Les fondements de l'arithmétique -The Foundations of Arithmetic
Auteur | Gottlob Frege |
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Titre original | Die Grundlagen der Arithmetik. Eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl |
Traducteur | JL Austin |
Pays | Allemagne |
Langue | Allemand |
Sujet | Philosophie des mathématiques |
Publié | 1884 |
Pages | 119 (original allemand) |
ISBN | 0810106051 |
OCLC | 650 |
Les fondements de l'arithmétique ( allemand : Die Grundlagen der Arithmetik ) est un livre de Gottlob Frege , publié en 1884, qui étudie lesfondements philosophiques de l' arithmétique . Frege réfute d'autres théories du nombre et développe sa propre théorie des nombres. Les Grundlagen ont également contribué à motiver les travaux ultérieurs de Frege sur le logicisme . Le livre n'a pas été bien reçu et n'a pas été largement lu lorsqu'il a été publié. Il a cependant attiré l'attention de Bertrand Russell et Ludwig Wittgenstein , qui ont tous deux été fortement influencés par la philosophie de Frege. Une traduction anglaise a été publiée (Oxford, 1950) par JL Austin , avec une deuxième édition en 1960.
Critiques des prédécesseurs
Comptes psychologiques des mathématiques
Frege s'oppose à toute explication des mathématiques basée sur le psychologisme , c'est-à-dire l'opinion selon laquelle les mathématiques et les nombres sont relatifs aux pensées subjectives des personnes qui y pensent. Selon Frege, les récits psychologiques font appel à ce qui est subjectif, tandis que les mathématiques sont purement objectives : les mathématiques sont complètement indépendantes de la pensée humaine. Les entités mathématiques, selon Frege, ont des propriétés objectives indépendamment de ce que les humains pensent d'elles : il n'est pas possible de considérer les énoncés mathématiques comme quelque chose qui a évolué naturellement à travers l'histoire et l' évolution humaines . Il voit une distinction fondamentale entre la logique (et son extension, selon Frege, les mathématiques) et la psychologie. La logique explique les faits nécessaires, tandis que la psychologie étudie certains processus de pensée dans les esprits individuels.
Kant
Frege apprécie beaucoup le travail d' Emmanuel Kant . Il le critique principalement au motif que les énoncés numériques ne sont pas synthétiques - a priori , mais plutôt analytiques - a priori. Kant prétend que 7+5=12 est une affirmation synthétique indémontrable. On a beau analyser l'idée de 7+5 on n'y trouvera pas l'idée de 12. Il faut arriver à l'idée de 12 par application aux objets dans l'intuition. Kant fait remarquer que cela devient d'autant plus clair avec des nombres plus importants. Frege, sur ce point précisément, argumente en sens inverse. Kant suppose à tort que dans une proposition contenant de "grands" nombres, nous devons compter des points ou quelque chose du genre pour affirmer leur valeur de vérité . Frege soutient que sans jamais avoir d'intuition envers l'un des nombres de l'équation suivante : 654 768 + 436 382 = 1 091 150, nous pouvons néanmoins affirmer que c'est vrai. Ceci est fourni comme preuve qu'une telle proposition est analytique. Alors que Frege convient que la géométrie est en effet synthétique a priori, l'arithmétique doit être analytique.
Moulin
Frege critique vivement l' empirisme de John Stuart Mill . Il affirme que l'idée de Mill selon laquelle les nombres correspondent aux différentes manières de diviser des collections d'objets en sous-collections est incompatible avec la confiance dans les calculs impliquant de grands nombres. Il nie également que la philosophie de Mill traite adéquatement du concept de zéro . Il poursuit en affirmant que l'opération d'addition ne peut pas être comprise comme se référant à des quantités physiques, et que la confusion de Mill sur ce point est un symptôme d'un problème plus vaste consistant à confondre les applications de l'arithmétique avec l'arithmétique elle-même.
Développement de la propre vision de Frege d'un nombre
Frege fait une distinction entre des énoncés numériques particuliers tels que 1+1=2 et des énoncés généraux tels que a+b=b+a. Ces derniers sont des affirmations vraies des nombres aussi bien que les premiers. Par conséquent, il est nécessaire de demander une définition du concept de nombre lui-même. Frege étudie la possibilité que le nombre soit déterminé dans des choses extérieures. Il démontre comment les nombres fonctionnent dans le langage naturel tout comme les adjectifs. "Ce bureau a 5 tiroirs" est de forme similaire à "Ce bureau a des tiroirs verts". Les tiroirs étant verts est un fait objectif, ancré dans le monde extérieur. Mais ce n'est pas le cas avec 5. Frege soutient que chaque tiroir est sur son propre vert, mais pas chaque tiroir est 5. Frege nous exhorte à nous rappeler qu'il ne s'ensuit pas que les nombres peuvent être subjectifs. En effet, les nombres sont similaires aux couleurs au moins dans la mesure où les deux sont totalement objectifs. Frege nous dit que nous pouvons convertir des énoncés de nombres où les mots de nombre apparaissent de manière adjectivale (par exemple, « il y a quatre chevaux ») en énoncés où les termes de nombre apparaissent au singulier (« le nombre de chevaux est de quatre »). Frege recommande de telles traductions parce qu'il considère les nombres comme des objets. Cela n'a aucun sens de demander si des objets entrent dans la catégorie 4. Après que Frege ait donné quelques raisons de penser que les nombres sont des objets, il conclut que les énoncés de nombres sont des affirmations sur des concepts.
Frege considère cette observation comme la pensée fondamentale de Grundlagen . Par exemple, la phrase "le nombre de chevaux dans la grange est de quatre" signifie que quatre objets relèvent du concept cheval dans la grange . Frege tente d'expliquer notre compréhension des nombres à travers une définition contextuelle de l'opération de cardinalité ("le nombre de...", ou ). Il tente de construire le contenu d'un jugement d'identité numérique en s'appuyant sur le principe de Hume (qui stipule que le nombre de Fs est égal au nombre de Gs si et seulement si F et G sont équinumériques , c'est-à-dire en correspondance un-un). Il rejette cette définition car elle ne fixe pas la valeur de vérité des énoncés d'identité lorsqu'un terme singulier n'étant pas de la forme « le nombre de F » flanque le signe d'identité. Frege poursuit en donnant une définition explicite du nombre en termes d'extensions de concepts, mais exprime une certaine hésitation.
La définition de Frege d'un nombre
Frege soutient que les nombres sont des objets et affirment quelque chose à propos d'un concept. Frege définit les nombres comme des extensions de concepts. « Le nombre de F » est défini comme l'extension du concept G est un concept équinumérique à F . Le concept en question conduit à une classe d'équivalence de tous les concepts qui ont le nombre F (y compris F). Frege définit 0 comme l'extension du concept étant non auto-identique . Ainsi, le nombre de ce concept est l'extension du concept de tous les concepts qui n'ont pas d'objets relevant d'eux. Le nombre 1 est l'extension d'être identique à 0.
Héritage
Le livre a été fondamental dans le développement de deux disciplines principales, les fondements des mathématiques et de la philosophie. Bien que Bertrand Russell ait trouvé plus tard une faille majeure dans le travail de Frege (cette faille est connue sous le nom de paradoxe de Russell , qui est résolu par la théorie des ensembles axiomatique ), le livre a eu une influence sur les développements ultérieurs, tels que Principia Mathematica . Le livre peut également être considéré comme le point de départ de la philosophie analytique, puisqu'il s'articule principalement autour de l'analyse du langage, dans le but de clarifier le concept de nombre. Les points de vue de Frege sur les mathématiques sont également un point de départ pour la philosophie des mathématiques, car ils présentent un compte rendu novateur sur l'épistémologie des nombres et des mathématiques en général, connu sous le nom de logicisme.
Éditions
- Frege, Gottlob (1884). Die Grundlagen der Arithmetik. Eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl . Breslau : Verlag von Wilhelm Koebner.
- Frege, Gottlob (1960). Les fondements de l'arithmétique : une enquête logico-mathématique sur le concept de nombre . Traduit par Austin, JL (2e éd.). Evanston, Illinois : Northwestern University Press. ISBN 0810106051. OCLC 650 .
Voir également
- Loi fondamentale V
- Begriffsschrift
- Principe de contexte
- Fondationalisme
- Tournant linguistique
- Conflit de psychologie
- copule carrée ronde
Les références
Sources
- Boolos, George (1998). "Chapitre 9: Gottlob Frege et les fondements de l'arithmétique". Logique, logique et logique . Edité par Richard C. Jeffrey, introduction par John P. Burgess. Cambridge, Mass : Harvard University Press. ISBN 9780674537675. OCLC 37509971 .
- Shapiro, Stewart (2000). Réflexion sur les mathématiques : la philosophie des mathématiques . New York : Oxford University Press. p. 95-98 . ISBN 9780192893062. OCLC 43864339 .
Liens externes
- Die Grundlagen der Arithmetik at Project Gutenberg – Édition allemande gratuite en texte intégral
- Die Grundlagen der Arithmetik sur archive.org – Édition allemande gratuite en texte intégral
- Stanford Encyclopedia of Philosophy : "Le théorème de Frege et les fondements de l'arithmétique" par Edward Zalta .
- Nechaev, VI (2001) [1994], "Nombre" , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press
- Peter Suber , "La géométrie et l'arithmétique sont synthétiques" , 2002.