Théorème du point fixe de Brouwer - Brouwer fixed-point theorem

Le théorème du point fixe de Brouwer est un théorème du point fixe en topologie , nommé d'après LEJ (Bertus) Brouwer . Il indique que pour toute fonction continue mappant un ensemble convexe compact sur lui-même, il existe un point tel que . Les formes les plus simples du théorème de Brouwer sont pour les fonctions continues d'un intervalle fermé dans les nombres réels à lui-même ou d'un disque fermé à lui-même. Une forme plus générale que celle-ci est pour les fonctions continues d'un sous-ensemble compact convexe de l' espace euclidien à lui-même. ${\style d'affichage f}$ ${\style d'affichage x_{0}}$${\style d'affichage f(x_{0})=x_{0}}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage I}$ ${\style d'affichage D}$${\style d'affichage K}$

Parmi des centaines de théorèmes à virgule fixe , celui de Brouwer est particulièrement bien connu, en partie en raison de son utilisation dans de nombreux domaines des mathématiques. Dans son domaine d'origine, ce résultat est l'un des théorèmes clés caractérisant la topologie des espaces euclidiens, avec le théorème de la courbe de Jordan, le théorème de la boule poilue et le théorème de Borsuk-Ulam . Cela lui donne une place parmi les théorèmes fondamentaux de la topologie. Le théorème est également utilisé pour prouver des résultats approfondis sur les équations différentielles et est couvert dans la plupart des cours d'introduction sur la géométrie différentielle . Elle apparaît dans des domaines improbables comme la théorie des jeux . En économie, le théorème du point fixe de Brouwer et son extension, le théorème du point fixe de Kakutani , jouent un rôle central dans la preuve de l'existence de l'équilibre général dans les économies de marché tel que développé dans les années 1950 par les prix Nobel d'économie Kenneth Arrow et Gérard Debreu .

Le théorème a d'abord été étudié en vue des travaux sur les équations différentielles des mathématiciens français autour d' Henri Poincaré et de Charles Émile Picard . Démontrer des résultats tels que le théorème de Poincaré-Bendixson nécessite l'utilisation de méthodes topologiques. Ce travail de la fin du XIXe siècle s'est ouvert sur plusieurs versions successives du théorème. Le cas général a été prouvé pour la première fois en 1910 par Jacques Hadamard et par Luitzen Egbertus Jan Brouwer .

Déclaration

Le théorème a plusieurs formulations, selon le contexte dans lequel il est utilisé et son degré de généralisation. Le plus simple est parfois donné comme suit :

Dans l'avion

Chaque fonction continue d'un disque fermé à lui-même a au moins un point fixe.

Ceci peut être généralisé à une dimension finie arbitraire :

Dans l'espace euclidien

Chaque fonction continue d'une boule fermée d'un espace euclidien vers elle-même a un point fixe.

Une version un peu plus générale est la suivante :

Ensemble compact convexe

Chaque fonction continue d'un sous - ensemble compact convexe K d'un espace euclidien à K lui-même a un point fixe.

Une forme encore plus générale est mieux connue sous un autre nom :

Théorème du point fixe de Schauder

Chaque fonction continue d'un sous-ensemble compact convexe K d'un espace de Banach à K lui-même a un point fixe.

Importance des conditions préalables

Le théorème n'est valable que pour les ensembles compacts (donc en particulier bornés et fermés) et convexes (ou homéomorphes à convexes). Les exemples suivants montrent pourquoi les conditions préalables sont importantes.

Limite

Considérez la fonction

${\style d'affichage f(x)=x+1,}$

qui est une fonction continue de vers elle-même. Comme il déplace chaque point vers la droite, il ne peut pas avoir de point fixe. L'espace est convexe et fermé, mais non délimité. ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Fermeture

Considérez la fonction

${\displaystyle f(x)={\frac {x+1}{2}},}$

qui est une fonction continue de l'intervalle ouvert (-1,1) à lui-même. Dans cet intervalle, il décale chaque point vers la droite, il ne peut donc pas avoir de point fixe. L'espace (−1,1) est convexe et borné, mais pas fermé. La fonction f ne possède un point fixe pour l'intervalle fermé [-1,1], à savoir f (1) = 1.

Convexité

La convexité n'est pas strictement nécessaire pour le BFPT. Parce que les propriétés impliquées (la continuité, étant un point fixe) sont invariantes sous les homéomorphismes , BFPT est équivalent aux formes dans lesquelles le domaine doit être une boule unité fermée . Pour la même raison, cela vaut pour tout ensemble homéomorphe à une boule fermée (et donc aussi fermée , bornée, connectée , sans trous , etc.). ${\displaystyle D^{n}}$

L'exemple suivant montre que BFPT ne fonctionne pas pour les domaines avec des trous. Considérons la fonction , qui est une fonction continue du cercle unité à lui-même. Puisque -x≠x est valable pour tout point du cercle unité, f n'a pas de point fixe. L'exemple analogue fonctionne pour la sphère à n dimensions (ou tout domaine symétrique qui ne contient pas l'origine). Le cercle unité est fermé et délimité, mais il a un trou (et il n'est donc pas convexe) . La fonction f ne possède un point fixe pour le disque de l' unité, car il faut l'origine pour lui - même. ${\style d'affichage f(x)=-x}$

Une généralisation formelle de BFPT pour les domaines « sans trous » peut être dérivée du théorème du point fixe de Lefschetz .

Remarques

La fonction continue dans ce théorème n'a pas besoin d'être bijective ou même surjective .

Illustrations

Le théorème a plusieurs illustrations du "monde réel". Voici quelques exemples.

1. Prenez deux feuilles de papier quadrillé de taille égale avec des systèmes de coordonnées dessus, posez-en une à plat sur la table et froissez (sans déchirer ni déchirer) l'autre et placez-la, de n'importe quelle façon, sur la première de sorte que le le papier n'atteint pas l'extérieur du plat. Il y aura alors au moins un point de la feuille froissée qui se situe directement au-dessus de son point correspondant (c'est-à-dire le point avec les mêmes coordonnées) de la feuille plate. Ceci est une conséquence du cas n = 2 du théorème de Brouwer appliqué à la carte continue qui attribue aux coordonnées de chaque point de la feuille froissée les coordonnées du point de la feuille plate immédiatement en dessous.
2. Prenez une carte ordinaire d'un pays et supposez que cette carte est disposée sur une table à l'intérieur de ce pays. Il y aura toujours un point "Vous êtes ici" sur la carte qui représente ce même point dans le pays.
3. En trois dimensions, une conséquence du théorème du point fixe de Brouwer est que, peu importe combien vous remuez un cocktail dans un verre (ou pensez au milk-shake), lorsque le liquide s'est arrêté, un point dans le liquide finira exactement au même endroit dans le verre qu'avant toute action, en supposant que la position finale de chaque point est une fonction continue de sa position d'origine, que le liquide après agitation est contenu dans l'espace initialement occupé par lui, et que le verre (et la forme de la surface agitée) conservent un volume convexe. La commande d'un cocktail secoué, non brassé va à l'encontre de la condition de convexité (« secouant » étant défini comme une série dynamique d'états de confinement inertiel non convexes dans l'espace libre sous un couvercle). Dans ce cas, le théorème ne s'appliquerait pas, et donc tous les points de la disposition liquide sont potentiellement déplacés de l'état d'origine.

Approche intuitive

Explications attribuées à Brouwer

Le théorème est censé provenir de l'observation par Brouwer d'une tasse de café. Si l'on remue pour dissoudre un morceau de sucre, il semble qu'il y ait toujours un point sans mouvement. Il en a tiré la conclusion qu'à tout moment, il y a un point sur la surface qui ne bouge pas. Le point fixe n'est pas forcément le point qui semble immobile, puisque le centre de la turbulence bouge un peu. Le résultat n'est pas intuitif, puisque le point fixe d'origine peut devenir mobile lorsqu'un autre point fixe apparaît.

Brouwer aurait ajouté : "Je peux formuler ce magnifique résultat différemment, je prends une feuille horizontale, et une autre identique que je froisse, aplatis et place sur l'autre. Puis un point de la feuille froissée est au même endroit que sur l'autre feuille." Brouwer "aplatit" sa feuille comme avec un fer plat, sans enlever les plis et les rides. Contrairement à l'exemple de la tasse à café, l'exemple du papier froissé démontre également que plus d'un point fixe peut exister. Cela distingue le résultat de Brouwer d'autres théorèmes à virgule fixe, tels que celui de Stefan Banach , qui garantissent l'unicité.

Cas unidimensionnel

Dans une dimension, le résultat est intuitif et facile à prouver. La fonction continue f est définie sur un intervalle fermé [ a ,  b ] et prend des valeurs dans le même intervalle. Dire que cette fonction a un point fixe revient à dire que son graphe (vert foncé sur la figure de droite) coupe celui de la fonction définie sur le même intervalle [ a ,  b ] qui fait correspondre x à x (vert clair).

Intuitivement, toute ligne continue du bord gauche du carré au bord droit doit nécessairement couper la diagonale verte. Pour le prouver, considérons la fonction g qui fait correspondre x à f ( x ) −  x . C'est ≥ 0 sur a et ≤ 0 sur  b . Par le théorème des valeurs intermédiaires , g a un zéro dans [ a ,  b ]; ce zéro est un point fixe.

Brouwer aurait exprimé cela comme suit : « Au lieu d'examiner une surface, nous allons prouver le théorème sur un morceau de ficelle. Commençons par la ficelle à l'état déplié, puis replions-la. Aplatissons la ficelle repliée. Encore une fois, un point de la chaîne n'a pas changé de position par rapport à sa position d'origine sur la chaîne dépliée."

Histoire

Le théorème de point fixe de Brouwer était l'une des premières réalisations de la topologie algébrique , et est la base de théorèmes de point fixe plus généraux qui sont importants dans l'analyse fonctionnelle . Le cas n = 3 a été prouvé pour la première fois par Piers Bohl en 1904 (publié dans Journal für die reine und angewandte Mathematik ). Il a ensuite été prouvé par LEJ Brouwer en 1909. Jacques Hadamard a prouvé le cas général en 1910, et Brouwer a trouvé une preuve différente la même année. Puisque ces premières preuves étaient toutes des preuves indirectes non constructives , elles allaient à l'encontre des idéaux intuitionnistes de Brouwer . Bien que l'existence d'un point fixe ne soit pas constructive au sens du constructivisme en mathématiques , des méthodes d' approximation des points fixes garanties par le théorème de Brouwer sont désormais connues.

Préhistoire

Pour comprendre la préhistoire du théorème du point fixe de Brouwer, il faut passer par les équations différentielles . A la fin du XIXe siècle, le vieux problème de la stabilité du système solaire revient au centre de la communauté mathématique. Sa solution nécessitait de nouvelles méthodes. Comme l'a noté Henri Poincaré , qui a travaillé sur le problème des trois corps , il n'y a aucun espoir de trouver une solution exacte : « Rien n'est plus approprié pour nous donner une idée de la dureté du problème des trois corps, et généralement de tous les problèmes de la dynamique où il n'y a pas d'intégrale uniforme et les séries de Bohlin divergent." Il a également noté que la recherche d'une solution approchée n'est plus efficace : « plus on cherche à obtenir des approximations précises, plus le résultat va diverger vers une imprécision croissante ».

Il étudia une question analogue à celle du mouvement de surface dans une tasse de café. Que peut-on dire, en général, des trajectoires sur une surface animée d'un flux constant ? Poincaré a découvert que la réponse se trouve dans ce que nous appelons maintenant les propriétés topologiques dans la zone contenant la trajectoire. Si cette zone est compacte , c'est à dire à la fois fermée et bornée , alors la trajectoire soit devient stationnaire , soit elle se rapproche d'un cycle limite . Poincaré est allé plus loin ; si la surface est de même nature qu'un disque, comme c'est le cas pour la tasse de café, il doit nécessairement y avoir un point fixe. Ce point fixe est invariant sous toutes les fonctions qui associent à chaque point de la surface d'origine sa position après un court intervalle de temps  t . Si la zone est une bande circulaire, ou si elle n'est pas fermée, alors ce n'est pas nécessairement le cas.

Pour mieux comprendre les équations différentielles, une nouvelle branche des mathématiques est née. Poincaré l'a appelée analyse situs . L' Encyclopædia Universalis française le définit comme la branche qui « traite les propriétés d'un objet qui sont invariantes s'il se déforme de manière continue, sans se déchirer ». En 1886, Poincaré a prouvé un résultat équivalent au théorème du point fixe de Brouwer, bien que le lien avec le sujet de cet article ne soit pas encore apparent. Un peu plus tard, il développe l'un des outils fondamentaux pour mieux comprendre le situs d'analyse, appelé aujourd'hui groupe fondamental ou parfois groupe de Poincaré. Cette méthode peut être utilisée pour une preuve très compacte du théorème en discussion.

La méthode de Poincaré était analogue à celle d' Émile Picard , un mathématicien contemporain qui a généralisé le théorème de Cauchy-Lipschitz . L'approche de Picard est basée sur un résultat qui sera plus tard formalisé par un autre théorème du point fixe , nommé d'après Banach . Au lieu des propriétés topologiques du domaine, ce théorème utilise le fait que la fonction en question est une contraction .

Premières preuves

A l'aube du XXe siècle, l'intérêt pour l'analyse situs n'est pas passé inaperçu. Cependant, la nécessité d'un théorème équivalent à celui discuté dans cet article n'était pas encore évidente. Piers Bohl , mathématicien letton , a appliqué des méthodes topologiques à l'étude des équations différentielles. En 1904, il a prouvé le cas tridimensionnel de notre théorème, mais sa publication n'a pas été remarquée.

Ce fut Brouwer, enfin, qui donna au théorème son premier brevet de noblesse. Ses objectifs étaient différents de ceux de Poincaré. Ce mathématicien s'est inspiré des fondements des mathématiques, en particulier de la logique mathématique et de la topologie . Son intérêt initial résidait dans une tentative de résoudre le cinquième problème de Hilbert . En 1909, lors d'un voyage à Paris, il rencontre Henri Poincaré , Jacques Hadamard et Émile Borel . Les discussions qui s'ensuivirent convainquirent Brouwer de l'importance d'une meilleure compréhension des espaces euclidiens et furent à l'origine d'un échange de lettres fructueux avec Hadamard. Pendant les quatre années suivantes, il s'est concentré sur la preuve de certains grands théorèmes sur cette question. En 1912, il a prouvé le théorème de la boule velue pour la sphère bidimensionnelle, ainsi que le fait que chaque carte continue de la boule bidimensionnelle à elle-même a un point fixe. Ces deux résultats en eux-mêmes n'étaient pas vraiment nouveaux. Comme Hadamard l'a observé, Poincaré avait montré un théorème équivalent au théorème de la boule poilue. L'aspect révolutionnaire de l'approche de Brouwer était son utilisation systématique d'outils récemment développés tels que l' homotopie , le concept sous-jacent du groupe de Poincaré. L'année suivante, Hadamard généralisa le théorème en discussion à une dimension finie arbitraire, mais il employa des méthodes différentes. Hans Freudenthal commente les rôles respectifs comme suit : « Par rapport aux méthodes révolutionnaires de Brouwer, celles d'Hadamard étaient très traditionnelles, mais la participation d'Hadamard à la naissance des idées de Brouwer ressemble plus à celle d'une sage-femme qu'à celle d'un simple spectateur.

L'approche de Brouwer a porté ses fruits et, en 1910, il a également trouvé une preuve valable pour toute dimension finie, ainsi que d'autres théorèmes clés tels que l'invariance de dimension. Dans le cadre de ce travail, Brouwer a également généralisé le théorème de la courbe de Jordan à dimension arbitraire et a établi les propriétés liées au degré d'une application continue . Cette branche des mathématiques, imaginée à l'origine par Poincaré et développée par Brouwer, a changé de nom. Dans les années 1930, l'analyse situs devient la topologie algébrique .

Accueil

Le théorème a fait ses preuves à plus d'un titre. Au cours du 20e siècle, de nombreux théorèmes du point fixe ont été développés, et même une branche des mathématiques appelée théorie du point fixe . Le théorème de Brouwer est probablement le plus important. Il fait également partie des théorèmes fondamentaux de la topologie des variétés topologiques et est souvent utilisé pour prouver d'autres résultats importants tels que le théorème de la courbe de Jordan .

Outre les théorèmes du point fixe pour les fonctions plus ou moins contractantes , nombreux sont ceux qui ont émergé directement ou indirectement du résultat en discussion. Une carte continue d'une boule fermée de l'espace euclidien à sa frontière ne peut pas être l'identité sur la frontière. De même, le théorème de Borsuk-Ulam dit qu'une application continue de la sphère à n dimensions à R ⁿ a une paire de points antipodaux qui sont mappés au même point. Dans le cas de dimension finie, le théorème du point fixe de Lefschetz a fourni à partir de 1926 une méthode de comptage des points fixes. En 1930, le théorème du point fixe de Brouwer a été généralisé aux espaces de Banach . Cette généralisation est connue sous le nom de théorème du point fixe de Schauder , un résultat généralisé par S. Kakutani aux fonctions multivaluées . On rencontre aussi le théorème et ses variantes hors topologie. Il peut être utilisé pour prouver le théorème de Hartman-Grobman , qui décrit le comportement qualitatif de certaines équations différentielles près de certains équilibres. De même, le théorème de Brouwer est utilisé pour la preuve du théorème central limite . Le théorème peut également être trouvé dans les preuves d'existence pour les solutions de certaines équations aux dérivées partielles .

D'autres domaines sont également touchés. En théorie des jeux , John Nash a utilisé le théorème pour prouver que dans le jeu de Hex, il existe une stratégie gagnante pour les blancs. En économie, P. Bich explique que certaines généralisations du théorème montrent que son utilisation est utile pour certains problèmes classiques de la théorie des jeux et généralement pour les équilibres ( loi de Hotelling ), les équilibres financiers et les marchés incomplets.

La célébrité de Brouwer n'est pas exclusivement due à son travail topologique. Les preuves de ses grands théorèmes topologiques ne sont pas constructives , et le mécontentement de Brouwer à cet égard est en partie ce qui l'a conduit à articuler l'idée de constructivité . Il devient l'initiateur et le zélé défenseur d'une manière de formaliser les mathématiques , l' intuitionnisme , qui s'oppose alors à la théorie des ensembles . Brouwer a désavoué sa preuve originale du théorème du point fixe. Le premier algorithme d'approximation d'un point fixe a été proposé par Herbert Scarf . Un aspect subtil de l'algorithme de Scarf est qu'il trouve un point qui est presque fixé par une fonction f , mais en général ne peut pas trouver un point proche d'un point fixe réel. En langage mathématique, si ε est choisi très petit, l'algorithme de Scarf peut être utilisé pour trouver un point x tel que f ( x ) soit très proche de x , c'est-à-dire . Mais l'algorithme de Scarf ne peut pas être utilisé pour trouver un point x tel que x soit très proche d'un point fixe : on ne peut pas garantir où souvent cette dernière condition est ce que l'on entend par l'expression informelle « se rapprocher d'un point fixe ». ${\displaystyle d(f(x),x)<\varepsilon }$${\displaystyle d(x,y)<\varepsilon ,}$${\style d'affichage f(y)=y.}$

Contours de preuve

Une preuve par degré

La preuve originale de Brouwer en 1911 reposait sur la notion de degré d'application continue . Des comptes rendus modernes de la preuve peuvent également être trouvés dans la littérature.

Notons la boule unitaire fermée en centrée à l'origine. Supposons simplement que ce soit continûment différentiable. Une valeur régulière de est un point tel que le jacobien de est non singulier en tout point de la préimage de . En particulier, par le théorème de la fonction inverse , tout point de la préimage de réside dans (l'intérieur de ). Le degré de à une valeur régulière est défini comme la somme des signes du déterminant jacobien de sur les préimages de sous : ${\displaystyle K={\overline {B(0)}}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f:K\to K}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage p\dans B(0)}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage B(0)}$${\style d'affichage K}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage p\dans B(0)}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage f}$

${\displaystyle \operatorname {deg} _{p}(f)=\sum _{x\in f^{-1}(p)}\operatorname {sign} \left(\det(Df(x))\ droit).}$

Le degré est, grosso modo, le nombre de "feuilles" de la préimage f se trouvant sur un petit ensemble ouvert autour de p , avec des feuilles comptées en sens inverse si elles sont orientées en sens inverse. Il s'agit donc d'une généralisation du nombre d'enroulements à des dimensions supérieures.

Le degré satisfait la propriété d' invariance d'homotopie : soit et soit deux fonctions continûment différentiables, et pour . Supposons que le point est une valeur régulière de pour tout t . Ensuite . ${\style d'affichage f}$${\style d'affichage g}$${\displaystyle H_{t}(x)=tf+(1-t)g}$${\style d'affichage 0\leq t\leq 1}$${\style d'affichage p}$${\displaystyle H_{t}}$${\displaystyle \deg _{p}f=\deg _{p}g}$

S'il n'y a pas de point fixe de la frontière de , alors la fonction ${\style d'affichage K}$

${\displaystyle g(x)={\frac {xf(x)}{\sup _{x\in K}\left|xf(x)\right|}}}$

est bien défini et

${\displaystyle H(t,x)={\frac {x-tf(x)}{\sup _{x\in K}\left|x-tf(x)\right|}}}$

définit une homotopie de la fonction identité à celle-ci. La fonction d'identité a le degré un en chaque point. En particulier, la fonction d'identité a le degré un à l'origine, donc a aussi le degré un à l'origine. Par conséquent, la préimage n'est pas vide. Les éléments de sont précisément les points fixes de la fonction d'origine f . ${\style d'affichage g}$${\style d'affichage g^{-1}(0)}$${\style d'affichage g^{-1}(0)}$

Cela nécessite un certain travail pour rendre pleinement général. La définition de degré doit être étendue aux valeurs singulières de f , puis aux fonctions continues. L'avènement plus moderne de la théorie de l' homologie simplifie la construction du degré, et est ainsi devenu une preuve standard dans la littérature.

Une preuve par homologie

La preuve utilise l'observation que la frontière du n -disque D ⁿ est S ^{n −1} , la ( n − 1)- sphère .

Supposons, par contradiction, qu'une fonction continue f  : D ⁿ → D ⁿ n'a pas de point fixe. Cela signifie que, pour tout point x de D ⁿ , les points x et f ( x ) sont distincts. Parce qu'ils sont distincts, pour chaque point x de D ⁿ , nous pouvons construire un rayon unique de f ( x ) à x et suivre le rayon jusqu'à ce qu'il coupe la frontière S ^{n −1} (voir illustration). En appelant ce point d'intersection F ( x ), on définit une fonction F  :  D ⁿ  →  S ^{n −1} envoyant chaque point du disque à son point d'intersection correspondant sur la frontière. Comme cas particulier, chaque fois que x lui-même est sur la frontière, alors le point d'intersection F ( x ) doit être x .

Par conséquent, F est un type particulier de fonction continue appelée rétraction : tout point du codomaine (ici S ^{n −1} ) est un point fixe de F .

Intuitivement, il semble peu probable qu'il puisse y avoir une rétraction de D ⁿ sur S ^{n −1} , et dans le cas n = 1, l'impossibilité est plus fondamentale, car S ⁰ (c'est-à-dire les extrémités de l'intervalle fermé D ¹ ) n'est pas même connecté. Le cas n = 2 est moins évident, mais peut être prouvé en utilisant des arguments de base faisant intervenir les groupes fondamentaux des espaces respectifs : la rétraction induirait un homomorphisme de groupe surjectif du groupe fondamental de D ² à celui de S ¹ , mais ce dernier groupe est isomorphe à Z alors que le premier groupe est trivial, donc c'est impossible. Le cas n = 2 peut également être prouvé par contradiction basée sur un théorème sur les champs de vecteurs non nuls .

Pour n > 2, cependant, prouver l'impossibilité de la rétraction est plus difficile. Une façon est d'utiliser des groupes d'homologie : l'homologie H _{n -1} ( D ⁿ ) est triviale, tandis que H _{n -1} ( S ^{n -1} ) est cyclique infini . Cela montre que la rétraction est impossible, car encore une fois la rétraction induirait un homomorphisme de groupe injectif de ce dernier vers le premier groupe.

Une preuve utilisant le théorème de Stokes

Pour prouver qu'une application continue a des points fixes, on peut supposer qu'elle est lisse, car si une application n'a pas de points fixes alors , sa convolution avec un mollifier approprié (une fonction lisse de support suffisamment petit et entier), produira un fonction lisse sans points fixes. Comme dans la preuve par homologie, le problème se réduit à prouver qu'il n'y a pas de rétraction douce de la balle sur son bord . Si est une forme de volume sur la frontière alors par le théorème de Stokes , ${\style d'affichage F}$${\displaystyle F_{\epsilon }:=F\star \varphi _{\epsilon }}$${\style d'affichage F}$${\style d'affichage B}$${\displaystyle \partial B}$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle 0<\int _{\partial B}\omega =\int _{\partial B}F^{*}(\omega )=\int _{B}dF^{*}(\omega )= \int _{B}F^{*}(d\omega )=\int _{B}F^{*}(0)=0}$

donner une contradiction.

Plus généralement, cela montre qu'il n'y a pas de rétraction douce d'une variété compacte orientable lisse non vide sur sa frontière. La preuve utilisant le théorème de Stokes est étroitement liée à la preuve utilisant l'homologie, car la forme génère le groupe de cohomologie de Rham qui est isomorphe au groupe d'homologie par le théorème de de Rham . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle H^{n-1}(\partial B)}$${\displaystyle H_{n-1}(\partiel B)}$

Une preuve combinatoire

Le BFPT peut être prouvé en utilisant le lemme de Sperner . Nous donnons maintenant un aperçu de la preuve pour le cas particulier dans lequel f est une fonction du n - simplex standard , à lui-même, où ${\displaystyle \Delta ^{n},}$

${\displaystyle \Delta ^{n}=\left\{P\in \mathbb {R} ^{n+1}\mid \sum _{i=0}^{n}{P_{i}}=1 {\text{ et }}P_{i}\geq 0{\text{ pour tous }}i\right\}.}$

Pour chaque point aussi D'où la somme de leurs coordonnées est égale : ${\displaystyle P\in \Delta ^{n},}$${\displaystyle f(P)\in \Delta ^{n}.}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{P_{i}}=1=\sum _{i=0}^{n}{f(P)_{i}}}$

Ainsi, par le principe du pigeonnier, pour tout il doit y avoir un indice tel que la ième coordonnée de soit supérieure ou égale à la ième coordonnée de son image sous f : ${\displaystyle P\in \Delta ^{n},}$${\displaystyle j\in \{0,\ldots ,n\}}$${\style d'affichage j}$${\style d'affichage P}$${\style d'affichage j}$

${\displaystyle P_{j}\geq f(P)_{j}.}$

De plus, s'il se trouve sur une sous-face de dimension k de alors par le même argument, l'indice peut être choisi parmi les coordonnées k +1 qui ne sont pas nulles sur cette sous-face. ${\style d'affichage P}$${\displaystyle \Delta ^{n},}$${\style d'affichage j}$

Nous utilisons maintenant ce fait pour construire une coloration de Sperner. Pour chaque triangulation de la couleur de chaque sommet est un indice tel que${\displaystyle \Delta ^{n},}$${\style d'affichage P}$${\style d'affichage j}$${\displaystyle f(P)_{j}\leq P_{j}.}$

Par construction, il s'agit d'une coloration de Sperner. Par conséquent, selon le lemme de Sperner, il existe un simplexe à n dimensions dont les sommets sont colorés avec l'ensemble des n + 1 couleurs disponibles.

Comme f est continue, ce simplexe peut être rendu arbitrairement petit en choisissant une triangulation arbitrairement fine. Par conséquent, il doit y avoir un point qui satisfait la condition d'étiquetage dans toutes les coordonnées : pour tout${\style d'affichage P}$${\style d'affichage f(P)_{j}\leq P_{j}}$${\style d'affichage j.}$

Parce que la somme des coordonnées de et doit être égale, toutes ces inégalités doivent en fait être des égalités. Mais cela signifie que : ${\style d'affichage P}$${\style d'affichage f(P)}$

${\style d'affichage f(P)=P.}$

C'est-à-dire qu'il s'agit d'un point fixe de${\style d'affichage P}$${\style d'affichage f.}$

Une preuve par Hirsch

Il y a aussi une preuve rapide, par Morris Hirsch , basée sur l'impossibilité d'une rétraction différentiable. La preuve indirecte commence par noter que l'application f peut être approchée par une application lisse conservant la propriété de ne pas fixer de point ; cela peut être fait en utilisant le théorème d'approximation de Weierstrass , par exemple. On définit alors comme ci-dessus une rétraction qui doit maintenant être dérivable. Une telle rétraction doit avoir une valeur non singulière, par le théorème de Sard , qui est également non singulier pour la restriction à la frontière (qui est juste l'identité). Ainsi, l'image inverse serait une variété 1 avec frontière. La limite devrait contenir au moins deux points d'extrémité, qui devraient tous deux se trouver sur la limite de la balle d'origine, ce qui est impossible dans une rétraction.

R. Bruce Kellogg, Tien-Yien Li et James A. Yorke ont transformé la preuve de Hirsch en une preuve calculable en observant que le retrait est en fait défini partout sauf aux points fixes. Pour presque n'importe quel point, q , sur la frontière, (en supposant qu'il ne s'agisse pas d'un point fixe), la seule variété avec frontière mentionnée ci-dessus existe et la seule possibilité est qu'elle mène de q à un point fixe. C'est une tâche numérique facile de suivre un tel chemin de q au point fixe, donc la méthode est essentiellement calculable. a donné une version de suivi de chemin conceptuellement similaire de la preuve d'homotopie qui s'étend à une grande variété de problèmes connexes.

Une preuve utilisant l'aire orientée

Une variante de la preuve précédente n'emploie pas le théorème de Sard et se déroule comme suit. Si est une rétraction lisse, on considère la déformation lisse et la fonction lisse ${\displaystyle r\colon B\à \partial B}$${\style d'affichage g^{t}(x):=tr(x)+(1-t)x,}$

${\displaystyle \varphi (t):=\int _{B}\det Dg^{t}(x)\,dx.}$

En différenciant sous le signe de l'intégrale il n'est pas difficile de vérifier que φ ′ ( t ) = 0 pour tout t , donc φ est une fonction constante, ce qui est une contradiction car φ (0) est le volume n- dimensionnel de la balle, tandis que φ (1) est égal à zéro. L'idée géométrique est que φ ( t ) est la zone orientée de g ^t ( B ) (qui est la mesure de Lebesgue de l'image de la balle via g ^t , en prenant dans la multiplicité des comptes et de l' orientation), et doivent rester constantes (comme c'est très clair dans le cas unidimensionnel). D'autre part, comme le paramètre t passe de 0 à 1 la carte g ^{t se} transforme continûment de la carte d'identité de la balle, à la rétraction r , ce qui est une contradiction puisque l'aire orientée de l'identité coïncide avec le volume de la boule, tandis que l'aire orientée de r est nécessairement 0, car son image est la frontière de la boule, un ensemble de mesure nulle.

Une preuve en utilisant l'hex du jeu

Une preuve assez différente donnée par David Gale est basée sur le jeu de Hex . Le théorème de base sur Hex est qu'aucun jeu ne peut se terminer par un match nul. Ceci est équivalent au théorème du point fixe de Brouwer pour la dimension 2. En considérant des versions n -dimensionnelles de Hex, on peut prouver en général que le théorème de Brouwer est équivalent au théorème de détermination pour Hex.

Une preuve utilisant le théorème du point fixe de Lefschetz

Le théorème du point fixe de Lefschetz dit que si une application continue f d'un complexe simplicial fini B à lui-même n'a que des points fixes isolés, alors le nombre de points fixes comptés avec des multiplicités (qui peuvent être négatives) est égal au nombre de Lefschetz

${\displaystyle \displaystyle \sum _{n}(-1)^{n}\operatorname {Tr} (f|H_{n}(B))}$

et en particulier si le nombre de Lefschetz est non nul alors f doit avoir un point fixe. Si B est une boule (ou plus généralement est contractile) alors le nombre de Lefschetz est un car le seul groupe d'homologie non nul est : et f agit comme l'identité sur ce groupe, donc f a un point fixe. ${\style d'affichage H_{0}(B)}$

Une preuve dans un système logique faible

En mathématiques inversées , le théorème de Brouwer peut être prouvé dans le système WKL ₀ , et inversement sur le système de base RCA ₀ Le théorème de Brouwer pour un carré implique le lemme de König faible , ce qui donne une description précise de la force du théorème de Brouwer.

Généralisations

Le théorème du point fixe de Brouwer forme le point de départ d'un certain nombre de théorèmes du point fixe plus généraux .

La généralisation directe aux dimensions infinies, c'est-à-dire en utilisant la boule unité d'un espace de Hilbert arbitraire au lieu de l'espace euclidien, n'est pas vraie. Le problème principal ici est que les boules unitaires des espaces de Hilbert de dimension infinie ne sont pas compactes . Par exemple, dans l'espace de Hilbert ℓ ² des suites réelles (ou complexes) sommables au carré, considérons l'application f  : ℓ ² → ℓ ² qui envoie une suite ( x _n ) de la boule unité fermée de ℓ ² à la suite ( y _n ) défini par

${\displaystyle y_{0}={\sqrt {1-\|x\|_{2}^{2}}}\quad {\text{ et}}\quad y_{n}=x_{n-1 }{\text{ pour }}n\geq 1.}$

Il n'est pas difficile de vérifier que cette carte est continue, a son image dans la sphère unité de ² , mais n'a pas de point fixe.

Les généralisations du théorème du point fixe de Brouwer aux espaces dimensionnels infinis incluent donc toutes une hypothèse de compacité d'une certaine sorte, et aussi souvent une hypothèse de convexité . Voir les théorèmes du point fixe dans les espaces de dimension infinie pour une discussion de ces théorèmes.

Il y a aussi la généralisation de dimension finie à une plus grande classe d'espaces: Si un produit de finiment beaucoup continuums chainable, alors toute fonction continue a un point fixe, où un continuum chainable est un ( en général , mais dans ce cas , pas nécessairement métrique ) compact Espace de Hausdorff dont chaque couvercle ouvert a un raffinement ouvert fini , tel que si et seulement si . Des exemples de continus chaînables comprennent des espaces compacts connectés linéairement ordonnés et en particulier des intervalles fermés de nombres réels. ${\style d'affichage X}$${\displaystyle f:X\rightarrow X}$ ${\displaystyle \{U_{1},\ldots ,U_{m}\}}$${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\neq \emptyset }$${\style d'affichage |ij|\leq 1}$

Le théorème du point fixe de Kakutani généralise le théorème du point fixe de Brouwer dans une direction différente : il reste dans R ⁿ , mais considère des fonctions à valeurs d'ensemble semi-continues supérieures (fonctions qui attribuent à chaque point de l'ensemble un sous-ensemble de l'ensemble). Elle nécessite également la compacité et la convexité de l'ensemble.

Le théorème du point fixe de Lefschetz s'applique à des espaces topologiques compacts (presque) arbitraires, et donne une condition en termes d' homologie singulière qui garantit l'existence de points fixes ; cette condition est trivialement satisfaite pour toute application dans le cas de D ⁿ .

Résultats équivalents

Il existe plusieurs théorèmes à virgule fixe qui se déclinent en trois variantes équivalentes : une variante de topologie algébrique , une variante combinatoire et une variante couvrant l'ensemble. Chaque variante peut être prouvée séparément en utilisant des arguments totalement différents, mais chaque variante peut également être réduite aux autres variantes de sa ligne. De plus, chaque résultat de la ligne du haut peut être déduit de celui en dessous dans la même colonne.

Topologie algébrique	Combinatoire	Ensemble couvrant
Théorème du point fixe de Brouwer	Lemme de Sperner	Lemme de Knaster–Kuratowski–Mazurkiewicz
Théorème de Borsuk-Ulam	Lemme de Tucker	Théorème de Lusternik-Schnirelmann

Voir également

• Théorème du point fixe de Banach
• Compositions infinies de fonctions analytiques
• équilibre de Nash
• Théorème de Poincaré-Miranda - équivalent au théorème du point fixe de Brouwer
• Combinatoire topologique

Remarques

Les références

• Chow, Shui Nee ; Mallet-Paret, Jean ; Yorke, James A. (1978). "Trouver les zéros des cartes : méthodes d'homotopie qui sont constructives avec probabilité un" . Mathématiques du calcul . 32 (143) : 887-899. doi : 10.1090/S0025-5718-1978-0492046-9 . MR  0492046 .
• Gale, D. (1979). « Le jeu de Hex et le théorème du point fixe de Brouwer ». Le mensuel mathématique américain . 86 (10) : 818-827. doi : 10.2307/2320146 . JSTOR  2320146 .
• Hirsch, Morris W. (1988). Topologie différentielle . New York : Springer. ISBN 978-0-387-90148-0. (voir p. 72-73 pour la preuve de Hirsch utilisant l'inexistence d'une rétraction différentiable)
• Istrăţescu, Vasile I. (1981). Théorie du point fixe . Mathématiques et ses applications. 7 . Dordrecht–Boston, MA : D. Reidel. ISBN 978-90-277-1224-0. MR  0620639 .
• Karamardian, S., éd. (1977). Points fixes : algorithmes et applications . Presse académique. ISBN 978-0-12-398050-2.
• Kellogg, R. Bruce; Li, Tien-Yien ; Yorke, James A. (1976). « Une preuve constructive du théorème du point fixe de Brouwer et des résultats de calcul ». Revue SIAM d'Analyse Numérique . 13 (4) : 473-483. Bibcode : 1976SJNA ... 13..473K . doi : 10.1137/0713041 . MR  0416010 .
• Léoni, Giovanni (2017). Un premier cours sur les espaces de Sobolev : deuxième édition . Études supérieures en mathématiques . 181 . Société mathématique américaine. p. 734. ISBN  978-1-4704-2921-8
• Sobolev, Vladimir I. (2001) [1994], "théorème de Brouwer" , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press

Liens externes

• Théorème du point fixe de Brouwer pour les triangles à couper le nœud
• Théorème de Brouwer , de PlanetMath avec preuve jointe.
• Reconstruire Brouwer sur MathPages
• Théorème du point fixe de Brouwer à Math Images.