Courbure de Ricci - Ricci curvature

En géométrie différentielle , le tenseur de courbure de Ricci , du nom de Gregorio Ricci-Curbastro , est un objet géométrique qui est déterminé par un choix de métrique riemannienne ou pseudo-riemannienne sur une variété . Il peut être considéré, au sens large, comme une mesure du degré auquel la géométrie d'un tenseur métrique donné diffère localement de celle de l' espace euclidien ordinaire ou de l' espace pseudo-euclidien .

Le tenseur de Ricci peut être caractérisé par la mesure de la façon dont une forme est déformée lorsque l'on se déplace le long des géodésiques dans l'espace. En relativité générale , qui fait intervenir le cadre pseudo-riemannien, cela se traduit par la présence du tenseur de Ricci dans l' équation de Raychaudhuri . En partie pour cette raison, les équations de champ d'Einstein proposent que l'espace-temps puisse être décrit par une métrique pseudo-riemannienne, avec une relation étonnamment simple entre le tenseur de Ricci et le contenu en matière de l'univers.

Comme le tenseur métrique, le tenseur de Ricci assigne à chaque espace tangent de la variété une forme bilinéaire symétrique ( Besse 1987 , p. 43). D'une manière générale, on pourrait faire une analogie entre le rôle de la courbure de Ricci en géométrie riemannienne et celui du laplacien dans l'analyse des fonctions ; dans cette analogie, le tenseur de courbure de Riemann , dont la courbure de Ricci est un sous-produit naturel, correspondrait à la matrice complète des dérivées secondes d'une fonction. Cependant, il existe d' autres façons de faire la même analogie.

En topologie tridimensionnelle , le tenseur de Ricci contient toutes les informations qui, dans les dimensions supérieures, sont codées par le tenseur de courbure de Riemann plus compliqué . En partie, cette simplicité permet l'application de nombreux outils géométriques et analytiques, qui ont conduit à la solution de la conjecture de Poincaré grâce aux travaux de Richard S. Hamilton et Grigory Perelman .

En géométrie différentielle, des bornes inférieures sur le tenseur de Ricci sur une variété riemannienne permettent d'extraire des informations géométriques et topologiques globales par comparaison (cf. théorème de comparaison ) avec la géométrie d'une forme d'espace à courbure constante . Ceci est dû au fait que les limites inférieures du tenseur de Ricci peuvent être utilisées avec succès dans l'étude de la fonction de longueur en géométrie riemannienne, comme montré pour la première fois en 1941 via le théorème de Myers .

Une source commune du tenseur de Ricci est qu'il apparaît chaque fois que l'on commute la dérivée covariante avec le tenseur Laplacien. Ceci, par exemple, explique sa présence dans la formule de Bochner , qui est utilisée omniprésente dans la géométrie riemannienne. Par exemple, cette formule explique pourquoi les estimations de gradient dues à Shing-Tung Yau (et leurs développements tels que les inégalités de Cheng-Yau et Li-Yau) dépendent presque toujours d'une borne inférieure pour la courbure de Ricci.

En 2007, John Lott , Karl-Theodor Sturm et Cedric Villani ont démontré de manière décisive que les limites inférieures de la courbure de Ricci peuvent être entièrement comprises en termes de structure spatiale métrique d'une variété riemannienne, ainsi que de sa forme volumique. Cela a établi un lien profond entre la courbure de Ricci et la géométrie de Wasserstein et le transport optimal , qui fait actuellement l'objet de nombreuses recherches.

Définition

La première sous-section ici est conçue comme une indication de la définition du tenseur de Ricci pour les lecteurs qui sont à l'aise avec l'algèbre linéaire et le calcul multivariable. Les sous-sections suivantes utilisent une terminologie plus sophistiquée.

Introduction et définition locale

Soit U un ouvert de ℝ ⁿ , et pour chaque couple de nombres i et j compris entre 1 et n , soit g _ij  : U → ℝ une fonction lisse, à condition que, pour chaque p dans U , la matrice

${\displaystyle {\begin{pmatrix}g_{11}(p)&\cdots &g_{1n}(p)\\\vdots &\ddots &\vdots \\g_{n1}(p)&\cdots &g_{ nn}(p)\end{pmatrix}}}$

est symétrique et inversible . Pour chaque p dans U , soit [ g ^ij ( p )] l' inverse de la matrice ci - dessus [ g _ij ( p )] . Les fonctions R _ij sont définies explicitement par les formules suivantes :

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{ij}={}&-{\frac {1}{2}}\sum _{a,b=1}^{n}\left({\frac {\ partiel ^{2}g_{ij}}{\partial x^{a}\partial x^{b}}}+{\frac {\partial ^{2}g_{ab}}{\partial x^{i }\partial x^{j}}}-{\frac {\partial ^{2}g_{ib}}{\partial x^{j}\partial x^{a}}}-{\frac {\partial ^{2}g_{jb}}{\partial x^{i}\partial x^{a}}}\right)g^{ab}\\&+{\frac {1}{2}}\sum _{a,b,c,d=1}^{n}\left({\frac {1}{2}}{\frac {\partial g_{ac}}{\partial x^{i}}} {\frac {\partial g_{bd}}{\partial x^{j}}}+{\frac {\partial g_{ic}}{\partial x^{a}}}{\frac {\partial g_ {jd}}{\partial x^{b}}}-{\frac {\partial g_{ic}}{\partial x^{a}}}{\frac {\partial g_{jb}}{\partial x^{d}}}\right)g^{ab}g^{cd}\\&-{\frac {1}{4}}\sum _{a,b,c,d=1}^{ n}\gauche({\frac {\partial g_{jc}}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial g_{ic}}{\partial x^{j}}}-{ \frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{c}}}\right)\left(2{\frac {\partial g_{bd}}{\partial x^{a}}}-{ \frac {\partial g_{ab}}{\partial x^{d}}}\right)g^{ab}g^{cd}.\end{aligned}}}$

On peut voir directement à partir de l'examen de cette formule que R _ij doit être égal à R _ji pour tout i et j . On peut donc voir les fonctions R _ij comme associant à tout point p de U une matrice symétrique n × n . Cette application matricielle sur U est appelée la courbure de Ricci associée à la collection de fonctions g _ij .

Tel que présenté, il n'y a rien d'intuitif ou de naturel dans la définition de la courbure de Ricci. Il n'est choisi comme objet d'étude que parce qu'il satisfait à la propriété remarquable suivante. Soit V ⊂ ℝ ⁿ un autre ouvert et soit y  : V → U une application lisse dont la matrice des dérivées premières

${\displaystyle J(q)={\begin{pmatrix}D_{1}y^{1}(q)&\cdots &D_{n}y^{1}(q)\\\vdots &\ddots &\ vdots \\D_{1}y^{n}(q)&\cdots &D_{n}y^{n}(q)\end{pmatrix}}}$

est inversible pour tout choix de q de V . Définir g _ij  : V → ℝ par le produit matriciel

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\overline {g}}_{11}(q)&\cdots &{\overline {g}}_{1n}(q)\\\vdots &\ddots &\ vdots \\{\overline {g}}_{n1}(q)&\cdots &{\overline {g}}_{nn}(q)\end{pmatrix}}=J(q)^{\text {T}}{\begin{pmatrix}g_{11}(y(q))&\cdots &g_{1n}(y(q))\\\vdots &\ddots &\vdots \\g_{n1}( y(q))&\cdots &g_{nn}(y(q))\end{pmatrix}}J(q).}$

On peut calculer, en utilisant la règle du produit et la règle de la chaîne, la relation suivante entre la courbure de Ricci de la collection de fonctions g _ij et la courbure de Ricci de la collection de fonctions g _ij : pour tout q dans V , on a

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\overline {R}}_{11}(q)&\cdots &{\overline {R}}_{1n}(q)\\\vdots &\ddots &\ vdots \\{\overline {R}}_{n1}(q)&\cdots &{\overline {R}}_{nn}(q)\end{pmatrix}}=J(q)^{\text {T}}{\begin{pmatrix}R_{11}(y(q))&\cdots &R_{1n}(y(q))\\\vdots &\ddots &\vdots \\R_{n1}( y(q))&\cdots &R_{nn}(y(q))\end{pmatrix}}J(q)}$

C'est assez inattendu car, en branchant directement la formule qui définit g _ij dans la formule définissant R _ij , on voit qu'il faudra considérer jusqu'à des dérivées troisièmes de y , apparaissant lorsque les dérivées secondes dans les quatre premiers termes de la définition de R _ij agit sur les composantes de J . Le « miracle » est que l'imposante collection de dérivées premières, de dérivées secondes et d'inverses comprenant la définition de la courbure de Ricci est parfaitement établie de sorte que toutes ces dérivées supérieures de y s'annulent, et on se retrouve avec la matrice remarquablement propre formule ci-dessus qui concerne R _ij et R _ij . Il est d'autant plus remarquable que cette annulation de termes est telle que la formule matricielle liant R _ij à R _ij est identique à la formule matricielle liant g _ij à g _ij .

Avec l'utilisation d'une terminologie sophistiquée, la définition de la courbure de Ricci peut être résumée comme suit :

Soit U un ouvert de ℝ ⁿ . Étant donné une application lisse g sur U qui est évaluée dans l'espace des matrices symétriques inversibles n × n , on peut définir (par une formule compliquée impliquant diverses dérivées partielles des composantes de g ) la courbure de Ricci de g pour être une application lisse de U dans l'espace des matrices symétriques n × n .

La propriété remarquable et inattendue de la courbure de Ricci peut se résumer ainsi :

Soit J la matrice Jacobienne d'un difféomorphisme y d'un autre ouvert V à U . La courbure de Ricci de la fonction matricielle donnée par le produit matriciel J ^T ( g ∘ y ) J est donnée par le produit matriciel J ^T ( R ∘ y ) J , où R désigne la courbure de Ricci de g .

En mathématiques, cette propriété est mentionnée en disant que la courbure de Ricci est une "quantité tensorielle", et marque la formule définissant la courbure de Ricci, si compliquée soit-elle, comme d'une importance exceptionnelle dans le domaine de la géométrie différentielle . En termes physiques, cette propriété est une manifestation de " covariance générale " et est une raison principale pour laquelle Albert Einstein a utilisé la formule définissant R _ij lors de la formulation de la relativité générale . Dans ce contexte, la possibilité de choisir la cartographie y revient à la possibilité de choisir entre des référentiels ; la "propriété inattendue" de la courbure de Ricci est le reflet du principe général selon lequel les équations de la physique ne dépendent pas du cadre de référence.

Ceci est discuté du point de vue des variétés différentiables dans la sous-section suivante, bien que le contenu sous-jacent soit pratiquement identique à celui de cette sous-section.

Définition par coordonnées locales sur une variété lisse

Soit ( M , g ) une n -variété riemannienne ou pseudo-riemannienne lisse. Étant donné un graphe lisse ( U , ) on a alors les fonctions g _ij  : ( U ) → ℝ et g ^ij  : ( U ) → ℝ pour chaque i et j compris entre 1 et n qui satisfont

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}g^{ik}(x)g_{kj}(x)={\begin{cases}1&i=j\\0&i\neq j\end{cases }}}$

pour tout x dans ( U ) . Les fonctions g _ij sont définies en évaluant g sur des champs de vecteurs de coordonnées, tandis que les fonctions g ^ij sont définies de sorte que, en tant que fonction matricielle, elles fournissent un inverse à la fonction matricielle x ↦ g _ij ( x ) .

Définissez maintenant, pour chaque a , b , c , i , et j compris entre 1 et n , les fonctions

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{ab}^{c}&={\frac {1}{2}}\sum _{d=1}^{n}\left({\frac { \partial g_{bd}}{\partial x^{a}}}+{\frac {\partial g_{ad}}{\partial x^{b}}}-{\frac {\partial g_{ab} }{\partial x^{d}}}\right)g^{cd}\\R_{ij}&=\sum _{a=1}^{n}{\frac {\partial \Gamma _{ij }^{a}}{\partial x^{a}}}-\sum _{a=1}^{n}{\frac {\partial \Gamma _{aj}^{a}}{\partial x ^{i}}}+\sum _{a=1}^{n}\sum _{b=1}^{n}\left(\Gamma _{ab}^{a}\Gamma _{ij} ^{b}-\Gamma _{ib}^{a}\Gamma _{aj}^{b}\right)\end{aligned}}}$

comme cartes ( U ) → ℝ .

Soient maintenant ( U , ) et ( V , ψ) deux cartes lisses pour lesquelles U et V ont une intersection non vide. Soit R _ij  : ( U ) → ℝ les fonctions calculées comme ci-dessus via la carte ( U , ) et soit r _ij  : ψ( V ) → ℝ les fonctions calculées comme ci-dessus via la carte ( V , ψ) . On peut alors vérifier par un calcul avec la règle de la chaîne et la règle du produit que

${\displaystyle R_{ij}(x)=\sum _{k,l=1}^{n}r_{kl}\left(\psi \circ \varphi ^{-1}(x)\right)D_ {i}{\Grand |}_{x}\gauche(\psi \circ \varphi ^{-1}\right)^{k}D_{j}{\Grand |}_{x}\gauche(\ psi \circ \varphi ^{-1}\right)^{l}.}$

Ceci montre que la définition suivante ne dépend pas du choix de ( U , ) . Pour tout p dans U , définir une application bilinéaire Ric _p  : T _p M × T _p M → ℝ par

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{p}(X,Y)=\sum _{i,j=1}^{n}R_{ij}(\varphi (x))X^{i}(p )O^{j}(p),}$

où X ¹ , ..., X ⁿ et Y ¹ , ..., Y ⁿ sont les composantes de X et Y par rapport aux champs de vecteurs de coordonnées de ( U , ) .

Il est courant d'abréger la présentation formelle ci-dessus dans le style suivant :

Soit M une variété lisse, et soit g une métrique riemannienne ou pseudo-riemannienne. En coordonnées lisses locales, définir les symboles de Christoffel

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{ij}^{k}&={\frac {1}{2}}g^{kl}\left(\partial _{i}g_{jl}+ \partial _{j}g_{il}-\partial _{l}g_{ij}\right)\\R_{jk}&=\partial _{i}\Gamma _{jk}^{i}-\ partiel _{j}\Gamma _{ki}^{i}+\Gamma _{ip}^{i}\Gamma _{jk}^{p}-\Gamma _{jp}^{i}\Gamma _ {ik}^{p}.\end{aligned}}}$

On peut vérifier directement que

${\displaystyle R_{jk}={\widetilde {R}}_{ab}{\frac {\partial {\widetilde {x}}^{a}}{\partial x^{j}}}{\frac {\partial {\widetilde {x}}^{b}}{\partial x^{k}}},}$

de sorte que R _ij définit un corps de tenseur (0,2) sur M . En particulier, si X et Y sont des champs de vecteurs sur M alors par rapport à toutes les coordonnées lisses on a

${\displaystyle R_{jk}X^{j}Y^{k}=\left({\widetilde {R}}_{ab}{\frac {\partial {\widetilde {x}}^{a}} {\partial x^{j}}}{\frac {\partial {\widetilde {x}}^{b}}{\partial x^{k}}}\right)\left({\widetilde {X} }^{c}{\frac {\partial x^{j}}{\partial {\widetilde {x}}^{c}}}\right)\left({\widetilde {Y}}^{d} {\frac {\partial x^{k}}{\partial {\widetilde {x}}^{d}}}\right)={\widetilde {R}}_{ab}{\widetilde {X}} ^{c}{\widetilde {Y}}^{d}\left({\frac {\partial {\widetilde {x}}^{a}}{\partial x^{j}}}{\frac { \partial x^{j}}{\partial {\widetilde {x}}^{c}}}\right)\left({\frac {\partial {\widetilde {x}}^{b}}{\ partiel x^{k}}}{\frac {\partial x^{k}}{\partial {\widetilde {x}}^{d}}}\right)={\widetilde {R}}_{ab }{\widetilde {X}}^{c}{\widetilde {Y}}^{d}\delta _{c}^{a}\delta _{d}^{b}={\widetilde {R} }_{ab}{\widetilde {X}}^{a}{\widetilde {Y}}^{b}.}$

La dernière ligne comprend la démonstration que la carte bilinéaire Ric est bien définie, ce qui est beaucoup plus facile à écrire avec la notation informelle.

Définition par différentiation de champs de vecteurs

Supposons que ( M , g ) soit une variété riemannienne ou pseudo-riemannienne à n dimensions , munie de sa connexion de Levi-Civita ∇ . La courbure de Riemann de M est une application qui prend les champs vectoriels lisses X , Y et Z , et renvoie le champ vectoriel

${\displaystyle R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z }$

sur les champs de vecteurs X , Y , Z . La propriété cruciale de cette application est que si X , Y , Z et X' , Y' et Z' sont des champs de vecteurs lisses tels que X et X' définissent le même élément d'un espace tangent T _p M , et Y et Y ' définissent également le même élément de T _p M , et Z et Z' définissent également le même élément de T _p M , alors le champs de vecteurs R ( X , Y ) Z et R ( X ', Y ') Z ' définissent également le même élément de T _p M .

L'implication est que la courbure de Riemann, qui est a priori une application avec des entrées de champ vectoriel et une sortie de champ vectoriel, peut en fait être considérée comme une application avec des entrées vectorielles tangentes et une sortie vectorielle tangente. C'est-à-dire qu'elle définit pour chaque p dans M une application (multilinéaire)

${\displaystyle \operatorname {Rm} _{p}:T_{p}M\times T_{p}M\times T_{p}M\to T_{p}M.}$

Définir pour chaque p dans M l'application par ${\displaystyle \operatorname {Ric} _{p}:T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{p}(Y,Z)=\operatorname {tr} {\big (}X\mapsto \operatorname {Rm} _{p}(X,Y,Z){\big )}.}$

C'est-à-dire, ayant fixé Y et Z , alors pour toute base v ₁ , ..., v _n de l'espace vectoriel T _p M , on définit

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{p}(Y,Z)=\sum _{i=1}c_{ii}}$

où pour tout fixé i les nombres c _{i 1} , ..., c _en sont les coordonnées de Rm _p ( v _i , Y , Z ) par rapport à la base v ₁ , ..., v _n . C'est un exercice standard d'algèbre (multi)linéaire que de vérifier que cette définition ne dépend pas du choix de la base v ₁ , ..., v _n .

Signer des conventions. Notez que certaines sources définissent ce que l'on appellerait ici, elles définiraient alors comme Bien que les conventions de signe diffèrent à propos du tenseur de Riemann, elles ne diffèrent pas à propos du tenseur de Ricci. ${\style d'affichage R(X,Y)Z}$${\style d'affichage -R(X,Y)Z;}$${\displaystyle \operatorname {Ric} }$${\displaystyle -\operatorname {tr} (X\mapsto \operatorname {Rm} _{p}(X,Y,Z)).}$

Comparaison des définitions

Les deux définitions ci-dessus sont identiques. Les formules définissant et dans l'approche des coordonnées ont un parallèle exact dans les formules définissant la connexion Levi-Civita, et la courbure de Riemann via la connexion Levi-Civita. On peut soutenir que les définitions utilisant directement les coordonnées locales sont préférables, car la "propriété cruciale" du tenseur de Riemann mentionné ci-dessus nécessite d'être Hausdorff pour tenir. En revanche, l'approche par coordonnées locales ne nécessite qu'un atlas lisse. Il est également un peu plus facile de relier la philosophie de "l'invariance" sous-jacente à l'approche locale avec les méthodes de construction d'objets géométriques plus exotiques, tels que les champs spineurs . ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}}$${\style d'affichage R_{ij}}$${\style d'affichage M}$

Notez également que la formule compliquée définie dans la section d'introduction est la même que celle de la section suivante. La seule différence est que les termes ont été regroupés de sorte qu'il est facile de voir que${\style d'affichage R_{ij}}$${\displaystyle R_{ij}=R_{ji}.}$

Propriétés

Comme le montrent les identités de Bianchi , le tenseur de Ricci d' une variété riemannienne est symétrique , en ce sens que

${\displaystyle \operatorname {Ric} (X,Y)=\operatorname {Ric} (Y,X)}$

pour tout Il s'ensuit donc linéairement-algébriquement que le tenseur de Ricci est complètement déterminé en connaissant la quantité Ric( X , X ) pour tous les vecteurs X de longueur unitaire. Cette fonction sur l'ensemble des vecteurs tangents unitaires est souvent aussi appelée courbure de Ricci, puisque la connaître équivaut à connaître le tenseur de courbure de Ricci. ${\displaystyle X,Y\in T_{p}M.}$

La courbure de Ricci est déterminée par les courbures sectionnelles d'une variété riemannienne, mais contient généralement moins d'informations. En effet, si ξ est un vecteur de longueur unitaire sur une n -variété riemannienne , alors Ric( ξ , ξ ) est précisément ( n − 1) fois la valeur moyenne de la courbure sectionnelle, prise sur tous les 2-plans contenant ξ . Il existe une famille ( n − 2) -dimensionnelle de tels 2-plans, et c'est donc seulement dans les dimensions 2 et 3 que le tenseur de Ricci détermine le tenseur de courbure complet. Une exception notable est lorsque la variété est donnée a priori comme une hypersurface de l' espace euclidien . La deuxième forme fondamentale , qui détermine la courbure complète via l' équation de Gauss-Codazzi , est elle-même déterminée par le tenseur de Ricci et les directions principales de l'hypersurface sont aussi les directions propres du tenseur de Ricci. Le tenseur a été introduit par Ricci pour cette raison.

Comme on peut le voir à partir de la deuxième identité Bianchi, on a

${\displaystyle \operatorname {div} \operatorname {Ric} ={\frac {1}{2}}dR,}$

où est la courbure scalaire , définie en coordonnées locales comme Ceci est souvent appelé la seconde identité de Bianchi contractée. ${\style d'affichage R}$${\displaystyle g^{ij}R_{ij}.}$

Propriétés informelles

La courbure de Ricci est parfois considérée comme (un multiple négatif de) le laplacien du tenseur métrique ( Chow & Knopf 2004 , lemme 3.32) . Plus précisément, en coordonnées locales harmoniques , les composants satisfont erreur harv : pas de cible : CITEREFChowKnopf2004 ( aide )

${\displaystyle R_{ij}=-{\frac {1}{2}}\Delta \left(g_{ij}\right)+{\text{termes inférieurs}},}$

où est l' opérateur de Laplace-Beltrami , considéré ici comme agissant sur les fonctions définies localement g _ij . Ce fait motive, par exemple, l'introduction de l' équation d' écoulement de Ricci comme extension naturelle de l' équation de la chaleur pour la métrique. Alternativement, dans un système de coordonnées normal basé à p , au point p${\displaystyle \Delta =\nabla \cdot \nabla }$

${\displaystyle R_{ij}=-{\frac {2}{3}}\Delta \left(g_{ij}\right).}$

Signification géométrique directe

Près de n'importe quel point p dans une variété riemannienne ( M , g ) , on peut définir des coordonnées locales préférées, appelées coordonnées normales géodésiques . Celles-ci sont adaptées à la métrique de sorte que les géodésiques passant par p correspondent à des droites passant par l'origine, de telle sorte que la distance géodésique de p corresponde à la distance euclidienne de l'origine. Dans ces coordonnées, le tenseur métrique est bien approché par la métrique euclidienne, au sens précis que

${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}+O\left(|x|^{2}\right).}$

En fait, en prenant le développement de Taylor de la métrique appliquée à un champ de Jacobi le long d'une géodésique radiale dans le repère normal, on a

${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}-{\frac {1}{3}}R_{ikjl}x^{k}x^{l}+O\left(|x|^{3 }\droite).}$

Dans ces coordonnées, l' élément de volume métrique a alors le développement suivant en p :

${\displaystyle d\mu _{g}=\left[1-{\frac {1}{6}}R_{jk}x^{j}x^{k}+O\left(|x|^{ 3}\right)\right]d\mu _{\text{Euclidean}},}$

qui suit en développant la racine carrée du déterminant de la métrique.

Ainsi, si la courbure de Ricci Ric( ξ , ξ ) est positive dans la direction d'un vecteur ξ , la région conique de M balayée par une famille étroitement focalisée de segments géodésiques de longueur émanant de p , avec une vitesse initiale à l'intérieur d'un petit cône environ ξ , aura un volume plus petit que la région conique correspondante dans l'espace euclidien, du moins à condition qu'il soit suffisamment petit. De même, si la courbure de Ricci est négative dans la direction d'un vecteur donné ξ , une telle région conique dans la variété aura plutôt un volume plus grand que dans l'espace euclidien. ${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon }$

La courbure de Ricci est essentiellement un moyen de courbures dans les plans , y compris ξ . Ainsi, si un cône émis avec une section transversale initialement circulaire (ou sphérique) se déforme en une ellipse ( ellipsoïde ), il est possible que la distorsion volumique s'annule si les distorsions le long des axes principaux se contrebalancent. La courbure de Ricci s'évanouirait alors le long de ξ . Dans les applications physiques, la présence d'une courbure sectionnelle non nulle n'indique pas nécessairement la présence d'une masse localement ; si une section transversale initialement circulaire d'un cône de lignes d' univers devient plus tard elliptique, sans changer son volume, alors cela est dû aux effets de marée d'une masse à un autre endroit.

Applications

La courbure de Ricci joue un rôle important en relativité générale , où elle est le terme clé des équations de champ d'Einstein .

La courbure de Ricci apparaît également dans l' équation d' écoulement de Ricci , où certaines familles à un paramètre de métriques riemanniennes sont choisies comme solutions d'une équation aux dérivées partielles définie géométriquement. Ce système d'équations peut être considéré comme un analogue géométrique de l' équation de la chaleur et a été introduit pour la première fois par Richard S. Hamilton en 1982. Étant donné que la chaleur a tendance à se propager à travers un solide jusqu'à ce que le corps atteigne un état d'équilibre de température constante, si l'on est donnée une variété, on peut espérer que le flux de Ricci produira une métrique riemannienne « d'équilibre » qui est Einstein ou à courbure constante. Cependant, une image de "convergence" aussi nette ne peut pas être obtenue car de nombreuses variétés ne peuvent pas prendre en charge beaucoup de métriques. Une étude détaillée de la nature des solutions du flot de Ricci, due principalement à Hamilton et Grigori Perelman , montre que les types de "singularités" qui se produisent le long d'un flot de Ricci, correspondant à l'échec de la convergence, encodent des informations profondes sur les topologie. Le point culminant de ce travail était une preuve de la conjecture de géométrisation proposée pour la première fois par William Thurston dans les années 1970, qui peut être considérée comme une classification de 3-variétés compactes.

Sur une variété de Kähler , la courbure de Ricci détermine la première classe de Chern de la variété (mod torsion). Cependant, la courbure de Ricci n'a pas d'interprétation topologique analogue sur une variété riemannienne générique.

Géométrie globale et topologie

Voici une courte liste de résultats globaux concernant les variétés à courbure de Ricci positive ; voir aussi les théorèmes classiques de la géométrie riemannienne . En bref, la courbure de Ricci positive d'une variété riemannienne a de fortes conséquences topologiques, tandis que (pour la dimension au moins 3), la courbure de Ricci négative n'a pas d' implications topologiques. (La courbure de Ricci est dit positif si la fonction de courbure Ricci Ric ( de ξ , ξ ) est positive sur l'ensemble des vecteurs tangent non nul ξ ). Certains résultats sont également connus pour les variétés pseudo-riemannien.

1. Le théorème de Myers (1941) stipule que si la courbure de Ricci est bornée par le bas sur une n -variété riemannienne complète par ( n − 1) k > 0 , alors la variété a un diamètre ≤ π/√ k. Par un argument d'espace couvrant, il s'ensuit que toute variété compacte de courbure de Ricci positive doit avoir un groupe fondamental fini . Cheng (1975) a montré que, dans ce cadre, l'égalité dans l'inégalité de diamètre se produit ne serait-ce que si la variété est isométrique à une sphère de courbure constante k .
2. Les inégalités Bishop-Gromov stipule que si une complète n variété riemannienne de dimension a une courbure Ricci non négatif, alors le volume de la balle géodésique est inférieur ou égal au volume d'un ballon géodésique de même rayon en euclidienne n -space . De plus, si v _p ( R ) désigne le volume de la boule de centre p et de rayon R dans la variété et V ( R ) = c _n R ⁿ désigne le volume de la boule de rayon R dans le n -espace euclidien alors la fonctionv _p ( R )/V ( R )est non croissant. Cela peut être généralisé à n'importe quelle borne inférieure de la courbure de Ricci (pas seulement la non-négativité), et c'est le point clé de la preuve du théorème de compacité de Gromov .)
3. Les Cheeger-Gromoll théorème de séparation stipule que si une variété riemannienne complète (M, g) avec Ric ≥ 0 contient une ligne , ce qui signifie une géodésique telle que d ( γ ( u ), γ ( v )) = | u − v | pour tout u , v ℝ , alors il est isométrique à un espace produit ℝ × L . Par conséquent, une variété complète de courbure de Ricci positive peut avoir au plus une extrémité topologique. Le théorème est également vrai sous quelques hypothèses supplémentaires pour des variétés lorentziennes complètes (de signature métrique (+ − − ...) ) avec un tenseur de Ricci non négatif ( Galloway 2000 ).${\displaystyle \gamma :\mathbb {R} \to M}$
4. Le premier théorème de convergence de Hamilton pour le flux de Ricci a, comme corollaire, que les seules 3-variétés compactes qui ont des métriques riemanniennes de courbure de Ricci positive sont les quotients de la 3-sphère par des sous-groupes discrets de SO(4) qui agissent correctement de manière discontinue. Il a ensuite étendu cela pour permettre une courbure de Ricci non négative. En particulier, la seule possibilité simplement connectée est la 3-sphère elle-même.

Ces résultats, en particulier ceux de Myers et Hamilton, montrent qu'une courbure de Ricci positive a de fortes conséquences topologiques. En revanche, en excluant le cas des surfaces, la courbure de Ricci négative est maintenant connue pour n'avoir aucune implication topologique ; Lohkamp (1994) a montré que toute variété de dimension supérieure à deux admet une métrique riemannienne complète de courbure de Ricci négative. Dans le cas des variétés bidimensionnelles, la négativité de la courbure de Ricci est synonyme de négativité de la courbure de Gauss, ce qui a des implications topologiques très claires . Il existe très peu de variétés bidimensionnelles qui n'admettent pas les métriques riemanniennes de courbure gaussienne négative.

Comportement sous redimensionnement conforme

Si la métrique g est modifiée en la multipliant par un facteur conforme e ^{2 f} , le tenseur de Ricci de la nouvelle métrique conforme g̃ = e ^{2 f} g est donné ( Besse 1987 , p. 59) par

${\displaystyle {\widetilde {\operatorname {Ric} }}=\operatorname {Ric} +(2-n)\left[\nabla df-df\otimes df\right]+\left[\Delta f-(n -2)\|df\|^{2}\right]g,}$

où Δ = d * d est le (spectre positif) de Hodge Laplacien, c'est-à-dire l' opposé de la trace habituelle du Hessien.

En particulier, étant donné un point p dans une variété riemannienne, il est toujours possible de trouver des métriques conformes à la métrique donnée g pour laquelle le tenseur de Ricci s'annule en p . Notez, cependant, qu'il ne s'agit que d'une affirmation ponctuelle ; il est généralement impossible de faire disparaître la courbure de Ricci à l'identique sur l'ensemble de la variété par une remise à l'échelle conforme.

Pour deux variétés de dimension, les émissions de formule ci - dessus que si f est une fonction harmonique , alors la mise à l' échelle conformationnelle g ↦ e ^{2 f} g ne modifie pas le tenseur de Ricci (bien que cela change encore sa trace par rapport à la métrique , sauf si f = 0 ) .

Tenseur de Ricci sans trace

Dans la géométrie de Riemann et la géométrie de la pseudo-riemannien , le tenseur de Ricci sans trace (également appelé sans trace du tenseur Ricci ) d'un riemannien ou pseudo-riemannien n -manifold ( M , g ) est le tenseur défini par

${\displaystyle Z=\operatorname {Ric} -{\frac {1}{n}}Rg,}$

où Ric et R désignent la courbure de Ricci et la courbure scalaire de g . Le nom de cet objet reflète le fait que sa trace s'évanouit automatiquement : Cependant, c'est un tenseur assez important puisqu'il reflète une "décomposition orthogonale" du tenseur de Ricci. ${\displaystyle \operatorname {tr} _{g}Z\equiv g^{ab}Z_{ab}=0.}$

La décomposition orthogonale du tenseur de Ricci

Trivialement, on a

${\displaystyle \operatorname {Ric} =Z+{\frac {1}{n}}Rg.}$

Il est moins immédiatement évident que les deux termes du membre de droite sont orthogonaux :

${\displaystyle \left\langle Z,{\frac {1}{n}}Rg\right\rangle _{g}\equiv g^{ab}\left(R_{ab}-{\frac {1}{ n}}Rg_{ab}\right)=0.}$

Une identité qui y est intimement liée (mais qui pourrait être prouvée directement) est que

${\displaystyle |\operatorname {Ric} |_{g}^{2}=|Z|_{g}^{2}+{\frac {1}{n}}R^{2}.}$

Le tenseur de Ricci sans trace et les métriques d'Einstein

En prenant une divergence, et en utilisant l'identité de Bianchi contractée, on voit que cela implique So, pourvu que n 3 et soit connexe, la disparition de implique que la courbure scalaire soit constante. On voit alors que les éléments suivants sont équivalents : ${\style d'affichage Z=0}$${\textstyle {\frac {1}{2}}dR-{\frac {1}{n}}dR=0.}$${\style d'affichage M}$${\style d'affichage Z}$

• ${\style d'affichage Z=0}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ric} =\lambda g}$ pour un certain nombre ${\style d'affichage \lambda }$
• ${\displaystyle \operatorname {Ric} ={\frac {1}{n}}Rg}$

Dans le cadre riemannien, la décomposition orthogonale ci-dessus montre qu'elle est également équivalente à ces conditions. Dans le cadre pseudo-riemmannien, en revanche, la condition n'implique pas nécessairement donc le plus que l'on puisse dire est que ces conditions impliquent${\displaystyle R^{2}=n|\operatorname {Ric} |^{2}}$${\style d'affichage |Z|_{g}^{2}=0}$${\style d'affichage Z=0,}$${\displaystyle R^{2}=n|\operatorname {Ric} |_{g}^{2}.}$

En particulier, la disparition du tenseur de Ricci sans trace caractérise les variétés d'Einstein , telles que définies par la condition pour un nombre. En relativité générale , cette équation indique que ( M , g ) est une solution des équations du champ de vide d'Einstein avec une constante cosmologique . ${\displaystyle \operatorname {Ric} =\lambda g}$${\style d'affichage \lambda .}$

Collecteurs Kähler

Sur une variété de Kähler X , la courbure de Ricci détermine la forme de courbure du fibré de droites canoniques ( Moroianu 2007 , chapitre 12). Le fibré des droites canoniques est la puissance extérieure supérieure du fibré des différentielles de Kähler holomorphes :

${\displaystyle \kappa ={\textstyle \bigwedge }^{n}~\Omega _{X}.}$

La connexion de Levi-Civita correspondant à la métrique sur X donne lieu à une connexion sur κ . La courbure de cette connexion est la forme de deux définie par

${\displaystyle \rho (X,Y)\;{\stackrel {\text{def}}{=}}\;\operatorname {Ric} (JX,Y)}$

où J est la carte de structure complexe sur le fibré tangent déterminé par la structure de la variété de Kähler. La forme de Ricci est une forme 2- fermée . Sa classe de cohomologie est, à facteur réel constant près, la première classe de Chern du fibré canonique, et est donc un invariant topologique de X (pour X compact ) au sens où elle ne dépend que de la topologie de X et de la classe d'homotopie de la structure complexe.

Inversement, la forme de Ricci détermine le tenseur de Ricci par

${\displaystyle \operatorname {Ric} (X,Y)=\rho (X,JY).}$

En coordonnées holomorphes locales z ^α , la forme de Ricci est donnée par

${\displaystyle \rho =-i\partial {\overline {\partial }}\log \det \left(g_{\alpha {\overline {\beta }}}\right)}$

où ∂ est l' opérateur Dolbeault et

${\displaystyle g_{\alpha {\overline {\beta }}}=g\left({\frac {\partial }{\partial z^{\alpha }}},{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}^{\beta }}}\right).}$

Si le tenseur de Ricci s'annule, alors le fibré canonique est plat, donc le groupe de structure peut être localement réduit à un sous-groupe du groupe linéaire spécial SL( n , C ) . Cependant, les variétés de Kähler possèdent déjà l' holonomie dans U( n ) , et donc l'holonomie (restreinte) d'une variété de Kähler Ricci-plate est contenue dans SU( n ) . Inversement, si l'holonomie (restreinte) d'une variété riemannienne à 2 n dimensions est contenue dans SU( n ) , alors la variété est une variété de Kähler Ricci-plate ( Kobayashi & Nomizu 1996 , IX, §4).

Généralisation aux connexions affines

Le tenseur de Ricci peut également être généralisé aux connexions affines arbitraires , où il est un invariant qui joue un rôle particulièrement important dans l'étude de la géométrie projective (géométrie associée aux géodésiques non paramétrées) ( Nomizu & Sasaki 1994 ). Si ∇ représente une liaison affine, le tenseur de courbure R est le (1,3) défini par -tensor

${\displaystyle R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z }$

pour tout champ de vecteurs X , Y , Z . Le tenseur de Ricci est défini comme la trace :

${\displaystyle \operatorname {ric} (X,Y)=\operatorname {tr} {\big (}Z\mapsto R(Z,X)Y{\big )}.}$

Dans cette situation plus générale, le tenseur de Ricci est symétrique si et seulement s'il existe localement une forme volumique parallèle pour la liaison.

Courbure de Ricci discrète

Des notions de courbure de Ricci sur des variétés discrètes ont été définies sur des graphes et des réseaux, où elles quantifient les propriétés de divergence locale des arêtes. La courbure de Ricci d'Olliver est définie en utilisant la théorie du transport optimal. Une deuxième notion, la courbure de Ricci de Forman, est basée sur des arguments topologiques.

Voir également

• Courbure des variétés riemanniennes
• Courbure scalaire
• calcul de Ricci
• Décomposition de Ricci
• Collecteur Ricci-plat
• symboles Christoffel
• Introduction de base aux mathématiques de l'espace-temps courbe

Notes de bas de page

Les références

• Besse, AL (1987), Variétés d'Einstein , Springer, ISBN 978-3-540-15279-8.
• Chow, Bennet & Knopf, Dan (2004), The Ricci Flow: an introduction , American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3515-7.
• Eisenhart, LP (1949), Géométrie riemannienne , Princeton Univ. presse.
• Galloway, Gregory (2000), "Maximum Principles for Null Hypersurfaces and Null Splitting Theorems", Annales de l'Institut Henri Poincaré A , 1 (3) : 543–567, arXiv : math/9909158 , Bibcode : 2000AnHP.... 1..543G , doi : 10.1007/s000230050006 , S2CID  9619157.
• Kobayashi, S. ; Nomizu, K. (1963), Fondements de la géométrie différentielle, Volume 1 , Interscience.
• Kobayashi, Shoshichi ; Nomizu, Katsumi (1996), Fondements de la géométrie différentielle, Vol. 2 , Wiley-Interscience , ISBN 978-0-471-15732-8.
• Lohkamp, ​​Joachim (1994), "Metrics of negative Ricci curvature", Annals of Mathematics , Second Series, Annals of Mathematics, 140 (3) : 655-683, doi : 10.2307/2118620 , ISSN  0003-486X , JSTOR  2118620 , MR  1307899.
• Moroianu, Andrei (2007), Lectures on Kähler geometry , London Mathematical Society Student Texts, 69 , Cambridge University Press , arXiv : math/0402223 , doi : 10.1017/CBO9780511618666 , ISBN 978-0-521-68897-0, MR  2325093
• Nomizu, Katsumi ; Sasaki, Takeshi (1994), Géométrie différentielle affine , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44177-3.
• Ricci, G. (1903-1904), « Direzioni e invarianti principali in una varietà qualunque », Atti R. Inst. Vénétie , 63 (2) : 1233-1239.
• LA Sidorov (2001) [1994], "Tension de Ricci" , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press
• LA Sidorov (2001) [1994], "Ricci courbure" , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press
• Najman, Laurent et Romon, Pascal (2017) : Approches modernes de la courbure discrète, Springer (Cham), Notes de cours en mathématiques

Liens externes

• Z. Shen, C. Sormani "The Topology of Open Manifolds with Nonnegative Ricci Curvature" (une enquête)
• G. Wei, "Manifolds with A Lower Ricci Curvature Bound" (une enquête)