Théorème de la courbe de Jordan - Jordan curve theorem
En topologie , une courbe de Jordan , parfois appelée courbe plane fermée simple , est une boucle continue non auto-sécante dans le plan. Le théorème de la courbe de Jordan affirme que chaque courbe de Jordan divise le plan en une région "intérieure" délimitée par la courbe et une région "extérieure" contenant tous les points extérieurs proches et lointains, de sorte que chaque chemin continu reliant un point d'une région à un point de l'autre croise avec cette boucle quelque part. Alors que l'énoncé de ce théorème semble être intuitivement évident, il faut une certaine ingéniosité pour le prouver par des moyens élémentaires."Bien que le JCT soit l'un des théorèmes topologiques les plus connus, il y en a beaucoup, même parmi les mathématiciens professionnels, qui n'en ont jamais lu une preuve." ( Tverberg (1980 , Introduction)). Des preuves plus transparentes reposent sur la machinerie mathématique de la topologie algébrique , et celles-ci conduisent à des généralisations à des espaces de dimension supérieure.
Le théorème de la courbe de Jordan porte le nom du mathématicien Camille Jordan (1838-1922), qui en a trouvé la première preuve. Pendant des décennies, les mathématiciens ont généralement pensé que cette preuve était erronée et que la première preuve rigoureuse a été réalisée par Oswald Veblen . Cependant, cette notion a été renversée par Thomas C. Hales et d'autres.
Définitions et énoncé du théorème de Jordan
Une courbe de Jordan ou une courbe fermée simple dans le plan R 2 est l' image de C d'un injective plan continu d'un cercle dans le plan, φ : S 1 → R 2 . Un arc de Jordan dans le plan est l'image d'une application continue injective d'un intervalle fermé et borné [ a , b ] dans le plan. C'est une courbe plane qui n'est pas nécessairement lisse ni algébrique .
Alternativement, une courbe de Jordan est l'image d'une application continue φ : [0,1] → R 2 telle que φ (0) = φ (1) et la restriction de φ à [0,1) est injective. Les deux premières conditions disent que C est une boucle continue, tandis que la dernière condition stipule que C n'a pas de points d'auto-intersection.
Avec ces définitions, le théorème de la courbe de Jordan peut être énoncé comme suit :
Soit C une courbe de Jordan dans le plan R 2 . Alors son complément , R 2 \ C , est composé d' exactement deux composantes connexes . L'une de ces composantes est bornée (l' intérieur ) et l'autre est illimitée (l' extérieur ), et la courbe C est la frontière de chaque composante.
En revanche, le complément d'un arc de Jordan dans le plan est connecté.
Preuve et généralisations
Le théorème de la courbe de Jordan a été indépendamment généralisé aux dimensions supérieures par H. Lebesgue et LEJ Brouwer en 1911, ce qui a donné le théorème de séparation Jordan-Brouwer .
Soit X une sphère topologique de dimension n dans l' espace euclidien de dimension ( n +1) R n +1 ( n > 0), c'est-à-dire l'image d'une application continue injective de la n -sphère S n dans R n +1 . Alors le complément Y de X dans R n +1 est composé d'exactement deux composantes connexes. L'un de ces composants est limité (l'intérieur) et l'autre est illimité (l'extérieur). L'ensemble X est leur frontière commune.
La preuve utilise la théorie de l'homologie . Il est d'abord établi que, plus généralement, si X est homéomorphe à la k -sphère, alors les groupes d' homologie intégrale réduite de Y = R n +1 \ X sont les suivants :
Ceci est prouvé par induction dans k en utilisant la séquence de Mayer-Vietoris . Lorsque n = k , l'homologie réduite zéro de Y a le rang 1, ce qui signifie que Y a 2 composantes connexes (qui sont, de plus, chemin connexe ), et avec un peu de travail supplémentaire, on montre que leur frontière commune est X . Une autre généralisation a été trouvée par JW Alexander , qui a établi la dualité d'Alexander entre l'homologie réduite d'un sous - ensemble compact X de R n +1 et la cohomologie réduite de son complément. Si X est une sous-variété connexe compacte à n dimensions de R n +1 (ou S n +1 ) sans bord, son complément a 2 composantes connexes.
Il existe un renforcement du théorème de la courbe de Jordan, appelé théorème de Jordan-Schönflies , qui stipule que les régions planes intérieure et extérieure déterminées par une courbe de Jordan dans R 2 sont homéomorphes à l'intérieur et à l'extérieur du disque unité . En particulier, pour tout point P de la région intérieure et un point A sur la courbe de Jordan, il existe un arc de Jordan reliant P à A et, à l'exception de l'extrémité A , entièrement situé dans la région intérieure. Une formulation alternative et équivalente du théorème de Jordan-Schönflies affirme que toute courbe de Jordan φ : S 1 → R 2 , où S 1 est considéré comme le cercle unité dans le plan, peut être étendue à un homéomorphisme ψ : R 2 → R 2 de l'avion. Contrairement à la généralisation de Lebesgue et Brouwer du théorème de la courbe de Jordan, cette affirmation devient fausse dans les dimensions supérieures : alors que l'extérieur de la boule unité dans R 3 est simplement connecté , car il se rétracte sur la sphère unité, la sphère à cornes d'Alexandre est un sous-ensemble de R 3 homéomorphe à une sphère , mais tellement tordu dans l'espace que la composante illimitée de son complément dans R 3 n'est pas simplement connectée, et donc pas homéomorphe à l'extérieur de la boule unité.
Histoire et autres preuves
L'énoncé du théorème de la courbe de Jordan peut sembler évident au premier abord, mais c'est un théorème assez difficile à prouver. Bernard Bolzano a été le premier à formuler une conjecture précise, observant qu'il ne s'agissait pas d'une évidence, mais qu'il fallait une preuve. Il est facile d'établir ce résultat pour les polygones , mais le problème est venu de le généraliser à toutes sortes de courbes mal comportées, qui comportent des courbes nulle part différentiables , comme le flocon de Koch et autres courbes fractales , ou encore une courbe de Jordan d'aire positive construite par Osgood (1903) .
La première preuve de ce théorème a été donnée par Camille Jordan dans ses conférences sur l'analyse réelle , et a été publiée dans son livre Cours d'analyse de l'École polytechnique . Il existe une certaine controverse quant à savoir si la preuve de Jordan était complète : la majorité des commentateurs ont affirmé que la première preuve complète a été donnée plus tard par Oswald Veblen , qui a déclaré ce qui suit à propos de la preuve de Jordan :
- Sa preuve, cependant, est insatisfaisante pour de nombreux mathématiciens. Il suppose le théorème sans démonstration dans le cas particulier important d'un polygone simple, et de l'argument à partir de ce point, il faut admettre au moins que tous les détails ne sont pas donnés.
Cependant, Thomas C. Hales a écrit :
- Presque toutes les citations modernes que j'ai trouvées s'accordent sur le fait que la première preuve correcte est due à Veblen... Au vu de la forte critique de la preuve de Jordan, j'ai été surpris quand je me suis assis pour lire sa preuve de ne rien trouver de répréhensible à ce sujet. Depuis lors, j'ai contacté un certain nombre d'auteurs qui ont critiqué Jordan, et dans chaque cas, l'auteur a admis n'avoir aucune connaissance directe d'une erreur dans la preuve de Jordan.
Hales a également souligné que le cas particulier des polygones simples n'est pas seulement un exercice facile, mais n'a de toute façon pas été vraiment utilisé par Jordan, et a cité Michael Reeken :
- La preuve de Jordan est essentiellement correcte... La preuve de Jordan ne présente pas les détails de manière satisfaisante. Mais l'idée est bonne, et avec un peu de polissage, la preuve serait impeccable.
Auparavant, la preuve de Jordan et une autre preuve ancienne de Charles Jean de la Vallée Poussin avaient déjà été analysées de manière critique et complétées par Schoenflies (1924).
En raison de l'importance du théorème de la courbe de Jordan dans la topologie de faible dimension et l' analyse complexe , il a reçu beaucoup d'attention de la part d'éminents mathématiciens de la première moitié du 20e siècle. Diverses preuves du théorème et de ses généralisations ont été construites par JW Alexander , Louis Antoine , Ludwig Bieberbach , Luitzen Brouwer , Arnaud Denjoy , Friedrich Hartogs , Béla Kerékjártó , Alfred Pringsheim et Arthur Moritz Schoenflies .
De nouvelles preuves élémentaires du théorème de la courbe de Jordan, ainsi que des simplifications des preuves précédentes, continuent d'être effectuées.
- Des preuves élémentaires ont été présentées par Filippov (1950) et Tverberg (1980) .
- Une preuve utilisant l'analyse non standard de Narens (1971) .
- Une preuve utilisant les mathématiques constructives par Gordon O. Berg, W. Julian et R. Mines et al. ( 1975 ).
- Une preuve utilisant le théorème du point fixe de Brouwer par Maehara (1984) .
- Une preuve utilisant la non-planéité du graphe bipartite complet K 3,3 a été donnée par Thomassen (1992) .
La racine de la difficulté est expliquée dans Tverberg (1980) comme suit. Il est relativement simple de prouver que le théorème de la courbe de Jordan est valable pour chaque polygone de Jordan (Lemme 1), et chaque courbe de Jordan peut être approchée arbitrairement bien par un polygone de Jordan (Lemme 2). Un polygone de Jordan est une chaîne polygonale , la limite d'un ensemble ouvert connecté borné , appelez-le le polygone ouvert, et sa fermeture , le polygone fermé. Considérez le diamètre du plus grand disque contenu dans le polygone fermé. Évidemment, c'est positif. En utilisant une séquence de polygones de Jordan (qui convergent vers la courbe de Jordan donnée), nous avons une séquence convergeant vraisemblablement vers un nombre positif, le diamètre du plus grand disque contenu dans la région fermée délimitée par la courbe de Jordan. Cependant, nous devons prouver que la séquence ne converge pas vers zéro, en utilisant uniquement la courbe de Jordan donnée, et non la région vraisemblablement délimitée par la courbe. C'est l'objet du lemme 3 de Tverberg. En gros, les polygones fermés ne doivent pas s'affiner jusqu'à zéro partout. De plus, ils ne doivent pas être réduits à zéro quelque part, ce qui est l'intérêt du lemme 4 de Tverberg.
La première preuve formelle du théorème de la courbe de Jordan a été créée par Hales (2007a) dans le système HOL Light , en janvier 2005, et contenait environ 60 000 lignes. Une autre preuve formelle rigoureuse de 6 500 lignes a été produite en 2005 par une équipe internationale de mathématiciens utilisant le système Mizar . Les preuves Mizar et HOL Light reposent toutes deux sur des bibliothèques de théorèmes déjà prouvés, de sorte que ces deux tailles ne sont pas comparables. Nobuyuki Sakamoto et Keita Yokoyama ( 2007 ) ont montré qu'en mathématiques inversées, le théorème de la courbe de Jordan est équivalent au lemme de König faible sur le système .
Application
En géométrie computationnelle , le théorème de la courbe de Jordan peut être utilisé pour tester si un point se trouve à l'intérieur ou à l'extérieur d'un simple polygone .
La méthode est essentiellement la suivante. A partir d'un point donné, tracez un rayon qui ne passe par aucun sommet du polygone (tous les rayons sauf un nombre fini conviennent). Ensuite, calculez le nombre n d'intersections du rayon avec une arête du polygone. La preuve du théorème de la courbe de Jordan implique que le point est à l'intérieur du polygone si et seulement n est impair .
Voir également
- Théorème de Denjoy-Riesz , une description de certains ensembles de points dans le plan qui peuvent être des sous-ensembles de courbes de Jordan
- Lacs de Wada
- Groupe quasi-fuchsien , un groupe mathématique qui préserve une courbe de Jordan
- Analyse complexe
Remarques
- ^ Sulovský, Marek (2012). Profondeur, croisements et conflits en géométrie discrète . Logos Verlag Berlin GmbH. p. 7. ISBN 9783832531195.
- ^ Camille Jordan ( 1887 )
- ^ Oswald Veblen ( 1905 )
- ^ Hales (2007b)
- ^ Hales (2007b)
- ^ A. Schoenflies (1924). "Bemerkungen zu den Beweisen von C. Jordan et Ch. J. de la Vallée Poussin". Jahresber. Allemand. Math.-Verein . 33 : 157-160.
- ^ Richard Courant ( 1978 )
- ^ "V. Topologie". 1. Théorème de la courbe de Jordan (PDF) . Edimbourg : Université d'Edimbourg. 1978. p. 267.
- ^ "PNPOLY - Inclusion de points dans le test de polygone - WR Franklin (WRF)" . wrf.ecse.rpi.edu . Récupéré le 2021-07-18 .
Les références
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- Courant, Richard (1978). "V. Topologie". Écrit à Oxford. Qu'est-ce que les mathématiques ? : une approche élémentaire des idées et des méthodes . Herbert Robbins ([4e éd.] éd.). Royaume-Uni : Oxford University Press. p. 267. ISBN 978-0-19-502517-0. OCLC 6450129 .
- Filippov, AF (1950), "Une preuve élémentaire du théorème de Jordan" (PDF) , Uspekhi Mat. Nauk (en russe), 5 (5) : 173-176
- Hales, Thomas C. (2007a), "Le théorème de la courbe de Jordan, formellement et informellement", The American Mathematical Monthly , 114 (10) : 882-894, ISSN 0002-9890 , MR 2363054
- Hales, Thomas (2007b), « Preuve de Jordan du théorème de la courbe de Jordan » (PDF) , Études en logique, grammaire et rhétorique , 10 (23)
- Jordan, Camille (1887), Cours d'analyse (PDF) , pp. 587-594
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- Ross, Fiona; Ross, William T. (2011), "Le théorème de la courbe de Jordan n'est pas trivial", Journal of Mathematics and the Arts , 5 (4) : 213-219, doi : 10.1080/17513472.2011.634320. site de l'auteur
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- Thomassen, Carsten (1992), "The Jordan-Schönflies theorem and the classification of surfaces", American Mathematical Monthly , 99 (2) : 116-130, doi : 10.2307/2324180 , JSTOR 2324180
- Tverberg, Helge (1980), "Une preuve du théorème de la courbe de Jordan" (PDF) , Bulletin of the London Mathematical Society , 12 (1) : 34–38, CiteSeerX 10.1.1.374.2903 , doi : 10.1112/blms/12.1 .34
- Veblen, Oswald (1905), "Theory on Plane Curves in Non-Metrical Analysis Situs", Transactions of the American Mathematical Society , 6 (1) : 83–98, doi : 10.2307/1986378 , JSTOR 1986378 , MR 1500697
Liens externes
- MI Voitsekhovskii (2001) [1994], "Jordan theorem" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
- La preuve formelle complète de 6 500 lignes du théorème de la courbe de Jordan dans Mizar .
- Collection de preuves du théorème de la courbe de Jordan sur la page d'accueil d'Andrew Ranicki
- Une preuve simple du théorème de la courbe de Jordan (PDF) par David B. Gauld
- Brown, R.; Antolino-Camarena, O. (2014). "Corrigendum aux "Groupoïdes, la propriété de Phragmen-Brouwer et le théorème de la courbe de Jordan", J. Homotopy and Related Structures 1 (2006) 175-183". arXiv : 1404.0556 .