Facteur de structure - Structure factor

En physique de la matière condensée et en cristallographie , le facteur de structure statique (ou facteur de structure en abrégé) est une description mathématique de la façon dont un matériau diffuse le rayonnement incident. Le facteur de structure est un outil essentiel dans l'interprétation des diagrammes de diffusion ( diagrammes d'interférence ) obtenus dans les expériences de diffraction des rayons X , des électrons et des neutrons .

De manière confuse, deux expressions mathématiques différentes sont utilisées, toutes deux appelées «facteur de structure». L'un est généralement écrit ; elle est plus généralement valable et relie l'intensité diffractée observée par atome à celle produite par une seule unité de diffusion. L'autre est généralement écrit ou et n'est valable que pour les systèmes avec un ordre de position à longue portée - les cristaux. Cette expression relie l'amplitude et la phase du faisceau diffracté par les plans du cristal ( sont les indices de Miller des plans) à celles produites par une seule unité de diffusion aux sommets de la maille élémentaire primitive . n'est pas un cas particulier de ; donne l'intensité de diffusion, mais donne l'amplitude. C'est le module au carré qui donne l'intensité de diffusion. est défini pour un cristal parfait, et est utilisé en cristallographie, alors qu'il est plus utile pour les systèmes désordonnés. Pour les systèmes partiellement ordonnés tels que les polymères cristallins, il y a évidemment chevauchement, et les experts passeront d'une expression à l'autre selon les besoins. ${\style d'affichage S(\mathbf {q} )}$${\style d'affichage F}$${\displaystyle F_{hk\ell }}$${\style d'affichage (hk\ell )}$${\style d'affichage (hk\ell )}$${\displaystyle F_{hk\ell }}$${\style d'affichage S(\mathbf {q} )}$${\style d'affichage S(\mathbf {q} )}$${\displaystyle F_{hk\ell }}$${\displaystyle |F_{hk\ell }|^{2}}$${\displaystyle F_{hk\ell }}$${\style d'affichage S(\mathbf {q} )}$

Le facteur de structure statique est mesuré sans résoudre l'énergie des photons/électrons/neutrons diffusés. Les mesures résolues en énergie donnent le facteur de structure dynamique . La réflexion dans un réseau cristallin est décrite par les points de réseau réciproques.

Dérivation de ${\style d'affichage S(\mathbf {q} )}$

Considérons la diffusion d'un faisceau de longueur d'onde par un assemblage de particules ou d'atomes stationnaires à des positions . Supposons que la diffusion soit faible, de sorte que l'amplitude du faisceau incident soit constante dans tout le volume de l'échantillon ( approximation de Born ), et que l'absorption, la réfraction et la diffusion multiple puissent être négligées ( diffraction cinématique ). La direction de toute onde diffusée est définie par son vecteur de diffusion . , où et ( ) sont les vecteurs d' onde du faisceau diffusé et incident , et est l'angle entre eux. Pour la diffusion élastique, et , limitant la plage possible de (voir sphère d'Ewald ). L'amplitude et la phase de cette onde diffusée seront la somme vectorielle des ondes diffusées de tous les atomes${\style d'affichage \lambda }$${\style d'affichage N}$${\displaystyle \textstyle \mathbf {R} _{j},j=1,\,\ldots ,\,N}$${\displaystyle \mathbf {q} }$${\displaystyle \mathbf {q} =\mathbf {k_{s}} -\mathbf {k_{o}} }$${\displaystyle \mathbf {k_{s}} }$${\displaystyle \mathbf {k_{o}} }$${\displaystyle |\mathbf {k_{s}} |=|\mathbf {k_{0}} |=2\pi /\lambda }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle |\mathbf {k} _{s}|=|\mathbf {k_{o}} |}$${\displaystyle q=|\mathbf {q} |={{\frac {4\pi }{\lambda }}\sin(\theta /2)}}$${\displaystyle \mathbf {q} }$${\displaystyle \Psi _{s}(\mathbf {q} )=\sum _{j=1}^{N}f_{j}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \cdot \ mathbf {R} _{j}}}$

Pour un assemblage d'atomes, est le facteur de forme atomique du -ième atome. L'intensité diffusée est obtenue en multipliant cette fonction par son complexe conjugué ${\style d'affichage f_{j}}$${\style d'affichage j}$

${\displaystyle I(\mathbf {q} )=\Psi _{s}(\mathbf {q} )\times \Psi _{s}^{*}(\mathbf {q} )=\sum _{j =1}^{N}f_{j}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {R} _{j}}\times \sum _{k=1}^{N }f_{k}\mathrm {e} ^{i\mathbf {q} \cdot \mathbf {R} _{k}}=\sum _{j=1}^{N}\sum _{k=1 }^{N}f_{j}f_{k}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \cdot (\mathbf {R} _{j}-\mathbf {R} _{k}) }}$

( 1 )

Le facteur de structure est défini comme cette intensité normalisée par ${\displaystyle 1/\sum _{j=1}^{N}f_{j}^{2}}$

${\displaystyle S(\mathbf {q} )={\frac {1}{\sum _{j=1}^{N}f_{j}^{2}}}\sum _{j=1}^ {N}\sum _{k=1}^{N}f_{j}f_{k}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \cdot (\mathbf {R} _{j}- \mathbf {R} _{k})}}$

( 2 )

Si tous les atomes sont identiques, alors l'équation ( 1 ) devient et ainsi ${\displaystyle I(\mathbf {q} )=f^{2}\sum _{j=1}^{N}\sum _{k=1}^{N}\mathrm {e} ^{-i \mathbf {q} \cdot (\mathbf {R} _{j}-\mathbf {R} _{k})}}$${\displaystyle \sum _{j=1}^{N}f_{j}^{2}=Nf^{2}}$

${\displaystyle S(\mathbf {q} )={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}\sum _{k=1}^{N}\mathrm {e } ^{-i\mathbf {q} \cdot (\mathbf {R} _{j}-\mathbf {R} _{k})}}$

( 3 )

Une autre simplification utile est si le matériau est isotrope, comme une poudre ou un simple liquide. L'intensité dépend alors de et et l'équation ( 2 ) se simplifie en l'équation de diffusion de Debye : ${\displaystyle q=|\mathbf {q} |}$${\displaystyle r_{jk}=|\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{k}|}$

${\displaystyle S(\mathbf {q} )={\frac {1}{\sum _{j=1}^{N}f_{j}^{2}}}\sum _{j=1}^ {N}\sum _{k=1}^{N}f_{j}f_{k}{\frac {\sin(qr_{jk})}{qr_{jk}}}}$

( 4 )

Une dérivation alternative donne un bon aperçu, mais utilise des transformées de Fourier et une convolution . Pour être général, considérons une quantité scalaire (réelle) définie dans un volume ; cela peut correspondre par exemple à une répartition de masse ou de charge ou à l'indice de réfraction d'un milieu inhomogène. Si la fonction scalaire est intégrable, nous pouvons écrire sa transformée de Fourier sous la forme . Dans l' approximation de Born, l'amplitude de l'onde diffusée correspondant au vecteur de diffusion est proportionnelle à la transformée de Fourier . Lorsque le système à l'étude est composé d'un certain nombre de constituants identiques (atomes, molécules, particules colloïdales, etc.) dont chacun a une distribution de masse ou de charge alors la distribution totale peut être considérée comme la convolution de cette fonction avec un ensemble de fonctions delta . ${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )}$${\style d'affichage V}$${\displaystyle \textstyle \psi (\mathbf {q} )=\int _{V}\phi (\mathbf {r} )\exp(-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {r} )\, \mathrm {d} \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {q} }$${\displaystyle \textstyle \psi (\mathbf {q} )}$${\style d'affichage N}$${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$

${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )=\sum _{j=1}^{N}f(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{j})=f(\mathbf {r } )\ast \sum _{j=1}^{N}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {R} _{j}),}$

( 5 )

avec les positions des particules comme précédemment. En utilisant la propriété que la transformée de Fourier d'un produit de convolution est simplement le produit des transformées de Fourier des deux facteurs, nous avons , de sorte que : ${\displaystyle \textstyle \mathbf {R} _{j},j=1,\,\ldots ,\,N}$${\displaystyle \textstyle \psi (\mathbf {q} )=f(\mathbf {q} )\times \sum _{j=1}^{N}\exp(-i\mathbf {q} \cdot \ mathbf {R} _{j})}$

${\displaystyle I(\mathbf {q} )=\left|f(\mathbf {q} )\right|^{2}\times \left(\sum _{j=1}^{N}\mathrm { e} ^{-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {R} _{j}}\right)\times \left(\sum _{k=1}^{N}\mathrm {e} ^{ i\mathbf {q} \cdot \mathbf {R} _{k}}\right)=\left|f(\mathbf {q} )\right|^{2}\sum _{j=1}^{ N}\sum _{k=1}^{N}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \cdot (\mathbf {R} _{j}-\mathbf {R} _{k} )}.}$

( 6 )

C'est clairement la même chose que l'équation ( 1 ) avec toutes les particules identiques, sauf qu'ici est montré explicitement en fonction de . ${\style d'affichage f}$${\displaystyle \mathbf {q} }$

En général, les positions des particules ne sont pas figées et la mesure s'effectue sur un temps de pose fini et avec un échantillon macroscopique (beaucoup plus grand que la distance interparticulaire). L'intensité accessible expérimentalement est donc une moyenne ; nous n'avons pas besoin de préciser s'il s'agit d'une moyenne temporelle ou d' ensemble . Pour prendre cela en compte, nous pouvons réécrire l'équation ( 3 ) sous la forme : ${\displaystyle \textstyle \langle I(\mathbf {q} )\rangle }$${\displaystyle \langle \cdot \rangle }$

${\displaystyle S(\mathbf {q} )={\frac {1}{N}}\left\langle \sum _{j=1}^{N}\sum _{k=1}^{N} \mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \cdot (\mathbf {R} _{j}-\mathbf {R} _{k})}\right\rangle .}$

( 7 )

Cristaux parfaits

Dans un cristal , les particules constitutives sont disposées périodiquement, avec une symétrie de translation formant un réseau . La structure cristalline peut être décrite comme un réseau de Bravais avec un groupe d'atomes, appelé la base, placé à chaque point du réseau ; c'est-à-dire [structure cristalline] = [réseau] [base]. Si le réseau est infini et parfaitement régulier, le système est un cristal parfait . Pour un tel système, seul un ensemble de valeurs spécifiques pour peut donner une diffusion, et l'amplitude de diffusion pour toutes les autres valeurs est nulle. Cet ensemble de valeurs forme un réseau, appelé réseau réciproque , qui est la transformée de Fourier du réseau cristallin de l'espace réel. ${\style d'affichage \ast }$${\displaystyle \mathbf {q} }$

En principe, le facteur de diffusion peut être utilisé pour déterminer la diffusion d'un cristal parfait ; dans le cas simple où la base est un seul atome à l'origine (et encore une fois en négligeant tout mouvement thermique, de sorte qu'il n'y a pas besoin de faire une moyenne) tous les atomes ont des environnements identiques. L'équation ( 1 ) peut s'écrire sous la forme ${\style d'affichage S(\mathbf {q} )}$

${\displaystyle I(\mathbf {q} )=f^{2}\left|\sum _{j=1}^{N}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {R} _{j}}\droit|^{2}}$et .${\displaystyle S(\mathbf {q} )={\frac {1}{N}}\left|\sum _{j=1}^{N}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q } \cdot \mathbf {R} _{j}}\right|^{2}}$

Le facteur de structure est alors simplement le module au carré de la transformée de Fourier du réseau, et montre les directions dans lesquelles la diffusion peut avoir une intensité non nulle. A ces valeurs, l'onde de chaque point du réseau est en phase. La valeur du facteur de structure est la même pour tous ces points de réseau réciproques, et l'intensité ne varie qu'en raison des changements de avec . ${\displaystyle \mathbf {q} }$${\style d'affichage f}$${\displaystyle \mathbf {q} }$

Unités

Les unités de l'amplitude du facteur de structure dépendent du rayonnement incident. Pour la cristallographie aux rayons X, ce sont des multiples de l'unité de diffusion par un seul électron (2,82 m) ; pour la diffusion des neutrons par les noyaux atomiques, l'unité de longueur de diffusion m est couramment utilisée. ${\displaystyle \times 10^{-15}}$${\displaystyle 10^{-14}}$

La discussion ci-dessus utilise les vecteurs d'onde et . Cependant, la cristallographie utilise souvent des vecteurs d'onde et . Par conséquent, lors de la comparaison d'équations provenant de différentes sources, le facteur peut apparaître et disparaître, et il est nécessaire de veiller à maintenir des quantités cohérentes pour obtenir des résultats numériques corrects. ${\displaystyle |\mathbf {k} |=2\pi /\lambda }$${\displaystyle |\mathbf {q} |=4\pi \sin \theta /\lambda }$${\displaystyle |\mathbf {s} |=1/\lambda }$${\displaystyle |\mathbf {g} |=2\sin \theta /\lambda }$${\style d'affichage 2\pi }$

Définition de ${\displaystyle F_{hk\ell }}$

En cristallographie, la base et le réseau sont traités séparément. Pour un cristal parfait, le réseau donne le réseau réciproque , qui détermine les positions (angles) des faisceaux diffractés, et la base donne le facteur de structure qui détermine l'amplitude et la phase des faisceaux diffractés : ${\displaystyle F_{hkl}}$

${\displaystyle F_{hk\ell }=\sum _{j=1}^{N}f_{j}\mathrm {e} ^{[-2\pi i(hx_{j}+ky_{j}+ \ell z_{j})]},}$

( 8 )

où la somme est sur tous les atomes dans la cellule unitaire, sont les coordonnées de position du -ème atome, et est le facteur de diffusion du -ème atome. Les coordonnées ont les directions et les dimensions des vecteurs du réseau . C'est-à-dire que (0,0,0) est au point du réseau, l'origine de la position dans la cellule unitaire ; (1,0,0) est au prochain point du réseau le long et (1/2, 1/2, 1/2) est au centre du corps de la maille élémentaire . définit un point de réseau réciproque auquel correspond le plan de l'espace réel défini par les indices de Miller (voir la loi de Bragg ). ${\style d'affichage x_{j},y_{j},z_{j}}$${\style d'affichage j}$${\style d'affichage f_{j}}$${\style d'affichage j}$${\style d'affichage x_{j},y_{j},z_{j}}$${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} }$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\style d'affichage (hkl)}$${\displaystyle (h\mathbf {a^{*}} ,k\mathbf {b^{*}} ,l\mathbf {c^{*}} )}$ ${\style d'affichage (hkl)}$

${\displaystyle F_{hk\ell }}$est la somme vectorielle des ondes de tous les atomes de la maille unitaire. Un atome à n'importe quel point du réseau a l'angle de phase de référence zéro pour tous, car il s'agit toujours d'un nombre entier. Une onde diffusée par un atome à (1/2, 0, 0) sera en phase si elle est paire, déphasée si elle est impaire. ${\displaystyle hk\ell }$${\style d'affichage (hx_{j}+ky_{j}+\ell z_{j})}$${\style d'affichage h}$${\style d'affichage h}$

Encore une fois, une vue alternative utilisant la convolution peut être utile. Puisque [structure cristalline] = [treillis] [base], [structure cristalline] = [treillis] [base] ; c'est-à-dire la diffusion [réseau réciproque] [facteur de structure]. ${\style d'affichage \ast }$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \times {\mathcal {F}}}$${\style d'affichage \propto }$${\style d'affichage \fois }$

Exemples de en 3-D${\displaystyle F_{hk\ell }}$

Cube centré sur le corps (BCC)

Pour le réseau de Bravais cubique centré ( cI ), on utilise les points et ce qui nous amène à ${\style d'affichage (0,0,0)}$${\style d'affichage ({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})}$

${\displaystyle F_{hk\ell }=\sum _{j}f_{j}e^{-2\pi i(hx_{j}+ky_{j}+\ell z_{j})}=f\ left[1+\left(e^{-i\pi }\right)^{h+k+\ell }\right]=f\left[1+(-1)^{h+k+\ell }\right ]}$

et donc

${\displaystyle F_{hk\ell }={\begin{cases}2f,&h+k+\ell ={\text{even}}\\0,&h+k+\ell ={\text{impair}}\end {cas}}}$

Cube à faces centrées (FCC)

Le réseau FCC est un réseau de Bravais, et sa transformée de Fourier est un réseau cubique centré. Cependant pour obtenir sans ce raccourci, considérons un cristal de FCC avec un atome à chaque point du réseau comme un cubique primitif ou simple avec une base de 4 atomes, à l'origine et aux trois centres de faces adjacents, , et . L'équation ( 8 ) devient ${\displaystyle F_{hk\ell }}$${\style d'affichage x_{j},y_{j},z_{j}=(0,0,0)}$${\displaystyle x_{j},y_{j},z_{j}=\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}},0\right)}$${\displaystyle \left(0,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}$${\displaystyle \left({\frac {1}{2}},0,{\frac {1}{2}}\right)}$

${\displaystyle F_{hk\ell }=f\sum _{j=1}^{4}\mathrm {e} ^{[-2\pi i(hx_{j}+ky_{j}+\ell z_ {j})]}=f\left[1+\mathrm {e} ^{[-i\pi (h+k)]}+\mathrm {e} ^{[-i\pi (k+\ell ) ]}+\mathrm {e} ^{[-i\pi (h+\ell )]}\right]=f\left[1+(-1)^{h+k}+(-1)^{k+ \ell }+(-1)^{h+\ell }\right]}$

Avec le résultat

${\displaystyle F_{hk\ell }={\begin{cases}4f,&h,k,\ell \ \ {\mbox{tout pair ou tout impair}}\\0,&h,k,\ell \ \ { \mbox{parité mixte}}\end{cases}}}$

Le pic de diffraction le plus intense d'un matériau qui cristallise dans la structure FCC est typiquement le (111). Les films de matériaux FCC comme l' or ont tendance à croître dans une orientation (111) avec une symétrie de surface triangulaire. Une intensité diffractée nulle pour un groupe de faisceaux diffractés (ici, de parité mixte) est appelée absence systématique. ${\displaystyle h,k,\ell }$

Structure cristalline du diamant

La structure cristalline cubique du diamant se produit par exemple au diamant ( carbone ), à l' étain et à la plupart des semi-conducteurs . Il y a 8 atomes dans la maille unitaire cubique. On peut considérer la structure comme une simple cubique à base de 8 atomes, aux positions

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{j},y_{j},z_{j}=&(0,\ 0,\ ​​0)&\left({\frac {1}{2}},\ {\frac {1}{2}},\ 0\right)\ &\left(0,\ {\frac {1}{2}},\ {\frac {1}{2}}\right)& \left({\frac {1}{2}},\ 0,\ ​​{\frac {1}{2}}\right)\\&\left({\frac {1}{4}},\ { \frac {1}{4}},\ {\frac {1}{4}}\right)&\left({\frac {3}{4}},\ {\frac {3}{4}} ,\ {\frac {1}{4}}\right)\ &\left({\frac {1}{4}},\ {\frac {3}{4}},\ {\frac {3} {4}}\right)&\left({\frac {3}{4}},\ {\frac {1}{4}},\ {\frac {3}{4}}\right)\\ \end{aligné}}}$

Mais en comparant cela au FCC ci-dessus, nous voyons qu'il est plus simple de décrire la structure comme FCC avec une base de deux atomes à (0, 0, 0) et (1/4, 1/4, 1/4). Pour cette base, l'équation ( 8 ) devient :

${\displaystyle F_{hk\ell }({\rm {{base})=f\sum _{j=1}^{2}\mathrm {e} ^{[-2\pi i(hx_{j} +ky_{j}+\ell z_{j})]}=f\left[1+\mathrm {e} ^{[-i\pi /2(h+k+\ell )]}\right]=f \left[1+(-i)^{h+k+\ell }\right]}}}$

Et puis le facteur de structure pour la structure cubique du diamant est le produit de ceci et du facteur de structure pour FCC ci-dessus, (n'incluant qu'une seule fois le facteur de forme atomique)

${\displaystyle F_{hk\ell }=f\left[1+(-1)^{h+k}+(-1)^{k+\ell }+(-1)^{h+\ell }\right ]\times \left[1+(-i)^{h+k+\ell }\right]}$

Avec le résultat

• Si h, k, sont de parité mixte (valeurs paires et impaires combinées) le premier terme (FCC) est nul, donc ${\displaystyle |F_{hk\ell }|^{2}=0}$
• Si h, k, sont tous pairs ou tous impairs alors le premier terme (FCC) est 4
  • si h+k+ℓ est impair alors ${\displaystyle F_{hk\ell }=4f(1\pm i),|F_{hk\ell }|^{2}=32f^{2}}$
  • si h+k+ℓ est pair et exactement divisible par 4 ( ) alors${\style d'affichage h+k+\ell =4n}$${\displaystyle F_{hk\ell }=4f\times 2,|F_{hk\ell }|^{2}=64f^{2}}$
  • si h+k+ℓ est pair mais pas exactement divisible par 4 ( ) le deuxième terme est nul et${\displaystyle h+k+\ell \neq 4n}$${\displaystyle |F_{hk\ell }|^{2}=0}$

Ces points sont résumés par les équations suivantes :

${\displaystyle F_{hk\ell }={\begin{cases}8f,&h+k+\ell =4N\\4(1\pm i)f,&h+k+\ell =2N+1\\0,&h +k+\ell =4N+2\\\end{cas}}}$

${\displaystyle \Rightarrow |F_{hk\ell }|^{2}={\begin{cases}64f^{2},&h+k+\ell =4N\\32f^{2},&h+k+\ell =2N+1\\0,&h+k+\ell =4N+2\\\end{cas}}}$

où est un entier. ${\style d'affichage N}$

Structure cristalline de zincblende

La structure du zincblende est similaire à la structure du diamant, sauf qu'il s'agit d'un composé de deux réseaux fcc distincts interpénétrés, plutôt que du même élément. En désignant les deux éléments du composé par et , le facteur de structure résultant est ${\style d'affichage A}$${\style d'affichage B}$

${\displaystyle F_{hk\ell }={\begin{cases}4(f_{A}+f_{B}),&h+k+\ell =4N\\4(f_{A}\pm if_{B} ),&h+k+\ell =2N+1\\4(f_{A}-f_{B}),&h+k+\ell =4N+2\\\end{cases}}}$

Chlorure de césium

Le chlorure de césium est un simple réseau cristallin cubique avec une base de Cs à (0,0,0) et Cl à (1/2, 1/2, 1/2) (ou l'inverse, cela ne fait aucune différence). L'équation ( 8 ) devient

${\displaystyle F_{hk\ell }=\sum _{j=1}^{2}f_{j}\mathrm {e} ^{[-2\pi i(hx_{j}+ky_{j}+ \ell z_{j})]}=\left[f_{Cs}+f_{Cl}\mathrm {e} ^{[-i\pi (h+k+\ell )]}\right]=\left[ f_{Cs}+f_{Cl}(-1)^{h+k+\ell }\right]}$

On arrive alors au résultat suivant pour le facteur de structure pour la diffusion depuis un plan : ${\style d'affichage (hk\ell )}$

${\displaystyle F_{hk\ell }={\begin{cases}(f_{Cs}+f_{Cl}),&h+k+\ell &{\text{even}}\\(f_{Cs}-f_ {Cl}),&h+k+\ell &{\text{impair}}\end{cases}}}$

et pour l'intensité diffusée, ${\displaystyle |F_{hk\ell }|^{2}={\begin{cases}(f_{Cs}+f_{Cl})^{2},&h+k+\ell &{\text{even} }\\(f_{Cs}-f_{Cl})^{2},&h+k+\ell &{\text{impair}}\end{cases}}}$

Hexagonal compact (HCP)

Dans un cristal HCP tel que le graphite , les deux coordonnées incluent l'origine et le plan suivant jusqu'à l' axe c situé à c /2, et donc , ce qui nous donne ${\displaystyle \left(0,0,0\right)}$${\style d'affichage \gauche(1/3,2/3,1/2\droite)}$

${\displaystyle F_{hk\ell }=f\left[1+e^{2\pi i\left({\tfrac {h}{3}}+{\tfrac {2k}{3}}+{\ tfrac {\ell }{2}}\right)}\right]}$

À partir de là, il est pratique de définir une variable fictive et, à partir de là, de considérer le module au carré, donc ${\displaystyle X\équiv h/3+2k/3+\ell /2}$

${\displaystyle |F|^{2}=f^{2}\left(1+e^{2\pi iX}\right)\left(1+e^{-2\pi iX}\right)= f^{2}\left(2+e^{2\pi iX}+e^{-2\pi iX}\right)=f^{2}\left(2+2\cos[2\pi X ]\right)=f^{2}\left(4\cos ^{2}\left[\pi X\right]\right)}$

Cela nous amène aux conditions suivantes pour le facteur de structure :

${\displaystyle |F_{hk\ell }|^{2}={\begin{cases}0,&h+2k=3N{\text{ et }}\ell {\text{ est impair,}}\\4f ^{2},&h+2k=3N{\text{ et }}\ell {\text{ est pair,}}\\3f^{2},&h+2k=3N\pm 1{\text{ et } }\ell {\text{ est impair,}}\\f^{2},&h+2k=3N\pm 1{\text{ et }}\ell {\text{ est pair}}\\\end{ cas}}}$

Cristaux parfaits en une et deux dimensions

Le réseau réciproque est facilement construit dans une dimension : pour les particules sur une ligne avec une période , le réseau réciproque est un tableau infini de points avec un espacement . En deux dimensions, il n'y a que cinq réseaux de Bravais . Les réseaux réciproques correspondants ont la même symétrie que le réseau direct. Les réseaux 2D sont excellents pour démontrer une géométrie de diffraction simple sur un écran plat, comme ci-dessous. Les équations (1) à (7) pour le facteur de structure s'appliquent avec un vecteur de diffusion de dimensionnalité limitée et un facteur de structure cristallographique peut être défini en 2-D comme . ${\style d'affichage a}$${\style d'affichage 2\pi /a}$${\style d'affichage S(\mathbf {q} )}$${\displaystyle F_{hk}=\sum _{j=1}^{N}f_{j}\mathrm {e} ^{[-2\pi i(hx_{j}+ky_{j})]} }$

Cependant, rappelons que de vrais cristaux 2D tels que le graphène existent en 3D. Le réseau réciproque d'une feuille hexagonale 2D qui existe dans l'espace 3D du plan est un réseau hexagonal de lignes parallèles à l' axe ou qui s'étend jusqu'à et coupe tout plan de constante dans un réseau hexagonal de points. ${\style d'affichage xy}$${\style d'affichage z}$${\displaystyle z^{*}}$${\displaystyle \pm \infty }$${\style d'affichage z}$

Diagramme de diffusion par un réseau carré (planaire). Les faisceaux incident et sortant sont représentés, ainsi que la relation entre leurs vecteurs d'onde , et le vecteur de diffusion .${\displaystyle \mathbf {k} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {k} _{o}}$${\displaystyle \mathbf {q} }$

La figure montre la construction d'un vecteur d'un réseau réciproque 2D et sa relation avec une expérience de diffusion.

Un faisceau parallèle, de vecteur d'onde, est incident sur un réseau carré de paramètre . L'onde diffusée est détectée à un certain angle, qui définit le vecteur d'onde du faisceau sortant, (sous l'hypothèse d' une diffusion élastique , ). On peut également définir le vecteur de diffusion et construire le motif harmonique . Dans l'exemple illustré, l'espacement de ce motif coïncide avec la distance entre les rangées de particules : , de sorte que les contributions à la diffusion de toutes les particules sont en phase (interférence constructive). Ainsi, le signal total en direction est fort, et appartient au réseau réciproque. On montre facilement que cette configuration remplit la loi de Bragg . ${\displaystyle \mathbf {k} _{i}}$${\style d'affichage a}$${\displaystyle \mathbf {k} _{o}}$${\displaystyle |\mathbf {k} _{o}|=|\mathbf {k} _{i}|}$${\displaystyle \mathbf {q} =\mathbf {k} _{o}-\mathbf {k} _{i}}$${\displaystyle \exp(i\mathbf {q} \mathbf {r} )}$${\displaystyle q=2\pi /a}$${\displaystyle \mathbf {k} _{o}}$${\displaystyle \mathbf {q} }$

Facteur de structure d'une chaîne périodique, pour différents nombres de particules .${\style d'affichage N}$

Cristaux imparfaits

Techniquement, un cristal parfait doit être infini, donc une taille finie est une imperfection. Les vrais cristaux présentent toujours des imperfections de leur ordre en plus de leur taille finie, et ces imperfections peuvent avoir des effets profonds sur les propriétés du matériau. André Guinier a proposé une distinction largement employée entre les imperfections qui préservent l'ordre à longue distance du cristal qu'il a appelé désordre de la première sorte et celles qui le détruisent appelées désordre de la seconde sorte . Un exemple du premier est la vibration thermique ; un exemple de la seconde est une certaine densité de dislocations.

Le facteur de structure généralement applicable peut être utilisé pour inclure l'effet de toute imperfection. En cristallographie, ces effets sont traités séparément du facteur de structure , de sorte que des facteurs séparés pour la taille ou les effets thermiques sont introduits dans les expressions de l'intensité diffusée, laissant le facteur de structure cristalline parfait inchangé. Par conséquent, une description détaillée de ces facteurs dans la modélisation de la structure cristallographique et la détermination de la structure par diffraction n'est pas appropriée dans cet article. ${\style d'affichage S(\mathbf {q} )}$${\displaystyle F_{hkl}}$

Effets de taille finie

Car un cristal fini signifie que les sommes dans les équations 1-7 sont maintenant sur un fini . L'effet est plus facilement démontré avec un réseau de points 1-D. La somme des facteurs de phase est une série géométrique et le facteur de structure devient : ${\style d'affichage S(q)}$${\style d'affichage N}$

${\displaystyle S(q)={\frac {1}{N}}\left|{\frac {1-\mathrm {e} ^{-iNqa}}{1-\mathrm {e} ^{-iqa }}}\right|^{2}={\frac {1}{N}}\left[{\frac {\sin(Nqa/2)}{\sin(qa/2)}}\right]^ {2}.}$

Cette fonction est illustrée dans la figure pour différentes valeurs de . Lorsque la diffusion de chaque particule est en phase, c'est-à-dire lorsque la diffusion est à un point de réseau réciproque , la somme des amplitudes doit être et donc les maxima d'intensité sont . Prendre l'expression ci-dessus et estimer la limite en utilisant, par exemple, la règle de L'Hôpital ) montre que comme on le voit sur la figure. Au milieu (par évaluation directe) et la largeur du pic diminue comme . Dans la grande limite, les pics deviennent des fonctions delta de Dirac infiniment nettes, le réseau réciproque du réseau 1-D parfait. ${\style d'affichage N}$${\displaystyle q=2k\pi /a}$${\style d'affichage \propto N}$${\displaystyle \propto N^{2}}$${\style d'affichage S(q)}$${\style d'affichage S(q\à 0)}$${\style d'affichage S(q=2k\pi /a)=N}$${\style d'affichage S(q=(2k+1)\pi /a)=1/N}$${\style d'affichage 1/N}$${\style d'affichage N}$

En cristallographie, quand est utilisé, est grand, et l'effet de taille formel sur la diffraction est pris comme , ce qui est le même que l'expression ci-dessus près des points de réseau réciproques, . En utilisant la convolution, nous pouvons décrire la structure cristalline réelle finie comme [treillis] [base] fonction rectangulaire , où la fonction rectangulaire a une valeur 1 à l'intérieur du cristal et 0 à l'extérieur. Alors [structure cristalline] = [treillis] [base] [fonction rectangulaire] ; c'est-à-dire la diffusion [réseau réciproque] [facteur de structure] [ fonction sinc ]. Ainsi l'intensité, qui est une fonction delta de la position pour le cristal parfait, devient une fonction autour de chaque point avec un maximum , une largeur , une aire . ${\displaystyle F_{hkl}}$${\style d'affichage N}$${\displaystyle \left[{\frac {\sin(Nqa/2)}{(qa/2)}}\right]^{2}}$${\style d'affichage S(q)}$${\displaystyle q\environ 2k\pi /a}$${\style d'affichage \ast }$${\style d'affichage \fois }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \times {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \ast {F}}$${\style d'affichage \propto }$${\style d'affichage \fois }$${\style d'affichage \ast }$${\textstyle \operatorname {sinc} ^{2}}$${\displaystyle \propto N^{2}}$${\style d'affichage \propto 1/N}$${\style d'affichage \propto N}$

Trouble du premier type

Ce modèle de désordre dans un cristal commence par le facteur de structure d'un cristal parfait. En une dimension pour simplifier et avec N plans, nous commençons alors par l'expression ci-dessus pour un réseau fini parfait, et alors ce désordre ne change que par un facteur multiplicatif, pour donner ${\style d'affichage S(q)}$

${\displaystyle S(q)={\frac {1}{N}}\left[{\frac {\sin(Nqa/2)}{\sin(qa/2)}}\right]^{2} \exp \left(-q^{2}\langle \delta x^{2}\rangle \right)}$

où le désordre est mesuré par le déplacement quadratique moyen des positions à partir de leurs positions dans un réseau unidimensionnel parfait : , c'est-à-dire , où est un petit (beaucoup moins que ) déplacement aléatoire. Pour le désordre du premier type, chaque déplacement aléatoire est indépendant des autres, et par rapport à un réseau parfait. Ainsi les déplacements ne détruisent pas l'ordre de translation du cristal. Cela a pour conséquence que pour les cristaux infinis ( ) le facteur de structure a toujours des pics de Bragg à fonction delta – la largeur du pic va toujours à zéro comme , avec ce genre de désordre. Cependant, il réduit l'amplitude des pics, et en raison du facteur de dans le facteur exponentiel, il réduit les pics en grand beaucoup plus que les pics en petit . ${\style d'affichage x_{j}}$${\style d'affichage a(j-(N-1)/2)}$${\displaystyle x_{j}=a(j-(N-1)/2)+\delta x}$${\style d'affichage \delta x}$${\style d'affichage a}$${\style d'affichage \delta x}$${\style d'affichage \delta x}$${\displaystyle N\à \infty }$${\displaystyle N\à \infty }$${\displaystyle q^{2}}$${\style d'affichage q}$${\style d'affichage q}$

La structure est simplement réduite par un terme dépendant d' un et du désordre parce que tout le désordre du premier type est de brouiller les plans de diffusion, réduisant ainsi le facteur de forme. ${\style d'affichage q}$

En trois dimensions, l'effet est le même, la structure est à nouveau réduite d'un facteur multiplicatif, et ce facteur est souvent appelé facteur Debye-Waller . Notez que le facteur Debye-Waller est souvent attribué au mouvement thermique, c'est-à-dire qu'il est dû au mouvement thermique, mais tout déplacement aléatoire autour d'un réseau parfait, pas seulement thermique, contribuera au facteur Debye-Waller. ${\style d'affichage \delta x}$

Trouble du deuxième type

Cependant, les fluctuations qui font diminuer les corrélations entre les paires d'atomes à mesure que leur séparation augmente, provoquent l'élargissement des pics de Bragg dans le facteur de structure d'un cristal. Pour voir comment cela fonctionne, considérons un modèle de jouet unidimensionnel : un empilement d'assiettes avec un espacement moyen . La dérivation suit celle du chapitre 9 du manuel de Guinier. Ce modèle a été mis au point par et appliqué à un certain nombre de matériaux par Hosemann et ses collaborateurs sur un certain nombre d'années. Guinier et eux ont appelé ce désordre du second type, et Hosemann en particulier a qualifié cet ordre cristallin imparfait d'ordre paracristallin . Le trouble du premier type est à l'origine du facteur Debye-Waller . ${\style d'affichage a}$

Pour dériver le modèle, nous commençons par la définition (en une dimension) de la

${\displaystyle S(q)={\frac {1}{N}}\sum _{j,k=1}^{N}\mathrm {e} ^{-iq(x_{j}-x_{k })}}$

Pour commencer, nous considérerons, pour simplifier, un cristal infini, c'est-à-dire . Nous considérerons ci-dessous un cristal fini à désordre du second type. ${\displaystyle N\à \infty }$

Pour notre cristal infini, nous voulons considérer des paires de sites de réseau. Pour chaque plan grand d'un cristal infini, il y a deux plans voisins , donc la double somme ci-dessus devient une somme unique sur des paires de voisins de chaque côté d'un atome, à des positions et des espacements de réseau éloignés, fois . Donc alors ${\style d'affichage m}$${\style d'affichage -m}$${\style d'affichage m}$${\style d'affichage N}$

${\displaystyle S(q)=1+2\sum _{m=1}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\rm {d}}(\Delta x)p_ {m}(\Delta x)\cos \left(q\Delta x\right)}$

où est la fonction de densité de probabilité pour la séparation d'une paire de plans, les espacements du réseau les uns des autres. Pour la séparation des plans voisins, nous supposons pour simplifier que les fluctuations autour de l'espacement moyen des voisins de a sont gaussiennes, c'est-à-dire que ${\style d'affichage p_{m}(\Delta x)}$${\style d'affichage \Delta x}$${\style d'affichage m}$

${\displaystyle p_{1}(\Delta x)={\frac {1}{\left(2\pi \sigma _{2}^{2}\right)^{1/2}}}\exp \ gauche[-\gauche(\Delta xa\right)^{2}/(2\sigma _{2}^{2})\right]}$

et nous supposons aussi que les fluctuations entre un plan et son voisin, et entre ce voisin et le plan suivant, sont indépendantes. Alors est juste la convolution de deux s, etc. Comme la convolution de deux gaussiennes est juste une autre gaussienne, nous avons que ${\style d'affichage p_{2}(\Delta x)}$${\displaystyle p_{1}(\Delta x)}$

${\displaystyle p_{m}(\Delta x)={\frac {1}{\left(2\pi m\sigma _{2}^{2}\right)^{1/2}}}\exp \left[-\left(\Delta x-ma\right)^{2}/(2m\sigma _{2}^{2})\right]}$

La somme en n'est alors qu'une somme de transformées de Fourier de Gaussiennes, et donc ${\style d'affichage S(q)}$

${\displaystyle S(q)=1+2\sum _{m=1}^{\infty }r^{m}\cos \left(mqa\right)}$

pour . La somme est juste la partie réelle de la somme et donc le facteur de structure du cristal infini mais désordonné est ${\displaystyle r=\exp[-q^{2}\sigma _{2}^{2}/2]}$${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }[r\exp(iqa)]^{m}}$

${\displaystyle S(q)={\frac {1-r^{2}}{1+r^{2}-2r\cos(qa)}}}$

Cela a des pics au maximum , où . Ces pics ont des hauteurs ${\displaystyle q_{p}=2n\pi /a}$${\style d'affichage \cos(q_{P}a)=1}$

${\displaystyle S(q_{P})={\frac {1+r}{1-r}}\approx {\frac {4}{q_{P}^{2}\sigma _{2}^{ 2}}}={\frac {a^{2}}{n^{2}\pi ^{2}\sigma _{2}^{2}}}}$

c'est-à-dire que la hauteur des pics successifs diminue à mesure que l'ordre du pic (et donc ) est au carré. Contrairement aux effets de taille finie qui élargissent les pics mais ne diminuent pas leur hauteur, le désordre abaisse la hauteur des pics. Notez qu'ici nous supposons que le désordre est relativement faible, de sorte que nous avons encore des pics relativement bien définis. C'est la limite , où . Dans cette limite, près d'un pic on peut approximer , avec et obtenir ${\style d'affichage q}$${\displaystyle q\sigma _{2}\ll 1}$${\displaystyle r\simeq 1-q^{2}\sigma _{2}^{2}/2}$${\displaystyle \cos(qa)\simeq 1-(\Delta q)^{2}a^{2}/2}$${\displaystyle \Delta q=q-q_{P}}$

${\displaystyle S(q)\approx {\frac {S(q_{P})}{1+{\frac {r}{(1-r)^{2}}}{\frac {\Delta q^ {2}a^{2}}{2}}}}\environ {\frac {S(q_{P})}{1+{\frac {\Delta q^{2}}{[q_{P} ^{2}\sigma _{2}^{2}/a]^{2}/2}}}}}$

qui est une fonction Lorentzienne ou Cauchy , de FWHM , c'est-à-dire que la FWHM croît comme le carré de l'ordre du pic, et donc comme le carré du vecteur d'onde au pic. ${\displaystyle q_{P}^{2}\sigma _{2}^{2}/a=4\pi ^{2}n^{2}(\sigma _{2}/a)^{2} /une}$${\style d'affichage q}$

Enfin, le produit de la hauteur du pic et de la FWHM est constant et égal à , à la limite. Pour les premiers pics où n'est pas grand, ce n'est que la limite. ${\style d'affichage 4/a}$${\displaystyle q\sigma _{2}\ll 1}$${\style d'affichage n}$${\displaystyle \sigma _{2}/a\ll 1}$

Cristaux finis avec désordre du deuxième type

Pour un cristal unidimensionnel de taille ${\style d'affichage N}$

${\displaystyle S(q)=1+2\sum _{m=1}^{N}\left(1-{\frac {m}{N}}\right)r^{m}\cos \left (mqa\droit)}$

où le facteur entre parenthèses vient du fait que la somme est sur les paires de plus proches voisins ( ), les prochains plus proches voisins ( ), ... et pour un cristal de plans, il y a des paires de plus proches voisins, des paires de plus proches voisins , etc. ${\style d'affichage m=1}$${\style d'affichage m=2}$${\style d'affichage N}$${\style d'affichage N-1}$${\style d'affichage N-2}$

Liquides

Contrairement aux cristaux, les liquides n'ont pas d'ordre à longue distance (en particulier, il n'y a pas de réseau régulier), de sorte que le facteur de structure ne présente pas de pics nets. Ils présentent cependant un certain degré d'ordre à courte distance , en fonction de leur densité et de la force de l'interaction entre les particules. Les liquides sont isotropes, de sorte que, après l'opération de moyennage dans l'équation ( 4 ), le facteur de structure ne dépend que de l'amplitude absolue du vecteur de diffusion . Pour une évaluation plus approfondie, il est commode de séparer les termes diagonaux dans la double somme, dont la phase est identique à zéro, et donc chacun contribue à une unité constante : ${\displaystyle q=\gauche|\mathbf {q} \right|}$${\style d'affichage j=k}$

${\displaystyle S(q)=1+{\frac {1}{N}}\left\langle \sum _{j\neq k}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} (\mathbf {R} _{j}-\mathbf {R} _{k})}\right\rangle }$.

( 9 )

On peut obtenir une expression alternative pour en termes de fonction de distribution radiale : ${\style d'affichage S(q)}$ ${\style d'affichage g(r)}$

${\displaystyle S(q)=1+\rho \int _{V}\mathrm {d} \mathbf {r} \,\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \mathbf {r} } g(r)}$.

( 10 )

Gaz parfait

Dans le cas limite de pas d' interaction, le système est un gaz idéal et le facteur de structure est complètement monotone: parce qu'il n'y a pas de corrélation entre les positions et de différentes particules (ce sont des variables aléatoires indépendantes ), de sorte que les termes hors diagonale dans Moyenne de l' équation ( 9 ) à zéro : . ${\style d'affichage S(q)=1}$${\displaystyle \mathbf {R} _{j}}$${\displaystyle \mathbf {R} _{k}}$${\displaystyle \langle \exp[-i\mathbf {q} (\mathbf {R} _{j}-\mathbf {R} _{k})]\rangle =\langle \exp(-i\mathbf { q} \mathbf {R} _{j})\rangle \langle \exp(i\mathbf {q} \mathbf {R} _{k})\rangle =0}$

Limite haute${\style d'affichage q}$

Même pour les particules en interaction, à un vecteur de diffusion élevé, le facteur de structure passe à 1. Ce résultat découle de l'équation ( 10 ), puisqu'il s'agit de la transformée de Fourier de la fonction "régulière" et passe donc à zéro pour les valeurs élevées de l'argument . Ce raisonnement ne tient pas pour un cristal parfait, où la fonction de distribution présente des pics infiniment nets. ${\style d'affichage S(q)-1}$${\style d'affichage g(r)}$${\style d'affichage q}$

Limite basse${\style d'affichage q}$

Dans la limite basse , comme le système est sondé sur de grandes échelles de longueur, le facteur de structure contient des informations thermodynamiques, liées à la compressibilité isotherme du liquide par l' équation de compressibilité : ${\style d'affichage q}$ ${\displaystyle \chi _{T}}$

${\displaystyle \lim _{q\rightarrow 0}S(q)=\rho \,k_{\mathrm {B} }T\,\chi _{T}=k_{\mathrm {B} }T\left ({\frac {\partial \rho }{\partial p}}\right)}$.

Liquides à sphère dure

Facteur de structure d'un fluide à sphère dure, calculé à l'aide de l'approximation de Percus-Yevick, pour des fractions volumiques de 1 % à 40 %.${\style d'affichage \Phi }$

Dans le modèle de la sphère dure , les particules sont décrites comme des sphères impénétrables de rayon ; ainsi, leur distance de centre à centre et ils ne subissent aucune interaction au-delà de cette distance. Leur potentiel d'interaction peut s'écrire : ${\style d'affichage R}$${\displaystyle r\geq 2R}$

${\displaystyle V(r)={\begin{cases}\infty &{\text{for }}r<2R,\\0&{\text{for }}r\geq 2R.\end{cases}}}$

Ce modèle a une solution analytique dans l' approximation Percus-Yevick . Bien que très simplifié, il fournit une bonne description de systèmes allant des métaux liquides aux suspensions colloïdales. Dans une illustration, le facteur de structure pour un fluide à sphère dure est indiqué sur la figure, pour des fractions volumiques de 1 % à 40 %. ${\style d'affichage \Phi }$

Polymères

Dans les systèmes polymères , la définition générale ( 4 ) est valable ; les constituants élémentaires sont désormais les monomères constituant les chaînes. Cependant, le facteur de structure étant une mesure de la corrélation entre les positions des particules, on peut raisonnablement s'attendre à ce que cette corrélation soit différente pour des monomères appartenant à la même chaîne ou à des chaînes différentes.

Supposons que le volume contienne des molécules identiques, chacune composée de monomères, tels que ( est également appelé degré de polymérisation ). On peut réécrire ( 4 ) sous la forme : ${\style d'affichage V}$${\style d'affichage N_{c}}$${\style d'affichage N_{p}}$${\style d'affichage N_{c}N_{p}=N}$${\style d'affichage N_{p}}$

${\displaystyle S(\mathbf {q} )={\frac {1}{N_{c}N_{p}}}\left\langle \sum _{\alpha \beta =1}^{N_{c} }\sum _{jk=1}^{N_{p}}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} (\mathbf {R} _{\alpha j}-\mathbf {R} _{ \beta k})}\right\rangle ={\frac {1}{N_{c}N_{p}}}\left\langle \sum _{\alpha =1}^{N_{c}}\sum _{jk=1}^{N_{p}}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} (\mathbf {R} _{\alpha j}-\mathbf {R} _{\alpha k })}\right\rangle +{\frac {1}{N_{c}N_{p}}}\left\langle \sum _{\alpha \neq \beta =1}^{N_{c}}\ somme _{jk=1}^{N_{p}}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} (\mathbf {R} _{\alpha j}-\mathbf {R} _{\beta k})}\droit\rangle }$,

( 11 )

où les indices marquent les différentes molécules et les différents monomères le long de chaque molécule. Du côté droit, nous avons séparé les termes intramoléculaires ( ) et intermoléculaires ( ). En utilisant l'équivalence des chaînes, ( 11 ) peut être simplifié : ${\style d'affichage \alpha ,\beta }$${\style d'affichage j,k}$${\displaystyle \alpha =\beta }$${\displaystyle \alpha \neq \beta }$

${\displaystyle S(\mathbf {q} )=\underbrace {{\frac {1}{N_{p}}}\left\langle \sum _{jk=1}^{N_{p}}\mathrm { e} ^{-i\mathbf {q} (\mathbf {R} _{j}-\mathbf {R} _{k})}\right\rangle } _{S_{1}(q)}+{ \frac {N_{c}-1}{N_{p}}}\left\langle \sum _{jk=1}^{N_{p}}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} (\mathbf {R} _{1j}-\mathbf {R} _{2k})}\right\rangle }$,

( 12 )