Mécanique de contact de friction - Frictional contact mechanics

Fait partie d'une série sur
Mécanique des milieux continus
:${\displaystyle J=-D{\frac {d\varphi }{dx}}}$ Les lois de diffusion de Fick
Lois Conservations Masse Élan Énergie Inégalités Clausius-Duhem (entropie)
Mécanique solide Déformation Élasticité linéaire Plasticité la loi de Hooke Stress Souche finie Souche infinitésimale Compatibilité Pliant Contacter les mécaniciens frictionnel Théorie de la défaillance matérielle Mécanique des fractures
Mécanique des fluides Fluides Statique  · Dynamique Principe d'Archimède  · Principe de Bernoulli Équations de Navier-Stokes Équation de Poiseuille  · Loi de Pascal Viscosité ( newtonien  · non newtonien ) Flottabilité  · Mélange  · Pression Liquides Tension superficielle Capillarité Des gaz Atmosphère la loi de Boyle la loi de Charles Loi sur les gaz combinés La loi de Fick La loi Gay-Lussac la loi de Graham Plasma
Rhéologie Viscoélasticité Rhéométrie Rhéomètre Fluides intelligents Électrorhéologique Magnétorhéologique Ferrofluides
Scientifiques Bernoulli Boyle Cauchy Charles Euler Baise Gay-Lussac Graham Hooke Newton Navire Noll Pascal Stokes Truesdell
v t e

La mécanique du contact est l'étude de la déformation des solides qui se touchent en un ou plusieurs points. Cela peut être divisé en forces de compression et d'adhérence dans la direction perpendiculaire à l'interface et en forces de frottement dans la direction tangentielle. La mécanique du contact avec frottement est l'étude de la déformation des corps en présence d'effets de frottement, alors que la mécanique du contact sans frottement suppose l'absence de tels effets.

La mécanique du contact frictionnel s'intéresse à une large gamme d'échelles différentes.

• A l'échelle macroscopique, il est appliqué pour l'étude du mouvement des corps en contact (voir Dynamique de contact ). Par exemple, le rebond d'une balle en caoutchouc sur une surface dépend de l'interaction de friction à l'interface de contact. Ici, la force totale par rapport à l'indentation et au déplacement latéral est la principale préoccupation.
• A l'échelle intermédiaire, on s'intéresse aux contraintes , déformations et déformations locales des corps en contact dans et à proximité de l'aire de contact. Par exemple pour dériver ou valider des modèles de contact à l'échelle macroscopique, ou pour étudier l' usure et les dommages des surfaces des corps en contact. Les domaines d'application de cette échelle sont l'interaction pneu-chaussée, l'interaction roue-rail ferroviaire, l'analyse des roulements à rouleaux, etc.
• Enfin, aux échelles microscopique et nanométrique, la mécanique des contacts est utilisée pour accroître notre compréhension des systèmes tribologiques (par exemple, étudier l'origine du frottement ) et pour l'ingénierie de dispositifs avancés tels que les microscopes à force atomique et les dispositifs MEMS .

Cette page concerne principalement la deuxième échelle : obtenir un aperçu de base des contraintes et des déformations dans et à proximité de l'aire de contact, sans prêter trop d'attention aux mécanismes détaillés par lesquels elles se produisent.

Histoire

Plusieurs scientifiques, ingénieurs et mathématiciens célèbres ont contribué à notre compréhension du frottement. Ils comprennent Léonard de Vinci , Guillaume Amontons , John Theophilus Desaguliers , Leonhard Euler et Charles-Augustin de Coulomb . Plus tard, Nikolai Pavlovich Petrov , Osborne Reynolds et Richard Stribeck ont complété cette compréhension par des théories de la lubrification .

La déformation des matériaux solides a été étudiée aux 17e et 18e siècles par Robert Hooke , Joseph Louis Lagrange , et aux 19e et 20e siècles par d'Alembert et Timoshenko . En ce qui concerne la mécanique des contacts, la contribution classique de Heinrich Hertz se démarque. De plus, les solutions fondamentales de Boussinesq et Cerruti sont d'une importance primordiale pour l'étude des problèmes de contact frictionnel dans le régime élastique (linéaire) .

Dans les applications ferroviaires, on veut connaître la relation entre le fluage (différence de vitesse) et la force de frottement .${\style d'affichage \xi }$${\displaystyle F_{w}}$

Les résultats classiques pour un vrai problème de contact frictionnel concernent les articles de FW Carter (1926) et H. Fromm (1927). Ils ont présenté indépendamment la relation fluage/force de fluage pour un cylindre sur un plan ou pour deux cylindres en contact de roulement constant en utilisant la loi de frottement sec de Coulomb (voir ci-dessous). Ceux-ci sont appliqués à la traction des locomotives ferroviaires et à la compréhension de l' oscillation de chasse des véhicules ferroviaires. Concernant le glissement, les solutions classiques sont dues à C. Cattaneo (1938) et RD Mindlin (1949), qui ont considéré le déplacement tangentiel d'une sphère sur un plan (voir ci-dessous).

Dans les années 1950, l'intérêt pour le contact de roulement des roues de chemin de fer s'est accru. En 1958, Kenneth L. Johnson a présenté une approche approximative du problème de frottement 3D avec une géométrie hertzienne, avec un fluage latéral ou de spin. Entre autres, il a découvert que le fluage de spin, qui est symétrique par rapport au centre de l'aire de contact, conduit à une force latérale nette dans des conditions de roulement. Cela est dû aux différences avant-arrière dans la répartition des tractions dans l'aire de contact.

En 1967, Joost Jacques Kalker a publié sa thèse de doctorat sur la théorie linéaire du contact roulant. Cette théorie est exacte pour le cas d'un coefficient de frottement infini auquel cas la zone de glissement s'annule, et est approximative pour les lignes de fuite non nulles. Elle suppose la loi de frottement de Coulomb, qui nécessite plus ou moins des surfaces (scrupuleuse) propres. Cette théorie s'applique aux corps massifs tels que le contact roue-rail de chemin de fer. En ce qui concerne l'interaction route-pneu, une contribution importante concerne la formule dite du pneu magique de Hans Pacejka .

Dans les années 1970, de nombreux modèles numériques ont été conçus. Approches particulièrement variationnelles , telles que celles s'appuyant sur les théories de l'existence et de l'unicité de Duvaut et Lion. Au fil du temps, celles-ci sont devenues des approches par éléments finis pour les problèmes de contact avec des modèles et des géométries de matériaux généraux, et des approches basées sur le demi-espace pour les problèmes de contact dits à bords lisses pour les matériaux linéairement élastiques. Les modèles de la première catégorie ont été présentés par Laursen et par Wriggers. Un exemple de cette dernière catégorie est le modèle CONTACT de Kalker.

Un inconvénient des approches variationnelles bien fondées est leur temps de calcul important. Par conséquent, de nombreuses approches approximatives différentes ont également été conçues. Plusieurs théories approximatives bien connues pour le problème de contact roulant sont l'approche FASTSIM de Kalker, la formule Shen-Hedrick-Elkins et l'approche de Polach.

Plus d'informations sur l'historique du problème de contact roue/rail sont fournies dans l'article de Knothe. De plus, Johnson a rassemblé dans son livre une énorme quantité d'informations sur la mécanique des contacts et des sujets connexes. En ce qui concerne la mécanique du contact roulant, Kalker présente également un aperçu de diverses théories. Enfin, les actes d'un cours CISM sont intéressants, car ils fournissent une introduction à des aspects plus avancés de la théorie du contact roulant.

Formulation du problème

La compréhension du fait que les contraintes à la surface de chaque corps varient dans l'espace est centrale dans l'analyse des problèmes de contact de friction . Par conséquent, les efforts et les déformations des corps varient également avec la position. Et le mouvement des particules des corps en contact peut être différent à différents endroits : dans une partie de la zone de contact, les particules des corps opposés peuvent adhérer (coller) les unes aux autres, tandis que dans d'autres parties de la zone de contact, un mouvement relatif se produit. Ce glissement relatif local est appelé micro- glissement .

Cette subdivision de la zone de contact en zones de bâton (adhérence) et de glissement se manifeste notamment par une usure de fretting . Notez que l' usure ne se produit que là où la puissance est dissipée, ce qui nécessite une contrainte et un déplacement relatif local (glissement) entre les deux surfaces.

La taille et la forme de la plaque de contact elle-même et de ses zones d'adhérence et de glissement sont généralement inconnues à l'avance. Si ceux-ci étaient connus, alors les champs élastiques dans les deux corps pourraient être résolus indépendamment l'un de l'autre et le problème ne serait plus un problème de contact.

Trois composants différents peuvent être distingués dans un problème de contact.

1. Tout d'abord, il y a la déformation des corps séparés en réaction aux charges appliquées sur leurs surfaces. C'est l'objet de la mécanique générale des continus . Cela dépend en grande partie de la géométrie des corps et de leur comportement ( constitutif ) des matériaux (par exemple , réponse élastique vs. plastique , structure homogène vs. en couches, etc.).
2. Deuxièmement, il y a le mouvement global des corps les uns par rapport aux autres. Par exemple, les corps peuvent être au repos (statique) ou se rapprocher rapidement ( impact ) et peuvent être déplacés (glissant) ou tournés ( roulant ) les uns sur les autres. Ces mouvements globaux sont généralement étudiés en mécanique classique , voir par exemple la dynamique multicorps .
3. Enfin, il y a les processus à l'interface de contact : compression et adhérence dans la direction perpendiculaire à l'interface, et frottement et micro-glissement dans les directions tangentielles .

Le dernier aspect est la préoccupation première de la mécanique de contact. Il est décrit en termes de conditions dites de contact . Pour la direction perpendiculaire à l'interface, le problème de contact normal, les effets d'adhérence sont généralement faibles (à des échelles spatiales plus grandes) et les conditions suivantes sont généralement utilisées :

1. L'écart entre les deux surfaces doit être nul (contact) ou strictement positif (séparation, ) ;${\displaystyle e_{n}}$${\style d'affichage e_{n}>0}$
2. La contrainte normale agissant sur chaque corps est nulle (séparation) ou compressive ( en contact).${\style d'affichage p_{n}}$${\style d'affichage p_{n}>0}$

Mathématiquement : . Voici des fonctions qui varient avec la position le long des surfaces des corps. ${\displaystyle e_{n}\geq 0,p_{n}\geq 0,e_{n}\cdot p_{n}=0\,\!}$${\style d'affichage e_{n},p_{n}}$

Dans les directions tangentielles, les conditions suivantes sont souvent utilisées :

1. La contrainte de cisaillement locale (tangentielle) (en supposant la direction normale parallèle à l' axe -) ne peut pas dépasser un certain maximum dépendant de la position, ce que l'on appelle la limite de traction ;${\displaystyle {\vec {p}}=(p_{x},p_{y})^{\mathsf {T}}\,\!}$${\style d'affichage z}$${\style d'affichage g}$
2. Lorsque l'amplitude de la traction tangentielle tombe en dessous de la limite de traction , les surfaces opposées adhèrent ensemble et le micro-glissement disparaît ;${\displaystyle \|{\vec {p}}\|<g\,\!}$${\displaystyle {\vec {s}}=(s_{x},s_{y})^{\mathsf {T}}={\vec {0}}\,\!}$
3. Le micro-glissement se produit lorsque les tractions tangentielles sont à la limite de traction ; la direction de la traction tangentielle est alors opposée à la direction de micro-glissement .${\displaystyle {\vec {p}}=-g{\vec {s}}/\|{\vec {s}}\|\,\!}$

La forme précise de la borne de traction est la loi dite de frottement local. Pour cela, la loi de frottement (globale) de Coulomb est souvent appliquée localement : , avec le coefficient de frottement. Des formules plus détaillées sont également possibles, par exemple en fonction de la température , de la vitesse de glissement locale , etc. ${\displaystyle \|{\vec {p}}\|\leq g=\mu p_{n}\,\!}$${\style d'affichage \mu }$${\style d'affichage \mu }$${\style d'affichage T}$${\style d'affichage \|{\vec {s}}\|}$

Solutions pour les cas statiques

Corde sur une borne, l'équation du cabestan

Illustration d'une corde élastique enroulée autour d'un élément fixe tel qu'une borne. La zone de contact est divisée en zones de collage et de glissement, en fonction des charges exercées sur les deux extrémités et de l'historique de chargement.

Considérons une corde où des forces égales (par exemple, ) sont exercées des deux côtés. Par cela, la corde est un peu étirée et une tension interne est induite ( sur chaque position le long de la corde). La corde est enroulée autour d'un élément fixe tel qu'une borne ; il est plié et entre en contact avec la surface de l'article sur un angle de contact (par exemple, ). Une pression normale s'établit entre la corde et la borne, mais aucun frottement ne se produit encore. Ensuite, la force sur un côté de la borne est augmentée à une valeur plus élevée (par exemple, ). Cela provoque des contraintes de cisaillement de friction dans la zone de contact. Dans la situation finale, la borne exerce une force de friction sur la corde de telle sorte qu'une situation statique se produit. ${\displaystyle F_{\text{hold}}=400\,\mathrm {N} }$ ${\style d'affichage T}$${\displaystyle T=400\,\mathrm {N} }$${\displaystyle 180^{\circ }}$${\displaystyle F_{\text{load}}=600\,\mathrm {N} }$

La distribution de la tension dans la corde dans cette situation finale est décrite par l' équation du cabestan , avec la solution :

${\displaystyle {\begin{aligned}T(\phi )&=T_{\text{hold}},&\phi &\in \left[\phi _{\text{hold}},\phi _{\ text{intf}}\right]\\T(\phi )&=T_{\text{load}}e^{-\mu \phi },&\phi &\in \left[\phi _{\text {intf}},\phi _{\text{load}}\right]\\\phi _{\text{intf}}&={\frac {1}{\mu }}\log \left({\ frac {T_{\text{load}}}{T_{\text{hold}}}}\right)&\end{aligned}}}$

La tension augmente du côté mou ( ) au côté haut . Vu du côté haut, la tension chute de façon exponentielle, jusqu'à ce qu'elle atteigne la charge inférieure à . A partir de là, il est constant à cette valeur. Le point de transition est déterminé par le rapport des deux charges et le coefficient de frottement. Ici les tensions sont en Newtons et les angles en radians. ${\displaystyle T_{\text{hold}}}$${\displaystyle \phi =\phi _{\text{hold}}}$${\displaystyle T_{\text{load}}}$${\displaystyle \phi =\phi _{\text{load}}}$${\displaystyle \phi =\phi _{\text{intf}}}$${\displaystyle \phi _{\text{intf}}}$${\style d'affichage T}$${\style d'affichage \phi }$

La tension de la corde dans la situation finale est augmentée par rapport à l'état initial. Par conséquent, la corde est un peu allongée. Cela signifie que toutes les particules de surface de la corde ne peuvent pas avoir conservé leur position initiale sur la surface de la borne. Pendant le processus de chargement, la corde a glissé un peu le long de la surface de la borne dans la zone de glissement . Ce glissement est justement suffisamment important pour arriver à l'allongement qui se produit à l'état final. Notez qu'il n'y a pas de glissement dans l'état final ; le terme zone de glissement fait référence au glissement qui s'est produit pendant le processus de chargement. Notez en outre que l'emplacement de la zone de glissement dépend de l'état initial et du processus de chargement. Si la tension initiale est et que la tension est réduite du côté mou, alors la zone de glissement se produit du côté mou de la zone de contact. Pour les tensions initiales entre et , il peut y avoir des zones de glissement des deux côtés avec une zone de bâton entre les deux. ${\style d'affichage T}$ ${\displaystyle \phi \in [\phi _{\text{intf}},\phi _{\text{load}}]}$${\displaystyle 600\,\mathrm {N} }$${\displaystyle 400\,\mathrm {N} }$${\style d'affichage 400}$${\displaystyle 600\,\mathrm {N} }$

Généralisation pour une corde reposant sur une surface orthotrope arbitraire

Si une corde est en équilibre sous des forces tangentielles sur une surface orthotrope rugueuse, alors les trois conditions suivantes (toutes) sont satisfaites :

Cette généralisation a été obtenue par Konyukhov A.,

Sphère sur un plan, le problème (3D) Cattaneo

Considérons une sphère qui est pressée sur un plan (un demi-espace) puis déplacée sur la surface du plan. Si la sphère et le plan sont idéalisés en tant que corps rigides, le contact se produirait en un seul point et la sphère ne bougerait pas tant que la force tangentielle appliquée n'aurait pas atteint la force de friction maximale. Ensuite, il commence à glisser sur la surface jusqu'à ce que la force appliquée soit à nouveau réduite.

En réalité, compte tenu des effets élastiques, la situation est bien différente. Si une sphère élastique est pressée sur un plan élastique du même matériau, les deux corps se déforment, une zone de contact circulaire apparaît et une distribution de pression normale (hertzienne) apparaît. Le centre de la sphère est déplacé vers le bas d'une distance appelée approche , qui équivaut à la pénétration maximale des surfaces non déformées. Pour une sphère de rayon et de constantes élastiques, cette solution hertzienne s'écrit : ${\displaystyle \delta _{n}}$${\style d'affichage R}$${\style d'affichage E,\nu }$

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{n}(x,y)&=p_{0}{\sqrt {1-{\frac {r^{2}}{a^{2}}}}} &r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq a&a&={\sqrt {R\delta _{n}}}\\p_{0}&={\frac {2} {\pi }}E^{*}{\sqrt {\frac {\delta _{n}}{R}}}&F_{n}&={\frac {4}{3}}E^{*} {\sqrt {R}}\delta _{n}^{\frac {3}{2}}&E^{*}&={\frac {E}{2\left(1-\nu ^{2} \right)}}\end{aligned}}}$

Considérons maintenant qu'une force tangentielle est appliquée qui est inférieure à la borne de frottement de Coulomb . Le centre de la sphère sera alors déplacé latéralement d'une petite distance qui s'appelle le décalage . Un équilibre statique est obtenu dans lequel se produisent des déformations élastiques ainsi que des contraintes de cisaillement par frottement dans l'interface de contact. Dans ce cas, si la force tangentielle est réduite, les déformations élastiques et les contraintes de cisaillement diminuent également. La sphère revient en grande partie à sa position d'origine, à l'exception des pertes par frottement qui surviennent en raison du glissement local dans l'aire de contact. ${\style d'affichage F_{x}}$${\displaystyle \mu F_{n}}$${\displaystyle \delta _{x}}$

Ce problème de contact a été résolu approximativement par Cattaneo en utilisant une approche analytique. La distribution des contraintes à l'état d'équilibre se compose de deux parties :

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{x}(x,y)&=\mu p_{0}\left({\sqrt {1-{\frac {r^{2}}{a^{2 }}}}}-{\frac {c}{a}}{\sqrt {1-{\frac {r^{2}}{c^{2}}}}}\right)&0\leq {} &r\leq c\\p_{x}(x,y)&=\mu p_{n}(x,y)&c\leq {}&r\leq a\\p_{x}(x,y)&= 0&a\leq {}&r\end{aligné}}}$

Dans la région centrale, collante , les particules de surface du plan se déplacent vers la droite tandis que les particules de surface de la sphère se déplacent vers la gauche. Même si la sphère dans son ensemble se déplace par rapport au plan, ces particules de surface ne se sont pas déplacées les unes par rapport aux autres. Dans l'anneau externe , les particules de surface se sont déplacées les unes par rapport aux autres. Leur décalage local est obtenu comme ${\style d'affichage 0\leq r\leq c}$${\displaystyle u_{x}=\delta _{x}/2}$${\displaystyle u_{x}=-\delta _{x}/2}$${\displaystyle \delta _{x}}$${\style d'affichage c\leq r\leq r}$

${\displaystyle s_{x}(x,y)=\delta _{x}+u_{x}^{\text{sphere}}(x,y)-u_{x}^{\text{plane}} (x, y)}$

Ce décalage est précisément aussi important qu'un équilibre statique est obtenu avec des contraintes de cisaillement à la limite de traction dans cette zone dite de glissement. ${\style d'affichage s_{x}(x,y)}$

Ainsi, lors du chargement tangentiel de la sphère, un glissement partiel se produit. La zone de contact est ainsi divisée en une zone de glissement où les surfaces se déplacent les unes par rapport aux autres et une zone de collage où elles ne bougent pas. A l'état d'équilibre, il n'y a plus de glissement.

Solutions aux problèmes de glissement dynamique

La solution d'un problème de contact consiste en l'état à l'interface (où se trouve le contact, la division de la zone de contact en zones de collage et de glissement, et les distributions des contraintes normales et de cisaillement) plus le champ élastique à l'intérieur des corps. Cette solution dépend de l'historique du contact. Ceci peut être vu par extension du problème de Cattaneo décrit ci-dessus.

• Dans le problème de Cattaneo, la sphère est d'abord pressée sur le plan puis déplacée tangentiellement. Cela donne un glissement partiel comme décrit ci-dessus.
• Si la sphère est d'abord déplacée tangentiellement puis pressée sur le plan, alors il n'y a pas de différence de déplacement tangentiel entre les surfaces opposées et par conséquent il n'y a pas de contrainte tangentielle dans l'interface de contact.
• Si l'approche en direction normale et le décalage tangentiel sont augmentés simultanément ("compression oblique") alors une situation peut être réalisée avec une contrainte tangentielle mais sans glissement local.

Cela démontre que l'état dans l'interface de contact ne dépend pas seulement des positions relatives des deux corps, mais aussi de leur historique de mouvement. Un autre exemple de ceci se produit si la sphère est déplacée vers sa position d'origine. Initialement, il n'y avait pas de contrainte tangentielle dans l'interface de contact. Après le changement de vitesse initial, le micro-glissement s'est produit. Ce micro-glissement ne se défait pas entièrement en reculant. Ainsi, dans la situation finale, les contraintes tangentielles restent dans l'interface, dans ce qui semble être une configuration identique à celle d'origine.

L'influence du frottement sur les contacts dynamiques (chocs) est examinée en détail dans.

Solution aux problèmes de contact roulant

Contact roulant entre un cylindre et un plan. Particules se déplaçant à travers la zone de contact de droite à gauche, étant de plus en plus sollicitées jusqu'à ce qu'un glissement local s'installe.

Les problèmes de contact roulant sont des problèmes dynamiques dans lesquels les corps en contact se déplacent continuellement les uns par rapport aux autres. Une différence avec les problèmes de contact glissant dynamique est qu'il y a plus de variété dans l'état des différentes particules de surface. Alors que l'aire de contact dans un problème de glissement se compose en permanence de plus ou moins les mêmes particules, dans un problème de contact roulant, les particules entrent et sortent incessamment de l'aire de contact. De plus, dans un problème de glissement, les particules de surface dans l'aire de contact sont toutes soumises à plus ou moins le même déplacement tangentiel partout, alors que dans un problème de roulement, les particules de surface sont sollicitées de manière assez différente. Ils sont libres de contrainte lors de l'entrée dans la zone de contact, puis adhèrent à une particule de la surface opposée, sont tendus par la différence de mouvement globale entre les deux corps, jusqu'à ce que la limite de traction locale soit dépassée et que le glissement local s'installe. Ce processus est en différentes étapes pour différentes parties de la zone de contact.

Si le mouvement global des corps est constant, alors un état stable global peut être atteint. Ici, l'état de chaque particule de surface varie dans le temps, mais la distribution globale peut être constante. Ceci est formalisé en utilisant un système de coordonnées qui se déplace avec la zone de contact.

Cylindre roulant sur un avion, la solution (2D) Carter-Fromm

Considérons un cylindre qui roule sur un plan (demi-espace) dans des conditions stables, avec une ligne de fuite longitudinale indépendante du temps . (relativement) loin des extrémités des cylindres une situation de déformation plane se produit et le problème est bidimensionnel. ${\style d'affichage \xi }$

Si le cylindre et le plan sont constitués des mêmes matériaux, le problème de contact normal n'est pas affecté par la contrainte de cisaillement. La zone de contact est une bande , et la pression est décrite par la solution (2D) Hertz. ${\displaystyle x\in [-a,a]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{n}(x)&={\frac {p_{0}}{a}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}&| x|&\leq a&a^{2}&={\frac {4F_{n}R}{\pi E^{*}}}\\p_{0}&={\frac {2F_{n}}{ \pi a}}&&&E^{*}&={\frac {E}{2\left(1-\nu ^{2}\right)}}&\end{aligned}}}$

La distribution de la contrainte de cisaillement est décrite par la solution de Carter-Fromm. Il se compose d'une zone d'adhérence en bord d'attaque de l'aire de contact et d'une zone de glissement en bord de fuite. La longueur de la zone d'adhérence est notée . De plus, la coordonnée d'adhérence est introduite par . Dans le cas d'un effort positif (fluage négatif ) c'est : ${\style d'affichage 2a'}$${\style d'affichage x'=x+a-a'}$${\style d'affichage F_{x}>0}$${\style d'affichage \xi <0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{x}(x)&=0&|&x|\geq a\\p_{x}(x)&={\frac {\mu p_{0}}{a} }\left({\sqrt {a^{2}-x^{2}}}-{\sqrt {a'^{2}-x'^{2}}}\right)&a-2a'\leq {}&x\leq a\\p_{x}(x)&=\mu p_{n}(x)&&x\leq a-2a'\end{aligned}}}$

La taille de la zone d'adhérence dépend de la ligne de fuite, du rayon de la roue et du coefficient de frottement.

${\displaystyle {\begin{aligned}a'&=a{\sqrt {1-{\frac {|F_{x}|}{\mu F_{n}}}}},&{\mbox{for } }|F_{x}|\leq \mu F_{n}\\\xi &=-\operatorname {sign} (F_{x})\,{\frac {\mu (a-a')}{R }},&{\mbox{ie }}|\xi |\leq {\frac {\mu a}{R}}\\F_{x}&=-\operatorname {sign} (\xi )\,\ mu F_{n}\left(1-\left(1+{\frac {R|\xi |}{\mu a}}\right)^{2}\right)\end{aligned}}}$

Pour des lignes de fuite plus importantes telles qu'un glissement complet se produit. ${\style d'affichage a'=0}$

Approches basées sur le demi-espace

Lors de l'examen des problèmes de contact aux échelles spatiales intermédiaires, les inhomogénéités de matériau à petite échelle et la rugosité de surface sont ignorées. Les corps sont considérés comme constitués de surfaces lisses et de matériaux homogènes. Une approche continue est adoptée où les contraintes, les déformations et les déplacements sont décrits par des fonctions continues (par morceaux).

L' approche du demi-espace est une stratégie de solution élégante pour les problèmes de contact dits "à bords lisses" ou "concentrés".

1. Si un corps élastique massif est chargé sur une petite section de sa surface, alors les contraintes élastiques s'atténuent proportionnellement à et les déplacements élastiques par lorsque l'on s'éloigne de cette surface.${\style d'affichage 1/distance^{2}}$${\style d'affichage 1/distance}$
2. Si un corps n'a pas d'angles vifs dans ou à proximité de la région de contact, alors sa réponse à une charge de surface peut être bien approchée par la réponse d'un demi-espace élastique (par exemple tous les points avec ).${\displaystyle (x,y,z)^{\mathsf {T}}\in \mathbb {R} ^{3}\,\!}$${\displaystyle z>0\,\!}$
3. Le problème du demi-espace élastique est résolu analytiquement, voir la solution de Boussinesq-Cerruti .
4. En raison de la linéarité de cette approche, plusieurs solutions partielles peuvent être superposées.

En utilisant la solution fondamentale pour le demi-espace, le problème de contact 3D complet est réduit à un problème 2D pour les surfaces limites des corps.

Une autre simplification se produit si les deux corps sont « géométriquement et élastiquement semblables ». En général, la contrainte à l'intérieur d'un corps dans une direction induit également des déplacements dans des directions perpendiculaires. Par conséquent, il existe une interaction entre la contrainte normale et les déplacements tangentiels dans le problème de contact, et une interaction entre la contrainte tangentielle et les déplacements normaux. Mais si la contrainte normale dans l'interface de contact induit les mêmes déplacements tangentiels dans les deux corps en contact, alors il n'y a pas de déplacement tangentiel relatif des deux surfaces. Dans ce cas, les problèmes de contact normal et tangentiel sont découplés. Si c'est le cas alors les deux corps sont dits quasi-identiques . Cela se produit par exemple si les corps sont symétriques par rapport au plan de contact et ont les mêmes constantes élastiques.

Les solutions classiques basées sur l'approche du demi-espace sont :

1. Hertz a résolu le problème de contact en l'absence de frottement, pour une géométrie simple (surfaces courbes à rayons de courbure constants).
2. Carter a considéré le contact roulant entre un cylindre et un plan, comme décrit ci-dessus. Une solution analytique complète est fournie pour la traction tangentielle.
3. Cattaneo a considéré la compression et le déplacement de deux sphères, comme décrit ci-dessus. Notez que cette solution analytique est approximative. En réalité, il se produit de petites tractions tangentielles qui sont ignorées.${\style d'affichage p_{y}}$

Voir également

Les références

Liens externes

• [1] Biographie du Prof.dr.ir. JJ Kalker (Université de technologie de Delft).
• [2] Logiciel de CONTACT hertzien/non hertzien de Kalker.