'original (PDF) le 2015-02-06.
• Mandell, MA; May, JP; Schwede, S.; Shipley, B. (2001). "Catégories de modèle de spectre de diagramme" (PDF) . Proc. Mathématiques de Londres. Soc . 82 (2): 441-512. doi : 10.1112 / S0024611501012692 .
• Richter, B. (2017). "Spectres d'anneau commutatif". arXiv : 1710.02328 [ math.AT ].
• Schwede, S. (2001). "Modules S et spectres symétriques" (PDF) . Math. Ann . 319 (3): 517-532. doi : 10.1007 / PL00004446 . S2CID   6866612 .
• Schwede S. Schwede, S. (2007). "Un projet de livre sans titre sur les spectres symétriques" (PDF) .