Courbe de largeur constante - Curve of constant width

Mesurer la largeur d'un triangle de Reuleaux comme la distance entre les lignes de support parallèles . Parce que cette distance ne dépend pas de la direction des lignes, le triangle de Reuleaux est une courbe de largeur constante.

En géométrie , une courbe de largeur constante est une simple courbe fermée dans le plan dont la largeur (la distance entre les lignes d'appui parallèles ) est la même dans toutes les directions. La forme délimitée par une courbe de largeur constante est un corps de largeur constante ou un orbiforme , nom donné à ces formes par Leonhard Euler . Des exemples standard sont le cercle et le triangle de Reuleaux . Ces courbes peuvent également être construites à l'aide d'arcs de cercle centrés aux croisements d'un arrangement de lignes , comme les développantes de certaines courbes, ou par des cercles sécants centrés sur une courbe partielle.

Tout corps de largeur constante est un ensemble convexe , sa frontière traversée au plus deux fois par une ligne, et si la ligne se croise perpendiculairement, elle le fait aux deux croisements, séparés par la largeur. Par le théorème de Barbier , le périmètre du corps est exactement tc fois sa largeur, mais sa zone dépend de sa forme, avec le triangle de Reuleaux ayant la plus petite surface possible pour sa largeur et le cercle le plus grand. Chaque sur-ensemble d'un corps de largeur constante comprend des paires de points qui sont plus éloignés que la largeur, et chaque courbe de largeur constante comprend au moins six points de courbure extrême. Bien que le triangle de Reuleaux ne soit pas lisse, les courbes de largeur constante peuvent toujours être approximées de manière arbitraire par des courbes lisses de même largeur constante.

Les cylindres à section transversale constante peuvent être utilisés comme rouleaux pour soutenir une surface plane. Une autre application des courbes de largeur constante concerne les formes de pièces de monnaie , où les polygones de Reuleaux réguliers sont un choix courant. La possibilité que des courbes autres que des cercles aient une largeur constante complique la vérification de la rondeur d'un objet .

Les courbes de largeur constante ont été généralisées de plusieurs manières à des dimensions supérieures et à une géométrie non euclidienne .

Définitions

La largeur et la largeur constante sont définies en fonction des lignes de support des courbes ; ce sont des lignes qui touchent une courbe sans la traverser. Chaque courbe compacte dans le plan a deux lignes de support dans une direction donnée, avec la courbe prise en sandwich entre elles. La distance euclidienne entre ces deux lignes est la largeur de la courbe dans cette direction, et une courbe a une largeur constante si cette distance est la même pour toutes les directions des lignes. La largeur d'un ensemble convexe borné peut être définie de la même manière que pour les courbes, par la distance entre des paires de droites parallèles qui touchent l'ensemble sans le croiser, et un ensemble convexe est un corps de largeur constante lorsque cette distance est non nulle et ne dépend pas de la direction des lignes. Chaque corps de largeur constante a une courbe de largeur constante comme limite, et chaque courbe de largeur constante a un corps de largeur constante comme enveloppe convexe .

Une autre façon équivalente de définir la largeur d'une courbe compacte ou d'un ensemble convexe est de regarder sa projection orthogonale sur une ligne. Dans les deux cas, la projection est un segment de ligne , dont la longueur est égale à la distance entre les lignes de support qui sont perpendiculaires à la ligne. Ainsi, une courbe ou un ensemble convexe a une largeur constante lorsque toutes ses projections orthogonales ont la même longueur.

Exemples

Une courbe de largeur constante définie par un polynôme du 8e degré

Les cercles ont une largeur constante, égale à leur diamètre . En revanche, les carrés ne le font pas : les lignes de support parallèles à deux côtés opposés du carré sont plus rapprochées que les lignes de support parallèles à une diagonale. Plus généralement, aucun polygone ne peut avoir une largeur constante. Cependant, il existe d'autres formes de largeur constante. Un exemple standard est le triangle de Reuleaux , l'intersection de trois cercles, chacun centré là où les deux autres cercles se croisent. Sa courbe limite se compose de trois arcs de ces cercles, se rencontrant à des angles de 120°, elle n'est donc pas lisse , et en fait ces angles sont les plus nets possibles pour toute courbe de largeur constante.

D'autres courbes de largeur constante peuvent être lisses mais non circulaires, sans même avoir d'arcs de cercle dans leur frontière. Par exemple, l' ensemble zéro du polynôme ci-dessous forme une courbe algébrique lisse non circulaire de largeur constante :

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y)={}&(x^{2}+y^{2})^{4}-45(x^{2}+y^{2} )^{3}-41283(x^{2}+y^{2})^{2}\\&+7950960(x^{2}+y^{2})+16(x^{2} -3y^{2})^{3}+48(x^{2}+y^{2})(x^{2}-3y^{2})^{2}\\&+x(x ^{2}-3y^{2})\left(16(x^{2}+y^{2})^{2}-5544(x^{2}+y^{2})+266382\ à droite)-720^{3}.\end{aligned}}}$$

Son degré, huit, est le degré minimum possible pour un polynôme qui définit une courbe non circulaire de largeur constante.

Bâtiments

Un polygone de Reuleaux irrégulier

Application de la méthode des lignes croisées à un arrangement de quatre lignes . Les limites du corps bleu de largeur constante sont des arcs de cercle provenant de quatre paires de cercles imbriqués (cercles intérieurs rouge foncé et cercles extérieurs rouge clair).

Corps de largeur constante (jaune) formé de disques sécants (bleu) centrés sur une demi-ellipse (noir). Le cercle rouge montre un cercle tangent à une ligne d'appui, en un point de courbure minimale de la demi-ellipse. L'excentricité de la demi-ellipse sur la figure est le maximum possible pour cette construction.

Tout polygone régulier avec un nombre impair de côtés donne lieu à une courbe de largeur constante, un polygone de Reuleaux , formé d'arcs de cercle centrés à ses sommets qui passent par les deux sommets les plus éloignés du centre. Par exemple, cette construction génère un triangle de Reuleaux à partir d'un triangle équilatéral. Certains polygones irréguliers génèrent également des polygones de Reuleaux. Dans une construction étroitement liée, appelée par Martin Gardner la "méthode des lignes croisées", un arrangement de lignes dans le plan (pas deux parallèles mais par ailleurs arbitraire) est trié dans un ordre cyclique par les pentes des lignes. Les lignes sont alors reliées par une courbe formée d'une suite d'arcs de cercle ; chaque arc relie deux lignes consécutives dans l'ordre trié, et est centré à leur croisement. Le rayon du premier arc doit être choisi suffisamment grand pour que tous les arcs successifs se terminent du bon côté du prochain point de croisement ; cependant, tous les rayons suffisamment grands fonctionnent. Pour deux lignes, cela forme un cercle ; pour trois lignes sur les côtés d'un triangle équilatéral, de rayon minimum possible, il forme un triangle de Reuleaux, et pour les lignes d'un polygone régulier en étoile il peut former un polygone de Reuleaux.

Leonhard Euler a construit des courbes de largeur constante à partir de développantes de courbes avec un nombre impair de singularités de cuspides , n'ayant qu'une seule ligne tangente dans chaque direction (c'est-à-dire des hérissons projectifs ). Une façon intuitive de décrire la construction en développante consiste à faire rouler un segment de droite autour d'une telle courbe, en le maintenant tangent à la courbe sans glisser le long de celle-ci, jusqu'à ce qu'il revienne à son point de tangence de départ. Le segment de ligne doit être suffisamment long pour atteindre les points de rebroussement de la courbe, afin qu'il puisse rouler au-delà de chaque rebroussement jusqu'à la partie suivante de la courbe, et sa position de départ doit être soigneusement choisie de sorte qu'à la fin du processus de laminage, il est dans la même position qu'il a commencé. Lorsque cela se produit, la courbe tracée par les extrémités du segment de ligne est une développante qui entoure la courbe donnée sans la traverser, avec une largeur constante égale à la longueur du segment de ligne. Si la courbe de départ est lisse (sauf au niveau des cuspides), la courbe résultante de largeur constante sera également lisse. Un exemple de courbe de départ avec les propriétés correctes pour cette construction est la courbe deltoïde , et les développantes du deltoïde qui l'entourent forment des courbes lisses de largeur constante, ne contenant aucun arc de cercle.

Une autre construction choisit la moitié de la courbe de largeur constante, répondant à certaines exigences, et forme à partir de celle-ci un corps de largeur constante ayant la courbe donnée comme faisant partie de sa limite. La construction commence par un arc incurvé convexe, dont les extrémités sont espacées de la largeur prévue . Les deux extrémités doivent toucher des lignes de support parallèles à distance l'une de l'autre. De plus, chaque ligne de support qui touche un autre point de l'arc doit être tangente en ce point à un cercle de rayon contenant l'arc entier ; cette exigence évite que la courbure de l'arc soit inférieure à celle du cercle. Le corps achevé de largeur constante est alors l'intersection des intérieurs d'une famille infinie de cercles, de deux types : ceux tangents aux lignes d'appui, et plusieurs cercles de même rayon centrés en chaque point de l'arc donné. Cette construction est universelle : toutes les courbes de largeur constante peuvent être construites de cette manière. Victor Puiseux , un mathématicien français du XIXe siècle, a trouvé des courbes de largeur constante contenant des arcs elliptiques qui peuvent ainsi être construits à partir d'une demi-ellipse . Pour respecter la condition de courbure, la demi-ellipse doit être délimitée par le demi-grand axe de son ellipse, et l'ellipse doit avoir une excentricité au plus . De manière équivalente, le demi-grand axe doit être au plus le double du demi-petit axe. ${\style d'affichage w}$${\style d'affichage w}$${\style d'affichage w}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}}$

Étant donné deux corps de largeur constante, leur somme de Minkowski forme un autre corps de largeur constante. Une généralisation des sommes de Minkowski aux sommes des fonctions de support des hérissons produit une courbe de largeur constante à partir de la somme d'un hérisson projectif et d'un cercle, chaque fois que le résultat est une courbe convexe. Toutes les courbes de largeur constante peuvent ainsi être décomposées en une somme de hérissons.

Propriétés

Le triangle de Reuleaux roulant dans un carré tout en touchant à tout moment les quatre côtés

Une courbe de largeur constante peut pivoter entre deux lignes parallèles séparées par sa largeur, tout en touchant à tout moment ces lignes, qui servent de lignes de support pour la courbe tournée. De la même manière, une courbe de largeur constante peut tourner à l'intérieur d'un losange ou d'un carré, dont les paires de côtés opposés sont séparés par la largeur et reposent sur des lignes d'appui parallèles. Toutes les courbes de largeur constante ne peuvent pas tourner de la même manière dans un hexagone régulier , car ses lignes de support peuvent former différents hexagones irréguliers pour différentes rotations plutôt que d'en former toujours un régulier. Cependant, chaque courbe de largeur constante peut être entourée d'au moins un hexagone régulier avec des côtés opposés sur des lignes de support parallèles.

Une courbe a une largeur constante si et seulement si, pour chaque paire de lignes de support parallèles, elle touche ces deux lignes aux points dont la distance est égale à la séparation entre les lignes. En particulier, cela implique qu'il ne peut toucher chaque ligne d'appui qu'en un seul point. De manière équivalente, chaque ligne qui traverse la courbe la traverse perpendiculairement à exactement deux points de distance égale à la largeur. Par conséquent, une courbe de largeur constante doit être convexe, car chaque courbe fermée simple non convexe a une ligne de support qui la touche en deux points ou plus. Les courbes de largeur constante sont des exemples de courbes auto-parallèles ou auto-parallèles, des courbes tracées par les deux extrémités d'un segment de ligne qui se déplace de telle manière que les deux extrémités se déplacent perpendiculairement au segment de ligne. Cependant, il existe d'autres courbes auto-parallèles, comme la spirale infinie formée par la développante d'un cercle, qui n'ont pas de largeur constante.

Le théorème de Barbier affirme que le périmètre de toute courbe de largeur constante est égal à la largeur multipliée par . Comme cas particulier, cette formule est conforme à la formule standard du périmètre d'un cercle compte tenu de son diamètre. Par l' inégalité isopérimétrique et le théorème de Barbier, le cercle a l'aire maximale de toute courbe de largeur constante donnée. Le théorème de Blaschke-Lebesgue dit que le triangle de Reuleaux a la plus petite aire de toute courbe convexe de largeur constante donnée. Chaque sur-ensemble propre d'un corps de largeur constante a un diamètre strictement supérieur, et chaque ensemble euclidien avec cette propriété est un corps de largeur constante. En particulier, il n'est pas possible qu'un corps de largeur constante soit un sous-ensemble d'un corps différent de même largeur constante. Chaque courbe de largeur constante peut être approchée arbitrairement étroitement par une courbe circulaire par morceaux ou par une courbe analytique de même largeur constante. ${\style d'affichage \pi }$${\style d'affichage \pi d}$

Un sommet d'une courbe lisse est un point où sa courbure est un maximum ou un minimum local ; pour un arc de cercle, tous les points sont des sommets, mais les courbes non circulaires peuvent avoir un ensemble fini et discret de sommets. Pour une courbe qui n'est pas lisse, les points où elle n'est pas lisse peuvent également être considérés comme des sommets, de courbure infinie. Pour une courbe de largeur constante, chaque sommet de courbure localement minimale est apparié à un sommet de courbure localement maximale, en face de lui sur un diamètre de la courbe, et il doit y avoir au moins six sommets. Cela contraste avec le théorème des quatre sommets , selon lequel chaque courbe lisse fermée simple dans le plan a au moins quatre sommets. Certaines courbes, comme les ellipses, ont exactement quatre sommets, mais cela n'est pas possible pour une courbe de largeur constante. Comme les minima locaux de courbure sont opposés aux maxima locaux de courbure, les seules courbes de largeur constante à symétrie centrale sont les cercles, pour lesquels la courbure est la même en tous points. Pour chaque courbe de largeur constante, le cercle englobant minimum de la courbe et le plus grand cercle qu'elle contient sont concentriques, et la moyenne de leurs diamètres est la largeur de la courbe. Ces deux cercles touchent ensemble la courbe en au moins trois paires de points opposés, mais ces points ne sont pas nécessairement des sommets.

Un corps convexe a une largeur constante si et seulement si la somme de Minkowski du corps et de sa rotation de 180° est un disque circulaire ; si c'est le cas, la largeur du corps est le rayon du disque.

Applications

Rouleaux de largeur constante

En raison de la capacité des courbes de largeur constante à rouler entre des lignes parallèles, tout cylindre avec une courbe de largeur constante en tant que section transversale peut agir comme un "rouleau" , soutenant un plan de niveau et le maintenant à plat lorsqu'il roule le long de n'importe quel niveau surface. Cependant, le centre du rouleau se déplace de haut en bas lorsqu'il roule, de sorte que cette construction ne fonctionnerait pas pour des roues de cette forme attachées à des essieux fixes.

Certaines formes de pièces de monnaie sont des corps non circulaires de largeur constante. Par exemple, les pièces britanniques de 20p et 50p sont des heptagones Reuleaux, et le huard canadien est un Reuleaux 11-gon. Ces formes permettent aux machines à pièces automatisées de reconnaître ces pièces à partir de leurs largeurs, quelle que soit l'orientation de la pièce dans la machine. D'un autre côté, tester la largeur est insuffisant pour déterminer la rondeur d'un objet , car de tels tests ne permettent pas de distinguer les cercles des autres courbes de largeur constante. Ne pas tenir compte de ce fait a peut-être joué un rôle dans la catastrophe de la navette spatiale Challenger , car la rondeur des sections de la fusée lors de ce lancement n'a été testée qu'en mesurant les largeurs, et les formes non rondes peuvent provoquer des contraintes inhabituellement élevées qui auraient pu être l'une des facteurs à l'origine de la catastrophe.

Généralisations

Les courbes de largeur constante peuvent être généralisées à certaines courbes non convexes, les courbes qui ont deux lignes tangentes dans chaque direction, avec la même séparation entre ces deux lignes quelle que soit leur direction. Comme cas limite, les hérissons projectifs (courbes avec une ligne tangente dans chaque direction) ont également été appelés "courbes de largeur nulle".

Une façon de généraliser ces concepts à trois dimensions est à travers les surfaces de largeur constante . L'analogue tridimensionnel d'un triangle de Reuleaux, le tétraèdre de Reuleaux , n'a pas de largeur constante, mais des modifications mineures produisent les corps de Meissner , qui en ont. Les courbes de largeur constante peuvent également être généralisées aux corps de luminosité constante , formes tridimensionnelles dont les projections bidimensionnelles ont toutes la même aire ; ces formes obéissent à une généralisation du théorème de Barbier. Une classe différente de généralisations tridimensionnelles, les courbes spatiales de largeur constante, sont définies par les propriétés selon lesquelles chaque plan qui traverse la courbe la coupe perpendiculairement à exactement un autre point, où il est également perpendiculaire, et que toutes les paires de points se coupent par des plans perpendiculaires sont à la même distance.

Des courbes et des corps de largeur constante ont également été étudiés en géométrie non-euclidienne et pour des espaces vectoriels normés non-euclidiens .

Voir également

• Largeur moyenne , la largeur d'une courbe moyennée dans toutes les directions possibles
• Courbe de Zindler , une courbe dans laquelle toutes les cordes bissectrices du périmètre ont la même longueur

Les références

Liens externes

• Applet interactif de Michael Borcherds montrant une forme irrégulière de largeur constante (que vous pouvez modifier) ​​réalisée à l'aide de GeoGebra .
• Weisstein, Eric W. "Courbe de largeur constante" . MathWorld .
• Moule, Steve. "Formes et solides de largeur constante" . Numérophile . Brady Haran . Archivé de l'original le 2016-03-19 . Récupéré le 2013-11-17 .
• Formes de largeur constante à la coupe du nœud