Théorie des catégories supérieures - Higher category theory

En mathématiques , la théorie des catégories supérieures fait partie de la théorie des catégories à un niveau supérieur , ce qui signifie que certaines égalités sont remplacées par des flèches explicites afin de pouvoir étudier explicitement la structure derrière ces égalités. La théorie des catégories supérieures est souvent appliquée dans la topologie algébrique (en particulier dans la théorie de l'homotopie ), où l'on étudie les invariants algébriques des espaces , tels que leur ∞-groupoïde faible fondamental .

Catégories supérieures strictes

Une catégorie ordinaire comprend des objets et des morphismes , appelés 1-morphismes dans le contexte de la théorie des catégories supérieures. Une 2-catégorie généralise ceci en incluant également des 2-morphismes entre les 1-morphismes. Poursuivre ceci jusqu'à n -morphismes entre ( n  - 1) -morphismes donne une n -catégorie.

Tout comme la catégorie dite Cat , qui est la catégorie des petites catégories et foncteurs est en fait une catégorie 2 avec des transformations naturelles comme ses 2-morphismes, la catégorie n - Chat de (petites) n -catégories est en fait un ( n  + 1) -catégorie.

Une n -catégorie est définie par récurrence sur n par:

• Une catégorie 0 est un ensemble ,
• Une catégorie ( n  + 1) est une catégorie enrichie sur la catégorie n - Cat .

Ainsi, une catégorie 1 n'est qu'une catégorie ( localement petite ).

La structure monoïdale de Set est celle donnée par le produit cartésien comme tenseur et un singleton comme unité. En fait, toute catégorie avec des produits finis peut recevoir une structure monoïdale. La construction récursive de n - Cat fonctionne bien car si une catégorie C a des produits finis, la catégorie des catégories enrichies C a également des produits finis.

Alors que ce concept est trop strict à certaines fins dans, par exemple, la théorie de l'homotopie , où les structures «faibles» se présentent sous la forme de catégories supérieures, des groupoïdes d'homotopie cubique supérieure stricte sont également apparus comme donnant une nouvelle base pour la topologie algébrique à la frontière entre l' homologie et théorie de l'homotopie ; voir l'article Topologie algébrique non-libérienne , référencé dans le livre ci-dessous.

Catégories supérieures faibles

Dans les n- catégories faibles , les conditions d'associativité et d'identité ne sont plus strictes (c'est-à-dire qu'elles ne sont pas données par des égalités), mais sont plutôt satisfaites jusqu'à un isomorphisme du niveau suivant. Un exemple en topologie est la composition des chemins , où les conditions d'identité et d'association ne tiennent qu'au reparamétrisation , et donc jusqu'à l' homotopie , qui est le 2-isomorphisme pour cette 2-catégorie . Ces n- isomorphismes doivent bien se comporter entre hom-sets et l'exprimer est la difficulté dans la définition des n -catégories faibles . Les 2 catégories faibles , également appelées bicatégories , ont été les premières à être définies explicitement. Une particularité de ceux-ci est qu'une bicatégorie avec un objet est exactement une catégorie monoïdale , de sorte que les bicatégories peuvent être qualifiées de «catégories monoïdales avec de nombreux objets». Les trois catégories faibles , également appelées tricatégories , et les généralisations de plus haut niveau sont de plus en plus difficiles à définir explicitement. Plusieurs définitions ont été données, et dire quand elles sont équivalentes, et en quel sens, est devenu un nouvel objet d'étude dans la théorie des catégories.

Quasi-catégories

Les complexes Kan faibles, ou quasi-catégories, sont des ensembles simpliciaux satisfaisant une version faible de la condition Kan. André Joyal a montré qu'ils constituent une bonne base pour la théorie des catégories supérieures. Récemment, en 2009, la théorie a été systématisée davantage par Jacob Lurie qui les appelle simplement des catégories à l'infini, bien que ce dernier terme soit également un terme générique pour tous les modèles de catégories (infini, k ) pour tout k .

Catégories simplement enrichies

Les catégories simplement enrichies, ou catégories simplicial, sont des catégories enrichies sur des ensembles simplicial. Cependant, lorsque nous les considérons comme un modèle pour des catégories (infini, 1) , alors de nombreuses notions catégoriques (par exemple, les limites ) ne sont pas en accord avec les notions correspondantes au sens de catégories enrichies. Il en va de même pour les autres modèles enrichis comme les catégories topologiquement enrichies.

Catégories enrichies topologiquement

Les catégories topologiquement enrichies (parfois simplement appelées catégories topologiques) sont des catégories enrichies sur une certaine catégorie pratique d'espaces topologiques, par exemple la catégorie des espaces de Hausdorff générés de manière compacte .

Catégories Segal

Il s'agit de modèles de catégories supérieures introduits par Hirschowitz et Simpson en 1998, en partie inspirés des résultats de Graeme Segal en 1974.

Voir également

• Algèbre de dimension supérieure
• Abstrait général
• Catégorification
• Cohérence (théorie de l'homotopie)

Remarques

Références

• Baez, John C .; Dolan, James (1998). "Catégorification". arXiv : math / 9802029 .
• Leinster, Tom (2004). Opérades supérieurs, catégories supérieures . La presse de l'Universite de Cambridge. arXiv : math.CT / 0305049 . ISBN   0-521-53215-9 .
• Simpson, Carlos (2010). "Théorie de l'homotopie des catégories supérieures". arXiv : 1001,4071 [ math.CT ]. Ébauche d'un livre. PDF alternatif avec hyperliens )

• Lurie, Jacob (2009). Théorie supérieure de Topos . Presses universitaires de Princeton. arXiv : math.CT / 0608040 . ISBN   978-0-691-14048-3 . Au format PDF .
• nLab , le projet de cahier wiki collectif et ouvert sur la théorie des catégories supérieures et les applications en physique, mathématiques et philosophie
• Joyal's Catlab , un wiki dédié aux expositions raffinées de mathématiques catégoriques et supérieures avec des preuves
• Brown, Ronald ; Higgins, Philip J .; Sivera, Rafael (2011). Topologie algébrique non-abélienne: espaces filtrés, complexes croisés, groupoïdes à homotopie cubique . Tracts en mathématiques. 15 . Société mathématique européenne. ISBN   978-3-03719-083-8 .

Liens externes

• Baez, John (24 février 1996). "Semaine 73: Conte de n -Catégories" .
• The n-Category Cafe - un blog de groupe consacré à la théorie des catégories supérieures.
• Leinster, Tom (8 mars 2010). "Une perspective sur la théorie des catégories supérieures" .