Polygone étoilé - Star polygon
 {5/2} |
 |5/2| |
| Un pentagone en étoile régulier , {5/2}, a cinq sommets d'angle et des arêtes qui se coupent, tandis que le décagone concave , |5/2|, a dix arêtes et deux ensembles de cinq sommets. Les premiers sont utilisés dans les définitions des polyèdres en étoile et des pavages uniformes en étoile , tandis que les seconds sont parfois utilisés dans les pavages planaires. | |
 Petit dodécaèdre étoilé |
 pavage |
En géométrie , un polygone en étoile est un type de polygone non convexe , et le plus souvent, un type de décagone. Les polygones d'étoiles régulières ont été étudiés en profondeur ; alors que les polygones en étoile en général ne semblent pas avoir été formellement définis, cependant certains notables peuvent survenir par des opérations de troncature sur des polygones simples et en étoile réguliers.
Branko Grünbaum a identifié deux définitions principales utilisées par Johannes Kepler , l'une étant les polygones en étoile réguliers avec des arêtes sécantes qui ne génèrent pas de nouveaux sommets, et la seconde étant de simples polygones concaves isotoxaux .
Le premier usage est inclus dans les polygrammes qui incluent des polygones comme le pentagramme mais aussi des figures composées comme l' hexagramme .
Une définition d'un polygone en étoile , utilisée dans les graphiques des tortues , est un polygone ayant 2 tours ou plus ( nombre de tours et densité ), comme dans les spirolatérales .
Étymologie
Les noms de polygones en étoile combinent un préfixe numérique , tel que penta- , avec le suffixe grec -gram (dans ce cas générant le mot pentagramme ). Le préfixe est normalement un cardinal grec , mais des synonymes utilisant d'autres préfixes existent. Par exemple, un polygone à neuf pointes ou un ennéagramme est également connu sous le nom de nonagramme , en utilisant l' ordinal nona du latin . Le suffixe -gram dérive de γραμμή ( grammḗ ) signifiant une ligne.
Polygone en étoile régulier
 {5/2} |
 {7/2} |
 {7/3} ... |
Un "polygone étoilé régulier" est un polygone équiangulaire équilatéral qui s'intersecte .
Un polygone en étoile régulier est désigné par son symbole de Schläfli { p / q }, où p (le nombre de sommets) et q (la densité ) sont relativement premiers (ils ne partagent aucun facteur) et q 2. La densité d'un polygone peut aussi appelé son nombre de virage , la somme des angles de virage de tous les sommets divisés par 360°.
Le groupe de symétrie de { n / k } est le groupe dièdre D n d' ordre 2 n , indépendant de k .
Les polygones d'étoiles réguliers ont d'abord été étudiés systématiquement par Thomas Bradwardine , et plus tard par Johannes Kepler .
Construction via une connexion de sommet
Des polygones en étoile réguliers peuvent être créés en connectant un sommet d'un polygone simple, régulier à côtés p à un autre sommet non adjacent et en poursuivant le processus jusqu'à ce que le sommet d'origine soit à nouveau atteint. Alternativement pour les entiers p et q , il peut être considéré comme étant construit en connectant chaque q ième point sur p points régulièrement espacés dans un placement circulaire. Par exemple, dans un pentagone régulier, une étoile à cinq branches peut être obtenue en traçant une ligne du premier au troisième sommet, du troisième sommet au cinquième sommet, du cinquième sommet au deuxième sommet, du deuxième sommet au quatrième sommet, et du quatrième sommet au premier sommet.
Si q est supérieur à la moitié de p , alors la construction donnera le même polygone que p - q ; connecter chaque troisième sommet du pentagone donnera un résultat identique à celui de connecter chaque deuxième sommet. Cependant, les sommets seront atteints dans la direction opposée, ce qui fait une différence lorsque des polygones rétrogrades sont incorporés dans des polytopes de dimension supérieure. Par exemple, un antiprisme formé d'un pentagramme prograde {5/2} conduit à un antiprisme pentagrammique ; la construction analogue d'un "pentagramme croisé" rétrograde {5/3} aboutit à un antiprisme croisé pentagrammique . Un autre exemple est le tétrahémihexaèdre , qui peut être vu comme un « triangle croisé » {3/2} cuploïde .
Polygones étoilés réguliers dégénérés
Si p et q ne sont pas premiers entre eux, un polygone dégénéré en résultera avec des sommets et des arêtes coïncidents. Par exemple, {6/2} apparaîtra sous la forme d'un triangle, mais peut être étiqueté avec deux ensembles de sommets 1-6. Cela devrait être vu non pas comme deux triangles qui se chevauchent, mais comme un double enroulement d'un seul hexagone unicursal.
Construction par stellation
Alternativement, un polygone en étoile régulier peut également être obtenu sous la forme d'une séquence d' étoiles d'un polygone de noyau régulier convexe . Les constructions basées sur la stellation permettent également d'obtenir des composés polygonaux réguliers dans les cas où la densité et la quantité de sommets ne sont pas premiers entre eux. Cependant, lors de la construction de polygones en étoile à partir d'une stellation, si q est supérieur à p /2, les lignes divergeront à l'infini, et si q est égal à p /2, les lignes seront parallèles, les deux n'entraînant aucune autre intersection en euclidien. espacer. Cependant, il peut être possible de construire certains de ces polygones dans l' espace sphérique, de façon similaire à la monogon et digone ; de tels polygones ne semblent pas encore avoir été étudiés en détail.
Polygones d'étoiles isotoxales simples
Lorsque les lignes d' intersection sont supprimés, les polygones étoilés ne sont plus réguliers, mais peuvent être considérés comme simples concave isotoxal 2 n -gons, sommets en alternance à deux rayons différents, qui ne doivent pas nécessairement correspondre aux angles de polygone régulier étoile. Branko Grünbaum dans Tiles and Patterns représente ces stars comme | n / j | qui correspondent à la géométrie du polygramme {n/d} avec une notation {n α } plus généralement, représentant une étoile à n côtés avec chaque angle interne α<180°(1-2/ n ) degrés. Pour | n / d |, les sommets intérieurs ont un angle extérieur, , égal à 360°( d -1)/ n .
| |n/d| {n α } |
{3 30° } |
{6 30° } |
|5/2| {5 36° } |
{4 45° } |
|8/3| {8 45° } |
|6/2| {6 60° } |
{5 72° } |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ?? | 30° | 36° | 45° | 60° | 72° | ||
| ?? | 150° | 90° | 72° | 135° | 90° | 120° | 144° |
Étoile isotoxale |
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Polygramme associé {n/d} |
 {12/5} |
{5/2} |
 {8/3} |
 2{3} Figurine en étoile |
 {10/3} |
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Exemples en carrelage
Ces polygones sont souvent observés dans les motifs de mosaïque. L'angle paramétrique (degrés ou radians) peut être choisi pour correspondre aux angles internes des polygones voisins dans un motif de tessellation. Johannes Kepler dans son ouvrage de 1619 Harmonices Mundi , comprenant entre autres des pavages d'époque, des pavages non périodiques comme celui-ci, trois pentagones réguliers et un pentagone en étoile régulier (5.5.5.5/2) peuvent s'adapter autour d'un sommet, et liés aux pavages modernes en penrose .
| Triangles étoilés | Carrés étoiles | Hexagones étoilés | Octogones étoilés | ||
|---|---|---|---|---|---|
 (3.3* α.3.3** α) |
 (8.4* /4.8.4* /4) |
 (6,6* /3.6.6* /3) |
 (3.6* /3.6** /3) |
 (3.6.6* /3.6) |
 Pas bord à bord |
Intérieurs
L'intérieur d'un polygone étoilé peut être traité de différentes manières. Trois de ces traitements sont illustrés pour un pentagramme. Branko Grünbaum et Geoffrey Shephard en considèrent deux, comme des polygones étoilés réguliers et des 2 n -gons isogonaux concaves .
Ceux-ci inclus:
- Lorsqu'un côté apparaît, un côté est traité comme extérieur et l'autre comme intérieur. Ceci est montré dans l'illustration de gauche et se produit généralement dans le rendu de graphiques vectoriels informatiques .
- Le nombre de fois que la courbe polygonale s'enroule autour d'une région donnée détermine sa densité . L'extérieur reçoit une densité de 0, et toute région de densité > 0 est traitée comme interne. Ceci est montré dans l'illustration centrale et se produit généralement dans le traitement mathématique des polyèdres . (Cependant, pour les polyèdres non orientables, la densité ne peut être considérée que modulo 2 et, par conséquent, le premier traitement est parfois utilisé à la place dans ces cas par souci de cohérence.)
- Lorsqu'une ligne peut être tracée entre deux côtés, la région dans laquelle se trouve la ligne est traitée comme à l'intérieur de la figure. Ceci est montré dans l'illustration de droite et se produit généralement lors de la création d'un modèle physique.
Lorsque l'aire du polygone est calculée, chacune de ces approches donne une réponse différente.
Dans l'art et la culture
Les polygones étoilés occupent une place prépondérante dans l'art et la culture. De tels polygones peuvent être réguliers ou non, mais ils sont toujours très symétriques . Les exemples comprennent:
- Le pentagone en étoile {5/2} ( pentagramme ) est également connu sous le nom de pentalpha ou pentangle, et a historiquement été considéré par de nombreux cultes magiques et religieux comme ayant une signification occulte .
- Les polygones étoilés {7/2} et {7/3} ( heptagrammes ) ont également une signification occulte, en particulier dans la Kabbale et dans la Wicca .
- Le polygone en étoile {8/3} ( octagramme ), est un motif géométrique fréquent dans l' art et l' architecture islamiques moghols ; le premier est sur l' emblème de l'Azerbaïdjan .
- Une étoile à onze branches appelée hendécagramme a été utilisée sur la tombe de Shah Nemat Ollah Vali.
 Un octagramme {8/3} construit dans un octogone régulier |
.svg) Sceau de Salomon avec cercle et points (figure étoile) |
Voir également
- Liste des polytopes et composés réguliers#Stars
- Étoile magique
- étoile morave
- Pentagramma mirificum
- Étoile régulière 4-polytope
- Rub el Hizb
- Étoile (glyphe)
- Étoile polyèdre , Kepler-Poinsot polyèdre , et polyèdre uniforme étoile
Les références
- Cromwell, P. ; Polyèdres , CUP, Hbk. 1997, ISBN 0-521-66432-2 . Pbk. (1999), ISBN 0-521-66405-5 . p. 175
- Grünbaum, B. et GC Shephard ; Carrelage et motifs , New York : WH Freeman & Co., (1987), ISBN 0-7167-1193-1 .
- Grünbaum, B. ; Polyhedra with Hollow Faces, Proc of NATO-ASI Conference on Polytopes... etc. (Toronto 1993) , ed T. Bisztriczky et al., Kluwer Academic (1994) pp. 43-70.
- John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, Les symétries des choses 2008, ISBN 978-1-5681-220-5 (Chapitre 26. pp. 404: Regular star-polytopes Dimension 2)
- Branko Grünbaum , Métamorphoses des polygones , publié dans The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugène Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History , (1994)