Semi-terrain - Semifield

Structure algébrique → Théorie des anneaux Théorie des anneaux
Concepts de base Anneaux • Sous-anneaux • Idéal • Anneau de quotient • Idéal fractionnaire • Anneau de quotient total • Anneau de produit • Produit libre d'algèbres associatives • Produit tensoriel des anneaux Homomorphismes en anneaux • Noyau • Automorphisme interne • Endomorphisme de Frobenius Structures algébriques • Module • Algèbre associative • Anneau gradué • Anneau involutif • Catégorie de bagues • Sonnerie initiale ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ • Anneau de borne ${\displaystyle 0=\mathbb {Z} _{1}}$ Structures associées • Champ • Champ fini • Anneau non associatif • Anneau de mensonge • Bague Jordan • Semiring • Semi-terrain
Algèbre commutative Anneaux commutatifs • Domaine intégral • Domaine entièrement fermé • Domaine GCD • Domaine de factorisation unique • Domaine idéal principal • Domaine euclidien • Champ • Champ fini • Bague de composition • Anneau polynomial • Bague formelle de la série Power Théorie algébrique des nombres • Champ de nombre algébrique • Anneau d'entiers • Indépendance algébrique • Théorie transcendantale des nombres • Degré de transcendance théorie des nombres p- adiques et nombres décimaux • Limite directe / Limite inverse • Anneau zéro ${\displaystyle \mathbb {Z} _{1}}$ • Entiers modulo p n ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ • Anneau en p de Prüfer ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$ • Base - anneau de cercle p ${\displaystyle \mathbb {T} }$ • Base - p entiers ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ • rationnels p -adiques ${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]}$ • Base - p nombres réels ${\displaystyle \mathbb {R} }$ • entiers p -adiques ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ • nombres p- adiques ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ • solénoïde p- adique ${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$ Géométrie algébrique • Variété affine
Algèbre non commutative Anneaux non commutatifs • Anneau de division • Anneau semi-primitif • Bague simple • Commutateur Géométrie algébrique non commutative Algèbre libre algèbre de Clifford • Algèbre géométrique Algèbre des opérateurs
v t e

En mathématiques , un demi - champ est une structure algébrique avec deux opérations binaires , addition et multiplication, qui est similaire à un champ , mais avec quelques axiomes détendus.

Aperçu

Le terme semifield a deux significations contradictoires, qui incluent toutes deux les champs comme cas particulier.

• En géométrie projective et géométrie finie ( MSC 51A, 51E, 12K10), un demi - champ est un anneau de division non associatif avec élément d'identité multiplicatif. Plus précisément, il s'agit d'un anneau non associatif dont les éléments non nuls forment une boucle sous multiplication. En d'autres termes, un demi-corps est un ensemble S avec deux opérations + (addition) et · (multiplication), tels que
  • ( S ,+) est un groupe abélien ,
  • la multiplication est distributive à gauche et à droite,
  • il existe un élément d' identité multiplicatif , et
  • la division est toujours possible : pour tout a et tout b non nul dans S , il existe des x et y uniques dans S pour lesquels b · x = a et y · b = a .

Notez en particulier que la multiplication n'est pas supposée être commutative ou associative . Un demi - champ associatif est un anneau de division , et un demi - champ associatif et commutatif est un champ . Un semifield par cette définition est un cas particulier d'un quasifield . Si S est fini, le dernier axiome de la définition ci-dessus peut être remplacé par l'hypothèse qu'il n'y a pas de diviseurs nuls , de sorte que a · b = 0 implique que a = 0 ou b = 0. Notez qu'en raison du manque d'associativité , le dernier axiome n'est pas équivalent à l'hypothèse que chaque élément non nul a un inverse multiplicatif, comme on le trouve généralement dans les définitions des champs et des anneaux de division.

• En théorie des anneaux , en combinatoire , en analyse fonctionnelle et en informatique théorique ( MSC 16Y60), un demi - champ est un demi - anneau ( S ,+,·) dans lequel tous les éléments non nuls ont un inverse multiplicatif. Ces objets sont également appelés semi-champs propres . Une variation de cette définition se produit si S contient un zéro absorbant qui est différent de l'unité multiplicative e , il est nécessaire que les éléments non nuls soient inversibles, et a ·0 = 0· a = 0. Puisque la multiplication est associative , le les éléments (non nuls) d'un demi-champ forment un groupe . Cependant, la paire ( S ,+) n'est qu'un semi - groupe , c'est -à -dire que l'inverse additif n'a pas besoin d'exister, ou, familièrement, « il n'y a pas de soustraction ». Parfois, on ne suppose pas que la multiplication est associative.

Primitivité des demi-champs

Un demi-champ D est appelé primitive droite (resp. gauche) s'il a un élément w tel que l'ensemble des éléments non nuls de D* est égal à l'ensemble de toutes les puissances principales droites (resp. gauche) de w.

Exemples

Nous ne donnons que des exemples de demi-corps au second sens, c'est-à-dire des demi-groupes additifs à multiplication distributive. De plus, l'addition est commutative et la multiplication est associative dans nos exemples.

• Les nombres rationnels positifs avec l'addition et la multiplication habituelles forment un demi-corps commutatif.

  Cela peut être prolongé par un 0 absorbant.

• Les nombres réels positifs avec l'addition et la multiplication habituelles forment un demi-champ commutatif.

  Cela peut être prolongé par un 0 absorbant, formant le semi - anneau de probabilité , qui est isomorphe au log semi-anneau .

• Les fonctions rationnelles de la forme f / g , où f et g sont des polynômes à une variable à coefficients positifs, forment un demi-champ commutatif.

  Cela peut être étendu pour inclure 0.

• Les nombres réels R peuvent être considérés comme un demi-champ où la somme de deux éléments est définie comme étant leur maximum et le produit comme leur somme ordinaire ; ce demi-champ est noté de manière plus compacte ( R , max, +). De même ( R , min, +) est un demi-champ. C'est ce qu'on appelle le semi-anneau tropical .

  Ceci peut être étendu de −∞ (un 0 absorbant); c'est la limite ( tropicalisation ) du semi-anneau du log lorsque la base tend vers l'infini.

• En généralisant l'exemple précédent, si ( A ,·,≤) est un groupe ordonné en treillis alors ( A ,+,·) est un demi-champ additivement idempotent avec la somme des demi-champs définie comme étant le supremum de deux éléments. Inversement, toute additivement idempotent semifield ( A , +, ·) définit un groupe réticulé ( A , ·, ≤), où a ≤ b si et seulement si un + b = b .
• Le demi-champ booléen B = {0, 1} avec une addition définie par ou logique , et une multiplication définie par et logique .

Voir également

• Anneau ternaire planaire (premier sens)

Les références