Semiring - Semiring

En algèbre abstraite , un semi - anneau est une structure algébrique similaire à un anneau , mais sans l'exigence que chaque élément doit avoir un inverse additif .

Le terme appareil de forage est également utilisée de temps en temps, cette origine comme une blague, ce qui suggère que les plates - formes sont ri n gs sans n éléments egative, similaire à l' aide de rng signifie ar i ng sans multiplicative i dentity.

Les semi - anneaux tropicaux sont un domaine de recherche actif, reliant des variétés algébriques à des structures linéaires par morceaux .

Définition

Un semi - anneau est un ensemble muni de deux opérations binaires et appelées addition et multiplication, tel que : ${\style d'affichage R}$ ${\style d'affichage \,+\,}$ ${\style d'affichage \,\cdot ,\,}$

${\style d'affichage (R,+)}$ $(R, +)$ est un monoïde commutatif d' élément identité : ${\style d'affichage 0}$ ${\style d'affichage 0}$
- ${\style d'affichage (a+b)+c=a+(b+c)}$
- ${\style d'affichage 0+a=a=a+0}$
- ${\style d'affichage a+b=b+a}$
${\style d'affichage (R,\,\cdot \,)}$ ${\style d'affichage (R,\,\cdot \,)}$ est un monoïde avec l'élément d'identité : ${\style d'affichage 1}$ $1$
- $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
- $1\cdot a=a=a\cdot 1$
La multiplication à gauche et à droite se répartit sur l'addition :
- $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$
- ${\style d'affichage (a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)}$
Multiplication par annihile
: ${\style d'affichage 0}$ ${\style d'affichage 0}$ ${\style d'affichage R}$ $R$
- $0\cdot a=0=a\cdot 0$

Le symbole est généralement omis de la notation ; c'est-à- dire qu'il vient d'être écrit De même, un ordre d'opérations est accepté, selon lequel est appliqué avant ; c'est-à-dire est ${\style d'affichage \,\cdot \,}$ ${\style d'affichage a\cdot b}$ $ab.$ ${\style d'affichage \,\cdot \,}$ ${\style d'affichage \,+\,}$ ${\style d'affichage a+bc}$ ${\style d'affichage a+(bc).}$

Comparé à un anneau , un semi-anneau omet l'exigence d'inverses sous addition ; c'est-à-dire qu'il ne nécessite qu'un monoïde commutatif , pas un groupe commutatif . Dans un anneau, l'exigence inverse additive implique l'existence d'un zéro multiplicatif, donc ici il doit être spécifié explicitement. Si la multiplication d'un semi- anneau est commutative , alors on l'appelle un semi-anneau commutatif .

Certains auteurs préfèrent laisser de côté l'exigence qu'un semi-anneau ait un 0 ou un 1. Cela rend l'analogie entre l' anneau et le semi- anneau d' une part et le groupe et le semi - groupe d'autre part fonctionne plus facilement. Ces auteurs utilisent souvent rig pour le concept défini ici.

Théorie

On peut généraliser la théorie des algèbres (associatives) sur les anneaux commutatifs directement à une théorie des algèbres sur les semi-anneaux commutatifs.

Un semi-anneau dans lequel chaque élément est un idempotent additif (c'est-à-dire pour tous les éléments ) est appelé un ${\style d'affichage a+a=a}$ ${\style d'affichage a}$ semi-anneau idempotent . Les semi-anneaux idempotents sont spécifiques à la théorie des semi-anneaux puisque tout semi-anneau idempotent qui est aussi un anneau est en faittrivial. On peut définir unordre partiel sur un semi-anneau idempotent en définissantchaque fois(ou, de manière équivalente, s'il existe untel que). Lemoindre élémentpar rapport à cet ordresignifie quepour tout l'addition et la multiplication respectent l'ordre dans le sens quiimpliqueetet ${\style d'affichage \,\leq \,}$ ${\style d'affichage a\leq b}$ ${\style d'affichage a+b=b}$ ${\style d'affichage x}$ ${\style d'affichage a+x=b}$ ${\style d'affichage 0,}$ ${\style d'affichage 0\leq a}$ ${\style d'affichage a.}$ ${\style d'affichage a\leq b}$ $ac\leq bc$ $ca\leq cb$ ${\style d'affichage (a+c)\leq (b+c).}$

Applications

Les et semi-anneaux tropicaux sur les réels sont souvent utilisés dans l' évaluation des performances sur des systèmes à événements discrets. Les vrais nombres sont alors les « coûts » ou « heure d'arrivée » ; l'opération "max" correspond à devoir attendre tous les prérequis d'un événement (donc en prenant le temps maximal) tandis que l'opération "min" correspond à pouvoir choisir le meilleur choix, le moins coûteux ; et + correspond à l'accumulation le long du même chemin. ${\style d'affichage (\max ,+)}$ ${\style d'affichage (\min ,+)}$

L' algorithme de Floyd-Warshall pour les chemins les plus courts peut ainsi être reformulé comme un calcul sur une algèbre. De même, l' algorithme de Viterbi pour trouver la séquence d'états la plus probable correspondant à une séquence d'observation dans un modèle de Markov caché peut également être formulé comme un calcul sur une algèbre sur les probabilités. Ces algorithmes de programmation dynamique reposent sur la propriété distributive de leurs semi-anneaux associés pour calculer des quantités sur un grand nombre (éventuellement exponentiel) de termes plus efficacement que d'énumérer chacun d'eux. ${\style d'affichage (\min ,+)}$ ${\style d'affichage (\max ,\fois )}$

Exemples

Par définition, tout anneau est aussi un demi-anneau. Un exemple motivant d'un semi-anneau est l'ensemble des nombres naturels (y compris le nombre zéro ) sous l'addition et la multiplication ordinaires. De même, les nombres rationnels non négatifs et les nombres réels non négatifs forment des demi-anneaux. Tous ces semi-anneaux sont commutatifs. $\mathbb {N}$

En général

L'ensemble de tous les idéaux d'un anneau donné forme un semi-anneau idempotent par addition et multiplication d'idéaux.
Tout quantale unitaire est un semi-anneau idempotent sous jointure et multiplication.
Tout réseau distributif borné est un semi-anneau commutatif et idempotent sous join and meet.
En particulier, une algèbre booléenne est un tel semi-anneau. Un anneau booléen est aussi un semi-anneau (en effet, un anneau) mais il n'est pas idempotent sous addition . Un semi - anneau booléen est un semi-anneau isomorphe à un sous-semiring d'une algèbre booléenne.
Un réseau asymétrique normal dans un anneau est un semi- anneau idempotent pour les opérations multiplication et nabla, où cette dernière opération est définie par ${\style d'affichage R}$ $a\nabla b=a+b+ba-aba-bab.$
Tout c-semiring est également un semiring, où l'addition est idempotente et définie sur des ensembles arbitraires.
Les classes d'isomorphisme d'objets dans n'importe quelle catégorie distributive , sous les opérations de coproduit et de produit , forment un semi-anneau connu sous le nom de plate-forme Burnside. Un rig Burnside est un ring si et seulement si la catégorie est triviale .

Semiring d'ensembles

Un semi-anneau ( d'ensembles ) est une collection non vide de sous-ensembles de tels que ${\style d'affichage S}$ ${\style d'affichage X}$

$\varnothing \in S.$
Si et alors ${\style d'affichage E\dans S}$ $F\in S$ $E\cap F\in S.$
Si et alors il existe un nombre fini d'ensembles mutuellement disjoints pour tel que ${\style d'affichage E\dans S}$ $F\in S$ $C_{i}\in S$ $i=1,\ldots ,n$ $E\setminus F=\bigcup _{i=1}^{n}C_{i}.$

Les conditions (2) et (3) impliquent ainsi que de tels semi-anneaux sont utilisés en théorie de la mesure . Un exemple d'un demi-anneau d'ensembles est la collection d' intervalles réels mi-ouverts, mi-fermés $S\neq \varnothing$ $\varnothing \in S.$ $[a,b)\subset \mathbb {R} .$

UNE semialgebra surest un semianneau qui possèdetant qu'élément. ${\style d'affichage X}$ ${\style d'affichage X}$

Exemples spécifiques

Les fractions terminales (non négatives) dans un système de nombres positionnels à une base donnée Nous avons ‍ si divise En outre, est l'anneau de toutes les fractions terminales à la base et est dense en pour ${\frac {\mathbb {N} _{0}}{b^{\mathbb {N} _{0}}}} :=\left\{mb^{-n}:m,n\ dans \mathbb {N} _{0}\right\}$ $b\in \mathbb {N} .$ ${\frac {\mathbb {N} _{0}}{b^{\mathbb {N} _{0}}}}\subseteq {\frac {\mathbb {N} _{0}}{ c^{\mathbb {N} _{0}}}}$ ${\style d'affichage b}$ ${\style d'affichage c.}$ ${\frac {\mathbb {Z} _{0}}{b^{\mathbb {Z} _{0}}}} :={\frac {\mathbb {N} _{0}}{ b^{\mathbb {N} _{0}}}}\cup \left(-{\frac {\mathbb {N} _{0}}{b^{\mathbb {N} _{0}}} }\droit)$ ${\style d'affichage b,}$ $\mathbb {Q}$ ${\style d'affichage |b|>1.}$
Les nombres naturels étendus avec addition et multiplication étendues (et ). $\mathbb {N} \cup \{\infty \}$ $0\cdot \infty =0$
Étant donné un demi - anneau, le demi - anneau matriciel des matrices carrées forme un demi-anneau par addition et multiplication ordinaires de matrices, et ce demi-anneau de matrices est généralement non commutatif même s'il peut être commutatif. Par exemple, les matrices à entrées non négatives, forment un semi-anneau matriciel. ${\style d'affichage S,}$ ${\style d'affichage M_{n}(S)}$ $n{\text{ par }}n$ ${\style d'affichage S}$ $M_{n}(\mathbb {N} ),$
Si est un monoïde commutatif, l'ensemble des endomorphismes forme presque un semi-anneau, où l'addition est une addition ponctuelle et la multiplication est une composition de fonction . Le morphisme zéro et l'identité sont les éléments neutres respectifs. Ce n'est pas un vrai semi-anneau car la composition ne se distribue pas à gauche sur l'addition ponctuelle : Si est le monoïde additif des entiers naturels on obtient le semi-anneau des entiers naturels comme et si avec un semi-anneau, on obtient (après avoir associé chaque morphisme à une matrice ) le demi-anneau de matrices carrées à coefficients dans ${\style d'affichage A}$ $\operatorname {Fin} (A)$ $f:A\to A$ $a\cdot (b+c)\neq (a\cdot b)+(a\cdot c).$ ${\style d'affichage A}$ $\operatorname {Fin} (A),$ ${\style d'affichage A=S^{n}}$ ${\style d'affichage S}$ $n{\text{ par }}n$ ${\style d'affichage S.}$
Les Le semi -anneau booléen est le semi-anneau commutatifformé par l'algèbre booléenne à deux élémentset défini parIl est idempotent et est l'exemple le plus simple d'un semi-anneau qui n'est pas un anneau. Étant donné deux ensembleset desrelations binairesentreetcorrespondent à des matrices indexées paretavec des entrées dans le semi-anneau booléen, l'addition matriciellecorrespond à l'union de relations etla multiplication matriciellecorrespond à lacomposition de relations. $\mathbf {B}$ ${\style d'affichage 1+1=1.}$ ${\style d'affichage X}$ ${\style d'affichage Y,}$ ${\style d'affichage X}$ ${\style d'affichage Y}$ ${\style d'affichage X}$ ${\style d'affichage Y}$
Étant donné un ensemble, l'ensemble des relations binaires sur est un semi-anneau avec en plus l'union (des relations en tant qu'ensembles) et la multiplication la composition des relations . Le zéro du demi-anneau est la relation vide et son unité est la relation d'identité . Ces relations correspondent au semi-anneau matriciel (en effet, semi-algèbre matriciel) de matrices carrées indexées par avec des entrées dans le semi-anneau booléen, puis l'addition et la multiplication sont les opérations matricielles habituelles, tandis que zéro et l'unité sont la matrice zéro et la matrice identité habituelles . ${\style d'affichage U,}$ ${\style d'affichage U}$ ${\style d'affichage U}$
L'ensemble des polynômes à coefficients naturels, noté forme un semi-anneau commutatif. En fait, c'est la libre semianneau commutative sur un seul générateur $\mathbb {N} [x],$ ${\style d'affichage \{x\}.}$
Les semi - anneaux tropicaux sont définis de diverses manières. Le semi -anneau max-plus est un semi -anneau commutatif et idempotent servant d'addition de semi-anneau (identité ) et d'addition ordinaire (identité 0) servant de multiplication de semi-anneau. Dans une formulation alternative, le semi-anneau tropical est et min remplace max comme opération d'addition. Une version associée a comme ensemble sous-jacent. $\mathbb {R} \cup \{-\infty \}$ ${\style d'affichage \max(a,b)}$ $-\infty$ $\mathbb {R} \cup \{\infty \},$ $\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$
L'ensemble des nombres cardinaux plus petits que n'importe quel cardinal infini donné forme un semi-anneau sous addition et multiplication cardinales. La classe de tous les cardinaux d'un modèle interne forme un (classe) semi-anneau sous (modèle interne) l'addition et la multiplication cardinales.
Les semi - anneau de probabilité de nombres réels non négatifs sous l'addition et la multiplication habituelles.
Le journal semiring on avec l'addition donnée par $\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$
$x\oplus y=-\log \left(e^{-x}+e^{-y}\right)$ avec élément zéro de multiplication et élément unitaire ${\style d'affichage \,+,\,}$ ${\style d'affichage +\infty ,}$ ${\style d'affichage 0.}$
La famille des (classes d'équivalence d'isomorphisme de) classes combinatoires (ensembles d'un nombre dénombrable d'objets avec des tailles entières non négatives telles qu'il y a un nombre fini d'objets de chaque taille) avec la classe vide comme objet zéro, la classe constituée uniquement de l'objet vide défini comme unité, union disjointe de classes comme addition et produit cartésien de classes comme multiplication.
Le semi-anneau de Łukasiewicz : l'intervalle fermé avec addition donnée en prenant le maximum des arguments ( ) et multiplication donnée par apparaît dans la logique multivaluée . ${\style d'affichage [0,1]}$ ${\style d'affichage a+b=\max(a,b)}$ $ab$ ${\style d'affichage \max(0,a+b-1)}$
Le semi-anneau de Viterbi est également défini sur l'ensemble de base et a le maximum comme addition, mais sa multiplication est la multiplication habituelle des nombres réels. Il apparaît dans l' analyse probabiliste . ${\style d'affichage [0,1]}$
Étant donné un alphabet (ensemble fini) Σ, l'ensemble des langues formelles sur (sous-ensembles de ) est un semi-anneau avec le produit induit par la concaténation et l'addition de chaînes en tant qu'union des langues (c'est-à-dire l'union ordinaire en tant qu'ensembles). Le zéro de ce semi-anneau est l'ensemble vide (langue vide) et l'unité du semi-anneau est la langue contenant uniquement la chaîne vide . ${\style d'affichage \Sigma }$ $\Sigma ^{*}$ $L_{1}\cdot L_{2}=\left\{w_{1}w_{2}:w_{1}\in L_{1},w_{2}\in L_{2}\right \}$
En généralisant l'exemple précédent (en le visualisant comme le monoïde libre sur ), prenez n'importe quel monoïde ; l'ensemble de puissance de tous les sous-ensembles de forme un semi-anneau sous l'union de la théorie des ensembles en tant qu'addition et multiplication par ensemble : $\Sigma ^{*}$ ${\style d'affichage \Sigma }$ ${\style d'affichage M}$ ${\style d'affichage \wp (M)}$ ${\style d'affichage M}$ $U\cdot V=\{u\cdot v:u\in U,\ v\in V\}.$
De même, si est un monoïde, l'ensemble des finis multijeux en forme un semianneau. C'est-à-dire qu'un élément est une fonction ; étant donné qu'un élément de la fonction vous indique combien de fois cet élément apparaît dans le multi-ensemble qu'il représente. L'unité additive est la fonction zéro constante. L'unité multiplicative est la fonction correspondant à et tous les autres éléments de to La somme est donnée par et le produit est donné par $(M,e,\cdot )$ ${\style d'affichage M}$ $f:M\to \mathbb {N}$ ${\style d'affichage M,}$ ${\style d'affichage e}$ ${\style d'affichage 1,}$ ${\style d'affichage M}$ ${\style d'affichage 0.}$ ${\style d'affichage (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$ $(fg)(x)=\sum \{f(y)g(z):y\cdot z=x\}.$

Variantes

Semi-anneaux complets et continus

Un semi - anneau complet est un semi-anneau pour lequel le monoïde additif est un monoïde complet , ce qui signifie qu'il a une opération de somme infinitée pour tout ensemble d'indices et que les lois de distribution (infinitaires) suivantes doivent être vérifiées : $\Sigma _{I}$ ${\style d'affichage I}$

\sum _{i\in I}{\left(a\cdot a_{i}\right)}=a\cdot \left(\sum _{i\in I}{a_{i}}\ right),\qquad \sum _{i\in I}{\left(a_{i}\cdot a\right)}=\left(\sum _{i\in I}{a_{i}}\right )\cdot a.

Des exemples d'un semi-anneau complet sont l'ensemble de puissance d'un monoïde sous union et le semi-anneau matriciel sur un semi-anneau complet.

Un semi - anneau continu est défini de la même manière comme celui pour lequel le monoïde d'addition est un monoïde continu . C'est-à-dire partiellement ordonné avec la propriété de borne supérieure la moins élevée , et pour lequel l'addition et la multiplication respectent l'ordre et le suprema. Le semi-anneau avec addition, multiplication et ordre étendu habituels est un semi-anneau continu. $\mathbb {N} \cup \{\infty \}$

Tout semi-anneau continu est complet : cela peut être pris dans le cadre de la définition.

demi-anneaux étoiles

Un demi-anneau étoilé (parfois orthographié starsemiring ) est un demi-anneau avec un opérateur unaire supplémentaire ^∗ , satisfaisant

a^{*}=1+aa^{*}=1+a^{*}a.

Une algèbre de Kleene est un demi-anneau en étoile avec une addition idempotente. Ils sont importants dans la théorie des langages formels et des expressions régulières .

Demi-anneaux étoiles complets

Dans un demi - anneau étoile complet , l'opérateur étoile se comporte plutôt comme l' étoile de Kleene habituelle : pour un demi-anneau complet on utilise l'opérateur somme infini pour donner la définition habituelle de l'étoile de Kleene :

a^{*}=\sum _{j\geq 0}{a^{j}},

où

a^{j}={\begin{cases}1,&j=0,\\a\cdot a^{j-1}=a^{j-1}\cdot a,&j>0.\ fin{cas}}

Semi-anneau de Conway

Un demi - anneau de Conway est un demi-anneau en étoile satisfaisant les équations somme-étoile et produit-étoile :

{\begin{aligned}(a+b)^{*}&=\left(a^{*}b\right)^{*}a^{*},\\(ab)^{* }&=1+a(ba)^{*}b.\end{aligned}}

Chaque demi-anneau en étoile complet est également un demi-anneau Conway, mais l'inverse n'est pas vrai. Un exemple de semi-anneau de Conway qui n'est pas complet est l'ensemble des nombres rationnels non négatifs étendus avec l'addition et la multiplication habituelles (il s'agit d'une modification de l'exemple avec des nombres réels non négatifs étendus donné dans cette section en éliminant les nombres irrationnels). $\mathbb {Q} _{\geq 0}\cup \{\infty \}$

Un semi - anneau d'itération est un semi-anneau de Conway satisfaisant les axiomes des groupes de Conway, associé par John Conway aux groupes en étoiles-semirings.

Exemples

Voici des exemples de demi-anneaux en étoile :

le semi-anneau ( mentionné ci-dessus ) de relations binaires sur un ensemble de base dans lequel pour tous Cette opération en étoile est en fait la fermeture réflexive et transitive de (c'est-à-dire la plus petite relation binaire réflexive et transitive sur contenant ). ${\style d'affichage U}$ $R^{*}=\bigcup _{n\geq 0}R^{n}$ $R\subseteq U\times U.$ ${\style d'affichage R}$ ${\style d'affichage U}$ ${\style d'affichage R.}$
le semi - anneau des langages formels est aussi un semi-anneau complet en étoile, l'opération étoile coïncidant avec l'étoile de Kleene (pour les ensembles/langues).
L'ensemble des réels étendus non négatifs avec l'addition et la multiplication habituelles des réels est un demi-anneau en étoile complet avec l'opération en étoile donnée par pour (c'est-à-dire la série géométrique ) et pour ${\style d'affichage [0,\infty ]}$ $a^{*}={\frac {1}{1-a}}$ ${\style d'affichage 0\leq a<1}$ $a^{*}=\infty$ $a\geq 1.$
Le semi-anneau booléen avec ${\style d'affichage 0^{*}=1^{*}=1.}$
Le semi-anneau avec addition et multiplication étendues, et pour $\mathbb {N} \cup \{\infty \},$ $0^{*}=1,a^{*}=\infty$ $a\geq 1.$

Dioïde

Le terme dioïde (pour "double monoïde") a été utilisé pour désigner différents types de semi-anneaux :

Il a été utilisé par Kuntzman en 1972 pour désigner ce que l'on appelle maintenant le semi-anneau.
L'utilisation pour signifier sous-groupe idempotent a été introduite par Baccelli et al. en 1992.
Le nom « dioïde » est aussi parfois utilisé pour désigner des demi-anneaux naturellement ordonnés .

Généralisations

Une généralisation des semi-anneaux ne nécessite pas l'existence d'une identité multiplicative, de sorte que la multiplication est un semi - groupe plutôt qu'un monoïde. De telles structures sont appelées hémirings ou pré-semirings . Une autre généralisation sont les pré-semirings gauches , qui ne nécessitent pas non plus de distributivité à droite (ou les pré-semirings à droite , qui ne nécessitent pas de distributivité à gauche).

Pourtant, une autre généralisation sont des quasi-semirings : en plus de ne pas nécessiter d'élément neutre pour le produit, ou de distributivité à droite (ou de distributivité à gauche), ils ne nécessitent pas d'addition pour être commutatifs. Tout comme les nombres cardinaux forment un semi -anneau (de classe), les nombres ordinaux forment un anneau proche , lorsque l' addition et la multiplication ordinales standard sont prises en compte. Cependant, la classe des ordinaux peut être transformée en un semi-anneau en considérant à la place les opérations dites naturelles (ou Hessenberg) .

Dans la théorie des catégories , un 2-plate - forme est une catégorie avec fonctorielles opérations analogues à celles d'un appareil de forage. Que les nombres cardinaux forment un rig peut être catégorisé pour dire que la catégorie des ensembles (ou plus généralement, tout topos ) est un 2-rig.

Voir également

Anneau d'ensembles – Famille fermée sous unions et compléments relatifs
Algèbre d'évaluation

Remarques

Citations

Bibliographie

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François Baccelli , Guy Cohen, Geert Jan Olsder, Jean-Pierre Quadrat, Synchronisation et linéarité (version en ligne) , Wiley, 1992, ISBN 0-471-93609-X
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Lectures complémentaires

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Gondran, Michel ; Minoux, Michel (2008). Graphes, dioïdes et semi-anneaux : nouveaux modèles et algorithmes . Série d'interfaces de recherche opérationnelle/informatique. 41 . Dordrecht : Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-75450-5. Zbl 1201.16038 .
Grillet, Mireille P. (1970). "Les relations des Verts dans un semiring" . Port. Mathématiques . 29 : 181-195. Zbl 0227.16029 .
Gunawardena, Jeremy (1998). "Une introduction à l'idempotence". Dans Gunawardena, Jeremy (éd.). Idempotence. D'après un atelier, Bristol, Royaume-Uni, 3-7 octobre 1994 (PDF) . Cambridge : Cambridge University Press . p. 1–49. Zbl 0898.16032 .
Jipsen, P. (2004). « Des semi-anneaux aux réseaux de Kleene résiduels ». Studia Logica . 76 (2) : 291-303. doi : 10.1023/B:STUD.00000032089.54776.63 . S2CID 9946523 . Zbl 1045.03049 .
Steven Dolan (2013) Fun with Semirings , doi : 10.1145/2500365.2500613

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