Dérivée totale - Total derivative

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v t e

En mathématiques , la dérivée totale d'une fonction f en un point est la meilleure approximation linéaire près de ce point de la fonction par rapport à ses arguments. Contrairement aux dérivées partielles , la dérivée totale se rapproche de la fonction par rapport à tous ses arguments, pas seulement un seul. Dans de nombreuses situations, cela revient à considérer simultanément toutes les dérivées partielles. Le terme « dérivée totale » est principalement utilisé lorsque f est une fonction de plusieurs variables, car lorsque f est une fonction d'une seule variable, la dérivée totale est la même que la dérivée ordinaire de la fonction.

La dérivée totale sous forme de carte linéaire

Soit un sous-ensemble ouvert . Alors une fonction est dite ( totalement ) dérivable en un point s'il existe une transformation linéaire telle que ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle a\in U}$ ${\displaystyle df_{a}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$

${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {\|f(x)-f(a)-df_{a}(xa)\|}{\|xa\|}}=0.}$

La carte linéaire est appelée ( totale ) dérivé ou ( totale ) différentiel de à . Les autres notations pour la dérivée totale comprennent et . Une fonction est ( totalement ) dérivable si sa dérivée totale existe en tout point de son domaine. ${\displaystyle df_{a}}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage a}$${\displaystyle D_{a}f}$${\style d'affichage Df(a)}$

Conceptuellement, la définition de la dérivée totale exprime l'idée qui est la meilleure approximation linéaire au point . Ceci peut être rendu précis en quantifiant l'erreur dans l'approximation linéaire déterminée par . Pour cela, écrivez ${\displaystyle df_{a}}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage a}$${\displaystyle df_{a}}$

${\displaystyle f(a+h)=f(a)+df_{a}(h)+\varepsilon (h),}$

où est égal à l'erreur d'approximation. Dire que le dérivé d' à est équivalente à la déclaration ${\displaystyle \varepsilon (h)}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage a}$${\displaystyle df_{a}}$

${\displaystyle \varepsilon (h)=o(\lVert h\rVert ),}$

où est la notation little-o et indique que est beaucoup plus petit que as . La dérivée totale est la transformation linéaire unique pour laquelle le terme d'erreur est aussi petit, et c'est le sens dans lequel c'est la meilleure approximation linéaire de . ${\style d'affichage o}$${\displaystyle \varepsilon (h)}$${\displaystyle \lVert h\rVert }$${\style d'affichage h\à 0}$${\displaystyle df_{a}}$${\style d'affichage f}$

La fonction est dérivable si et seulement si chacune de ses composantes est dérivable, donc lors de l'étude des dérivées totales, il est souvent possible de travailler une coordonnée à la fois dans le codomaine. Cependant, il n'en est pas de même pour les coordonnées dans le domaine. Il est vrai que si est dérivable en , alors chaque dérivée partielle existe en . L'inverse est faux : il peut arriver que toutes les dérivées partielles de at existent, mais ne soient pas dérivables en . Cela signifie que la fonction est très "rugueuse" à , à un point tel que son comportement ne peut pas être décrit de manière adéquate par son comportement dans les directions des coordonnées. Quand n'est pas si rude, cela ne peut pas arriver. Plus précisément, si toutes les dérivées partielles de at existent et sont continues au voisinage de , alors est dérivable en . Lorsque cela se produit, alors en plus, la dérivée totale de est la transformation linéaire correspondant à la matrice jacobienne des dérivées partielles en ce point. ${\style d'affichage f}$${\displaystyle f_{i}\colon U\to \mathbb {R} }$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage a}$${\displaystyle \partial f/\partial x_{i}}$${\style d'affichage a}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage a}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage a}$${\style d'affichage a}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage a}$${\style d'affichage a}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage a}$${\style d'affichage f}$

La dérivée totale sous forme différentielle

Lorsque la fonction considérée est à valeur réelle, la dérivée totale peut être refondue en utilisant des formes différentielles . Par exemple, supposons qu'il s'agisse d' une fonction différentiable de variables . La dérivée totale de at peut être écrite en fonction de sa matrice jacobienne, qui dans ce cas est une matrice de lignes : ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage a}$

${\displaystyle Df_{a}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a)&\cdots &{\frac {\partial f}{\partial x_ {n}}}(a)\end{bmatrice}}.}$

La propriété d'approximation linéaire de la dérivée totale implique que si

${\displaystyle \Delta x={\begin{bmatrix}\Delta x_{1}&\cdots &\Delta x_{n}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}}$

est un petit vecteur (où le dénote transpose, de sorte que ce vecteur est un vecteur colonne), alors ${\displaystyle {\mathsf {T}}}$

${\displaystyle f(a+\Delta x)-f(a)\approx Df_{a}\cdot \Delta x=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)\cdot \Delta x_{i}.}$

Heuristiquement, cela suggère que s'il y a des incréments infinitésimaux dans les directions des coordonnées, alors ${\displaystyle dx_{1},\ldots ,dx_{n}}$

${\displaystyle df_{a}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)\cdot dx_{i}.}$

En fait, la notion d'infinitésimal, qui n'est ici que symbolique, peut être dotée d'une vaste structure mathématique. Des techniques, telles que la théorie des formes différentielles , donnent efficacement des descriptions analytiques et algébriques d'objets comme des incréments infinitésimaux, . Par exemple, peut être inscrit comme une fonctionnelle linéaire sur l'espace vectoriel . L'évaluation à un vecteur dans mesure combien de points dans la direction de la ième coordonnée. La dérivée totale est une combinaison linéaire de fonctionnelles linéaires et est donc elle-même une fonctionnelle linéaire. L'évaluation mesure combien de points dans la direction déterminée par at , et cette direction est le gradient . Ce point de vue fait de la dérivée totale une instance de la dérivée extérieure . ${\displaystyle dx_{i}}$${\displaystyle dx_{i}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle dx_{i}}$${\style d'affichage h}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\style d'affichage h}$${\style d'affichage i}$${\displaystyle df_{a}}$${\displaystyle df_{a}(h)}$${\style d'affichage h}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage a}$

Supposons maintenant qu'il s'agisse d'une fonction à valeur vectorielle, c'est-à-dire . Dans ce cas, les composants de sont des fonctions à valeur réelle, elles ont donc des formes différentielles associées . La dérivée totale fusionne ces formes en un seul objet et est donc une instance d'une forme différentielle à valeur vectorielle . ${\style d'affichage f}$${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle f_{i}}$${\style d'affichage f}$${\displaystyle df_{i}}$${\displaystyle df}$

La règle de la chaîne pour les dérivés totaux

La règle de la chaîne a un énoncé particulièrement élégant en termes de dérivés totaux. Il dit que, pour deux fonctions et , la dérivée totale de la fonction composée à satisfait ${\style d'affichage f}$${\style d'affichage g}$ ${\displaystyle g\circ f}$${\style d'affichage a}$

${\displaystyle d(g\circ f)_{a}=dg_{f(a)}\cdot df_{a}.}$

Si les dérivées totales de et sont identifiées avec leurs matrices jacobiennes, alors le composé du côté droit est simplement une multiplication matricielle. Ceci est extrêmement utile dans les applications, car il permet de prendre en compte des dépendances essentiellement arbitraires parmi les arguments d'une fonction composite. ${\style d'affichage f}$${\style d'affichage g}$

Exemple : Différenciation avec dépendances directes

Supposons que f soit une fonction de deux variables, x et y . Si ces deux variables sont indépendantes, de sorte que le domaine de f est , alors le comportement de f peut être compris en termes de ses dérivées partielles dans les directions x et y . Cependant, dans certaines situations, x et y peuvent être dépendants. Par exemple, il peut arriver que f soit contraint à une courbe . Dans ce cas, nous nous intéressons en fait au comportement de la fonction composite . La dérivée partielle de f par rapport à x ne donne pas le vrai taux de variation de f par rapport à la modification de x car la modification de x modifie nécessairement y . Cependant, la règle de la chaîne pour la dérivée totale prend en compte ces dépendances. Écrire . Ensuite, la règle de la chaîne dit ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\style d'affichage y=y(x)}$${\style d'affichage f(x,y(x))}$${\style d'affichage \gamma (x)=(x,y(x))}$

${\displaystyle d(f\circ \gamma )_{x_{0}}=df_{(x_{0},y(x_{0}))}\cdot d\gamma _{x_{0}}.}$

En exprimant la dérivée totale à l'aide de matrices jacobiennes, cela devient :

${\displaystyle {\frac {df(x,y(x))}{dx}}(x_{0})={\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0},y( x_{0}))\cdot {\frac {\partial x}{\partial x}}(x_{0})+{\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y (x_{0}))\cdot {\frac {\partial y}{\partial x}}(x_{0}).}$

En supprimant l'évaluation à pour la lisibilité, nous pouvons également écrire ceci comme ${\style d'affichage x_{0}}$

${\displaystyle {\frac {df(x,y(x))}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial x}} +{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial x}}.}$

Cela donne une formule simple pour la dérivée de en termes de dérivées partielles de et la dérivée de . ${\style d'affichage f(x,y(x))}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage y(x)}$

Par exemple, supposons

${\style d'affichage f(x,y)=xy.}$

Le taux de variation de f par rapport à x est généralement la dérivée partielle de f par rapport à x ; dans ce cas,

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=y.}$

Cependant, si y dépend de x , la dérivée partielle ne donne pas le véritable taux de variation de f lorsque x change car la dérivée partielle suppose que y est fixe. Supposons que nous soyons contraints à la ligne

${\style d'affichage y=x.}$

Puis

${\style d'affichage f(x,y)=f(x,x)=x^{2},}$

et la dérivée totale de f par rapport à x est

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}=2x,}$

ce que nous voyons n'est pas égal à la dérivée partielle . Au lieu de remplacer immédiatement y en termes de x , nous pouvons également utiliser la règle de la chaîne comme ci-dessus : ${\displaystyle \partial f/\partial x}$

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{ dx}}=y+x\cdot 1=x+y=2x.}$

Exemple : Différenciation avec dépendances indirectes

Alors que l'on peut souvent effectuer des substitutions pour éliminer les dépendances indirectes, la règle de la chaîne fournit une technique plus efficace et plus générale. Supposons que soit une fonction du temps et des variables qui elles-mêmes dépendent du temps. Alors, la dérivée temporelle de est ${\displaystyle L(t,x_{1},\dots ,x_{n})}$${\style d'affichage t}$${\style d'affichage n}$${\style d'affichage x_{i}}$${\style d'affichage L}$

${\displaystyle {\frac {dL}{dt}}={\frac {d}{dt}}L{\bigl (}t,x_{1}(t),\ldots ,x_{n}(t) {\grand )}.}$

La règle de la chaîne exprime cette dérivée en termes de dérivées partielles et de dérivées temporelles des fonctions : ${\style d'affichage L}$${\style d'affichage x_{i}}$

${\displaystyle {\frac {dL}{dt}}={\frac {\partial L}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial L}{ \partial x_{i}}}{\frac {dx_{i}}{dt}}={\biggl (}{\frac {\partial }{\partial t}}+\sum _{i=1}^ {n}{\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\biggr )}(L).}$

Cette expression est souvent utilisée en physique pour une transformation de jauge du Lagrangien , car deux Lagrangiens qui ne diffèrent que par la dérivée temporelle totale d'une fonction du temps et les coordonnées généralisées conduisent aux mêmes équations du mouvement. Un exemple intéressant concerne la résolution de causalité concernant la théorie à symétrie temporelle de Wheeler-Feynman . L'opérateur entre parenthèses (dans l'expression finale ci-dessus) est également appelé opérateur de dérivée totale (par rapport à ). ${\style d'affichage n}$ ${\style d'affichage t}$

Par exemple, la dérivée totale de est ${\style d'affichage f(x(t),y(t))}$

${\displaystyle {\frac {df}{dt}}={\partial f \over \partial x}{dx \over dt}+{\partial f \over \partial y}{dy \over dt}.}$

Ici, il n'y a pas de terme puisque lui-même ne dépend pas directement de la variable indépendante . ${\displaystyle \partial f/\partial t}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage t}$

Équation différentielle totale

Une équation différentielle totale est une équation différentielle exprimée en termes de dérivées totales. Puisque la dérivée extérieure est sans coordonnées, dans un sens auquel on peut donner une signification technique, de telles équations sont intrinsèques et géométriques .

Application aux systèmes d'équations

En économie , il est courant que la dérivée totale se produise dans le contexte d'un système d'équations. Par exemple, un système offre-demande simple pourrait spécifier la quantité q d'un produit demandé en fonction D de son prix p et du revenu des consommateurs I , ce dernier étant une variable exogène , et pourrait spécifier la quantité fournie par les producteurs en fonction S de son prix et deux variables de coût des ressources exogènes r et w . Le système d'équations résultant

${\displaystyle q=D(p,I),}$

${\displaystyle q=S(p,r,w),}$

détermine les valeurs d'équilibre du marché des variables p et q . La dérivée totale de p par rapport à r , par exemple, donne le signe et l'amplitude de la réaction du prix du marché à la variable exogène r . Dans le système indiqué, il existe au total six dérivées totales possibles, également appelées dans ce contexte dérivées statiques comparatives : dp / dr , dp / dw , dp / dI , dq / dr , dq / dw et dq / dI . Les dérivées totales sont trouvées en différenciant totalement le système d'équations, en divisant par, disons dr , en traitant dq / dr et dp / dr comme les inconnues, en définissant dI = dw = 0 , et en résolvant les deux équations totalement différenciées simultanément, généralement par en utilisant la règle de Cramer . ${\displaystyle dp/dr}$

Voir également

• Dérivée directionnelle
• Gradient#Dérivée totale
• Dérivée de Fréchet - généralisation de la dérivée totale

Les références

• AD Polyanin et VF Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2e édition) , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN  1-58488-297-2
• De thesaurus.maths.org dérivée totale

Liens externes

• Weisstein, Eric W. "Dérivé total" . MathWorld .
• Ronald D. Kriz (2007) Envisager des dérivées totales de fonctions scalaires à deux dimensions en utilisant des surfaces surélevées et des plans tangents de Virginia Tech