Bûche semiring - Log semiring

En mathématiques , dans le domaine de l'analyse tropicale , le log semiring est la structure semirante sur l' échelle logarithmique , obtenue en considérant les nombres réels étendus comme des logarithmes . Autrement dit, les opérations d'addition et de multiplication sont définies par conjugaison : exponentielle des nombres réels, obtention d'un nombre positif (ou nul), additionne ou multiplie ces nombres avec les opérations algébriques ordinaires sur les nombres réels, puis prend le logarithme pour inverser le exponentiation initiale. De telles opérations sont également connues sous le nom, par exemple, d' addition logarithmique , etc. Comme d'habitude en analyse tropicale, les opérations sont désignées par ⊕ et ⊗ pour les distinguer de l'addition + et de la multiplication habituelles × (ou ⋅). Ces opérations dépendent du choix de la base b pour l'exposant et le logarithme ( b est un choix d' unité logarithmique ), qui correspond à un facteur d'échelle, et sont bien définies pour toute base positive autre que 1; utiliser une base b <1 équivaut à utiliser un signe négatif et à utiliser l'inverse 1 / b > 1 . Si elle n'est pas qualifiée, la base est classiquement considérée comme e ou 1 / e , ce qui correspond à e avec un négatif.

Le journal semi-allumé a la semi-cuisson tropicale comme limite (" tropicalisation ", "déquantification") lorsque la base va à l'infini ( max-plus semi-allumage ) ou à zéro ( min-plus semi-allumage ), et peut donc être considérée comme une déformation (" quantification ") de la semi-cuisson tropicale. Notamment, l'opération d'addition, logadd (pour plusieurs termes, LogSumExp ) peut être considérée comme une déformation de maximum ou de minimum . Le journal semiring a des applications en optimisation mathématique , car il remplace le maximum et le minimum non lisses par un fonctionnement fluide. Le log semiring se produit également lorsque vous travaillez avec des nombres qui sont des logarithmes (mesurés sur une échelle logarithmique ), tels que des décibels (voir Décibel § Addition ), une probabilité log ou des log-vraisemblances . ${\ displaystyle b \ to \ infty}$${\ displaystyle b \ à 0}$

Définition

Les opérations sur le journal semiring peuvent être définies de manière extrinsèque en les mappant aux nombres réels non négatifs, en effectuant les opérations là-bas et en les mappant à nouveau. Les nombres réels non négatifs avec les opérations habituelles d'addition et de multiplication forment un semirage (il n'y a pas de négatifs), connu sous le nom de probabilité semirante , de sorte que les opérations log semirantes peuvent être considérées comme des retraits des opérations sur la probabilité semirante, et ces sont isomorphes comme des anneaux.

Formellement, étant donné les nombres réels étendus R ∪ {–∞, + ∞ } et une base b ≠ 1 , on définit:

${\ displaystyle {\ begin {aligné} x \ oplus _ {b} y & = \ log _ {b} \ left (b ^ {x} + b ^ {y} \ right) \\ x \ otimes _ {b} y & = \ log _ {b} \ left (b ^ {x} \ times b ^ {y} \ right) = \ log _ {b} \ left (b ^ {x + y} \ right) = x + y . \ end {aligné}}}$

Notez que quelle que soit la base, la multiplication logarithmique est la même que l'addition habituelle , puisque les logarithmes prennent la multiplication à l'addition; cependant, l'ajout de journaux dépend de la base. Les unités d'addition et de multiplication habituelles sont 0 et 1; en conséquence, l'unité pour l'addition logarithmique est pour et pour , et l'unité pour la multiplication logarithmique est , quelle que soit la base. ${\ Displaystyle x \ otimes _ {b} y = x + y}$${\ displaystyle \ log _ {b} 0 = - \ infty}$${\ displaystyle b> 1}$${\ displaystyle \ log _ {b} 0 = - \ log _ {1 / b} 0 = + \ infty}$${\ displaystyle b <1}$${\ displaystyle \ log 1 = 0}$

De manière plus concise, le journal unitaire semiring peut être défini pour la base e comme:

${\ displaystyle {\ begin {aligné} x \ oplus y & = \ log \ left (e ^ {x} + e ^ {y} \ right) \\ x \ otimes y & = x + y. \ end {aligné}} }$

avec unité additive −∞ et unité multiplicative 0; cela correspond à la convention max.

La convention inverse est également courante, et correspond à la base 1 / e , la convention minimale:

${\ displaystyle {\ begin {aligné} x \ oplus y & = - \ log \ left (e ^ {- x} + e ^ {- y} \ right) \\ x \ otimes _ {b} y & = x + y . \ end {aligné}}}$

avec unité additive + ∞ et unité multiplicative 0.

Propriétés

Un log semirage est en fait un demi - champ , puisque tous les nombres autres que l'unité additive −∞ (ou + ∞ ) ont un inverse multiplicatif, donné par puisque Ainsi la division log ⊘ est bien définie, bien que la soustraction log ⊖ ne soit pas toujours définie. ${\ displaystyle -x,}$${\ displaystyle x \ otimes -x = \ log _ {b} (b ^ {x} \ cdot b ^ {- x}) = \ log _ {b} (1) = 0.}$

Une moyenne peut être définie par l'addition logarithmique et la division logarithmique (comme la moyenne quasi-arithmétique correspondant à l'exposant), comme

${\ displaystyle M _ {\ mathrm {lm}} (x, y): = (x \ oplus y) \ oslash 2 = \ log _ {b} {\ bigl (} (b ^ {x} + b ^ {y }) / 2 {\ bigr)} = \ log _ {b} (b ^ {x} + b ^ {y}) - \ log _ {b} 2 = (x \ oplus y) - \ log _ {b } 2.}$

Notez qu'il ne s'agit que d'une addition décalée de puisque la division logarithmique correspond à une soustraction linéaire. ${\ displaystyle - \ log _ {b} 2,}$

Un log semiring a la métrique euclidienne habituelle, qui correspond à l' échelle logarithmique sur les nombres réels positifs .

De même, un log semiring a la mesure de Lebesgue habituelle , qui est une mesure invariante par rapport à la multiplication log (addition habituelle, translation géométrique) avec correspond à la mesure logarithmique sur la probabilité semirante .

Voir également

• Moyenne logarithmique
• LogSumExp
• Softmax

Remarques

Les références