Champ parfait - Perfect field

En algèbre , un corps k est parfait si l'une des conditions équivalentes suivantes est vérifiée :

• Tout polynôme irréductible sur k a des racines distinctes.
• Tout polynôme irréductible sur k est séparable .
• Toute extension finie de k est séparable .
• Toute extension algébrique de k est séparable.
• Soit k a la caractéristique 0, soit, lorsque k a la caractéristique p > 0 , chaque élément de k est une puissance p .
• Soit k a la caractéristique 0, soit, lorsque k a la caractéristique p > 0 , l' endomorphisme de Frobenius x ↦ x ^p est un automorphisme de k .
• La fermeture séparable de k est algébriquement fermée .
• Toute k -algèbre commutative réduite A est une algèbre séparable ; c'est-à-dire qu'il est réduit pour chaque extension de champ F / k . (voir ci-dessous) ${\displaystyle A\fois _{k}F}$

Sinon, k est dit imparfait .

En particulier, tous les corps de caractéristique zéro et tous les corps finis sont parfaits.

Les champs parfaits sont importants parce que la théorie de Galois sur ces champs devient plus simple, puisque l'hypothèse générale de Galois selon laquelle les extensions de champ sont séparables est automatiquement satisfaite sur ces champs (voir la troisième condition ci-dessus).

Une autre propriété importante des champs parfaits est qu'ils admettent des vecteurs de Witt .

Plus généralement, un anneau de caractéristique p ( p a prime ) est dit parfait si l' endomorphisme de Frobenius est un automorphisme . (Lorsqu'il est limité aux domaines intégraux , cela équivaut à la condition ci-dessus "chaque élément de k est une puissance p ".)

Exemples

Exemples de champs parfaits :

• tout corps de caractéristique zéro, so et toute extension finie, et ;${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$
• tout corps fini ;${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$
• tout corps algébriquement clos ;
• l'union d'un ensemble de corps parfaits totalement ordonnés par extension ;
• champs algébriques sur un corps parfait.

La plupart des domaines rencontrés en pratique sont parfaits. Le cas imparfait se présente principalement en géométrie algébrique en caractéristique p > 0 . Tout champ imparfait est nécessairement transcendant à son sous-champ premier (le sous-champ minimal), car ce dernier est parfait. Un exemple de champ imparfait est le champ , puisque le Frobenius envoie et donc il n'est pas surjectif. Il s'intègre dans le champ parfait ${\displaystyle \mathbf {F} _{q}(x)}$${\displaystyle x\mapsto x^{p}}$

${\displaystyle \mathbf {F} _{q}(x,x^{1/p},x^{1/p^{2}},\ldots )}$

appelé sa perfection . Les champs imparfaits causent des difficultés techniques car des polynômes irréductibles peuvent devenir réductibles dans la fermeture algébrique du champ de base. Par exemple, considérons pour un champ imparfait de caractéristique et un pas p puissance -ième en f . Alors dans sa clôture algébrique , l'égalité suivante est vérifiée : ${\displaystyle f(x,y)=x^{p}+ay^{p}\in k[x,y]}$${\style d'affichage k}$${\style d'affichage p}$${\displaystyle k^{\operatorname {alg} }[x,y]}$

${\displaystyle f(x,y)=(x+by)^{p},}$

où b ^p = a et tel b existe dans cette clôture algébrique. Géométriquement, cela signifie que ne définit pas une courbe plane affine dans . ${\style d'affichage f}$${\style d'affichage k[x,y]}$

Extension de champ sur un champ parfait

Toute extension de corps de génération finie K sur un corps parfait k est de génération séparable, ie admet une base de transcendance séparatrice , c'est-à-dire une base de transcendance telle que K est séparablement algébrique sur k (Γ).

Fermeture parfaite et perfection

Une des conditions équivalentes dit que, dans la caractéristique p , un corps joint à toutes les racines p ^r -ième ( r 1 ) est parfait ; c'est ce qu'on appelle la fermeture parfaite de k et généralement notée par . ${\displaystyle k^{p^{-\infty }}}$

La fermeture parfaite peut être utilisée dans un test de séparabilité. Plus précisément, une k -algèbre commutative A est séparable si et seulement si est réduite. ${\displaystyle A\otimes _{k}k^{p^{-\infty }}}$

En termes de propriétés universelles , la fermeture parfaite d' un anneau A de caractéristique p est un anneau parfait A _p de caractéristique p avec un homomorphisme d' anneau u  : A → A _p tel que pour tout autre anneau parfait B de caractéristique p avec un homomorphisme v  : A → B il existe un unique homomorphisme f  : A _p → B tel que v se factorise par u (ie v = fu ). La fermeture parfaite existe toujours ; la preuve fait intervenir "les racines p -ième adjacentes des éléments de A ", similaire au cas des champs.

La perfection d'un anneau A de caractéristique p est la notion duale (bien que ce terme soit parfois utilisé pour la fermeture parfaite). En d' autres termes, la perfection R ( A ) de A est un cycle parfait de caractéristique p avec une carte θ  : R ( A ) → A tel que pour tout anneau parfait B de caractéristique p équipé d'une carte φ  : B → A , il y a une unique application f  : B → R ( a ) de telle sorte que & phiv facteurs par le biais θ (ie φ = θf ). La perfection de A peut être construite comme suit. Considérons le système projectif

${\displaystyle \cdots \rightarrow A\rightarrow A\rightarrow A\rightarrow \cdots }$

où les cartes de transition sont l'endomorphisme de Frobenius. La limite inverse de ce système est R ( A ) et consiste en des suites ( x ₀ , x ₁ , ... ) d' éléments de A telles que pour tout i . La carte θ  : R ( A ) → A envoie ( x _i ) à x ₀ . ${\displaystyle x_{i+1}^{p}=x_{i}}$

Voir également

• anneau p
• Bague parfaite
• Champ quasi-fini

Remarques

Les références

Liens externes

• "Champ parfait" , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press , 2001 [1994]