Groupe fini - Finite group
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Structure algébrique → Théorie des groupes Théorie des groupes |
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En algèbre abstraite , un groupe fini est un groupe dont l' ensemble sous-jacent est fini . Les groupes finis surviennent souvent lorsque l'on considère la symétrie d'objets mathématiques ou physiques, lorsque ces objets n'admettent qu'un nombre fini de transformations préservant la structure. Des exemples importants de groupes finis comprennent les groupes cycliques et les groupes de permutation .
L'étude des groupes finis fait partie intégrante de la théorie des groupes depuis son apparition au XIXe siècle. Un domaine d'étude majeur a été la classification: la classification des groupes finis simples (ceux sans sous-groupe normal non trivial ) a été achevée en 2004.
Histoire
Au cours du XXe siècle, les mathématiciens ont étudié en profondeur certains aspects de la théorie des groupes finis, en particulier la théorie locale des groupes finis et la théorie des groupes solubles et nilpotents . En conséquence, la classification complète des groupes simples finis a été réalisée, ce qui signifie que tous ces groupes simples à partir desquels tous les groupes finis peuvent être construits sont maintenant connus.
Au cours de la seconde moitié du XXe siècle, des mathématiciens tels que Chevalley et Steinberg ont également amélioré notre compréhension des analogues finis de groupes classiques et d'autres groupes apparentés. Une de ces familles de groupes est la famille des groupes linéaires généraux sur des corps finis .
Les groupes finis se produisent souvent lorsque l'on considère la symétrie d'objets mathématiques ou physiques, lorsque ces objets n'admettent qu'un nombre fini de transformations préservant la structure. La théorie des groupes de Lie , qui peut être considérée comme traitant de la « symétrie continue », est fortement influencée par les groupes de Weyl associés . Ce sont des groupes finis générés par des réflexions qui agissent sur un espace euclidien de dimension finie . Les propriétés des groupes finis peuvent ainsi jouer un rôle dans des matières telles que la physique théorique et la chimie .
Exemples
Groupes de permutation
Le groupe symétrique S n sur un ensemble fini de n symboles est le groupe dont les éléments sont toutes les permutations des n symboles, et dont l' opération de groupe est la composition de telles permutations, qui sont traitées comme des fonctions bijectives de l'ensemble des symboles à lui-même . Puisqu'il y a n ! ( n factorielle ) permutations possibles d'un ensemble de n symboles, il s'ensuit que l' ordre (le nombre d'éléments) du groupe symétrique S n est n !.
Groupes cycliques
Un groupe cyclique Z n est un groupe dont tous les éléments sont des puissances d'un élément particulier a où a n = a 0 = e , l'identité. Une réalisation typique de ce groupe est celle des n èmes racines complexes de l'unité . L'envoi de a à une racine primitive d'unité donne un isomorphisme entre les deux. Cela peut être fait avec n'importe quel groupe cyclique fini.
Groupes abéliens finis
Un groupe abélien , également appelé groupe commutatif , est un groupe dans lequel le résultat de l'application de l' opération de groupe à deux éléments du groupe ne dépend pas de leur ordre (l'axiome de la commutativité ). Ils portent le nom de Niels Henrik Abel .
Un groupe abélien fini arbitraire est isomorphe à une somme directe de groupes cycliques finis d'ordre de puissance premier, et ces ordres sont déterminés de manière unique, formant un système complet d'invariants. Le groupe d'automorphisme d'un groupe abélien fini peut être décrit directement en termes de ces invariants. La théorie avait été développée pour la première fois dans l'article de Georg Frobenius et Ludwig Stickelberger en 1879 et plus tard, elle a été à la fois simplifiée et généralisée à des modules finis sur un domaine idéal principal, formant un chapitre important de l'algèbre linéaire .
Groupes de type Lie
Un groupe de type Lie est un groupe étroitement lié au groupe G ( k ) de points rationnels d'un groupe algébrique linéaire réducteur G avec des valeurs dans le champ k . Les groupes finis de type Lie donnent l'essentiel des groupes simples finis non-abéliens . Les cas particuliers incluent les groupes classiques , les groupes Chevalley , les groupes Steinberg et les groupes Suzuki-Ree.
Les groupes finis de type Lie ont été parmi les premiers groupes à être considérés en mathématiques, après les groupes cycliques , symétriques et alternés , avec les groupes linéaires spéciaux projectifs sur des corps finis premiers, PSL (2, p ) étant construit par Évariste Galois dans les années 1830. L 'exploration systématique des groupes finis de type Lie a commencé avec le théorème de Camille Jordan selon lequel le groupe linéaire spécial projectif PSL (2, q ) est simple pour q ≠ 2, 3. Ce théorème se généralise aux groupes projectifs de dimensions supérieures et donne un famille infinie PSL ( n , q ) de groupes simples finis . D'autres groupes classiques ont été étudiés par Leonard Dickson au début du 20e siècle. Dans les années 1950, Claude Chevalley s'est rendu compte qu'après une reformulation appropriée, de nombreux théorèmes sur les groupes de Lie semi-simples admettent des analogues pour les groupes algébriques sur un champ arbitraire k , conduisant à la construction de ce que l'on appelle maintenant les groupes de Chevalley . De plus, comme dans le cas des groupes de Lie simples compacts, les groupes correspondants se sont avérés être presque simples sous forme de groupes abstraits ( théorème de simplicité de Tits ). Bien que l'on sache depuis le XIXe siècle qu'il existe d'autres groupes simples finis (par exemple, les groupes de Mathieu ), une croyance s'est progressivement formée selon laquelle presque tous les groupes simples finis peuvent être expliqués par des extensions appropriées de la construction de Chevalley, ainsi que par des groupes cycliques et alternés. De plus, les exceptions, les groupes sporadiques , partagent de nombreuses propriétés avec les groupes finis de type Lie, et en particulier, peuvent être construites et caractérisées en fonction de leur géométrie au sens de Tits.
La croyance est maintenant devenue un théorème - la classification de groupes simples finis . L'examen de la liste des groupes simples finis montre que les groupes de type Lie sur un corps fini incluent tous les groupes simples finis autres que les groupes cycliques, les groupes alternés, le groupe Tits et les 26 groupes simples sporadiques .
Principaux théorèmes
Théorème de Lagrange
Pour tout groupe fini G , la commande (nombre d'éléments) de chaque sous - groupe H de G divise l'ordre de G . Le théorème est nommé d'après Joseph-Louis Lagrange .
Théorèmes de Sylow
Ceci fournit une réciproque partielle théorème de Lagrange donnant les informations sur le nombre de sous - groupes d'un ordre donné sont contenues dans G .
Théorème de Cayley
Le théorème de Cayley , nommé en l' honneur d' Arthur Cayley , déclare que chaque groupe G est isomorphe à un sous - groupe du groupe symétrique agissant sur G . Cela peut être compris comme un exemple de l' action de groupe de G sur les éléments de G .
Théorème de Burnside
Le théorème de Burnside en théorie des groupes stipule que si G est un groupe fini d' ordre p a q b , où p et q sont des nombres premiers , et a et b sont des entiers non négatifs , alors G est résoluble . Par conséquent, chaque groupe simple fini non abélien a un ordre divisible par au moins trois nombres premiers distincts.
Théorème de Feit – Thompson
Le théorème de Feit – Thompson , ou théorème d'ordre impair , déclare que tout groupe fini d' ordre impair est résoluble . Il a été prouvé par Walter Feit et John Griggs Thompson ( 1962 , 1963 )
Classification des groupes simples finis
La classification des groupes simples finis est un théorème affirmant que tout groupe simple fini appartient à l'une des familles suivantes:
- Un groupe cyclique d'ordre premier;
- Un groupe alterné de degré au moins 5;
- Un groupe simple de type Lie ;
- L'un des 26 groupes simples sporadiques ;
- Le groupe Tits (parfois considéré comme un 27e groupe sporadique).
Les groupes simples finis peuvent être considérés comme les éléments de base de tous les groupes finis, d'une manière qui rappelle la façon dont les nombres premiers sont les éléments de base des nombres naturels . Le théorème de Jordan – Hölder est une manière plus précise d'énoncer ce fait à propos des groupes finis. Cependant, une différence significative par rapport au cas de la factorisation d'entiers est que ces "blocs de construction" ne déterminent pas nécessairement de manière unique un groupe, car il peut y avoir de nombreux groupes non isomorphes avec la même série de composition ou, en d'autres termes, le problème d'extension n'a pas de solution unique.
La preuve du théorème consiste en des dizaines de milliers de pages dans plusieurs centaines d'articles de revues écrits par une centaine d'auteurs, publiés pour la plupart entre 1955 et 2004. Gorenstein (décédé en 1992), Lyon et Salomon publient progressivement une version simplifiée et révisée de la preuve.
Nombre de groupes d'un ordre donné
Étant donné un entier positif n , il n'est pas du tout une question de routine de déterminer le nombre de types d' isomorphisme de groupes d' ordre n . Chaque groupe d' ordre premier est cyclique , car le théorème de Lagrange implique que le sous-groupe cyclique généré par l'un de ses éléments non identitaires est le groupe entier. Si n est le carré d'un nombre premier, alors il existe exactement deux types d'isomorphisme possibles du groupe d'ordre n , tous deux abéliens. Si n est une puissance supérieure d'un nombre premier, alors les résultats de Graham Higman et Charles Sims donnent des estimations asymptotiquement correctes pour le nombre de types d'isomorphisme des groupes d'ordre n , et le nombre croît très rapidement à mesure que la puissance augmente.
En fonction de la factorisation première de n , certaines restrictions peuvent être imposées à la structure des groupes d'ordre n , en conséquence, par exemple, de résultats tels que les théorèmes de Sylow . Par exemple, tout groupe d'ordre pq est cyclique lorsque q < p sont des nombres premiers avec p - 1 non divisible par q . Pour une condition nécessaire et suffisante, voir le nombre cyclique .
Si n est sans carré , alors tout groupe d'ordre n peut être résolu. Le théorème de Burnside , prouvé à l'aide de caractères de groupe , déclare que tout groupe d'ordre n est résoluble lorsque n est divisible par moins de trois nombres premiers distincts, c'est-à-dire si n = p a q b , où p et q sont des nombres premiers, et a et b sont entiers non négatifs. Par le théorème de Feit – Thompson , qui a une preuve longue et compliquée, tout groupe d'ordre n peut être résolu lorsque n est impair.
Pour tout entier positif n , la plupart des groupes d'ordre n peuvent être résolus . Voir cela pour un ordre particulier n'est généralement pas difficile (par exemple, il y a, jusqu'à l'isomorphisme, un groupe non résoluble et 12 groupes résolubles d'ordre 60) mais la preuve de cela pour tous les ordres utilise la classification des groupes simples finis . Pour tout entier positif n, il y a au plus deux groupes simples d'ordre n , et il existe une infinité d'entiers positifs n pour lesquels il existe deux groupes simples non isomorphes d'ordre n .
Tableau des groupes distincts d'ordre n
| Ordre n | # Groupes | Abelian | Non-abélien |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
| 2 | 1 | 1 | 0 |
| 3 | 1 | 1 | 0 |
| 4 | 2 | 2 | 0 |
| 5 | 1 | 1 | 0 |
| 6 | 2 | 1 | 1 |
| 7 | 1 | 1 | 0 |
| 8 | 5 | 3 | 2 |
| 9 | 2 | 2 | 0 |
| dix | 2 | 1 | 1 |
| 11 | 1 | 1 | 0 |
| 12 | 5 | 2 | 3 |
| 13 | 1 | 1 | 0 |
| 14 | 2 | 1 | 1 |
| 15 | 1 | 1 | 0 |
| 16 | 14 | 5 | 9 |
| 17 | 1 | 1 | 0 |
| 18 | 5 | 2 | 3 |
| 19 | 1 | 1 | 0 |
| 20 | 5 | 2 | 3 |
| 21 | 2 | 1 | 1 |
| 22 | 2 | 1 | 1 |
| 23 | 1 | 1 | 0 |
| 24 | 15 | 3 | 12 |
| 25 | 2 | 2 | 0 |
| 26 | 2 | 1 | 1 |
| 27 | 5 | 3 | 2 |
| 28 | 4 | 2 | 2 |
| 29 | 1 | 1 | 0 |
| 30 | 4 | 1 | 3 |
Voir également
- Classification des groupes simples finis
- Schéma d'association
- Liste des groupes simples finis
- Théorème de Cauchy (théorie des groupes)
- Groupe P
- Liste des petits groupes
- Théorie de la représentation des groupes finis
- Théorie de la représentation modulaire
- Moonshine monstrueux
- Groupe Profinite
- Anneau fini
- Probabilité de navettage
- Machine à états finis
Les références
Lectures complémentaires
- Jacobson, Nathan (2009). Basic Algebra I (2e éd.). Publications de Douvres . ISBN 978-0-486-47189-1 .
Liens externes
- Séquence OEIS A000001 (Nombre de groupes d'ordre n)
- Séquence OEIS A000688 (Nombre de groupes abéliens d'ordre n )
- Séquence OEIS A060689 (Nombre de groupes non abéliens d'ordre n)
- Petits groupes sur GroupNames
- Un classificateur pour les groupes de petite commande